Exercice 1 : Questions à choix multiple : puissance, relations métriques, corrélation

12 points Apprécier la valeur d'une puissance Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Nuage de points, corrélation et régression

Conditions de l'épreuve, comme le jour J : $3$ heures ; un aide-mémoire manuscrit d'une feuille recto verso, que vous avez préparé vous-même ; calculatrice permise, même à affichage graphique, mémoire effacée ; règle, équerre, compas, rapporteur et papier quadrillé. En sections A et B, seule la réponse est corrigée. En section C, la démarche complète est exigée : c'est elle que la grille évalue.

Pour chaque question, choisissez la lettre de la bonne réponse. Chaque question vaut $4$ points. La figure sert à la question b).

a) Quelle est la valeur exacte de $\sqrt[3]{8^{5}}$ ?A) $\dfrac{40}{3}$ B) $32$ C)environ $3{,}48$ D) $40$
b) Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ de la figure, la hauteur $\overline{AH}$ partage l'hypoténuse en $\overline{BH}=9$ cm et $\overline{HC}=16$ cm. Quelle est la mesure de la cathète $\overline{AC}$ ?A) $12$ cmB) $15$ cmC)environ $18{,}4$ cmD) $20$ cm
c) Une étude menée auprès de $150$ élèves donne un coefficient de corrélation linéaire de $-0{,}93$ entre le temps passé chaque soir sur les réseaux sociaux et le nombre d'heures de sommeil. Quelle conclusion est juste ?A)Le lien est fort et négatif, mais l'étude ne prouve pas que les réseaux sociaux réduisent le sommeil.B)Le lien est faible, puisque le coefficient est négatif.C)Le lien est fort et négatif : l'étude prouve que les réseaux sociaux réduisent le sommeil.D)Le lien est fort et positif, car $0{,}93$ est proche de $1$ .

Voir la correction

Réponses

a) Réponse B : $\sqrt[3]{8^{5}}=8^{5/3}=32$
b) Réponse D : $\overline{AC}=\sqrt{16\times 25}=20$ cm
c) Réponse A : lien fort et négatif, sans causalité prouvée

a)

Réponse B.

La racine $n$ -ième devient un exposant fractionnaire de dénominateur $n$ : $\sqrt[3]{8^{5}}=8^{5/3}$ .

On passe par la base $2$ , puisque $8=2^{3}$ :

\displaystyle 8^{5/3}=(2^{3})^{5/3}=2^{5}=32

Les trois autres choix sont trois erreurs typiques : A multiplie la base par l'exposant, $8\times\dfrac{5}{3}$ ; C inverse l'exposant, $8^{3/5}\approx 3{,}48$ ; D multiplie $8$ par $5$ .

Piège : le dénominateur de l'exposant est l'indice de la racine, le numérateur est la puissance.

b)

Réponse D.

Chaque cathète est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse entière et le segment adjacent à cette cathète.

$\overline{BC}=9+16=25$ cm

$\overline{AC}^{2}=\overline{HC}\times\overline{BC}=16\times 25=400$ , donc $\overline{AC}=20$ cm

Contrôle : $\overline{AH}^{2}=9\times 16=144$ , donc $\overline{AH}=12$ cm, et dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ , $12^{2}+16^{2}=400=20^{2}$ .

Piège : B, $15$ cm, est l'autre cathète, $\overline{AB}=\sqrt{9\times 25}$ : on a pris le segment adjacent à $\overline{AB}$ . A est la hauteur, et C applique Pythagore à $9$ et $16$ , qui ne sont pas les côtés d'un même triangle rectangle.

c)

Réponse A.

Le signe donne le sens du lien : négatif, quand le temps sur les réseaux augmente, le sommeil diminue.

La valeur absolue donne l'intensité : $0{,}93$ est proche de $1$ , le lien est fort.

Une corrélation, même forte, ne prouve jamais une causalité : une troisième variable, comme l'horaire de travail ou le stress des examens, peut agir sur les deux.

