Math CST, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : relations métriques et trigonométrie (math CST, secondaire 4)

Q: Comment savoir s'il faut Pythagore ou la trigonométrie ?

On compte les longueurs connues et on cherche un angle dans l'énoncé. Le théorème de Pythagore ne relie que des longueurs : il faut donc en connaître deux pour trouver la troisième, et aucun angle n'y entre. Dès qu'un angle est donné ou cherché, il faut un rapport trigonométrique. Avec un angle et une seule longueur, Pythagore ne se résout pas : il resterait deux inconnues.

Q: Quelles sont les relations métriques dans le triangle rectangle ?

Quand la hauteur issue de l'angle droit coupe l'hypoténuse en deux morceaux appelés projections, trois relations apparaissent. La hauteur au carré vaut le produit des deux projections. Chaque cathète au carré vaut le produit de SA projection par l'hypoténuse entière. Deux contrôles valident tout : la somme des projections redonne l'hypoténuse, et l'aire se calcule de deux façons.

Q: Comment savoir quel côté est opposé et lequel est adjacent ?

Cela dépend entièrement de l'angle qu'on regarde. Le côté opposé est celui qui ne touche pas l'angle, le côté adjacent est celui qui le touche sans être l'hypoténuse. Vu depuis l'autre angle aigu, les deux cathètes échangent leurs rôles. Seule l'hypoténuse garde son nom, quel que soit le point de vue : c'est toujours le côté opposé à l'angle droit.

Q: Comment trouver un angle à partir d'un rapport ?

On utilise la fonction réciproque de la calculatrice, notée sinus moins un, cosinus moins un ou tangente moins un, et la calculatrice doit être en mode degrés. Attention à ne pas taper simplement le sinus de la valeur : cela calcule le sinus d'un angle exprimé en degrés, donc l'inverse de ce qu'on cherche. Un résultat entre 0 et 1,6 signale en général un mode radians oublié.

Q: Une pente de 50 pour cent correspond-elle à 45 degrés ?

Non. La pente exprimée en pourcentage est la tangente de l'angle, écrite en centièmes : une pente de 50 pour cent signifie que la montée vaut la moitié de l'avancée, ce qui donne un angle d'environ 26,57 degrés. C'est une pente de 100 pour cent qui correspond à 45 degrés, puisque la montée y égale l'avancée. Une route annoncée à 12 pour cent ne fait qu'environ 6,84 degrés.

Q: Le sinus d'un angle peut-il dépasser 1 ?

Non, jamais, dans un triangle rectangle. Le sinus est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse, or l'hypoténuse est toujours le plus grand côté : le numérateur est donc plus petit que le dénominateur. Le sinus et le cosinus restent ainsi strictement entre 0 et 1. La tangente, elle, compare deux cathètes et peut prendre n'importe quelle valeur positive.

En séquence CST, le triangle rectangle sert à trouver une mesure qu'on ne peut pas atteindre : la pente d'un toit, la longueur d'un hauban, la largeur d'un terrain. Le calcul tient en une ligne ; toute la difficulté est de choisir le bon outil et de repérer quel côté est opposé à quoi.

Gardez le diagnostic en trois secondes : comptez les LONGUEURS connues et cherchez un ANGLE dans l'énoncé. Deux longueurs sans angle, c'est Pythagore. Une hauteur tracée sur l'hypoténuse, c'est une relation métrique. Un angle, donné ou cherché, c'est un rapport trigonométrique.

