Exercices corrigés : relations métriques et trigonométrie (math CST, secondaire 4)

a) PYTHAGORE. C'est le seul outil qui relie trois longueurs sans faire intervenir d'angle, et l'on a ici deux longueurs pour en chercher une troisième. La relation s'écrit $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, où $a$ est l'hypoténuse, toujours le plus grand côté et toujours celui qui est en face de l'angle droit.

b) UN RAPPORT TRIGONOMÉTRIQUE. Dès qu'un angle apparaît dans les données ou dans la question, Pythagore ne suffit plus. On choisit le rapport selon la position de la cathète cherchée : le SINUS si elle est opposée à l'angle connu, le COSINUS si elle lui est adjacente. Dans les deux cas, l'hypoténuse est au dénominateur.

c) UNE RELATION MÉTRIQUE, précisément $h^{2}=m\times n$, où $m$ et $n$ sont les deux projections. C'est la seule relation qui relie la hauteur aux deux morceaux de l'hypoténuse. On pourrait aussi y arriver par Pythagore, mais il faudrait connaître une cathète, et l'énoncé ne la donne pas : c'est bien la présence de la HAUTEUR qui désigne l'outil.

d) UN RAPPORT TRIGONOMÉTRIQUE, la TANGENTE, puisqu'on connaît les deux cathètes et que la tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent. On obtient d'abord la valeur du rapport, puis l'angle lui-même avec la fonction réciproque de la calculatrice. Pythagore donnerait l'hypoténuse, ce qui ne répond pas à la question posée.

e) Il va constater qu'il lui manque une longueur. Pythagore relie trois LONGUEURS : avec un angle et un seul côté, il n'a qu'une longueur connue, donc deux inconnues pour une seule équation. La relation ne se résout pas. C'est le diagnostic le plus utile du chapitre, et il se fait avant tout calcul : on compte les longueurs connues. Deux longueurs ouvrent Pythagore ; une seule longueur plus un angle ouvre la trigonométrie ; et si l'on ne connaît qu'un angle, aucune longueur ne se calcule, puisque tous les triangles de mêmes angles ont la même forme mais pas la même taille.

a) L'hypoténuse est la somme de ses deux morceaux : $BC=BH+HC=9+16=25$ cm. Aucune relation n'est nécessaire ici, et c'est la première chose à écrire, parce que la valeur de $a$ sert dans les deux relations suivantes.

b) On applique $h^{2}=m\times n$ avec les deux projections : $AH^{2}=9\times 16=144$, donc $AH=\sqrt{144}=12$ cm. Le résultat est exact, sans arrondi, ce qui arrive souvent dans les exercices de ce chapitre : les nombres sont choisis pour que les racines tombent juste, et un résultat décimal interminable est donc souvent le signe d'une erreur de relation.

c) Chaque cathète se relie à SA projection, celle qui la touche. La cathète $AB$ touche la projection $BH=9$, donc $AB^{2}=9\times 25=225$ et $AB=15$ cm. La cathète $AC$ touche la projection $HC=16$, donc $AC^{2}=16\times 25=400$ et $AC=20$ cm. L'erreur classique est de croiser les projections : elle donnerait $AB^{2}=16\times 25$, donc $20$ cm pour la cathète la plus courte, ce qu'un regard sur la figure suffit à écarter.

d) Première vérification, par le théorème de Pythagore dans le grand triangle : $15^{2}+20^{2}=225+400=625$ et $25^{2}=625$, les deux membres coïncident. Deuxième vérification, par l'AIRE, calculée de deux façons. Avec les deux cathètes : $\dfrac{15\times 20}{2}=150$ cm$^{2}$. Avec l'hypoténuse et la hauteur : $\dfrac{25\times 12}{2}=150$ cm$^{2}$. Les deux donnent $150$, ce qui confirme du même coup la hauteur et les deux cathètes. Cette double vérification prend trente secondes et elle contrôle TOUS les résultats de l'exercice, ce qu'aucune relecture ne fait aussi bien.

a) La cathète OPPOSÉE à l'angle de $41^\circ$ s'obtient par le sinus : $\sin 41^\circ=\dfrac{\text{opposé}}{26}$, donc opposé $=26\times\sin 41^\circ\approx 17{,}06$ cm. La cathète ADJACENTE s'obtient par le cosinus : adjacent $=26\times\cos 41^\circ\approx 19{,}62$ cm. Contrôle immédiat : les deux cathètes doivent être plus courtes que l'hypoténuse, et l'angle valant moins de $45^\circ$, la cathète opposée doit être la plus courte des deux. Les deux conditions sont respectées.

