Exercice 0.1 : Calculer une distance, un milieu et un point de partage : dix calculs directs

Pour chaque ligne, faites le calcul demandé à partir des coordonnées données : une distance, une coordonnée du point milieu ou d'un point de partage, une extrémité de segment ou un périmètre. Une distance qui ne tombe pas juste se donne au centième. L'écriture $AP:PB=m:n$ signifie que le point $P$ partage le segment $[AB]$ en deux morceaux dont les longueurs sont dans le rapport $m:n$ .

Tout part des deux différences de coordonnées, $x_{2}-x_{1}$ et $y_{2}-y_{1}$ , calculées avec leur signe. La distance vaut $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ ; le milieu a pour coordonnées la MOYENNE des coordonnées des extrémités ; et le point de partage $AP:PB=m:n$ s'obtient en partant de $A$ et en ajoutant la fraction $\frac{m}{m+n}$ de chaque différence.

a) Calculez la distance entre $A(1\,;2)$ et $B(13\,;7)$ .
b) Calculez la distance entre $C(-5\,;3)$ et $D(2\,;-4)$ , au centième.
c) Calculez la distance entre $E(-6\,;4)$ et $F(9\,;4)$ .
d) Donnez l'abscisse du milieu du segment d'extrémités $G(-7\,;5)$ et $H(15\,;-1)$ .
e) Donnez l'ordonnée du milieu du segment d'extrémités $J(3\,;-8)$ et $K(-5\,;-3)$ .
f) Avec $M(-2\,;6)$ et $N(10\,;-2)$ , donnez l'abscisse du point $P$ tel que $MP:PN=1:3$ .
g) Avec $R(4\,;-6)$ et $S(-6\,;14)$ , donnez l'ordonnée du point $P$ tel que $RP:PS=2:3$ .
h) Avec $U(5\,;1)$ et $V(-7\,;9)$ , donnez les coordonnées du point $P$ tel que $UP:PV=3:1$ .
i) $I(2\,;1)$ est le milieu du segment $[QW]$ , avec $Q(-3\,;7)$ . Donnez les coordonnées de $W$ .
j) Calculez le périmètre du triangle de sommets $X(-2\,;1)$ , $Y(4\,;-1)$ et $Z(3\,;5)$ , au centième.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

AB

b)

CD

c)

EF

d)

Abscisse du milieu

e)

Ordonnée du milieu

f)

Abscisse de

P

g)

Ordonnée de

P

h)

Abscisse de

P

Ordonnée de

P

i)

Abscisse de

W

Ordonnée de

W

j)

Périmètre

Voir la correction

Réponses

a) $AB=\sqrt{144+25}=13$
b) $CD=\sqrt{98}\approx 9{,}90$
c) $EF=9-(-6)=15$
d) $\frac{-7+15}{2}=4$
e) $\frac{-8+(-3)}{2}=-5{,}5$
f) $x_{P}=-2+\frac{1}{4}\times 12=1$
g) $y_{P}=-6+\frac{2}{5}\times 20=2$
h) $P\left(5-9\,;1+6\right)=P(-4\,;7)$
i) $W(2+5\,;1-6)=W(7\,;-5)$
j) $\sqrt{40}+\sqrt{37}+\sqrt{41}\approx 18{,}81$

Le geste qui décide de tout : écrire d'abord les DEUX différences de coordonnées, arrivée moins départ, avec leur signe. La distance les élève au carré, le milieu en prend la moitié, et le point de partage en prend la fraction $\frac{m}{m+n}$ à partir du PREMIER point nommé. Une seule soustraction mal signée fausse les trois calculs à la fois.

a)

Différences : $13-1=12$ et $7-2=5$ . $AB=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ . C'est le triangle $5$ - $12$ - $13$ , d'où le résultat entier.

b)

Différences : $2-(-5)=7$ et $-4-3=-7$ . $CD=\sqrt{7^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}\approx 9{,}90$ . Piège : calculer $2-5=-3$ , en oubliant que soustraire $-5$ revient à ajouter $5$ ; le carré efface ensuite le signe, pas l'erreur.

c)

Les deux points ont la même ordonnée : la différence verticale est nulle et $EF=\sqrt{15^{2}+0^{2}}=15$ , c'est-à-dire l'écart des abscisses, $9-(-6)=15$ . Piège : écrire $9-6=3$ .

d)

$x_{\text{milieu}}=\frac{-7+15}{2}=\frac{8}{2}=4$ . Piège : soustraire au lieu d'additionner, $\frac{15-(-7)}{2}=11$ , qui est la demi-longueur horizontale et non une coordonnée.

e)

$y_{\text{milieu}}=\frac{-8+(-3)}{2}=\frac{-11}{2}=-5{,}5$ . Deux ordonnées négatives donnent un milieu négatif, situé entre $-8$ et $-3$ .

f)

Le rapport $1:3$ fait $1+3=4$ parts, et $P$ est après la première : aux $\frac{1}{4}$ du trajet depuis $M$ . Différence des abscisses : $10-(-2)=12$ , donc $x_{P}=-2+\frac{1}{4}\times 12=-2+3=1$ . Piège : lire le rapport comme une fraction et placer $P$ au tiers, ce qui donne $2$ .

g)

Le rapport $2:3$ fait $5$ parts : $P$ est aux $\frac{2}{5}$ depuis $R$ . Différence des ordonnées : $14-(-6)=20$ , donc $y_{P}=-6+\frac{2}{5}\times 20=-6+8=2$ . Piège : partir de $S$ au lieu de $R$ , ce qui donne $14-8=6$ .

h)