Le fil du chapitre

Trois outils, et c'est ce qu'on POSSÈDE qui désigne lequel : deux longueurs appellent Pythagore, une hauteur tracée sur l'hypoténuse appelle une relation métrique, et un angle appelle un rapport trigonométrique.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Aire et volume des solidesSecondaire 3
5Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3
6Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
7La similitude et l'isométrie des triangles

Notions couvertes

Théorème de Pythagore
Relations métriques du triangle rectangle
Hauteur issue de l'angle droit
Projections sur l'hypoténuse
Sinus, cosinus et tangente
Côté opposé et côté adjacent
Fonction trigonométrique réciproque
Angles complémentaires
Pente en pourcentage

L'essentiel

Les trois relations métriques, et le contrôle qui les valide

• Quand la hauteur $h$ issue de l'angle droit découpe l'hypoténuse $a$ en deux projections $m$ et $n$ : $h^{2}=m\times n$ pour la hauteur, $c^{2}=m\times a$ et $b^{2}=n\times a$ pour les cathètes.
• Chaque cathète se relie à SA projection, celle qu'elle touche. Croiser les deux est l'erreur la plus fréquente, et la figure suffit à l'écarter : la cathète la plus courte touche la projection la plus courte.
• Quand ce sont les deux CATHÈTES qui sont données, la hauteur s'obtient plus vite par l'aire : $h=\dfrac{b\times c}{a}$ .
• Deux contrôles gratuits : les projections doivent redonner l'hypoténuse, $m+n=a$ , et l'aire doit valoir la même chose calculée par les cathètes et par l'hypoténuse.

Le triangle complet :

m=9

n=16

donnent

a=25

h=\sqrt{9\times 16}=12

c=\sqrt{9\times 25}=15

b=\sqrt{16\times 25}=20

Les nombres de ce chapitre sont choisis pour que les racines tombent juste. Un résultat décimal interminable signale donc souvent une relation mal appliquée.

Opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi

• $\sin=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ , $\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\tan=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ . On choisit le rapport qui contient les DEUX longueurs en jeu, la connue et la cherchée.
• Un côté n'est ni opposé ni adjacent en soi. Vu de l'autre angle aigu, les deux cathètes ÉCHANGENT leurs rôles ; seule l'hypoténuse garde son nom.
• Conséquence directe : $\sin\alpha=\cos\beta$ quand $\alpha$ et $\beta$ sont les deux angles aigus, puisque le même côté est opposé à l'un et adjacent à l'autre.
• Les deux angles aigus sont COMPLÉMENTAIRES : leur somme vaut $90^\circ$ . Dès qu'on en calcule deux, on a une vérification gratuite.

Le côté de

12

est adjacent à

\alpha

et opposé à

\beta

: c'est l'angle regardé, et lui seul, qui donne son nom à chaque cathète.

Contrôle visuel qui coûte une seconde : l'angle opposé au PLUS PETIT côté est le plus petit des deux angles aigus, donc inférieur à $45^\circ$ .

Trouver un angle : la fonction réciproque

• Pour passer d'un rapport à un angle, on utilise $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ , aussi notées arcsin, arccos et arctan. La calculatrice doit être en mode DEGRÉS.
• Taper $\sin(0{,}8)$ ne donne pas l'angle : cela calcule le sinus d'un angle de $0{,}8$ degré, soit environ $0{,}0140$ . Le sens du calcul est inversé.
• Le sinus et le cosinus restent entre $0$ et $1$ , l'hypoténuse étant le plus grand côté. Une valeur supérieure à $1$ signale une erreur, et la calculatrice refuse la réciproque.
• La tangente, elle, n'a pas de limite : une valeur supérieure à $1$ signale simplement un angle supérieur à $45^\circ$ .

Repères utiles pour vérifier un ordre de grandeur : $\sin 45^\circ\approx 0{,}707$ , $\cos 45^\circ\approx 0{,}707$ et $\tan 45^\circ=1$ .

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Quel outil, selon ce qu'on connaît ?

La colonne de gauche décrit les données, celle du milieu l'outil, celle de droite ce qu'on obtient. Une ligne ne mène nulle part.

