Exercices corrigés : la similitude et l'isométrie (math CST, secondaire 4)

a) On compare les côtés homologues, du plus petit au plus petit : $\dfrac{6}{3}=2$, $\dfrac{8}{4}=2$ et $\dfrac{10}{5}=2$. Les trois rapports sont ÉGAUX, donc les triangles sont SEMBLABLES, par le cas côté-côté-côté, avec un rapport de similitude $k=2$. Ils ne sont pas isométriques, puisque les mesures diffèrent : l'isométrie est le cas particulier où $k=1$.

b) Les deux triangles ont exactement le même jeu de mesures, $5$, $6$ et $7$ centimètres, simplement écrites dans un autre ordre. Ils sont donc ISOMÉTRIQUES, par le cas côté-côté-côté. L'ordre d'écriture ne change rien : ce qui compte est qu'à chaque côté de l'un corresponde un côté de l'autre de même mesure. Attention toutefois à la correspondance des sommets, qui n'est pas $G\leftrightarrow J$ : le côté de $5$ de $GHI$ correspond au côté de $5$ de $JKL$, et il faut le dire pour que la justification soit complète.

c) Les deux triangles ont deux angles égaux, donc leur troisième angle l'est aussi, puisque la somme vaut $180^\circ$ : $180-40-60=80^\circ$ des deux côtés. Ils sont donc semblables. Mais ils ont en plus un côté homologue de même mesure, $MN=QR=5$ cm, situé entre les deux angles connus : ils sont ISOMÉTRIQUES, par le cas angle-côté-angle. C'est la bonne réponse, et « semblables » serait une réponse incomplète : deux triangles isométriques sont toujours semblables, avec $k=1$, mais on annonce le cas le plus fort.

d) On compare les rapports dans l'ordre croissant : $\dfrac{6}{4}=1{,}5$, $\dfrac{9}{6}=1{,}5$, mais $\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$. Le troisième rapport n'est pas égal aux deux premiers, donc les triangles ne sont NI semblables NI isométriques. Deux rapports égaux sur trois ne suffisent jamais : il faut les TROIS. C'est le piège de cette question, et il se répète à chaque examen, parce que les deux premiers calculs donnent envie de conclure avant d'avoir fait le troisième.

a) Deux côtés sont déjà égaux deux à deux. Deux possibilités closent le dossier. Première : le TROISIÈME côté, $AC=DF$, ce qui donne le cas côté-côté-côté. Deuxième : l'angle COMPRIS entre les deux côtés connus, $\widehat{B}=\widehat{E}$, ce qui donne le cas côté-angle-côté. Attention, l'angle $\widehat{A}$ ne conviendrait PAS : il n'est pas compris entre $AB$ et $BC$, et deux côtés plus un angle non compris ne garantissent rien, comme le montre l'exercice 3.

b) Deux angles égaux deux à deux suffisent déjà pour la SIMILITUDE, par le cas angle-angle : le troisième angle suit automatiquement, puisque la somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$, et $180-50-70=60^\circ$ des deux côtés. Pour l'isométrie, il manque une LONGUEUR : un seul côté homologue de même mesure suffit, par exemple $AB=DE$, ce qui donnerait le cas angle-côté-angle. Sans aucune longueur, on ne peut pas distinguer un triangle de son agrandissement.

c) Deux rapports sont déjà égaux. Deux possibilités, symétriques de celles de la question a). Première : le TROISIÈME rapport, $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{3}{2}$, ce qui donne le cas côté-côté-côté de similitude. Deuxième : l'angle COMPRIS entre les deux côtés concernés, $\widehat{A}=\widehat{D}$, ce qui donne le cas côté-angle-côté de similitude. Remarquez la symétrie entre isométrie et similitude : ce sont les mêmes listes, avec des égalités de longueurs remplacées par des égalités de rapports.

d) C'est faux. Trois angles égaux donnent la SIMILITUDE, jamais l'isométrie : un triangle et son agrandissement ont exactement les mêmes angles, et ils ne sont pourtant pas superposables. Un triangle de côtés $3$, $4$, $5$ et un triangle de côtés $6$, $8$, $10$ ont les mêmes trois angles et des aires respectives de $6$ et $24$ centimètres carrés. Énoncé correct : les angles décident de la FORME, il faut au moins une longueur pour décider de la TAILLE. C'est pour cela qu'aucun cas d'isométrie ne se contente d'angles, et que tous en contiennent au moins un côté.