Le rapport $3:1$ fait $4$ parts, et $P$ est après trois d'entre elles : aux $\frac{3}{4}$ depuis $U$ , donc PLUS PRÈS DE $V$ . Différences : $-7-5=-12$ et $9-1=8$ . $P\left(5+\frac{3}{4}\times(-12)\,;1+\frac{3}{4}\times 8\right)=P(5-9\,;1+6)=P(-4\,;7)$ . Piège : placer $P$ aux $\frac{1}{4}$ depuis $U$ , ce qui donne $(2\,;3)$ , le point du rapport $1:3$ .

i)

Le milieu est à mi-chemin : pour aller de $Q$ à $W$ , on fait deux fois le trajet de $Q$ à $I$ . De $Q$ à $I$ : $2-(-3)=5$ et $1-7=-6$ . Donc $W(2+5\,;1-6)=W(7\,;-5)$ . On peut aussi écrire $\frac{-3+x_{W}}{2}=2$ , d'où $x_{W}=7$ , et $\frac{7+y_{W}}{2}=1$ , d'où $y_{W}=-5$ . Piège : calculer le milieu de $Q$ et $I$ , $(-0{,}5\,;4)$ .

j)

$XY=\sqrt{6^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{40}\approx 6{,}325$ , $YZ=\sqrt{(-1)^{2}+6^{2}}=\sqrt{37}\approx 6{,}083$ et $XZ=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}\approx 6{,}403$ . Périmètre : $\sqrt{40}+\sqrt{37}+\sqrt{41}\approx 18{,}81$ . On garde trois décimales à chaque côté et l'on n'arrondit qu'à la somme.

Contrôle : une distance est toujours positive et dépasse chacune des deux différences en valeur absolue ; un milieu ou un point de partage tombe ENTRE les coordonnées des extrémités ; et le point de partage se vérifie par les distances, par exemple en h) $UP=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$ vaut bien trois fois $PV=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ , puisque $\sqrt{117}=3\sqrt{13}$ .

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Exercice 0.2 : Calculer une pente et écrire l'équation d'une droite : dix calculs directs

Pour chaque ligne, donnez la pente, l'ordonnée à l'origine ou l'abscisse à l'origine demandée, pour une droite d'équation $y=mx+b$ . Une pente qui ne tombe pas sur un décimal exact se donne au centième.

La pente se calcule par $m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ , les deux différences étant prises dans le MÊME ordre. Pour trouver $b$ , on remplace les coordonnées d'un point connu dans $y=mx+b$ et l'on isole $b$ . Deux droites parallèles ont la même pente ; deux droites perpendiculaires ont des pentes inverses et opposées, dont le produit vaut $-1$ . L'abscisse à l'origine est la valeur de $x$ pour laquelle $y=0$ .

a) Calculez la pente de la droite qui passe par $(1\,;3)$ et $(5\,;11)$ .
b) Calculez la pente de la droite qui passe par $(-5\,;4)$ et $(1\,;-1)$ , au centième.
c) Calculez la pente de la droite qui passe par $(-6\,;7)$ et $(3\,;7)$ .
d) Une droite de pente $3$ passe par $(-2\,;1)$ : donnez son ordonnée à l'origine $b$ .
e) Écrivez l'équation de la droite qui passe par $(-1\,;8)$ et $(3\,;-4)$ , et donnez sa pente $m$ .
f) Écrivez l'équation de la droite qui passe par $(-4\,;3)$ et $(2\,;6)$ , et donnez son ordonnée à l'origine $b$ .
g) Donnez la pente d'une droite parallèle à $y=-1{,}5x+4$ .
h) Donnez la pente d'une droite perpendiculaire à $y=\frac{2}{5}x-1$ .
i) Donnez l'ordonnée à l'origine $b$ de la droite perpendiculaire à $y=-\frac{2}{3}x+1$ qui passe par $(4\,;-1)$ .
j) Donnez l'abscisse à l'origine de la droite $y=-0{,}4x+3$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

m

b)

m

c)

m

d)

b

e)

m

f)

b

g)

m

h)

m

i)

b

j)

Abscisse à l'origine

Voir la correction

Réponses

a) $m=\frac{8}{4}=2$
b) $m=-\frac{5}{6}\approx-0{,}83$
c) $m=\frac{0}{9}=0$
d) $y=3x+7$ ; $b=7$
e) $y=-3x+5$ ; $m=-3$
f) $y=\frac{1}{2}x+5$ ; $b=5$
g) $m=-1{,}5$
h) $m=-\frac{5}{2}=-2{,}5$
i) $y=\frac{3}{2}x-7$ ; $b=-7$
j) $x=\frac{3}{0{,}4}=7{,}5$

Le geste qui décide de tout : la pente est un quotient de différences prises DANS LE MÊME ORDRE, le même point en premier en haut et en bas. Ensuite $b$ se trouve toujours de la même façon, en remplaçant un point connu dans $y=mx+b$ et en isolant $b$ , avec ses signes.

a)

$m=\frac{11-3}{5-1}=\frac{8}{4}=2$ .

b)

$m=\frac{-1-4}{1-(-5)}=\frac{-5}{6}\approx-0{,}83$ . Piège : mélanger l'ordre, $\frac{-1-4}{-5-1}=\frac{-5}{-6}$ , ce qui donne une pente positive pour une droite qui descend.

c)

$m=\frac{7-7}{3-(-6)}=\frac{0}{9}=0$ : la droite est horizontale, d'équation $y=7$ . Piège : répondre « non définie », ce qui décrit une droite VERTICALE, où c'est le dénominateur qui est nul.

d)

On remplace $(-2\,;1)$ dans $y=3x+b$ : $1=3\times(-2)+b=-6+b$ , donc $b=1+6=7$ . L'équation est $y=3x+7$ . Piège : écrire $b=1-6=-5$ , en se trompant de signe en isolant $b$ .

e)

$m=\frac{-4-8}{3-(-1)}=\frac{-12}{4}=-3$ . Puis $8=-3\times(-1)+b=3+b$ , donc $b=5$ : l'équation est $y=-3x+5$ , et sa pente vaut $m=-3$ .

