Exercices corrigés : la géométrie analytique (math CST, secondaire 4)

a) Les différences de coordonnées valent $10-2=8$ et $9-3=6$. Donc $AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unités, soit $1000$ m. C'est le triangle $3$-$4$-$5$ multiplié par deux, ce qui explique le résultat entier. Notez qu'on élève les différences au carré : le signe disparaît, et l'ordre des deux points ne change donc rien à la distance.

b) En suivant les rues, le piéton parcourt les deux cathètes du triangle rectangle : $8+6=14$ unités, soit $1400$ m. C'est exactement ce que dessine la figure : le trajet en équerre, huit unités horizontalement puis six verticalement, contre la diagonale qui les relie directement.

c) L'écart vaut $1400-1000=400$ m. Rapporté au trajet direct, cela fait $\dfrac{400}{1000}=0{,}4$, soit $40\,\%$ de plus. C'est considérable, et c'est pourquoi les villes quadrillées comme Montréal comptent des diagonales et des parcs traversants : ils économisent du chemin réel.

d) Le milieu a pour coordonnées la MOYENNE des coordonnées des deux extrémités : $M\left(\dfrac{2+10}{2}\,;\dfrac{3+9}{2}\right)=M(6\,;6)$. Vérification visuelle sur la figure : le point $(6\,;6)$ tombe bien au milieu du segment tracé. L'erreur à éviter est de soustraire au lieu d'additionner : on cherche un point situé ENTRE les deux, donc une moyenne.

e) Parce que dans un triangle, un côté est toujours plus court que la somme des deux autres : c'est l'inégalité triangulaire. La diagonale, $10$ unités, est nécessairement inférieure à $8+6=14$ unités. L'écart dépend de la forme du trajet : il est nul si l'on va tout droit dans une seule direction, et maximal quand les deux déplacements sont égaux. Avec $8$ et $6$, l'écart atteint $40\,\%$ ; avec deux déplacements égaux de $7$, il monterait à environ $41{,}4\,\%$.

a) $M\left(\dfrac{-3+9}{2}\,;\dfrac{2+8}{2}\right)=M(3\,;5)$. Le milieu est le cas particulier du point de partage avec le rapport $1:1$, c'est-à-dire à la moitié du trajet.

b) On part de $A$ et l'on avance des $\dfrac{2}{5}$ des différences. Différences : $9-(-3)=12$ et $8-2=6$. Donc $P\left(-3+\dfrac{2}{5}\times 12\,;2+\dfrac{2}{5}\times 6\right)=P(-3+4{,}8\,;2+2{,}4)=P(1{,}8\,;4{,}4)$. La méthode tient en une phrase : on part du PREMIER point et on ajoute la fraction voulue de chaque différence. Elle marche même avec des coordonnées négatives, comme ici.

c) Le rapport $3:2$ partage aussi en cinq parts, mais $Q$ se trouve après trois d'entre elles, donc aux $\dfrac{3}{5}$ du trajet : $Q\left(-3+\dfrac{3}{5}\times 12\,;2+\dfrac{3}{5}\times 6\right)=Q(4{,}2\,;5{,}6)$. Remarquez que $P$ et $Q$ ne sont pas symétriques par rapport au milieu par hasard : l'un est aux deux cinquièmes, l'autre aux trois cinquièmes, et le milieu est entre les deux.

d) $AB=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}\approx 13{,}42$ unités. Pour $AP$, les différences sont $4{,}8$ et $2{,}4$, donc $AP=\sqrt{4{,}8^{2}+2{,}4^{2}}=\sqrt{23{,}04+5{,}76}=\sqrt{28{,}8}\approx 5{,}37$ unités. Or $\dfrac{2}{5}\times 13{,}42=5{,}37$ : les deux valeurs coïncident. Cette vérification est la meilleure preuve que le point de partage est bien placé, et elle prend trente secondes.

e) Il confond le RAPPORT $2:3$ avec la FRACTION $\dfrac{2}{3}$, ou bien il lit le $3$ comme un dénominateur. Le rapport $2:3$ compare les deux morceaux entre eux, il ne dit pas quelle fraction du tout représente le premier. Le total des parts vaut $2+3=5$, donc $P$ est aux DEUX CINQUIÈMES, pas au tiers. L'écart est net : au tiers, $P$ serait en $(1\,;4)$ au lieu de $(1{,}8\,;4{,}4)$. Le réflexe qui l'évite : additionner les deux nombres du rapport AVANT tout calcul, et écrire la fraction obtenue.