a) Les deux triangles sont $ABC_{1}$ et $ABC_{2}$. Ils partagent le côté $AB=8$ cm, l'angle $\widehat{A}=30^\circ$, et un côté de $5$ cm qui joint $B$ au troisième sommet, donc opposé à l'angle $A$. Trois données identiques, et pourtant deux triangles visiblement différents : c'est exactement ce que la figure démontre.

b) Non, les deux longueurs diffèrent nettement. $AC_{1}$ mesure environ $9{,}9$ cm et $AC_{2}$ environ $3{,}9$ cm, soit deux fois et demie moins. Le troisième côté n'est donc pas déterminé par les données, et c'est ce qui prive cette configuration de toute conclusion.

c) Les deux angles sont supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut $180^\circ$. Si l'un mesure environ $53^\circ$, l'autre mesure environ $180-53=127^\circ$. Le premier correspond au grand triangle $ABC_{1}$, le second au petit triangle $ABC_{2}$. On peut alors compléter : dans $ABC_{1}$, le troisième angle vaut environ $180-30-53=97^\circ$ ; dans $ABC_{2}$, il vaut environ $180-30-127=23^\circ$. Deux triangles avec les mêmes trois données et des angles complètement différents.

d) La règle est FAUSSE telle qu'elle est énoncée. Deux côtés et un angle ne suffisent que si l'angle est COMPRIS entre ces deux côtés, ce qui est le vrai cas côté-angle-côté. Quand l'angle est opposé à l'un des côtés, la configuration s'appelle côté-côté-angle, et elle laisse deux triangles possibles, comme la figure le montre. Retenez la formulation exacte : ce n'est pas « deux côtés et un angle », c'est « deux côtés et l'angle compris entre eux ». Ce mot compris est la différence entre une justification qui rapporte tous les points et une justification qui n'en rapporte aucun.

a) On dispose de deux côtés et de l'angle COMPRIS entre eux, puisque $\widehat{A}$ est l'angle formé par les côtés $AB$ et $AC$. La rédaction attendue est la suivante. « $AB=DE$, $AC=DF$ et $\widehat{A}=\widehat{D}$. L'angle $\widehat{A}$ est compris entre $AB$ et $AC$, et $\widehat{D}$ entre $DE$ et $DF$. Donc les triangles $ABC$ et $DEF$ sont isométriques, par le cas côté-angle-côté. » La phrase du milieu est celle qui distingue une bonne copie : elle vérifie que l'angle est bien compris, ce qui est précisément le point que l'exercice 3 a rendu incontournable.

b) Deux angles égaux deux à deux suffisent. « $\widehat{A}=\widehat{D}$ et $\widehat{B}=\widehat{E}$. Donc les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, par le cas angle-angle. » On ne conclut PAS à l'isométrie, faute d'une longueur. Ajouter « et donc ils sont isométriques » transforme une réponse juste en réponse fausse, et le correcteur retire les points de la conclusion.

c) Les trois rapports de côtés homologues sont égaux. « $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{FD}{CA}=3$. Donc les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, par le cas côté-côté-côté, avec un rapport de similitude $k=3$. » Donner la valeur de $k$ n'est pas exigé par le cas, mais elle est presque toujours utile à la question suivante, et l'écrire coûte trois secondes.

d) C'est le NOM DU CAS. Des élèves écrivent « les côtés sont proportionnels donc les triangles sont semblables », ce qui est vrai mais ne cite aucun cas, et la grille de correction accorde un point au cas nommé. Manque presque aussi souvent la CORRESPONDANCE DES SOMMETS : écrire « $ABC$ et $DEF$ sont semblables » affirme que $A$ correspond à $D$, $B$ à $E$ et $C$ à $F$. Si la correspondance est en fait $A\leftrightarrow E$, la phrase est fausse même si la conclusion est bonne. Trois lignes et deux mots, donc : les données, le cas nommé, et l'ordre des lettres.