f)

$m=\frac{6-3}{2-(-4)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ . Puis, avec $(-4\,;3)$ : $3=\frac{1}{2}\times(-4)+b=-2+b$ , donc $b=5$ . L'équation est $y=\frac{1}{2}x+5$ . Contrôle avec l'autre point : $\frac{1}{2}\times 2+5=6$ .

g)

Deux droites parallèles ont la même pente : $m=-1{,}5$ . L'ordonnée à l'origine, elle, change d'une parallèle à l'autre. Piège : prendre l'inverse opposé, $\frac{2}{3}$ , qui est la pente d'une PERPENDICULAIRE.

h)

On retourne la fraction ET l'on change le signe : l'inverse opposé de $\frac{2}{5}$ est $-\frac{5}{2}=-2{,}5$ . Contrôle : $\frac{2}{5}\times\left(-\frac{5}{2}\right)=-1$ . Piège : $-\frac{2}{5}$ , qui change le signe sans retourner la fraction.

i)

La perpendiculaire a pour pente l'inverse opposé de $-\frac{2}{3}$ , soit $\frac{3}{2}$ . Avec $(4\,;-1)$ : $-1=\frac{3}{2}\times 4+b=6+b$ , donc $b=-7$ . L'équation est $y=\frac{3}{2}x-7$ . Piège : garder la pente $-\frac{2}{3}$ de la droite donnée, ce qui donne $b=\frac{5}{3}$ .

j)

L'abscisse à l'origine est la valeur de $x$ qui annule $y$ : $0=-0{,}4x+3$ , donc $0{,}4x=3$ et $x=\frac{3}{0{,}4}=7{,}5$ . Piège : répondre $3$ , qui est l'ORDONNÉE à l'origine, ou $-7{,}5$ , en oubliant le signe en isolant $x$ .

Contrôle : une équation trouvée par deux points doit être vérifiée par les DEUX points, pas seulement par celui qui a servi à calculer $b$ ; et deux pentes annoncées perpendiculaires doivent donner un produit égal à $-1$ .

Exercice 1 : La distance entre deux points

Sur un plan quadrillé, deux adresses sont repérées par $A(2\,;3)$ et $B(10\,;9)$ . Chaque unité du quadrillage représente $100$ m, et les rues suivent les lignes du quadrillage.

La distance entre deux points se calcule par $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ : c'est le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées.

a) Calculez la distance $AB$ à vol d'oiseau, en unités puis en mètres.
b) Quelle distance parcourt un piéton qui suit les rues, sans jamais couper en diagonale ?
c) De combien de mètres le trajet par les rues est-il plus long ? Exprimez cet écart en pourcentage.
d) Déterminez les coordonnées du point milieu de $[AB]$ .
e) Pourquoi le trajet à vol d'oiseau est-il toujours le plus court ?

Voir la correction

Réponses

a) $10$ unités, soit $1000$ m
b) $14$ unités, soit $1400$ m
c) $400$ m de plus, soit $40\,\%$
d) $M(6\,;6)$
e) Par l'inégalité triangulaire : un côté est plus court que la somme des deux autres

a)

Les différences de coordonnées valent $10-2=8$ et $9-3=6$ . Donc $AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unités, soit $1000$ m. C'est le triangle $3$ - $4$ - $5$ multiplié par deux, ce qui explique le résultat entier. Notez qu'on élève les différences au carré : le signe disparaît, et l'ordre des deux points ne change donc rien à la distance.

b)

En suivant les rues, le piéton parcourt les deux cathètes du triangle rectangle : $8+6=14$ unités, soit $1400$ m. C'est exactement ce que dessine la figure : le trajet en équerre, huit unités horizontalement puis six verticalement, contre la diagonale qui les relie directement.

c)

L'écart vaut $1400-1000=400$ m. Rapporté au trajet direct, cela fait $\dfrac{400}{1000}=0{,}4$ , soit $40\,\%$ de plus. C'est considérable, et c'est pourquoi les villes quadrillées comme Montréal comptent des diagonales et des parcs traversants : ils économisent du chemin réel.

d)

Le milieu a pour coordonnées la MOYENNE des coordonnées des deux extrémités : $M\left(\dfrac{2+10}{2}\,;\dfrac{3+9}{2}\right)=M(6\,;6)$ . Vérification visuelle sur la figure : le point $(6\,;6)$ tombe bien au milieu du segment tracé. L'erreur à éviter est de soustraire au lieu d'additionner : on cherche un point situé ENTRE les deux, donc une moyenne.

e)

Parce que dans un triangle, un côté est toujours plus court que la somme des deux autres : c'est l'inégalité triangulaire. La diagonale, $10$ unités, est nécessairement inférieure à $8+6=14$ unités. L'écart dépend de la forme du trajet : il est nul si l'on va tout droit dans une seule direction, et maximal quand les deux déplacements sont égaux. Avec $8$ et $6$ , l'écart atteint $40\,\%$ ; avec deux déplacements égaux de $7$ , il monterait à environ $41{,}4\,\%$ .

Exercice 2 : Le point de partage

Un point de partage divise un segment selon un RAPPORT donné. Écrire $AP:PB=2:3$ signifie que le segment est partagé en $2+3=5$ parts égales, et que $P$ se trouve après $2$ d'entre elles : il est donc aux $\dfrac{2}{5}$ du trajet.

On considère les points $A(-3\,;2)$ et $B(9\,;8)$ .

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Déterminez le milieu de $[AB]$ .
b) Déterminez le point $P$ tel que $AP:PB=2:3$ .
c) Déterminez le point $Q$ tel que $AQ:QB=3:2$ .
d) Calculez $AB$ , puis $AP$ , et vérifiez que $AP=\dfrac{2}{5}AB$ .
e) Un élève place $P$ au tiers du segment. Quelle erreur commet-il ?