Piège : B confond le signe et la force, D oublie le signe, C transforme un lien statistique en cause.

Coche ici les exercices faits ou à revoir : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes coches et tes réponses justes d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Exercice 2 : Questions à choix multiple : système, similitude, rang centile

12 points Les systèmes d'équations La similitude et l'isométrie des triangles Dispersion, rang centile et diagrammes

Choisissez la lettre de la bonne réponse. Chaque question vaut $4$ points.

a) Quelle est la solution du système $\begin{cases} y = 3x + 5 \\ y = -2x + 25 \end{cases}$ ?A) $(4\,;17)$ B) $(6\,;23)$ C) $(17\,;4)$ D) $(-4\,;-7)$
b) Les triangles $ABC$ et $DEF$ ont $\overline{AB}=6$ cm, $\overline{BC}=8$ cm et un angle $B$ de $40^{\circ}$ , puis $\overline{DE}=9$ cm, $\overline{EF}=12$ cm et un angle $E$ de $40^{\circ}$ . Que peut-on conclure ?A)Ils sont isométriques par le cas CAC.B)Ils sont semblables par le cas CAC, dans un rapport de $1{,}5$ .C)Ils sont semblables par le cas AA.D)On ne peut rien conclure : il manque le troisième côté.
c) Dans un groupe de $40$ élèves, $26$ élèves ont un résultat strictement inférieur à celui de Léa, et $3$ élèves, Léa comprise, ont exactement son résultat. Quel est le rang centile de Léa ?A) $65$ B) $68$ C) $69$ D) $73$

Voir la correction

Réponses

a) Réponse A : $(x\,;y)=(4\,;17)$
b) Réponse B : semblables par le cas CAC, rapport $1{,}5$
c) Réponse C : $\dfrac{26+1{,}5}{40}\times 100=68{,}75$ , rang centile $69$

a)

Réponse A.

Les deux équations donnent $y$ : on compare.

\displaystyle 3x+5=-2x+25

$5x=20$ , donc $x=4$ , puis $y=3(4)+5=17$

Vérification dans la seconde équation, celle qui n'a pas servi : $-2(4)+25=17$ .

Piège : B vient de $5x=30$ et D de $5x=-20$ , deux erreurs de signe en changeant un terme de membre ; C inverse $x$ et $y$ dans le couple.

b)

Réponse B.

Les côtés qui entourent les angles de $40^{\circ}$ sont proportionnels :

$\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AB}}=\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$

L'angle compris entre ces côtés est le même, $40^{\circ}$ : deux côtés homologues proportionnels et l'angle compris isométrique, c'est le cas de similitude CAC, de rapport $1{,}5$ .

Piège : A est faux, des côtés de $6$ cm et de $9$ cm ne sont pas isométriques ; D oublie que le cas CAC n'exige que deux côtés, à condition que l'angle soit compris entre eux ; C exige deux angles, on n'en connaît qu'un.

c)

Réponse C.

Le rang centile compte les données strictement inférieures, plus la moitié des données égales, rapportées à l'effectif :

\displaystyle \dfrac{26+\frac{3}{2}}{40}\times 100=\dfrac{27{,}5}{40}\times 100=68{,}75

On arrondit à l'entier supérieur : le rang centile de Léa est $69$ .

Piège : A oublie les ex aequo, $\dfrac{26}{40}\times 100=65$ ; D les compte tous, $\dfrac{29}{40}\times 100=72{,}5$ , arrondi à $73$ ; B tronque au lieu d'arrondir à l'entier supérieur.

Exercice 3 : Réponses courtes : fonction quadratique et fonction définie par parties

8 points La fonction polynomiale de degré 2 Les fonctions définies par parties

Donnez la réponse demandée. Chaque question vaut $4$ points. La figure montre le haut de l'arche de la question a), dans un repère gradué en décimètres dont l'origine est au sommet.

a) Une arche de jardin a la forme d'une parabole de règle $f(x)=ax^{2}$ , l'origine du repère étant au sommet de l'arche et les unités étant des décimètres. L'arche passe par le point $(4\,;-12)$ . Déterminez la valeur de $a$ , puis la largeur de l'arche à $27$ dm sous son sommet.
b) Un club nautique loue ses kayaks $12$ dollars l'heure pendant les deux premières heures, puis $7$ dollars l'heure au-delà, le temps étant facturé à la minute près. Combien coûte une location de $3$ h $30$ ? Quelle est la durée d'une location facturée $48{,}50$ dollars ?