a) Chaque longueur du grand triangle s'obtient en multipliant son homologue par $k$ : $DE=4\times 2{,}5=10$ cm, $EF=6\times 2{,}5=15$ cm et $FD=7\times 2{,}5=17{,}5$ cm. La correspondance des lettres est ce qui garantit qu'on multiplie les bons côtés : $DE$ est l'homologue de $AB$ parce que $D$ correspond à $A$ et $E$ à $B$.

b) Le périmètre est une longueur, donc il se multiplie aussi par $k$ : $17\times 2{,}5=42{,}5$ cm. Vérification par l'addition des trois côtés trouvés en a) : $10+15+17{,}5=42{,}5$ cm, ce qui correspond. Cette vérification vaut la peine parce qu'elle contrôle d'un coup les trois multiplications de la question précédente.

c) Une hauteur est une longueur comme une autre : elle suit le même rapport. On passe cette fois du GRAND vers le PETIT, donc on DIVISE par $k$ : $\dfrac{12}{2{,}5}=4{,}8$ cm. Le sens du rapport est le piège de cette question : multiplier donnerait $30$ cm, une hauteur plus grande que le plus grand côté du petit triangle, ce qui est absurde. Un contrôle de bon sens suffit à l'attraper.

d) C'est faux. Le rapport de similitude multiplie les LONGUEURS, jamais les ANGLES. Dans deux triangles semblables, les angles homologues sont ÉGAUX : $\widehat{F}=\widehat{C}$, et de même $\widehat{D}=\widehat{A}$ et $\widehat{E}=\widehat{B}$. C'est d'ailleurs ce qui définit la similitude : même forme, taille différente. Si les angles étaient multipliés, leur somme le serait aussi, et vaudrait $2{,}5\times 180=450^\circ$, ce qui est impossible pour un triangle. Ce contre-argument par la somme des angles est le plus rapide à écrire en examen.

a) Chaque centimètre du plan vaut $50$ centimètres réels, donc on multiplie par $50$. Longueur : $8\times 50=400$ cm, soit $4$ m. Largeur : $5\times 50=250$ cm, soit $2{,}5$ m. Le salon mesure donc $4$ m sur $2{,}5$ m. On convertit à la fin, jamais au milieu : multiplier d'abord en centimètres évite l'erreur la plus courante, qui est de perdre un facteur cent en route.

b) Cette fois on va du réel vers le plan, donc on DIVISE par $50$. $6{,}5$ m valent $650$ cm, et $\dfrac{650}{50}=13$ cm sur le plan. Le sens de la conversion se contrôle par le bon sens : une longueur sur un plan est toujours plus petite que la longueur réelle, donc si votre résultat est plus grand, vous avez multiplié au lieu de diviser.

c) Oui, le plan et l'appartement sont semblables : c'est même la définition d'un plan à l'échelle. Toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport, et les angles sont conservés, ce qui est exactement la condition de similitude. Le rapport de similitude du plan vers la réalité vaut $k=50$.

d) $3{,}2$ m valent $320$ cm, donc $\dfrac{320}{50}=6{,}4$ cm sur le plan. Remarquez que $6{,}4$ cm est plus court que les $8$ cm du salon, ce qui est cohérent : une porte de $3{,}2$ m est effectivement plus courte qu'un mur de $4$ m.

e) À l'échelle $1:100$, chaque centimètre du plan vaut $100$ cm réels. Le salon mesurant toujours $400$ cm dans la réalité, il occupera $\dfrac{400}{100}=4$ cm sur le nouveau plan, soit la MOITIÉ de sa longueur précédente. C'est logique : doubler le dénominateur de l'échelle revient à diviser le dessin par deux. Le nouveau plan est donc semblable à l'ancien, avec un rapport $k=0{,}5$, et tous deux sont semblables à l'appartement, ce qui montre qu'une chaîne de similitudes reste une similitude.

a) La diagonale d'un rectangle se calcule par le théorème de Pythagore : $d^{2}=40^{2}+30^{2}=1600+900=2500$, donc $d=\sqrt{2500}=50$ cm. C'est le triangle $3$, $4$, $5$ agrandi dix fois, ce qui explique le résultat parfaitement rond.