Ce qu'on connaît	Outil	Ce qu'on obtient
deux côtés, aucun angle	Pythagore	le troisième côté
Exemple : $9$ m et $4$ m donnent $\sqrt{97}\approx 9{,}85$ m.
les deux projections	$h^{2}=m\times n$	la hauteur
Exemple : $m=9$ et $n=16$ donnent $h=\sqrt{144}=12$ .
une projection et l'hypoténuse	$c^{2}=m\times a$	une cathète
Exemple : $m=9$ et $a=25$ donnent $c=\sqrt{225}=15$ .
un angle et une longueur	sinus, cosinus ou tangente	une autre longueur
Exemple : $26$ cm et $41^\circ$ donnent $26\times\sin 41^\circ\approx 17{,}06$ cm.
deux longueurs, angle cherché	la fonction réciproque	l'angle
Exemple : $\tan^{-1}\left(\dfrac{9}{12}\right)\approx 36{,}87^\circ$ .
un angle seul, aucune longueur	aucun	rien indeterminé
Exemple : Un triangle de $30^\circ$ peut avoir une hypoténuse de $2$ cm ou de $200$ m. Même forme, autre résultat : Avec une seule longueur en plus, tout se calcule : hypoténuse $26$ et angle $41^\circ$ donnent les deux cathètes. Ce qu'il faut faire : Écrire « il manque une longueur » et le dire : c'est une réponse, pas un aveu d'échec.

Les angles donnent la FORME, les longueurs donnent la TAILLE : il faut au moins une longueur pour que le triangle soit déterminé.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir l'outil

la question entière, avec un blocage d'une minute au milieu de l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On connaît un angle de $41^\circ$ et l'hypoténuse de $26$ cm, donc Pythagore. »

Ce qu'il faut écrire

« Un angle est donné, donc un rapport trigonométrique : la cathète opposée vaut $26\times\sin 41^\circ\approx 17{,}06$ cm. »

Pourquoi : Pythagore ne relie que des LONGUEURS : avec une seule longueur connue, il reste deux inconnues pour une seule relation. Le diagnostic se fait avant tout calcul, en comptant les longueurs connues.

2. Croiser les deux projections

2 à 3 points, et les deux cathètes sont alors échangées

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $BH=9$ et $HC=16$ , donc $AB^{2}=16\times 25$ et $AB=20$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« $AB$ touche la projection $BH=9$ , donc $AB^{2}=9\times 25=225$ et $AB=15$ cm. »

Pourquoi : Chaque cathète se relie à la projection qu'elle TOUCHE. La figure suffit à trancher : la cathète la plus courte est du côté de la projection la plus courte.

3. Écrire la tangente

la question entière, avec un angle faux de près de $45^\circ$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le côté opposé mesure $5$ et l'adjacent $12$ , donc $\tan\alpha=\dfrac{12}{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\tan\alpha=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\dfrac{5}{12}$ , donc $\alpha\approx 22{,}62^\circ$ . »

Pourquoi : Le quotient inversé donne $67{,}38^\circ$ au lieu de $22{,}62^\circ$ . Le contrôle visuel l'attrape : $\alpha$ est opposé au petit côté, donc il est inférieur à $45^\circ$ .

4. Passer d'un rapport à un angle

la question, et le résultat n'a aucune unité crédible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin\theta=0{,}8$ , donc $\theta=\sin(0{,}8)=0{,}0140$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\theta=\sin^{-1}(0{,}8)\approx 53{,}13^\circ$ . »

Pourquoi : Le sinus part d'un angle et donne un rapport ; la réciproque fait l'inverse. Un angle de $0{,}0140$ degré n'existe dans aucun exercice, ce qui rend l'erreur repérable au premier coup d'oeil.

5. Oublier le mode de la calculatrice

toutes les questions d'angle de la copie, d'un seul coup

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tan^{-1}(0{,}5)=0{,}4636$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En mode degrés, $\tan^{-1}(0{,}5)\approx 26{,}57^\circ$ . »

Pourquoi : La calculatrice était en RADIANS, et $0{,}4636$ est la mesure du même angle dans cette unité. Le signal est constant : un angle entre $0$ et $1{,}6$ sur une copie de secondaire est presque toujours un radian égaré.