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Réponses

a) $M(3\,;5)$
b) $P(1{,}8\,;4{,}4)$
c) $Q(4{,}2\,;5{,}6)$
d) $AB\approx 13{,}42$ et $AP\approx 5{,}37$ , soit bien les deux cinquièmes
e) Il lit $2:3$ comme $\dfrac{2}{3}$ : le total des parts vaut $5$ , donc $P$ est aux $\dfrac{2}{5}$

a)

$M\left(\dfrac{-3+9}{2}\,;\dfrac{2+8}{2}\right)=M(3\,;5)$ . Le milieu est le cas particulier du point de partage avec le rapport $1:1$ , c'est-à-dire à la moitié du trajet.

b)

On part de $A$ et l'on avance des $\dfrac{2}{5}$ des différences. Différences : $9-(-3)=12$ et $8-2=6$ . Donc $P\left(-3+\dfrac{2}{5}\times 12\,;2+\dfrac{2}{5}\times 6\right)=P(-3+4{,}8\,;2+2{,}4)=P(1{,}8\,;4{,}4)$ . La méthode tient en une phrase : on part du PREMIER point et on ajoute la fraction voulue de chaque différence. Elle marche même avec des coordonnées négatives, comme ici.

c)

Le rapport $3:2$ partage aussi en cinq parts, mais $Q$ se trouve après trois d'entre elles, donc aux $\dfrac{3}{5}$ du trajet : $Q\left(-3+\dfrac{3}{5}\times 12\,;2+\dfrac{3}{5}\times 6\right)=Q(4{,}2\,;5{,}6)$ . Remarquez que $P$ et $Q$ ne sont pas symétriques par rapport au milieu par hasard : l'un est aux deux cinquièmes, l'autre aux trois cinquièmes, et le milieu est entre les deux.

d)

$AB=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}\approx 13{,}42$ unités. Pour $AP$ , les différences sont $4{,}8$ et $2{,}4$ , donc $AP=\sqrt{4{,}8^{2}+2{,}4^{2}}=\sqrt{23{,}04+5{,}76}=\sqrt{28{,}8}\approx 5{,}37$ unités. Or $\dfrac{2}{5}\times 13{,}42=5{,}37$ : les deux valeurs coïncident. Cette vérification est la meilleure preuve que le point de partage est bien placé, et elle prend trente secondes.

e)

Il confond le RAPPORT $2:3$ avec la FRACTION $\dfrac{2}{3}$ , ou bien il lit le $3$ comme un dénominateur. Le rapport $2:3$ compare les deux morceaux entre eux, il ne dit pas quelle fraction du tout représente le premier. Le total des parts vaut $2+3=5$ , donc $P$ est aux DEUX CINQUIÈMES, pas au tiers. L'écart est net : au tiers, $P$ serait en $(1\,;4)$ au lieu de $(1{,}8\,;4{,}4)$ . Le réflexe qui l'évite : additionner les deux nombres du rapport AVANT tout calcul, et écrire la fraction obtenue.

Exercice 3 : Calculer une pente, et l'interpréter

La pente d'une droite vaut $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ : c'est le rapport de la variation VERTICALE à la variation HORIZONTALE.

En situation, elle a toujours un sens et une unité. Pour chaque cas, calculez la pente ET dites ce qu'elle signifie.

a) Un réservoir contient $450$ L à $t=0$ min et $150$ L à $t=30$ min.
b) Un employé gagne $0$ dollar pour $0$ heure et $682{,}50$ dollars pour $35$ heures.
c) Une route passe de l'altitude $120$ m à l'altitude $220$ m sur $2500$ m d'horizontale.
d) La température d'un congélateur reste à $-18\,^\circ$ C pendant six heures.
e) Une droite verticale : que vaut sa pente ?

Voir la correction

Réponses

a) $-10$ L/min : le réservoir perd $10$ litres par minute
b) $19{,}50$ dollars par heure : c'est le taux horaire
c) $0{,}04$ , soit une pente de $4\,\%$
d) Pente nulle : la température est constante à $-18\,^\circ$ C
e) Non définie : la variation horizontale est nulle

a)

$m=\dfrac{150-450}{30-0}=\dfrac{-300}{30}=-10$ litres par minute. Interprétation : le réservoir PERD $10$ litres chaque minute. Le signe négatif porte tout le sens : il dit que la quantité diminue, et l'oublier transforme une vidange en remplissage.

b)

$m=\dfrac{682{,}50-0}{35-0}=\dfrac{682{,}50}{35}=19{,}50$ dollar par heure. Interprétation : l'employé gagne $19{,}50$ dollars pour chaque heure travaillée, c'est-à-dire son taux horaire. La droite passe ici par l'origine, ce qui signifie qu'il n'y a aucun montant fixe : sans heure travaillée, aucun salaire.

c)

$m=\dfrac{220-120}{2500}=\dfrac{100}{2500}=0{,}04$ , soit $4\,\%$ . Interprétation : la route monte de $4$ mètres pour chaque $100$ mètres parcourus horizontalement. C'est l'écriture qu'on lit sur les panneaux routiers, et elle est bien un rapport de deux longueurs, donc sans unité.

d)

La température ne change pas, donc la variation verticale est nulle : $m=\dfrac{-18-(-18)}{6-0}=\dfrac{0}{6}=0$ . Interprétation : la température est CONSTANTE, la droite est horizontale. Une pente nulle ne signifie pas une valeur nulle : le congélateur est bien à $-18\,^\circ$ C, c'est sa VARIATION qui est nulle.

e)

Sur une droite verticale, tous les points ont la même abscisse, donc la variation horizontale vaut $0$ et la pente s'écrirait avec un dénominateur nul : elle n'existe PAS. On dit que la pente n'est pas définie, et jamais qu'elle vaut zéro. La distinction compte : une pente NULLE décrit une droite horizontale, où la grandeur ne change pas ; une pente NON DÉFINIE décrit une droite verticale, où la grandeur change sans que le temps s'écoule, ce qu'aucune situation réelle ne peut représenter. C'est d'ailleurs pourquoi une droite verticale n'est jamais le graphique d'une fonction.