Voir la correction

Réponses

a) $a=-0{,}75$ ; largeur de $12$ dm à $27$ dm sous le sommet ( $x=\pm 6$ )
b) $34{,}50$ dollars pour $3$ h $30$ ; $48{,}50$ dollars correspondent à $5$ h $30$

a)

On remplace le point $(4\,;-12)$ dans la règle :

$-12=a\times 4^{2}=16a$ , donc $a=-\dfrac{12}{16}=-0{,}75$

Le signe négatif était attendu : l'arche est ouverte vers le bas, son sommet est un maximum.

À $27$ dm sous le sommet, $f(x)=-27$ :

$-0{,}75x^{2}=-27$ , donc $x^{2}=36$ , donc $x=-6$ ou $x=6$

La largeur est la distance entre ces deux points : $6-(-6)=12$ dm.

Piège : répondre $6$ dm, c'est ne garder qu'une des deux solutions de $x^{2}=36$ ; la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la largeur est le double de $6$ .

b)

La règle a deux morceaux, et c'est la durée $x$ , en heures, qui choisit le morceau :

$C(x)=12x$ si $0\le x\le 2$ , et $C(x)=24+7(x-2)$ si $x>2$

Pour $3$ h $30$ , $x=3{,}5>2$ : second morceau.

$C(3{,}5)=24+7(1{,}5)=24+10{,}5=34{,}50$ dollars

Pour $48{,}50$ dollars : $C(2)=24$ est inférieur à $48{,}50$ , donc la durée dépasse $2$ h et l'on résout dans le second morceau.

$24+7(x-2)=48{,}5$ , donc $x-2=3{,}5$ , donc $x=5{,}5$ h, soit $5$ h $30$

Piège : appliquer $12$ dollars l'heure à toute la durée donne $42$ dollars pour $3$ h $30$ ; le tarif change à la borne $x=2$ , et seul le temps au-delà de cette borne se paie $7$ dollars l'heure.

Exercice 4 : Réponses courtes : droite perpendiculaire et aire d'un triangle quelconque

8 points La géométrie analytique La résolution de triangles

Donnez la réponse demandée. Chaque question vaut $4$ points. La figure sert à la question b).

a) Dans un plan cartésien, la droite $d_{1}$ passe par $A(-2\,;3)$ et $B(6\,;9)$ . Déterminez l'équation, sous la forme $y=mx+b$ , de la droite $d_{2}$ perpendiculaire à $d_{1}$ qui passe par $B$ .
b) Un triangle a pour côtés $7$ cm, $8$ cm et $9$ cm, et aucune de ses hauteurs n'est connue. Calculez son aire, au centième de centimètre carré.

Voir la correction

Réponses

a) $d_{2} : y=-\dfrac{4}{3}x+17$
b) $s=12$ cm, aire $\sqrt{720}\approx 26{,}83$ cm $^{2}$

a)

Pente de $d_{1}$ :

\displaystyle m_{1}=\dfrac{9-3}{6-(-2)}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

Deux droites sont perpendiculaires quand le produit de leurs pentes vaut $-1$ : la pente de $d_{2}$ est l'opposé de l'inverse de $m_{1}$ .

\displaystyle m_{2}=-\dfrac{4}{3}

On remplace par les coordonnées de $B$ , qui est sur $d_{2}$ :

$9=-\dfrac{4}{3}(6)+b=-8+b$ , donc $b=17$

\displaystyle d_{2} : y=-\dfrac{4}{3}x+17

Contrôle : $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1$ .