b) $d^{2}=43{,}6^{2}+24{,}5^{2}=1900{,}96+600{,}25=2501{,}21$, donc $d=\sqrt{2501{,}21}\approx 50{,}0$ cm. Les deux écrans ont donc bien la même diagonale, à un dixième de centimètre près : ils seraient vendus sous la même annonce.

c) Non. On compare les rapports des côtés homologues : $\dfrac{43{,}6}{40}=1{,}09$ pour les largeurs, mais $\dfrac{24{,}5}{30}\approx 0{,}817$ pour les hauteurs. Les deux rapports diffèrent, donc les rectangles ne sont PAS semblables. On peut le dire autrement, par la forme : $\dfrac{40}{30}\approx 1{,}33$ contre $\dfrac{43{,}6}{24{,}5}\approx 1{,}78$. Le second écran est nettement plus allongé.

d) Écran $4:3$ : $40\times 30=1200$ cm$^{2}$. Écran $16:9$ : $43{,}6\times 24{,}5=1068{,}2$ cm$^{2}$. C'est donc le PLUS PETIT en apparence, celui du format $4:3$, qui offre la plus grande surface, de $131{,}8$ cm$^{2}$, soit environ $12\,\%$ de plus.

e) C'est faux, et la question d) le chiffre. Deux rectangles de même diagonale n'ont la même aire que s'ils ont la même FORME, c'est-à-dire s'ils sont semblables. À diagonale fixée, le rectangle le plus carré est celui qui a la plus grande aire, et le rectangle le plus allongé la plus petite. La diagonale ne mesure donc ni la surface ni la forme : elle ne suffit pas à comparer deux écrans, et c'est exactement pour cela que les fabricants l'ont choisie comme argument de vente quand le format s'est allongé. Un téléviseur $16:9$ annoncé à la même diagonale qu'un ancien $4:3$ offre en réalité une image plus petite.

1) FAUX. Trois angles égaux donnent la SIMILITUDE, pas l'isométrie : un triangle de côtés $3$, $4$, $5$ et un triangle de côtés $6$, $8$, $10$ ont les mêmes angles et des aires de $6$ et $24$ cm$^{2}$. Énoncé correct : les angles fixent la forme, il faut au moins une longueur pour fixer la taille, et c'est pourquoi tout cas d'isométrie contient au moins un côté.

2) FAUX, à un mot près. Il faut que l'angle soit COMPRIS entre les deux côtés. Avec un angle opposé à l'un d'eux, deux triangles différents portent les mêmes données, comme le montre l'exercice 3 : $AB=8$, un côté de $5$ et $\widehat{A}=30^\circ$ donnent deux triangles, l'un avec un troisième côté d'environ $9{,}9$ cm, l'autre d'environ $3{,}9$ cm. Énoncé correct : le cas s'appelle côté-ANGLE COMPRIS-côté.

3) FAUX. Il faut les TROIS rapports. Les triangles de côtés $4$, $6$, $9$ et $6$, $9$, $12$ ont deux rapports égaux à $1{,}5$, mais le troisième vaut $\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$ : ils ne sont pas semblables. Énoncé correct : le cas côté-côté-côté de similitude exige l'égalité des trois rapports, et l'on calcule le troisième même quand les deux premiers coïncident.

4) FAUX. Le rapport de similitude multiplie les LONGUEURS, jamais les ANGLES, qui restent égaux. Si les angles étaient multipliés par $3$, leur somme vaudrait $3\times 180=540^\circ$, ce qui est impossible pour un triangle. Énoncé correct : dans deux triangles semblables, les angles homologues sont ÉGAUX et les longueurs homologues sont dans le rapport $k$.

5) FAUX. Un écran $4:3$ de $40$ cm sur $30$ cm et un écran $16:9$ de $43{,}6$ cm sur $24{,}5$ cm ont tous deux une diagonale de $50$ cm, mais des aires de $1200$ et $1068{,}2$ cm$^{2}$. Énoncé correct : à diagonale égale, la surface dépend de la FORME, et le rectangle le plus proche du carré offre la plus grande aire.

a) Les deux triangles ont un angle droit, en $A$ pour le premier et en $C$ pour le second, puisque $AT$ et $CD$ sont tous deux perpendiculaires à la rive. Ils ont de plus les angles $\widehat{ABT}$ et $\widehat{CBD}$ égaux, car ce sont des angles OPPOSÉS PAR LE SOMMET en $B$, l'alignement de $T$, $B$ et $D$ le garantissant. Deux angles égaux deux à deux suffisent : les triangles $BAT$ et $BCD$ sont semblables, par le cas angle-angle.