b) On connaît les deux cathètes, donc on utilise la tangente : $\tan\theta=\dfrac{9}{12}=0{,}75$. Avec la fonction réciproque de la calculatrice, $\theta\approx 36{,}87^\circ$. L'hypoténuse s'obtient ensuite par Pythagore, plus sûr qu'un rapport parce qu'il n'utilise aucune valeur arrondie : $\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.

c) On connaît l'adjacent et l'hypoténuse, donc c'est le cosinus : $\cos\theta=\dfrac{14}{22}\approx 0{,}6364$, d'où $\theta\approx 50{,}48^\circ$. Contrôle : le cosinus vaut un peu moins que $0{,}707$, la valeur associée à $45^\circ$, donc l'angle doit dépasser $45^\circ$. C'est bien le cas.

d) Première façon, par la somme des angles : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, donc l'autre angle vaut $90-36{,}87=53{,}13^\circ$. Deuxième façon, par la tangente vue depuis l'autre sommet : les rôles des deux cathètes s'ÉCHANGENT, donc $\tan\theta'=\dfrac{12}{9}\approx 1{,}333$, d'où $\theta'\approx 53{,}13^\circ$. Les deux méthodes concordent. Retenez le mécanisme, il est la source du piège de l'exercice suivant : un côté n'est ni opposé ni adjacent en soi, il l'est PAR RAPPORT à un angle précis.

a) Pour l'angle $\alpha$, le côté opposé mesure $5$ et le côté adjacent $12$. Donc $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$ et $\tan\alpha=\dfrac{5}{12}$. Avec la fonction réciproque de la tangente, $\alpha\approx 22{,}62^\circ$. Les trois rapports donnent évidemment le même angle : on choisit celui dont les deux longueurs sont exactes, ici n'importe lequel puisque les trois côtés sont connus.

b) Pour l'angle $\beta$, tout s'échange : le côté opposé mesure $12$ et l'adjacent $5$. Donc $\sin\beta=\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac{5}{13}$ et $\tan\beta=\dfrac{12}{5}$. D'où $\beta\approx 67{,}38^\circ$. L'hypoténuse, elle, ne change pas de rôle : elle est l'hypoténuse pour les deux angles, et c'est le seul côté dont le nom ne dépend pas du point de vue.

c) $22{,}62+67{,}38=90{,}00^\circ$, ce qui correspond. C'est une propriété générale : la somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$, et l'angle droit en consomme $90$, donc les deux angles aigus se partagent les $90$ restants. On dit qu'ils sont COMPLÉMENTAIRES, et cela fournit une vérification gratuite à chaque fois qu'on calcule les deux.

d) $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$ et $\cos\beta=\dfrac{5}{13}$ : ils sont ÉGAUX. La raison se lit sur le triangle : le côté de $5$ est opposé à $\alpha$ et adjacent à $\beta$, et l'hypoténuse est la même pour les deux. Le même quotient porte donc deux noms. La règle générale s'écrit $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$, et c'est d'ailleurs ce qui explique le CO de cosinus : le cosinus d'un angle est le sinus de son COmplémentaire.

e) Il aurait pris le quotient de $\beta$ en croyant calculer $\alpha$ : sa calculatrice donnerait $\arctan\dfrac{12}{5}\approx 67{,}38^\circ$. L'écart avec la vraie valeur, $22{,}62^\circ$, est de $44{,}76^\circ$, c'est-à-dire presque un demi-droit. Le contrôle qui l'attrape est visuel et prend une seconde : $\alpha$ est opposé au PETIT côté, donc c'est le PLUS PETIT des deux angles aigus, donc il doit être inférieur à $45^\circ$. Une réponse de $67^\circ$ est éliminée avant même d'être écrite.

a) $\theta=\sin^{-1}(0{,}8)\approx 53{,}13^\circ$. Contrôle : $0{,}8$ dépasse $0{,}707$, la valeur du sinus de $45^\circ$, donc l'angle doit dépasser $45^\circ$. C'est le cas.

b) $\theta=\cos^{-1}(0{,}35)\approx 69{,}51^\circ$. Attention au sens de variation du cosinus : il DIMINUE quand l'angle augmente. Un cosinus de $0{,}35$, nettement inférieur à $0{,}707$, correspond donc à un angle nettement supérieur à $45^\circ$, ce qui est bien le cas.