Piège : prendre $-\dfrac{3}{4}$ , l'opposé sans l'inverse, ou $\dfrac{4}{3}$ , l'inverse sans l'opposé ; un seul des deux gestes ne suffit pas.

b)

On ne connaît que les trois côtés : c'est la formule de Héron.

$s=\dfrac{7+8+9}{2}=12$ cm

$\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{12\times 5\times 4\times 3}=\sqrt{720}\approx 26{,}83$ cm $^{2}$

Piège : $s$ est le demi-périmètre. Avec le périmètre entier, $24$ , on calcule $\sqrt{24\times 17\times 16\times 15}\approx 312{,}92$ cm $^{2}$ , plus de dix fois trop.

Exercice 5 : Situation d'application, catégorie I : la passerelle du parc

10 points La géométrie analytique

Le plan d'un parc est tracé dans un plan cartésien gradué en mètres (document 1). L'entrée principale est au point $A(-20\,;10)$ , le kiosque au point $B(40\,;55)$ et l'entrée de service au point $S(40\,;10)$ .

La municipalité veut construire une passerelle rectiligne de $A$ à $B$ et une allée rectiligne de $A$ à $S$ . Un lampadaire sera installé sur la passerelle, aux deux cinquièmes du trajet à partir de $A$ , et relié à l'entrée de service $S$ par un câble souterrain en ligne droite. Les coûts sont dans le document 2.

Document 1 : le plan du parc, unités en mètres

Élément du projet	Coût
Passerelle	$180$ dollars le mètre
Allée	$45$ dollars le mètre
Lampadaire, installation comprise	$1\,200$ dollars
Câble souterrain	$25$ dollars le mètre

Document 2 : les coûts du projet

La municipalité dispose d'un budget de $18\,000$ dollars. Ce budget suffit-il à réaliser tout le projet ? S'il ne suffit pas, de combien faudrait-il l'augmenter ?

Voir la correction

Réponses

1) Coût total du projet : environ $18\,406{,}23$ dollars (lampadaire en $P(4\,;28)$ , câble de $40{,}25$ m)
2) Le budget de $18\,000$ dollars ne suffit pas
3) Il faudrait l'augmenter d'environ $406{,}23$ dollars

Étape 1 : la passerelle et l'allée.

$\overline{AB}=\sqrt{(40-(-20))^{2}+(55-10)^{2}}=\sqrt{60^{2}+45^{2}}=\sqrt{5\,625}=75$ m

$A$ et $S$ ont la même ordonnée : l'allée est horizontale et $\overline{AS}=40-(-20)=60$ m.

Étape 2 : la position du lampadaire.

« Aux deux cinquièmes du trajet à partir de $A$ » : on avance des deux cinquièmes de chaque déplacement de $A$ vers $B$ , ce qui partage $\overline{AB}$ dans le rapport $2:3$ .

\displaystyle P\left(-20+\dfrac{2}{5}(60)\,;\,10+\dfrac{2}{5}(45)\right)=P(4\,;28)

Contrôle : la pente de $AP$ , $\dfrac{28-10}{4-(-20)}=\dfrac{18}{24}=0{,}75$ , est celle de $AB$ , $\dfrac{45}{60}=0{,}75$ : $P$ est bien sur la passerelle.

Piège : lire « deux cinquièmes » comme un rapport $2:5$ place le lampadaire aux deux septièmes du trajet, vers $(-2{,}86\,;22{,}86)$ .

Étape 3 : le câble du lampadaire à l'entrée de service.

$\overline{PS}=\sqrt{(40-4)^{2}+(10-28)^{2}}=\sqrt{36^{2}+18^{2}}=\sqrt{1\,620}\approx 40{,}25$ m

On garde la valeur exacte dans la calculatrice pour le coût.

Étape 4 : le coût total.