a) $m=\dfrac{150-450}{30-0}=\dfrac{-300}{30}=-10$ litres par minute. Interprétation : le réservoir PERD $10$ litres chaque minute. Le signe négatif porte tout le sens : il dit que la quantité diminue, et l'oublier transforme une vidange en remplissage.

b) $m=\dfrac{682{,}50-0}{35-0}=\dfrac{682{,}50}{35}=19{,}50$ dollar par heure. Interprétation : l'employé gagne $19{,}50$ dollars pour chaque heure travaillée, c'est-à-dire son taux horaire. La droite passe ici par l'origine, ce qui signifie qu'il n'y a aucun montant fixe : sans heure travaillée, aucun salaire.

c) $m=\dfrac{220-120}{2500}=\dfrac{100}{2500}=0{,}04$, soit $4\,\%$. Interprétation : la route monte de $4$ mètres pour chaque $100$ mètres parcourus horizontalement. C'est l'écriture qu'on lit sur les panneaux routiers, et elle est bien un rapport de deux longueurs, donc sans unité.

d) La température ne change pas, donc la variation verticale est nulle : $m=\dfrac{-18-(-18)}{6-0}=\dfrac{0}{6}=0$. Interprétation : la température est CONSTANTE, la droite est horizontale. Une pente nulle ne signifie pas une valeur nulle : le congélateur est bien à $-18\,^\circ$C, c'est sa VARIATION qui est nulle.

e) Sur une droite verticale, tous les points ont la même abscisse, donc la variation horizontale vaut $0$ et la pente s'écrirait avec un dénominateur nul : elle n'existe PAS. On dit que la pente n'est pas définie, et jamais qu'elle vaut zéro. La distinction compte : une pente NULLE décrit une droite horizontale, où la grandeur ne change pas ; une pente NON DÉFINIE décrit une droite verticale, où la grandeur change sans que le temps s'écoule, ce qu'aucune situation réelle ne peut représenter. C'est d'ailleurs pourquoi une droite verticale n'est jamais le graphique d'une fonction.

a) Les deux couples connus sont $(2\,;175)$ et $(5\,;340)$. $m=\dfrac{340-175}{5-2}=\dfrac{165}{3}=55$ dollars par heure. Interprétation : chaque heure de travail supplémentaire coûte $55$ dollars. C'est le tarif horaire, et c'est la seule partie de la facture qui dépend de la durée.

b) On remplace un couple connu dans $y=55x+b$. Avec $(2\,;175)$ : $175=55\times 2+b=110+b$, donc $b=175-110=65$ dollars. Interprétation : $65$ dollars sont facturés même pour une intervention de durée nulle. C'est le FRAIS DE DÉPLACEMENT, un montant fixe indépendant du temps passé. Vérification avec l'autre couple : $55\times 5+65=275+65=340$, ce qui correspond.

c) L'équation est $y=55x+65$. On peut la lire en français, et c'est ce qu'un correcteur attend : « la facture vaut $65$ dollars de déplacement plus $55$ dollars par heure de travail ».

d) Pour $x=8$ : $y=55\times 8+65=440+65=505$ dollars. Contrôle d'ordre de grandeur : huit heures, c'est un peu plus de trois fois deux heures, et $505$ est un peu moins de trois fois $175$. Cohérent, l'écart venant du frais fixe qui n'est compté qu'une fois.

e) Cette fois on connaît $y$ et l'on cherche $x$ : $450=55x+65$. On isole : $55x=450-65=385$, donc $x=\dfrac{385}{55}=7$ heures. L'intervention a duré $7$ heures. Remarquez la différence entre les deux dernières questions : en d) on REMPLACE $x$, en e) on RÉSOUT une équation. C'est la question qui dit laquelle des deux variables est connue, et lire cela correctement vaut la moitié des points d'une situation d'application.