Exercice 4 : Écrire l'équation d'une droite à partir d'une situation

Un plombier facture $175$ dollars pour une intervention de $2$ heures et $340$ dollars pour une intervention de $5$ heures.

On note $x$ la durée en heures et $y$ le montant facturé en dollars, et l'on suppose que la facture suit une droite $y=mx+b$ .

Le graphique ci-dessous représente la situation.

a) Calculez la pente $m$ et donnez son sens.
b) Calculez l'ordonnée à l'origine $b$ et donnez son sens.
c) Écrivez l'équation de la droite.
d) Combien coûterait une intervention de $8$ heures ?
e) Une facture s'élève à $450$ dollars. Combien d'heures l'intervention a-t-elle duré ?

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Réponses

a) $m=55$ dollars par heure : le tarif horaire
b) $b=65$ dollars : le frais fixe de déplacement
c) $y=55x+65$
d) $505$ dollars
e) $7$ heures

a)

Les deux couples connus sont $(2\,;175)$ et $(5\,;340)$ . $m=\dfrac{340-175}{5-2}=\dfrac{165}{3}=55$ dollars par heure. Interprétation : chaque heure de travail supplémentaire coûte $55$ dollars. C'est le tarif horaire, et c'est la seule partie de la facture qui dépend de la durée.

b)

On remplace un couple connu dans $y=55x+b$ . Avec $(2\,;175)$ : $175=55\times 2+b=110+b$ , donc $b=175-110=65$ dollars. Interprétation : $65$ dollars sont facturés même pour une intervention de durée nulle. C'est le FRAIS DE DÉPLACEMENT, un montant fixe indépendant du temps passé. Vérification avec l'autre couple : $55\times 5+65=275+65=340$ , ce qui correspond.

c)

L'équation est $y=55x+65$ . On peut la lire en français, et c'est ce qu'un correcteur attend : « la facture vaut $65$ dollars de déplacement plus $55$ dollars par heure de travail ».

d)

Pour $x=8$ : $y=55\times 8+65=440+65=505$ dollars. Contrôle d'ordre de grandeur : huit heures, c'est un peu plus de trois fois deux heures, et $505$ est un peu moins de trois fois $175$ . Cohérent, l'écart venant du frais fixe qui n'est compté qu'une fois.

e)

Cette fois on connaît $y$ et l'on cherche $x$ : $450=55x+65$ . On isole : $55x=450-65=385$ , donc $x=\dfrac{385}{55}=7$ heures. L'intervention a duré $7$ heures. Remarquez la différence entre les deux dernières questions : en d) on REMPLACE $x$ , en e) on RÉSOUT une équation. C'est la question qui dit laquelle des deux variables est connue, et lire cela correctement vaut la moitié des points d'une situation d'application.

Exercice 5 : Droites parallèles et droites perpendiculaires

Deux droites sont PARALLÈLES quand elles ont la même pente, et PERPENDICULAIRES quand le produit de leurs pentes vaut $-1$ , c'est-à-dire quand l'une est l'inverse OPPOSÉ de l'autre.

On considère $d_{1}:y=\dfrac{3}{4}x+2$ , la droite $d_{2}$ passant par $(0\,;-1)$ et $(8\,;5)$ , et $d_{3}:y=-\dfrac{4}{3}x+7$ .

a) Calculez la pente de $d_{2}$ . Que peut-on dire de $d_{1}$ et $d_{2}$ ?
b) Calculez le produit des pentes de $d_{1}$ et $d_{3}$ . Que peut-on en conclure ?
c) Écrivez l'équation de la droite parallèle à $d_{1}$ passant par le point $(4\,;1)$ .
d) Écrivez l'équation de la droite perpendiculaire à $d_{1}$ passant par le point $(4\,;1)$ .
e) Un élève donne à la perpendiculaire la pente $-\dfrac{3}{4}$ . Corrigez et chiffrez son erreur.

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Réponses

a) $m_{2}=\dfrac{3}{4}$ : $d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles
b) Le produit vaut $-1$ : $d_{1}$ et $d_{3}$ sont perpendiculaires
c) $y=\dfrac{3}{4}x-2$
d) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{19}{3}$
e) Il oublie de retourner la fraction : le produit vaudrait $-\dfrac{9}{16}$ , pas $-1$

a)

$m_{2}=\dfrac{5-(-1)}{8-0}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ . C'est exactement la pente de $d_{1}$ , donc les deux droites sont PARALLÈLES. Elles ne sont pas confondues pour autant : leurs ordonnées à l'origine diffèrent, $2$ pour l'une et $-1$ pour l'autre, donc elles ne se rencontrent jamais.

b)

$\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{12}{12}=-1$ . Le produit vaut $-1$ , donc $d_{1}$ et $d_{3}$ sont PERPENDICULAIRES. On voit sur ces deux fractions ce que signifie « inverse opposé » : on retourne la fraction, $\dfrac{3}{4}$ devenant $\dfrac{4}{3}$ , et l'on change le signe.

c)

La parallèle a la même pente, $\dfrac{3}{4}$ , donc son équation est de la forme $y=\dfrac{3}{4}x+b$ . On y remplace le point $(4\,;1)$ : $1=\dfrac{3}{4}\times 4+b=3+b$ , donc $b=-2$ . L'équation est $y=\dfrac{3}{4}x-2$ .

d)