Passerelle : $75\times 180=13\,500$ dollars

Allée : $60\times 45=2\,700$ dollars

Lampadaire : $1\,200$ dollars

Câble : $\sqrt{1\,620}\times 25\approx 1\,006{,}23$ dollars

Total : $13\,500+2\,700+1\,200+1\,006{,}23=18\,406{,}23$ dollars

$18\,406{,}23>18\,000$ : le budget ne suffit pas. Écart : $18\,406{,}23-18\,000=406{,}23$ dollars.

Conclusion. Le projet complet coûte environ $18\,406{,}23$ dollars. Le budget de $18\,000$ dollars ne suffit pas : il faudrait l'augmenter d'environ $406{,}23$ dollars.

Validation : la passerelle seule absorbe les trois quarts du budget, ce qui est cohérent avec son prix au mètre, quatre fois celui de l'allée ; et le câble, plus court que l'allée ( $40$ m contre $60$ m) et moins cher au mètre, est bien le poste le plus léger après le lampadaire.

Grille : ce que la grille descriptive du Ministère attend dans cette situation.

Cr2, concepts et processus : la distance entre deux points, deux fois, le point de partage et le calcul des coûts, appliqués sans erreur. Un lampadaire mal placé est une erreur conceptuelle et fait descendre au niveau C, même si tout le reste est juste.

Cr3, raisonnement : voir qu'il faut le point $P$ avant de pouvoir mesurer le câble. Une copie qui oublie le lampadaire ou son câble ne répond qu'à une partie des exigences.

Cr4, structuration : chaque longueur nommée ( $\overline{AB}$ , $\overline{AS}$ , $\overline{PS}$ ) avant son coût, les unités écrites, le total posé en une ligne.

Cr5, justification : la conclusion compare le total au budget et chiffre l'écart ; « le budget ne suffit pas » sans le montant manquant laisse la seconde exigence sans réponse.

Copie de niveau A : les quatre étapes justes et la conclusion chiffrée. Copie de niveau C : un concept mal appliqué, typiquement le lampadaire placé aux deux septièmes, avec une démarche et une conclusion cohérentes avec cette erreur.

Piège : s'arrêter à la passerelle et à l'allée, $16\,200$ dollars, et conclure que le budget suffit. C'est la conclusion inverse de la bonne, parce que la consigne porte sur tout le projet.

Exercice 6 : Situation d'application, catégorie I : le stationnement et la navette

10 points La fonction partie entière Les fonctions périodiques

Samuel va chercher sa sœur à l'aéroport. Il gare sa voiture au stationnement longue durée à $9$ h $12$ . Une navette gratuite relie le stationnement au terminal (document 2), et l'arrêt du terminal est à $2$ minutes à pied de la porte des arrivées, où Samuel doit être au plus tard à $9$ h $50$ .

L'avion a du retard : Samuel et sa sœur ne reprennent la voiture qu'à $13$ h $05$ , le même jour. Le tarif du stationnement est dans le document 1.

Durée de stationnement	Tarif
Première tranche de $30$ minutes ou fraction de tranche	$5$ dollars
Chaque tranche de $30$ minutes entamée ensuite	$3$ dollars
Maximum par journée	$35$ dollars

Document 1 : le tarif du stationnement longue durée

Départ du stationnement	Arrivée au terminal
$5$ h $00$	$5$ h $12$
$5$ h $25$	$5$ h $37$
$5$ h $50$	$6$ h $02$
$\ldots$	$\ldots$

Document 2 : le début de l'horaire de la navette, qui part toutes les 25 minutes toute la journée

Samuel arrivera-t-il à temps à la porte des arrivées, et combien paiera-t-il pour le stationnement ?

Voir la correction

Réponses

1) Navette de $9$ h $35$ , après $23$ minutes d'attente
2) Arrivée à la porte à $9$ h $49$ : Samuel est à temps
3) Stationnement de $233$ minutes : $5+7\times 3=26$ dollars

Étape 1 : la navette, un phénomène périodique.

Les départs reviennent toutes les $25$ minutes à partir de $5$ h $00$ : on compte les minutes depuis le premier départ, pas depuis minuit ni depuis $9$ h $00$ .