a) $m_{2}=\dfrac{5-(-1)}{8-0}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$. C'est exactement la pente de $d_{1}$, donc les deux droites sont PARALLÈLES. Elles ne sont pas confondues pour autant : leurs ordonnées à l'origine diffèrent, $2$ pour l'une et $-1$ pour l'autre, donc elles ne se rencontrent jamais.

b) $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{12}{12}=-1$. Le produit vaut $-1$, donc $d_{1}$ et $d_{3}$ sont PERPENDICULAIRES. On voit sur ces deux fractions ce que signifie « inverse opposé » : on retourne la fraction, $\dfrac{3}{4}$ devenant $\dfrac{4}{3}$, et l'on change le signe.

c) La parallèle a la même pente, $\dfrac{3}{4}$, donc son équation est de la forme $y=\dfrac{3}{4}x+b$. On y remplace le point $(4\,;1)$ : $1=\dfrac{3}{4}\times 4+b=3+b$, donc $b=-2$. L'équation est $y=\dfrac{3}{4}x-2$.

d) La perpendiculaire a pour pente l'inverse opposé, $-\dfrac{4}{3}$, donc son équation est de la forme $y=-\dfrac{4}{3}x+b$. Avec le point $(4\,;1)$ : $1=-\dfrac{4}{3}\times 4+b=-\dfrac{16}{3}+b$, donc $b=1+\dfrac{16}{3}=\dfrac{19}{3}$. L'équation est $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{19}{3}$. Vérification : le produit des pentes vaut bien $-1$.

e) Il a pris l'OPPOSÉ de la pente au lieu de son inverse opposé : il a changé le signe sans retourner la fraction. Le produit des pentes vaudrait alors $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{9}{16}$, qui n'est pas $-1$ : les deux droites ne seraient pas perpendiculaires. Elles formeraient d'ailleurs un angle assez éloigné de l'angle droit. Le contrôle qui l'attrape tient en une multiplication : on multiplie toujours les deux pentes et l'on vérifie qu'on obtient $-1$. Trois secondes, et le piège le plus fréquent du chapitre est écarté.

a) Différences : $10-2=8$ et $2-8=-6$. $EA=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unités, soit $2000$ m. Le signe négatif de la seconde différence disparaît au carré : une distance ne dépend pas du sens du parcours.

b) Différences : $14-10=4$ et $10-2=8$. $AB=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}\approx 8{,}944$ unités, soit environ $1789$ m. On garde toutes les décimales jusqu'à la conversion finale : arrondir $8{,}944$ à $8{,}9$ donnerait $1780$ m, neuf mètres de moins.

c) Différences : $14-2=12$ et $10-8=2$. $EB=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}\approx 12{,}166$ unités, soit environ $2433$ m. C'est la plus longue des trois, ce que la figure laissait prévoir : les deux points sont aux extrémités opposées du plan.

d) Le trajet le plus court est celui de l'aréna à la bibliothèque, environ $1789$ m, devant l'école-aréna à $2000$ m et l'école-bibliothèque à $2433$ m. Notez qu'on peut comparer sans extraire les racines : $80<100<148$ suffit à classer les trois distances, puisque la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs. C'est un raccourci utile quand la question ne demande qu'un classement.

e) Le rapport $1:4$ fait $1+4=5$ parts, donc le point est au CINQUIÈME du trajet depuis l'école. Différences : $8$ et $-6$. Coordonnées : $\left(2+\dfrac{1}{5}\times 8\,;8+\dfrac{1}{5}\times(-6)\right)=(2+1{,}6\,;8-1{,}2)=(3{,}6\,;6{,}8)$. Vérification de bon sens : le point doit être NETTEMENT plus près de l'école que de l'aréna, et ses coordonnées sont bien voisines de celles de l'école. Attention au signe de la seconde différence : elle est négative, donc on SOUSTRAIT $1{,}2$. L'oublier placerait l'élève de l'autre côté de l'école.

a) Différences : $20-(-4)=24$ et $19-1=18$. $AB=\sqrt{24^{2}+18^{2}}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30$ unités, soit $3000$ m. C'est encore le triangle $3$-$4$-$5$, multiplié par six : les exercices de ce chapitre choisissent presque toujours des différences proportionnelles à $3$ et $4$, pour que la racine tombe juste.