c) $\theta=\tan^{-1}(2{,}4)\approx 67{,}38^\circ$. La tangente, elle, n'a pas de maximum : elle peut valoir n'importe quel nombre positif, et une valeur supérieure à $1$ signale simplement un angle supérieur à $45^\circ$.

d) Il a calculé le SINUS d'un angle de $0{,}8$ degré, ce qui vaut environ $0{,}0140$. C'est un calcul parfaitement correct, mais ce n'est pas celui que la question demandait : il est parti d'un angle pour obtenir un rapport, alors qu'il fallait partir d'un rapport pour obtenir un angle. Le signal d'alarme est la taille du résultat : un angle de $0{,}0140$ degré n'existe dans aucun triangle d'exercice, et un rapport ne s'exprime jamais en degrés.

e) Non, c'est impossible. Le sinus est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse, et l'hypoténuse est toujours le PLUS GRAND côté d'un triangle rectangle. Le numérateur est donc plus petit que le dénominateur, et le quotient reste strictement compris entre $0$ et $1$. Il en va de même pour le cosinus. La tangente, en revanche, n'a pas cette limite, puisqu'elle compare deux cathètes, dont l'une peut être bien plus grande que l'autre. Si votre calcul donne un sinus supérieur à $1$, il y a une erreur de données ou de rapport, et la calculatrice le confirmera en refusant de calculer la réciproque.

a) Dans le triangle rectangle formé par un demi-toit, la cathète horizontale vaut $\dfrac{7{,}2}{2}=3{,}6$ m et la cathète verticale $1{,}8$ m. On connaît les deux cathètes et on cherche un angle, donc c'est la TANGENTE : $\tan\theta=\dfrac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5$, d'où $\theta\approx 26{,}57^\circ$. Contrôle : la hauteur vaut la moitié de la base, donc l'angle doit être nettement inférieur à $45^\circ$, ce qui est le cas.

b) Le versant est l'hypoténuse de ce triangle. On connaît les deux cathètes, donc PYTHAGORE : $\sqrt{3{,}6^{2}+1{,}8^{2}}=\sqrt{12{,}96+3{,}24}=\sqrt{16{,}2}\approx 4{,}02$ m. On préfère Pythagore au rapport trigonométrique parce qu'il n'utilise aucune valeur arrondie : passer par $\dfrac{3{,}6}{\cos 26{,}57^\circ}$ donnerait le même résultat, mais en traînant l'arrondi de la question a).

c) La pente en pourcentage est le quotient de la montée par l'avancée, exprimé en centièmes : $\dfrac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5$, soit $50\,\%$. Remarquez que c'est exactement la tangente de l'angle, écrite autrement. Une pente de $50\,\%$ ne signifie donc PAS un angle de $45^\circ$ : les $45^\circ$ correspondent à une pente de $100\,\%$, puisque la montée y égale l'avancée. C'est la confusion la plus répandue sur les panneaux routiers.

d) Non, l'installation n'est pas conforme : $26{,}57^\circ$ est inférieur aux $30^\circ$ exigés. L'écart est de près de trois degrés et demi, ce qui n'est pas négligeable pour l'écoulement de la neige, raison d'être de ce genre de norme au Québec.

e) On garde la demi-largeur de $3{,}6$ m et on cherche la hauteur qui donnerait $30^\circ$ : $\tan 30^\circ=\dfrac{h}{3{,}6}$, donc $h=3{,}6\times\tan 30^\circ\approx 2{,}08$ m. Il faudrait donc rehausser le faîte de $2{,}08-1{,}80=0{,}28$ m, soit environ $28$ centimètres. Notez que la largeur du garage ne change pas : c'est ce qui permet d'isoler $h$ directement. Si l'énoncé avait imposé la longueur du versant au lieu de la demi-largeur, c'est le sinus qu'il aurait fallu employer, et le résultat aurait été différent.

a) Le poteau, le sol et le câble forment un triangle rectangle dont les cathètes mesurent $9$ m et $4$ m. On connaît deux longueurs et on en cherche une troisième : c'est PYTHAGORE. $\sqrt{9^{2}+4^{2}}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}\approx 9{,}85$ m. Contrôle : le câble doit être plus long que le poteau, et il l'est de peu, ce qui est cohérent avec un ancrage assez proche du pied.