6. Lire la hauteur d'un triangle rectangle

2 points, et le résultat est presque juste, donc jamais relu

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La hauteur issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle vaut $\sqrt{m\times n}$ : avec $m=4$ et $n=9$ , elle vaut $6$ , alors que la moitié de l'hypoténuse vaut $6{,}5$ . »

Pourquoi : L'égalité n'a lieu que si les deux projections sont ÉGALES, c'est-à-dire dans un triangle rectangle isocèle. Ailleurs, la moyenne géométrique $\sqrt{mn}$ est toujours inférieure à la moyenne arithmétique $\dfrac{m+n}{2}$ .

7. Traduire une pente en degrés

2 à 3 points sur toute question de toit, de rampe ou de route

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une pente de $50\,\%$ , c'est la moitié de l'angle droit, donc $45^\circ$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La pente EST la tangente : $\tan\theta=0{,}5$ donne $\theta\approx 26{,}57^\circ$ . »

Une montée de

1{,}8

m sur une avancée de

3{,}6

m : la pente vaut

50\,\%

et l'angle

26{,}57^\circ

. Il faudrait

3{,}6

m de haut pour

45^\circ

Pourquoi : C'est une pente de $100\,\%$ qui vaut $45^\circ$ , la montée y égalant l'avancée. Une pente routière annoncée à $12\,\%$ ne fait d'ailleurs qu'environ $6{,}84^\circ$ .

8. Isoler une inconnue placée au dénominateur

la question entière, avec un résultat trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tan 60^\circ=\dfrac{9}{d}$ , donc $d=9\times\tan 60^\circ\approx 15{,}59$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« $d=\dfrac{9}{\tan 60^\circ}\approx 5{,}20$ m. »

Pourquoi : Quand l'inconnue est au dénominateur, on divise ; quand elle est au numérateur, on multiplie. Le contrôle de bon sens tranche : un angle de $60^\circ$ est raide, donc l'ancrage doit être PRÈS du pied, pas loin.

Quelle méthode choisir

Quel outil pour cette mesure manquante ?

On compte les LONGUEURS connues et l'on cherche un ANGLE dans l'énoncé ou dans la question. Le diagnostic se fait avant tout calcul.

Si Deux longueurs connues et aucun angle en jeu → PYTHAGORE, $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Exemple : Cathètes de $9$ m et $4$ m : le câble mesure $\sqrt{97}\approx 9{,}85$ m
Si La hauteur issue de l'angle droit est tracée → UNE RELATION MÉTRIQUE, celle qui contient les longueurs de la question

Exemple : $m=9$ et $n=16$ donnent $h=\sqrt{144}=12$ , et $c=\sqrt{9\times 25}=15$
Si Un angle est donné ou cherché → UN RAPPORT TRIGONOMÉTRIQUE, choisi selon les deux longueurs en jeu

Exemple : Hypoténuse $26$ et angle $41^\circ$ : la cathète opposée vaut $26\times\sin 41^\circ\approx 17{,}06$

Avec un angle mais AUCUNE longueur, rien ne se calcule : tous les triangles de mêmes angles ont la même forme et des tailles différentes.

Quel rapport trigonométrique choisir ?

On repère les deux longueurs en jeu, la connue et la cherchée, puis on nomme chacune par rapport à l'angle considéré.

Si Les deux longueurs sont les deux CATHÈTES → la TANGENTE, opposé sur adjacent

Exemple : $\tan\theta=\dfrac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5$ donne $\theta\approx 26{,}57^\circ$
Si L'hypoténuse et le côté OPPOSÉ à l'angle → le SINUS, opposé sur hypoténuse

Exemple : $\sin B=\dfrac{80}{100}=0{,}8$ donne $B\approx 53{,}13^\circ$
Si L'hypoténuse et le côté ADJACENT à l'angle → le COSINUS, adjacent sur hypoténuse

Exemple : $\cos\theta=\dfrac{14}{22}\approx 0{,}6364$ donne $\theta\approx 50{,}48^\circ$

Quand les trois côtés sont connus, les trois rapports donnent le même angle : on choisit celui dont les longueurs sont exactes plutôt que déjà arrondies.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une situation concrète, toit, câble, terrain, trajet, et demande une longueur ou un angle.