La perpendiculaire a pour pente l'inverse opposé, $-\dfrac{4}{3}$ , donc son équation est de la forme $y=-\dfrac{4}{3}x+b$ . Avec le point $(4\,;1)$ : $1=-\dfrac{4}{3}\times 4+b=-\dfrac{16}{3}+b$ , donc $b=1+\dfrac{16}{3}=\dfrac{19}{3}$ . L'équation est $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{19}{3}$ . Vérification : le produit des pentes vaut bien $-1$ .

e)

Il a pris l'OPPOSÉ de la pente au lieu de son inverse opposé : il a changé le signe sans retourner la fraction. Le produit des pentes vaudrait alors $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{9}{16}$ , qui n'est pas $-1$ : les deux droites ne seraient pas perpendiculaires. Elles formeraient d'ailleurs un angle assez éloigné de l'angle droit. Le contrôle qui l'attrape tient en une multiplication : on multiplie toujours les deux pentes et l'on vérifie qu'on obtient $-1$ . Trois secondes, et le piège le plus fréquent du chapitre est écarté.

Exercice 6 : Problème : le plan du quartier

Sur le plan d'un quartier, l'école est au point $E(2\,;8)$ , l'aréna au point $A(10\,;2)$ et la bibliothèque au point $B(14\,;10)$ . Chaque unité représente $200$ m.

Le conseil d'établissement veut comparer les distances à vol d'oiseau entre ces trois lieux.

a) Calculez la distance entre l'école et l'aréna, en unités puis en mètres.
b) Calculez la distance entre l'aréna et la bibliothèque, au mètre près.
c) Calculez la distance entre l'école et la bibliothèque, au mètre près.
d) Quel est le trajet le plus court des trois ?
e) Un élève habite au point qui partage le segment école-aréna dans le rapport $1:4$ . Donnez ses coordonnées.

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Réponses

a) $10$ unités, soit $2000$ m
b) Environ $1789$ m
c) Environ $2433$ m
d) Aréna-bibliothèque, le plus court des trois
e) $(3{,}6\,;6{,}8)$

a)

Différences : $10-2=8$ et $2-8=-6$ . $EA=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ unités, soit $2000$ m. Le signe négatif de la seconde différence disparaît au carré : une distance ne dépend pas du sens du parcours.

b)

Différences : $14-10=4$ et $10-2=8$ . $AB=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}\approx 8{,}944$ unités, soit environ $1789$ m. On garde toutes les décimales jusqu'à la conversion finale : arrondir $8{,}944$ à $8{,}9$ donnerait $1780$ m, neuf mètres de moins.

c)

Différences : $14-2=12$ et $10-8=2$ . $EB=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}\approx 12{,}166$ unités, soit environ $2433$ m. C'est la plus longue des trois, ce que la figure laissait prévoir : les deux points sont aux extrémités opposées du plan.

d)

Le trajet le plus court est celui de l'aréna à la bibliothèque, environ $1789$ m, devant l'école-aréna à $2000$ m et l'école-bibliothèque à $2433$ m. Notez qu'on peut comparer sans extraire les racines : $80<100<148$ suffit à classer les trois distances, puisque la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs. C'est un raccourci utile quand la question ne demande qu'un classement.

e)

Le rapport $1:4$ fait $1+4=5$ parts, donc le point est au CINQUIÈME du trajet depuis l'école. Différences : $8$ et $-6$ . Coordonnées : $\left(2+\dfrac{1}{5}\times 8\,;8+\dfrac{1}{5}\times(-6)\right)=(2+1{,}6\,;8-1{,}2)=(3{,}6\,;6{,}8)$ . Vérification de bon sens : le point doit être NETTEMENT plus près de l'école que de l'aréna, et ses coordonnées sont bien voisines de celles de l'école. Attention au signe de la seconde différence : elle est négative, donc on SOUSTRAIT $1{,}2$ . L'oublier placerait l'élève de l'autre côté de l'école.

Exercice 7 : Problème : les bornes du sentier

Un sentier rectiligne relie le point $A(-4\,;1)$ au point $B(20\,;19)$ sur la carte d'un parc. Chaque unité représente $100$ m.

On veut y installer des bornes kilométriques également espacées, de façon à découper le sentier en SIX portions égales.

La figure ci-dessous représente la situation.

a) Calculez la longueur du sentier, en unités puis en mètres.
b) Donnez les coordonnées de la première borne, à un sixième du trajet depuis $A$ .
c) Donnez les coordonnées de la quatrième borne.
d) Quelle distance sépare deux bornes consécutives ?
e) Montrez que la troisième borne est exactement le milieu du sentier.

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Réponses

a) $30$ unités, soit $3000$ m
b) $(0\,;4)$
c) $(12\,;13)$
d) $5$ unités, soit $500$ m
e) $(8\,;10)$ , obtenu aussi bien par le partage $3:3$ que par la formule du milieu

a)

Différences : $20-(-4)=24$ et $19-1=18$ . $AB=\sqrt{24^{2}+18^{2}}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30$ unités, soit $3000$ m. C'est encore le triangle $3$ - $4$ - $5$ , multiplié par six : les exercices de ce chapitre choisissent presque toujours des différences proportionnelles à $3$ et $4$ , pour que la racine tombe juste.

b)

Un sixième du trajet : on ajoute $\dfrac{1}{6}$ de chaque différence aux coordonnées de $A$ . $\left(-4+\dfrac{24}{6}\,;1+\dfrac{18}{6}\right)=(-4+4\,;1+3)=(0\,;4)$ . La première borne est donc en $(0\,;4)$ , sur l'axe des ordonnées.

c)

La quatrième borne est aux $\dfrac{4}{6}$ du trajet : $\left(-4+\dfrac{4}{6}\times 24\,;1+\dfrac{4}{6}\times 18\right)=(-4+16\,;1+12)=(12\,;13)$ . On peut aussi l'obtenir en ajoutant quatre fois le pas $(4\,;3)$ aux coordonnées de $A$ , ce qui revient au même et va plus vite quand il y a plusieurs bornes à placer.