b) On connaît les deux cathètes et l'on cherche l'angle au sol, dont le côté opposé est le poteau et le côté adjacent la distance au sol : c'est la TANGENTE. $\tan\theta=\dfrac{9}{4}=2{,}25$, d'où $\theta\approx 66{,}04^\circ$. La tangente dépasse $1$, donc l'angle dépasse $45^\circ$ : cohérent.

c) Non. L'angle vaut environ $66{,}04^\circ$, ce qui dépasse la limite supérieure de $60^\circ$ : le câble est trop redressé, donc trop proche du poteau, et il retient mal. L'installation n'est pas conforme, et il faut éloigner le point d'ancrage.

d) On garde la hauteur de $9$ m et l'on cherche la distance $d$ qui donnerait $60^\circ$ : $\tan 60^\circ=\dfrac{9}{d}$, donc $d=\dfrac{9}{\tan 60^\circ}\approx 5{,}20$ m. Il faut donc reculer l'ancrage d'environ $1{,}20$ m. Attention à la position de l'inconnue : elle est ici au DÉNOMINATEUR, ce qui oblige à diviser $9$ par la tangente et non à multiplier.

e) Avec le même poteau, la longueur du câble s'obtient par le SINUS, puisque le poteau est opposé à l'angle de $60^\circ$ et que le câble est l'hypoténuse : $\sin 60^\circ=\dfrac{9}{L}$, donc $L=\dfrac{9}{\sin 60^\circ}\approx 10{,}39$ m. Il faut donc environ $10{,}39-9{,}85=0{,}54$ m de câble en plus, soit à peine plus d'un demi-mètre. On pouvait aussi passer par Pythagore avec la nouvelle distance, $\sqrt{9^{2}+5{,}20^{2}}\approx 10{,}39$ m, ce qui confirme le résultat : quand deux chemins mènent au même nombre, la réponse est sûre.

1) FAUX. La hauteur vaut $\sqrt{m\times n}$, où $m$ et $n$ sont les deux projections, et l'hypoténuse vaut $m+n$. Avec $m=4$ et $n=9$ : la hauteur vaut $\sqrt{36}=6$ tandis que la moitié de l'hypoténuse vaut $\dfrac{13}{2}=6{,}5$. Énoncé correct : la hauteur est la racine du PRODUIT des projections, et elle n'égale la moitié de l'hypoténuse que si les deux projections sont égales, c'est-à-dire dans un triangle rectangle isocèle.

2) FAUX, c'est l'inverse. $\tan\theta=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$. Avec un côté opposé de $5$ et un adjacent de $12$, la vraie tangente vaut $\dfrac{5}{12}$, soit un angle d'environ $22{,}62^\circ$, alors que le quotient inversé donnerait $67{,}38^\circ$, presque quarante-cinq degrés de trop. Énoncé correct : dans le moyen mnémotechnique, la tangente prend l'opposé EN PREMIER.

3) FAUX. Taper $\sin(0{,}8)$ calcule le sinus d'un angle de $0{,}8$ degré, qui vaut environ $0{,}0140$ : on part d'un angle pour obtenir un rapport, alors qu'il faut faire l'inverse. Énoncé correct : on utilise la fonction RÉCIPROQUE, notée $\sin^{-1}$ ou arcsin, qui donne ici environ $53{,}13^\circ$.

4) FAUX. Pythagore ne relie que des LONGUEURS : aucun angle n'y figure. Avec un angle et un seul côté, il resterait deux longueurs inconnues pour une seule relation. Énoncé correct : dès qu'un angle est en jeu, on emploie un rapport trigonométrique, et l'on choisit celui qui contient les deux longueurs de la question.

5) FAUX. La pente en pourcentage est la TANGENTE de l'angle, exprimée en centièmes. Une pente de $50\,\%$ correspond donc à $\tan\theta=0{,}5$, soit environ $26{,}57^\circ$. Énoncé correct : c'est une pente de $100\,\%$ qui correspond à $45^\circ$, puisque la montée y égale l'avancée. La confusion est fréquente sur les panneaux routiers, où une pente annoncée à $12\,\%$ ne fait qu'environ $6{,}84^\circ$.