1 Faire ou repérer la figure, marquer l'angle droit, et écrire les mesures connues dessus.
2 Annoncer l'outil et le justifier en quelques mots : « je connais les deux cathètes et je cherche un angle, donc la tangente ».
3 Écrire la relation AVANT de calculer, avec les lettres puis avec les nombres.
4 Calculer, puis arrondir seulement à la fin, à la précision demandée.
5 Vérifier la cohérence : l'hypoténuse est le plus grand côté, un angle aigu est entre $0$ et $90^\circ$ , et l'angle opposé au petit côté est inférieur à $45^\circ$ .

Phrase de conclusion

« Je connais les deux cathètes, $1{,}8$ m et $3{,}6$ m, et je cherche l'angle : $\tan\theta=\dfrac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5$ , donc $\theta\approx 26{,}57^\circ$ . »

Le piège : Arrondir en cours de route puis réutiliser la valeur arrondie. Quand c'est possible, on repart des données exactes de l'énoncé plutôt que d'un résultat intermédiaire.

Barème : 1 point pour l'outil annoncé, 1 point pour la relation écrite, 1 point pour le calcul, 1 point pour la phrase de conclusion avec l'unité

Résoudre entièrement un triangle rectangle avec sa hauteur

Quand l'utiliser : L'énoncé trace la hauteur issue de l'angle droit et demande plusieurs mesures, souvent toutes.

1 Écrire d'abord l'hypoténuse : c'est la somme des deux projections, $a=m+n$ .
2 Calculer la hauteur par $h=\sqrt{m\times n}$ , ou par $h=\dfrac{b\times c}{a}$ si ce sont les cathètes qui sont données.
3 Calculer chaque cathète avec SA projection : $c=\sqrt{m\times a}$ et $b=\sqrt{n\times a}$ .
4 Vérifier par Pythagore dans le grand triangle.
5 Vérifier par l'aire, calculée avec les deux cathètes puis avec l'hypoténuse et la hauteur.

Phrase de conclusion

« $a=9+16=25$ cm ; $h=\sqrt{9\times 16}=12$ cm ; $c=\sqrt{9\times 25}=15$ cm et $b=\sqrt{16\times 25}=20$ cm. Vérification : $15^{2}+20^{2}=625=25^{2}$ , et l'aire vaut $150$ cm $^{2}$ des deux façons. »

Le piège : Oublier d'écrire l'hypoténuse en premier. Sans elle, les deux relations des cathètes n'ont pas leur second facteur, et l'on part chercher des valeurs inutiles.

Barème : 1 point par mesure correcte, 1 point pour chacune des deux vérifications

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'hypoténuse est le plus grand côté

Comparez votre résultat aux autres côtés : l'hypoténuse doit dépasser chacune des deux cathètes, et une cathète ne peut jamais dépasser l'hypoténuse.

Un câble de $9{,}85$ m pour un poteau de $9$ m : cohérent. Un câble de $8$ m aurait été impossible.
L'angle et le côté qu'il regarde

L'angle opposé au plus petit côté est le plus petit des deux angles aigus, donc inférieur à $45^\circ$ . Vérifiez cette compatibilité avant de recopier.

$\alpha$ opposé au côté de $5$ dans un triangle $5$ - $12$ - $13$ doit être sous $45^\circ$ : $22{,}62^\circ$ convient, $67{,}38^\circ$ non.
Le mode de la calculatrice

Un angle qui sort entre $0$ et $1{,}6$ est presque toujours un radian. Basculez en mode degrés et recommencez.