d)

Le sentier mesure $30$ unités et il est coupé en six portions égales, donc chaque portion mesure $\dfrac{30}{6}=5$ unités, soit $500$ m. Vérification : le pas de $(4\,;3)$ a pour longueur $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ unités, ce qui correspond. Chaque borne est donc à $500$ m de la précédente.

e)

La troisième borne est aux $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ du trajet, ce qui est par définition le milieu. Ses coordonnées : $\left(-4+\dfrac{24}{2}\,;1+\dfrac{18}{2}\right)=(8\,;10)$ . On peut le confirmer par la formule du milieu : $\left(\dfrac{-4+20}{2}\,;\dfrac{1+19}{2}\right)=(8\,;10)$ , la même chose. Les deux méthodes coïncident nécessairement, puisque le milieu n'est rien d'autre que le point de partage de rapport $1:1$ . C'est une bonne façon de vérifier qu'on a compris la formule générale : elle doit redonner le cas particulier qu'on connaît déjà.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « Le rapport $2:3$ place le point de partage au tiers du segment. »
2) « La droite perpendiculaire à une droite de pente $\dfrac{3}{4}$ a pour pente $-\dfrac{3}{4}$ . »
3) « Une droite verticale a une pente nulle. »
4) « La distance entre $A(2\,;3)$ et $B(10\,;9)$ vaut $10-2=8$ . »
5) « Deux droites de même pente sont confondues. »

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Réponses

1) Faux : $2+3=5$ parts, donc aux deux cinquièmes
2) Faux : l'inverse opposé, soit $-\dfrac{4}{3}$
3) Faux : non définie ; c'est l'horizontale qui a une pente nulle
4) Faux : $\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$
5) Faux : parallèles, et confondues seulement si $b$ est aussi le même

1)

FAUX. Le rapport $2:3$ partage le segment en $2+3=5$ parts, et le point se trouve après deux d'entre elles : il est aux DEUX CINQUIÈMES. Pour $A(-3\,;2)$ et $B(9\,;8)$ , cela donne $P(1{,}8\,;4{,}4)$ , alors que le tiers donnerait $(1\,;4)$ . Énoncé correct : on additionne les deux nombres du rapport pour obtenir le dénominateur.

2)

FAUX. La perpendiculaire prend l'inverse OPPOSÉ : on retourne la fraction ET on change le signe, ce qui donne $-\dfrac{4}{3}$ . Avec $-\dfrac{3}{4}$ , le produit des pentes vaudrait $-\dfrac{9}{16}$ et non $-1$ . Énoncé correct : deux droites sont perpendiculaires quand le produit de leurs pentes vaut $-1$ , et c'est cette multiplication qu'on fait pour vérifier.

3)

FAUX. Sur une droite verticale, la variation horizontale est nulle, donc la pente aurait un dénominateur nul : elle n'est pas DÉFINIE. Une pente nulle décrit au contraire une droite HORIZONTALE, où la grandeur ne change pas. Énoncé correct : pente nulle pour une horizontale, pente non définie pour une verticale.

4)

FAUX. $10-2=8$ n'est que la différence des ABSCISSES, c'est-à-dire un seul côté du triangle rectangle. La distance vaut $\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10$ . Énoncé correct : on calcule les deux différences, on les élève au carré, on les additionne, et l'on prend la racine. Le résultat, $10$ , est d'ailleurs plus grand que chacune des deux différences, ce qui est toujours le cas.

5)

FAUX. Deux droites de même pente sont PARALLÈLES, et elles ne sont confondues que si leur ordonnée à l'origine est aussi la même. $y=\dfrac{3}{4}x+2$ et $y=\dfrac{3}{4}x-1$ ont la même pente et ne se rencontrent jamais. Énoncé correct : même pente et même ordonnée à l'origine donnent la même droite ; même pente et ordonnées différentes donnent deux parallèles distinctes.

Exercice 9 : Problème : l'approche de l'avion

Un avion entame sa descente à $3000$ m d'altitude, alors qu'il se trouve à $40$ km du seuil de la piste. Il vise à toucher le sol exactement au seuil.

On note $x$ la distance horizontale parcourue depuis le début de la descente, en kilomètres, et $y$ l'altitude en mètres. La descente suit une droite.

a) Calculez la pente de la descente, en mètres par kilomètre.
b) Exprimez cette pente en pourcentage.
c) Écrivez l'équation de la droite de descente.
d) Quelle est l'altitude de l'avion après $25$ km de descente ?
e) La norme impose une pente d'au plus $5{,}2\,\%$ . Cette approche est-elle conforme ? Sinon, à quelle distance faudrait-il entamer la descente ?

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Réponses

a) $-75$ m par kilomètre
b) $-7{,}5\,\%$
c) $y=-75x+3000$ , avec $x$ en km et $y$ en m
d) $1125$ m
e) Non conforme : il faudrait environ $57{,}7$ km, soit près de $18$ km de plus

a)

Les deux points connus sont $(0\,;3000)$ et $(40\,;0)$ . $m=\dfrac{0-3000}{40-0}=\dfrac{-3000}{40}=-75$ mètres par kilomètre. Interprétation : l'avion perd $75$ m d'altitude à chaque kilomètre parcouru horizontalement. Le signe négatif dit qu'il DESCEND, et l'omettre transformerait l'approche en décollage.

b)

Une pente en pourcentage compare deux longueurs de MÊME unité. Il faut donc convertir : $40$ km valent $40\,000$ m. $m=\dfrac{-3000}{40\,000}=-0{,}075$ , soit $-7{,}5\,\%$ . C'est l'erreur la plus fréquente de ce genre de problème : mélanger mètres et kilomètres donnerait $-7500\,\%$ , un nombre absurde qu'un regard suffit à rejeter.