b) Un sixième du trajet : on ajoute $\dfrac{1}{6}$ de chaque différence aux coordonnées de $A$. $\left(-4+\dfrac{24}{6}\,;1+\dfrac{18}{6}\right)=(-4+4\,;1+3)=(0\,;4)$. La première borne est donc en $(0\,;4)$, sur l'axe des ordonnées.

c) La quatrième borne est aux $\dfrac{4}{6}$ du trajet : $\left(-4+\dfrac{4}{6}\times 24\,;1+\dfrac{4}{6}\times 18\right)=(-4+16\,;1+12)=(12\,;13)$. On peut aussi l'obtenir en ajoutant quatre fois le pas $(4\,;3)$ aux coordonnées de $A$, ce qui revient au même et va plus vite quand il y a plusieurs bornes à placer.

d) Le sentier mesure $30$ unités et il est coupé en six portions égales, donc chaque portion mesure $\dfrac{30}{6}=5$ unités, soit $500$ m. Vérification : le pas de $(4\,;3)$ a pour longueur $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ unités, ce qui correspond. Chaque borne est donc à $500$ m de la précédente.

e) La troisième borne est aux $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ du trajet, ce qui est par définition le milieu. Ses coordonnées : $\left(-4+\dfrac{24}{2}\,;1+\dfrac{18}{2}\right)=(8\,;10)$. On peut le confirmer par la formule du milieu : $\left(\dfrac{-4+20}{2}\,;\dfrac{1+19}{2}\right)=(8\,;10)$, la même chose. Les deux méthodes coïncident nécessairement, puisque le milieu n'est rien d'autre que le point de partage de rapport $1:1$. C'est une bonne façon de vérifier qu'on a compris la formule générale : elle doit redonner le cas particulier qu'on connaît déjà.

1) FAUX. Le rapport $2:3$ partage le segment en $2+3=5$ parts, et le point se trouve après deux d'entre elles : il est aux DEUX CINQUIÈMES. Pour $A(-3\,;2)$ et $B(9\,;8)$, cela donne $P(1{,}8\,;4{,}4)$, alors que le tiers donnerait $(1\,;4)$. Énoncé correct : on additionne les deux nombres du rapport pour obtenir le dénominateur.

2) FAUX. La perpendiculaire prend l'inverse OPPOSÉ : on retourne la fraction ET on change le signe, ce qui donne $-\dfrac{4}{3}$. Avec $-\dfrac{3}{4}$, le produit des pentes vaudrait $-\dfrac{9}{16}$ et non $-1$. Énoncé correct : deux droites sont perpendiculaires quand le produit de leurs pentes vaut $-1$, et c'est cette multiplication qu'on fait pour vérifier.

3) FAUX. Sur une droite verticale, la variation horizontale est nulle, donc la pente aurait un dénominateur nul : elle n'est pas DÉFINIE. Une pente nulle décrit au contraire une droite HORIZONTALE, où la grandeur ne change pas. Énoncé correct : pente nulle pour une horizontale, pente non définie pour une verticale.

4) FAUX. $10-2=8$ n'est que la différence des ABSCISSES, c'est-à-dire un seul côté du triangle rectangle. La distance vaut $\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10$. Énoncé correct : on calcule les deux différences, on les élève au carré, on les additionne, et l'on prend la racine. Le résultat, $10$, est d'ailleurs plus grand que chacune des deux différences, ce qui est toujours le cas.

5) FAUX. Deux droites de même pente sont PARALLÈLES, et elles ne sont confondues que si leur ordonnée à l'origine est aussi la même. $y=\dfrac{3}{4}x+2$ et $y=\dfrac{3}{4}x-1$ ont la même pente et ne se rencontrent jamais. Énoncé correct : même pente et même ordonnée à l'origine donnent la même droite ; même pente et ordonnées différentes donnent deux parallèles distinctes.

a) Les deux points connus sont $(0\,;3000)$ et $(40\,;0)$. $m=\dfrac{0-3000}{40-0}=\dfrac{-3000}{40}=-75$ mètres par kilomètre. Interprétation : l'avion perd $75$ m d'altitude à chaque kilomètre parcouru horizontalement. Le signe négatif dit qu'il DESCEND, et l'omettre transformerait l'approche en décollage.