$\tan^{-1}(0{,}5)$ donne $0{,}4636$ en radians et $26{,}57$ en degrés : c'est le même angle, mais seule la seconde valeur est attendue.
Les deux contrôles des relations métriques

Additionnez les projections : elles doivent redonner l'hypoténuse. Puis calculez l'aire de deux façons : elles doivent coïncider.

$9+16=25$ , et $\dfrac{15\times 20}{2}=\dfrac{25\times 12}{2}=150$ cm $^{2}$ .
Le sinus reste sous 1

Si un sinus ou un cosinus dépasse $1$ , il y a une erreur de données ou de rapport. La calculatrice refusera d'ailleurs de calculer la réciproque.

$\sin\theta=1{,}2$ est impossible : l'hypoténuse étant le plus grand côté, le quotient reste entre $0$ et $1$ .

L'exercice type décortiqué

Un problème complet : la pente du toit

Un garage mesure $7{,}2$ m de large. Son toit a deux versants égaux qui se rejoignent au faîte, situé $1{,}8$ m au-dessus du haut des murs.

Calculez l'angle d'un versant, sa longueur et la pente en pourcentage, puis dites si le toit respecte la norme qui exige au moins $30^\circ$ .

Étape 1

Cathète horizontale : $\dfrac{7{,}2}{2}=3{,}6$ m. Cathète verticale : $1{,}8$ m.

Pourquoi

Le triangle rectangle utile est un DEMI-toit, pas le toit entier. Oublier de diviser la largeur par deux est l'erreur de lecture la plus fréquente sur ce genre d'énoncé, et elle divise l'angle par deux environ.

Étape 2

Deux cathètes connues, un angle cherché : la TANGENTE. $\tan\theta=\dfrac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5$ .

Pourquoi

On annonce l'outil et on le justifie par ce qu'on possède. C'est le point de méthode, et il se rédige avant tout calcul.

Étape 3

$\theta=\tan^{-1}(0{,}5)\approx 26{,}57^\circ$ , en mode degrés.

Pourquoi

La fonction réciproque, pas la tangente elle-même. Contrôle : la hauteur vaut la moitié de la base, donc l'angle doit être nettement sous $45^\circ$ , ce qui est le cas.

Étape 4

Longueur du versant : $\sqrt{3{,}6^{2}+1{,}8^{2}}=\sqrt{16{,}2}\approx 4{,}02$ m.

Pourquoi

On revient à Pythagore plutôt que d'utiliser le cosinus de l'angle trouvé : les données de l'énoncé sont exactes, la valeur de $\theta$ est arrondie. On ne réutilise jamais un arrondi quand on peut l'éviter.

Étape 5

Pente : $\dfrac{1{,}8}{3{,}6}=0{,}5$ , soit $50\,\%$ .

Pourquoi

La pente en pourcentage EST la tangente, écrite en centièmes. Elle ne vaut donc pas $45^\circ$ : c'est une pente de $100\,\%$ qui correspondrait à cet angle.

Étape 6

Norme : $26{,}57^\circ<30^\circ$ , donc non conforme. Il faudrait $h=3{,}6\times\tan 30^\circ\approx 2{,}08$ m, soit $28$ cm de plus.

Pourquoi

La demi-largeur ne change pas, ce qui permet d'isoler directement la hauteur. On répond à la question posée, conforme ou non, avant de proposer la correction.

Conclusion rédigée

Le versant fait environ $26{,}57^\circ$ avec l'horizontale, mesure environ $4{,}02$ m et présente une pente de $50\,\%$ : le toit n'est pas conforme, et il faudrait rehausser le faîte d'environ $28$ cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Utiliser la largeur entière du garage, $7{,}2$ m, comme cathète horizontale. On obtiendrait $\tan\theta=\dfrac{1{,}8}{7{,}2}=0{,}25$ , soit environ $14{,}04^\circ$ , un toit presque plat qu'aucune figure ne confirmerait.