b) Les côtés homologues sont $BC$ et $BA$, tous deux portés par la rive. Le rapport de $BCD$ vers $BAT$ vaut donc $k=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{20}{5}=4$. Attention au sens : on va du petit triangle vers le grand, donc le rapport est supérieur à $1$. L'écrire comme un quotient de deux longueurs HOMOLOGUES, et non de deux longueurs quelconques, est ce qui évite l'inversion.

c) $AT$ est l'homologue de $CD$, donc $AT=k\times CD=4\times 4=16$ m. La rivière mesure donc $16$ mètres de large. Vérification de cohérence : $AT$ doit être environ quatre fois $CD$, et $16$ est bien quatre fois $4$. Une réponse de $1$ m aurait signalé une inversion du rapport.

d) Avec $CD=4{,}5$ m, on obtient $AT=4\times 4{,}5=18$ m. Un demi-mètre d'écart sur la mesure de terrain produit donc $2$ mètres d'écart sur la largeur : l'erreur est MULTIPLIÉE par $4$, c'est-à-dire par le rapport de similitude lui-même. C'est le vrai enseignement du problème, et il vaut pour toute mesure indirecte.

e) Parce que le rapport $k=\dfrac{BA}{BC}$ DIMINUE quand $BC$ augmente, et que l'erreur commise sur $CD$ est multipliée par ce rapport. Avec $BC=10$ m au lieu de $5$, le rapport tomberait à $2$, et le même écart de $0{,}5$ m sur $CD$ ne produirait plus qu'un écart de $1$ m sur la largeur, au lieu de $2$ m. Autrement dit, plus le petit triangle ressemble au grand, moins l'imprécision est amplifiée. En pratique, l'arpenteur cherche donc le compromis : un $BC$ assez grand pour la précision, assez petit pour que le point $D$ reste sur un terrain praticable.

a) Non. Le rapport largeur sur hauteur de l'affiche vaut $\dfrac{60}{40}=1{,}5$, celui du cadre $\dfrac{105}{75}=1{,}4$. Les deux formes diffèrent, donc les rectangles ne sont pas semblables, et aucun agrandissement de l'affiche ne remplira exactement le cadre. C'est le point de départ du problème, et il se règle en deux divisions.

b) Le facteur d'agrandissement serait $k=\dfrac{105}{60}=1{,}75$. La hauteur deviendrait alors $40\times 1{,}75=70$ cm. C'est moins que les $75$ cm du cadre, donc cet agrandissement tient : il laisse une bande vide de $5$ cm en hauteur.

c) Le facteur serait cette fois $k=\dfrac{75}{40}=1{,}875$. La largeur deviendrait $60\times 1{,}875=112{,}5$ cm. Or le cadre ne fait que $105$ cm de large : cela ne tient PAS, il manquerait $7{,}5$ cm. Il faut donc renoncer à remplir la hauteur.

d) On garde le PLUS PETIT des deux facteurs, celui qui respecte les deux contraintes à la fois : $k=1{,}75$, puisque $1{,}75<1{,}875$. L'affiche agrandie mesurera $105$ cm sur $70$ cm, et il restera une marge de $75-70=5$ cm en hauteur, qu'on répartira en deux bandes de $2{,}5$ cm. La règle générale vaut pour toutes les situations de ce type : quand deux contraintes s'appliquent, on calcule les deux facteurs et l'on retient le plus petit.

e) La largeur serait multipliée par $\dfrac{105}{60}=1{,}75$ et la hauteur par $\dfrac{75}{40}=1{,}875$. Les deux facteurs étant différents, l'image ne serait plus semblable à l'originale : elle serait DÉFORMÉE, étirée verticalement d'environ $7\,\%$ de plus que horizontalement. Un logo rond deviendrait un ovale, plus haut que large. C'est exactement ce que fait un écran qui affiche une image dans le mauvais format, et c'est pourquoi les imprimeurs et les téléviseurs préfèrent laisser des bandes vides plutôt que de perdre la similitude.