c)

L'ordonnée à l'origine est l'altitude au départ, soit $3000$ m, puisque $x=0$ correspond au début de la descente. L'équation est donc $y=-75x+3000$ , avec $x$ en kilomètres et $y$ en mètres. Préciser les unités fait partie de la réponse : la même droite s'écrirait $y=-0{,}075x+3000$ si $x$ était en mètres.

d)

Pour $x=25$ : $y=-75\times 25+3000=-1875+3000=1125$ m. Contrôle : $25$ km, c'est un peu plus de la moitié des $40$ km, donc l'altitude doit être un peu en dessous de la moitié de $3000$ , soit moins de $1500$ m. Le résultat est cohérent, et la figure le confirme.

e)

La pente réelle vaut $7{,}5\,\%$ en valeur absolue, ce qui dépasse la limite de $5{,}2\,\%$ : l'approche n'est PAS conforme, elle est trop raide. Pour respecter la norme, il faut étaler les mêmes $3000$ m de descente sur une plus grande distance : $\dfrac{3000}{0{,}052}\approx 57\,692$ m, soit environ $57{,}7$ km. L'avion devrait donc commencer sa descente près de $18$ km plus tôt. Notez le sens du calcul : la hauteur à perdre est FIXE, c'est la distance horizontale qui s'ajuste, donc l'inconnue est au dénominateur et l'on divise. Multiplier donnerait $156$ m, une distance plus courte que l'approche actuelle, ce qui rendrait la pente encore plus raide : le contrôle de bon sens tranche immédiatement.

Exercice 10 : Problème : le terrain et son poteau

Un terrain rectangulaire a pour sommets $A(0\,;0)$ , $B(60\,;0)$ , $C(60\,;40)$ et $D(0\,;40)$ , les coordonnées étant en mètres.

Une allée diagonale relie $A$ à $C$ . On veut y planter un poteau d'éclairage au point $P$ qui partage $[AC]$ dans le rapport $AP:PC=2:3$ .

a) Calculez la longueur de l'allée $AC$ , au centième de mètre.
b) Déterminez les coordonnées du poteau $P$ .
c) Calculez la distance $AP$ et vérifiez qu'elle vaut bien les deux cinquièmes de $AC$ .
d) Le poteau est-il plus près de $A$ ou de $C$ ? De combien de mètres ?
e) Écrivez l'équation de l'allée $AC$ et vérifiez que le poteau s'y trouve.

Voir la correction

Réponses

a) $AC\approx 72{,}11$ m
b) $P(24\,;16)$
c) $AP\approx 28{,}84$ m, soit les deux cinquièmes de $AC$
d) Plus près de $A$ , de $14{,}42$ m
e) $y=\dfrac{2}{3}x$ , et $\dfrac{2}{3}\times 24=16$ : le poteau est bien sur l'allée

a)

Différences : $60-0=60$ et $40-0=40$ . $AC=\sqrt{60^{2}+40^{2}}=\sqrt{3600+1600}=\sqrt{5200}\approx 72{,}11$ m. Contrôle : la diagonale doit dépasser le plus grand côté, $60$ m, et rester sous leur somme, $100$ m. C'est le cas.

b)

Le rapport $2:3$ fait cinq parts, donc $P$ est aux $\dfrac{2}{5}$ du trajet depuis $A$ . $P\left(0+\dfrac{2}{5}\times 60\,;0+\dfrac{2}{5}\times 40\right)=P(24\,;16)$ . Les coordonnées de $A$ étant nulles, le calcul se réduit ici à prendre les deux cinquièmes des différences, ce qui est le cas le plus simple : on ne l'oubliera pas quand le premier point ne sera pas l'origine.

c)

$AP=\sqrt{24^{2}+16^{2}}=\sqrt{576+256}=\sqrt{832}\approx 28{,}84$ m. Et $\dfrac{2}{5}\times 72{,}11=28{,}84$ m : les deux valeurs coïncident. Cette vérification confirme d'un coup le rapport employé et les coordonnées trouvées.

d)

Le poteau est plus près de $A$ : il en est à $28{,}84$ m, tandis que la distance restante jusqu'à $C$ vaut $72{,}11-28{,}84=43{,}27$ m. L'écart est de $43{,}27-28{,}84=14{,}43$ m. C'était prévisible sans aucun calcul : deux cinquièmes sont inférieurs à la moitié, donc le point est dans la première moitié du segment.

e)

L'allée passe par l'origine, donc son ordonnée à l'origine est nulle et son équation est de la forme $y=mx$ . La pente vaut $m=\dfrac{40-0}{60-0}=\dfrac{2}{3}$ , donc l'équation est $y=\dfrac{2}{3}x$ . Vérification pour le poteau : $\dfrac{2}{3}\times 24=16$ , ce qui est bien l'ordonnée de $P$ . Le poteau est donc sur l'allée. Remarquez que cette vérification est INDÉPENDANTE de la formule du point de partage : elle contrôle le résultat par un autre chemin, ce qui en fait une vraie vérification et non une simple répétition du calcul.

Exercices corrigés : la géométrie analytique (math CST, secondaire 4)

Rappel de cours

Calculs : les distances, milieux et points de partage

Exercice 0.1 : Calculer une distance, un milieu et un point de partage : dix calculs directs

Calculs : les pentes et les équations de droites

Exercice 0.2 : Calculer une pente et écrire l'équation d'une droite : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : La distance entre deux points

Exercice 2 : Le point de partage

Exercice 3 : Calculer une pente, et l'interpréter

Exercice 4 : Écrire l'équation d'une droite à partir d'une situation

Exercice 5 : Droites parallèles et droites perpendiculaires

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Problème : le plan du quartier

Exercice 7 : Problème : les bornes du sentier

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : l'approche de l'avion

Exercice 10 : Problème : le terrain et son poteau

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