b) Une pente en pourcentage compare deux longueurs de MÊME unité. Il faut donc convertir : $40$ km valent $40\,000$ m. $m=\dfrac{-3000}{40\,000}=-0{,}075$, soit $-7{,}5\,\%$. C'est l'erreur la plus fréquente de ce genre de problème : mélanger mètres et kilomètres donnerait $-7500\,\%$, un nombre absurde qu'un regard suffit à rejeter.

c) L'ordonnée à l'origine est l'altitude au départ, soit $3000$ m, puisque $x=0$ correspond au début de la descente. L'équation est donc $y=-75x+3000$, avec $x$ en kilomètres et $y$ en mètres. Préciser les unités fait partie de la réponse : la même droite s'écrirait $y=-0{,}075x+3000$ si $x$ était en mètres.

d) Pour $x=25$ : $y=-75\times 25+3000=-1875+3000=1125$ m. Contrôle : $25$ km, c'est un peu plus de la moitié des $40$ km, donc l'altitude doit être un peu en dessous de la moitié de $3000$, soit moins de $1500$ m. Le résultat est cohérent, et la figure le confirme.

e) La pente réelle vaut $7{,}5\,\%$ en valeur absolue, ce qui dépasse la limite de $5{,}2\,\%$ : l'approche n'est PAS conforme, elle est trop raide. Pour respecter la norme, il faut étaler les mêmes $3000$ m de descente sur une plus grande distance : $\dfrac{3000}{0{,}052}\approx 57\,692$ m, soit environ $57{,}7$ km. L'avion devrait donc commencer sa descente près de $18$ km plus tôt. Notez le sens du calcul : la hauteur à perdre est FIXE, c'est la distance horizontale qui s'ajuste, donc l'inconnue est au dénominateur et l'on divise. Multiplier donnerait $156$ m, une distance plus courte que l'approche actuelle, ce qui rendrait la pente encore plus raide : le contrôle de bon sens tranche immédiatement.

a) Différences : $60-0=60$ et $40-0=40$. $AC=\sqrt{60^{2}+40^{2}}=\sqrt{3600+1600}=\sqrt{5200}\approx 72{,}11$ m. Contrôle : la diagonale doit dépasser le plus grand côté, $60$ m, et rester sous leur somme, $100$ m. C'est le cas.

b) Le rapport $2:3$ fait cinq parts, donc $P$ est aux $\dfrac{2}{5}$ du trajet depuis $A$. $P\left(0+\dfrac{2}{5}\times 60\,;0+\dfrac{2}{5}\times 40\right)=P(24\,;16)$. Les coordonnées de $A$ étant nulles, le calcul se réduit ici à prendre les deux cinquièmes des différences, ce qui est le cas le plus simple : on ne l'oubliera pas quand le premier point ne sera pas l'origine.

c) $AP=\sqrt{24^{2}+16^{2}}=\sqrt{576+256}=\sqrt{832}\approx 28{,}84$ m. Et $\dfrac{2}{5}\times 72{,}11=28{,}84$ m : les deux valeurs coïncident. Cette vérification confirme d'un coup le rapport employé et les coordonnées trouvées.

d) Le poteau est plus près de $A$ : il en est à $28{,}84$ m, tandis que la distance restante jusqu'à $C$ vaut $72{,}11-28{,}84=43{,}27$ m. L'écart est de $43{,}27-28{,}84=14{,}43$ m. C'était prévisible sans aucun calcul : deux cinquièmes sont inférieurs à la moitié, donc le point est dans la première moitié du segment.

e) L'allée passe par l'origine, donc son ordonnée à l'origine est nulle et son équation est de la forme $y=mx$. La pente vaut $m=\dfrac{40-0}{60-0}=\dfrac{2}{3}$, donc l'équation est $y=\dfrac{2}{3}x$. Vérification pour le poteau : $\dfrac{2}{3}\times 24=16$, ce qui est bien l'ordonnée de $P$. Le poteau est donc sur l'allée. Remarquez que cette vérification est INDÉPENDANTE de la formule du point de partage : elle contrôle le résultat par un autre chemin, ce qui en fait une vraie vérification et non une simple répétition du calcul.