a) Le triangle est rectangle en $A$, et l'on connaît les deux cathètes : c'est PYTHAGORE. $PB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ km. C'est le triangle $3$, $4$, $5$ multiplié par trois, ce qui explique le résultat entier. Contrôle : la ligne droite doit être plus courte que les deux côtés réunis, $21$ km, et plus longue que chacun d'eux. C'est bien le cas.

b) On connaît les deux cathètes et l'on cherche l'angle en $P$, dont le côté opposé est le trajet nord et le côté adjacent le trajet est : c'est la TANGENTE. $\tan\theta=\dfrac{9}{12}=0{,}75$, donc $\theta\approx 36{,}87^\circ$. Le cap du retour se dit donc « $36{,}87^\circ$ au nord de l'est », ou, vu depuis $B$, le même angle au sud de l'ouest.

c) Le trajet réel a mesuré $12+9=21$ km, et le retour direct mesure $15$ km. L'économie est donc de $21-15=6$ km, soit un peu moins du tiers du trajet aller. C'est considérable, et c'est la raison pour laquelle on ne navigue jamais en deux caps perpendiculaires quand rien n'y oblige.

d) La distance directe serait EXACTEMENT la même, $15$ km : Pythagore additionne les carrés des deux cathètes, et l'addition ne dépend pas de l'ordre. L'angle, lui, CHANGERAIT : le côté opposé mesurerait alors $12$ et l'adjacent $9$, donc $\tan\theta=\dfrac{12}{9}\approx 1{,}333$ et $\theta\approx 53{,}13^\circ$. C'est le complémentaire du premier, $36{,}87+53{,}13=90$, ce qui est logique : on a simplement échangé les deux directions, donc les deux angles aigus du triangle.

e) Le temps se calcule en divisant la distance par la vitesse. Le trajet aller aurait pris $\dfrac{21}{6}=3{,}5$ h, le retour direct prend $\dfrac{15}{6}=2{,}5$ h. Le gain est donc de $1$ heure. On pouvait aussi diviser directement l'économie par la vitesse, $\dfrac{6}{6}=1$ h, ce qui est plus rapide et donne évidemment le même résultat. Choisir le chemin court est presque toujours l'occasion de vérifier deux fois en une : une division simple confirme une soustraction.

a) Le triangle est rectangle en $A$ et l'on connaît les deux cathètes : PYTHAGORE. $BC=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=\sqrt{3600+6400}=\sqrt{10\,000}=100$ m. C'est encore le triangle $3$, $4$, $5$, multiplié cette fois par vingt.

b) Le sentier est la HAUTEUR issue de l'angle droit, donc on est dans les relations métriques. Celle qui relie la hauteur aux deux cathètes et à l'hypoténuse s'obtient par l'aire : $AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}=\dfrac{60\times 80}{100}=48$ m. On pourrait aussi passer par $h^{2}=m\times n$, mais il faudrait d'abord calculer les deux projections : le chemin par le produit des cathètes est plus court ici, et c'est celui qu'on choisit quand ce sont les cathètes qui sont données.

c) Chaque projection se relie à SA cathète : $BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{3600}{100}=36$ m et $HC=\dfrac{AC^{2}}{BC}=\dfrac{6400}{100}=64$ m. Vérification : $36+64=100$ m, ce qui redonne bien la clôture entière. Cette addition est le contrôle le plus rapide des relations métriques, et elle attrape immédiatement une inversion des deux projections.

d) Première façon, avec les deux cathètes, qui sont perpendiculaires entre elles : $\dfrac{60\times 80}{2}=2400$ m$^{2}$. Deuxième façon, avec l'hypoténuse et la hauteur correspondante : $\dfrac{100\times 48}{2}=2400$ m$^{2}$. Les deux coïncident, ce qui confirme du même coup la longueur du sentier trouvée en b). Notez que c'est exactement cette égalité des deux aires qui JUSTIFIE la formule employée en b) : on ne l'a pas apprise par coeur, on l'a redémontrée en une ligne.

e) Au sommet $B$, le côté opposé est $AC=80$ m et l'hypoténuse est $BC=100$ m : on peut donc employer le SINUS. $\sin B=\dfrac{80}{100}=0{,}8$, d'où $B\approx 53{,}13^\circ$. On pouvait aussi employer la tangente, $\tan B=\dfrac{80}{60}\approx 1{,}333$, qui donne le même angle. Les deux chemins sont valables, et l'on choisit celui dont les longueurs sont données exactement plutôt que calculées, pour ne traîner aucun arrondi : ici les deux le sont, donc le choix est libre.