À savoir par cœur

• Pythagore : $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ , avec $a$ l'hypoténuse, le plus grand côté. Aucun angle n'y figure.
• Relations métriques : $h^{2}=m\times n$ , $c^{2}=m\times a$ , $b^{2}=n\times a$ . Chaque cathète avec SA projection.
• Si les deux cathètes sont données : $h=\dfrac{b\times c}{a}$ , plus rapide que les projections.
• Contrôles gratuits : $m+n=a$ , et l'aire identique par les cathètes et par l'hypoténuse.
• SOH-CAH-TOA : sinus opposé sur hypoténuse, cosinus adjacent sur hypoténuse, tangente opposé sur adjacent.
• Un côté n'est opposé ou adjacent que PAR RAPPORT à un angle : vu de l'autre angle, les cathètes s'échangent.
• Les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90^\circ$ , d'où $\sin\alpha=\cos\beta$ .
• Pour un angle : fonction RÉCIPROQUE et mode DEGRÉS. $\sin(0{,}8)$ calcule le sinus de $0{,}8$ degré.
• Sinus et cosinus restent entre $0$ et $1$ . La tangente n'a pas de limite : au-dessus de $1$ , l'angle dépasse $45^\circ$ .
• La pente en pourcentage est la tangente : $50\,\%$ vaut $26{,}57^\circ$ , et $45^\circ$ correspond à $100\,\%$ .

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut Pythagore ou la trigonométrie ?

On compte les longueurs connues et on cherche un angle dans l'énoncé. Le théorème de Pythagore ne relie que des longueurs : il faut donc en connaître deux pour trouver la troisième, et aucun angle n'y entre. Dès qu'un angle est donné ou cherché, il faut un rapport trigonométrique. Avec un angle et une seule longueur, Pythagore ne se résout pas : il resterait deux inconnues.

Quelles sont les relations métriques dans le triangle rectangle ?

Quand la hauteur issue de l'angle droit coupe l'hypoténuse en deux morceaux appelés projections, trois relations apparaissent. La hauteur au carré vaut le produit des deux projections. Chaque cathète au carré vaut le produit de SA projection par l'hypoténuse entière. Deux contrôles valident tout : la somme des projections redonne l'hypoténuse, et l'aire se calcule de deux façons.

Comment savoir quel côté est opposé et lequel est adjacent ?

Cela dépend entièrement de l'angle qu'on regarde. Le côté opposé est celui qui ne touche pas l'angle, le côté adjacent est celui qui le touche sans être l'hypoténuse. Vu depuis l'autre angle aigu, les deux cathètes échangent leurs rôles. Seule l'hypoténuse garde son nom, quel que soit le point de vue : c'est toujours le côté opposé à l'angle droit.

Comment trouver un angle à partir d'un rapport ?

On utilise la fonction réciproque de la calculatrice, notée sinus moins un, cosinus moins un ou tangente moins un, et la calculatrice doit être en mode degrés. Attention à ne pas taper simplement le sinus de la valeur : cela calcule le sinus d'un angle exprimé en degrés, donc l'inverse de ce qu'on cherche. Un résultat entre 0 et 1,6 signale en général un mode radians oublié.

Une pente de 50 pour cent correspond-elle à 45 degrés ?

Non. La pente exprimée en pourcentage est la tangente de l'angle, écrite en centièmes : une pente de 50 pour cent signifie que la montée vaut la moitié de l'avancée, ce qui donne un angle d'environ 26,57 degrés. C'est une pente de 100 pour cent qui correspond à 45 degrés, puisque la montée y égale l'avancée. Une route annoncée à 12 pour cent ne fait qu'environ 6,84 degrés.

Le sinus d'un angle peut-il dépasser 1 ?

Non, jamais, dans un triangle rectangle. Le sinus est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse, or l'hypoténuse est toujours le plus grand côté : le numérateur est donc plus petit que le dénominateur. Le sinus et le cosinus restent ainsi strictement entre 0 et 1. La tangente, elle, compare deux cathètes et peut prendre n'importe quelle valeur positive.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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La résolution de triangles

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