De $5$ h $00$ à $9$ h $12$ : $4$ h $12$ , soit $252$ minutes

$252=10\times 25+2$ : le dixième départ après celui de $5$ h $00$ a eu lieu à $250$ minutes, soit $9$ h $10$ , deux minutes trop tôt

Départ suivant : $11\times 25=275$ minutes, soit $9$ h $35$ , donc $275-252=23$ minutes d'attente

Étape 2 : l'heure d'arrivée à la porte.

$9$ h $35$ , plus $12$ minutes de trajet (document 2) : $9$ h $47$ au terminal, puis $2$ minutes à pied : $9$ h $49$

$9$ h $49$ précède $9$ h $50$ : Samuel arrive à temps, avec une minute d'avance.

Étape 3 : la durée du stationnement.

De $9$ h $12$ à $13$ h $05$ : $3$ h $53$ , soit $233$ minutes

Étape 4 : le tarif, une fonction en escalier.

La première tranche couvre les $30$ premières minutes pour $5$ dollars. Il reste $233-30=203$ minutes.

$\dfrac{203}{30}\approx 6{,}77$ : $7$ tranches sont entamées

Coût : $5+7\times 3=26$ dollars, sous le maximum de $35$ dollars, qui ne s'applique donc pas

Piège : diviser la durée entière par $30$ , $\dfrac{233}{30}\approx 7{,}77$ , et payer $8$ tranches à $3$ dollars en plus de la première, soit $29$ dollars. La première tranche a déjà payé ses $30$ minutes : on ne la compte qu'une fois.

Conclusion. Samuel prend la navette de $9$ h $35$ après $23$ minutes d'attente et arrive à la porte des arrivées à $9$ h $49$ : il est à temps. Le stationnement lui coûte $26$ dollars.

Validation : le maximum de $35$ dollars ne serait atteint qu'au-delà de $5$ heures de stationnement ( $5+3n=35$ donne $n=10$ tranches, entamées dès $301$ minutes), et Samuel reste moins de $4$ heures ; $26$ dollars est donc cohérent.

Grille : ce que la grille descriptive du Ministère attend dans cette situation.

Cr2, concepts et processus : le prochain départ calculé par les multiples de la période depuis l'origine du cycle, et la fonction en escalier avec sa première tranche à part. Arrondir le nombre de tranches vers le bas ou au plus proche est l'erreur conceptuelle du chapitre.

Cr3, raisonnement : la situation a deux exigences indépendantes, l'heure et le coût. N'en traiter qu'une, c'est répondre à certaines exigences, donc au mieux le niveau C à ce critère.

Cr4, structuration : les durées converties en minutes et nommées, depuis $5$ h $00$ pour la navette, depuis $9$ h $12$ pour le stationnement, sans mélanger les deux origines.

Cr5, justification : « à temps » se justifie par la comparaison de $9$ h $49$ avec $9$ h $50$ ; « $26$ dollars » par le nombre de tranches entamées et la vérification du maximum.

Copie de niveau A : les deux réponses justes et justifiées. Copie de niveau C : la navette juste mais un coût de $29$ dollars, ou un coût juste mais une attente comptée depuis $9$ h $00$ .

Piège : chercher les départs à partir de $9$ h $00$ , comme si c'en était un ; $9$ h $00$ est à $240$ minutes du premier départ, et $240$ n'est pas un multiple de $25$ .

Le tarif selon la durée : chaque palier est ouvert à gauche et fermé à droite ; les 233 minutes de Samuel tombent sur le palier de 26 dollars

Exercice 7 : Situation d'application, catégorie I : le sondage du conseil étudiant

10 points Nuage de points, corrélation et régression Dispersion, rang centile et diagrammes

Le conseil étudiant a relevé, pour neuf élèves volontaires, le temps d'étude hebdomadaire en mathématique et la note finale obtenue (documents 1 et 2).

Heures d'étude	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Note (%)	$55$	$58$	$64$	$66$	$71$	$70$	$78$	$82$	$85$

Document 1 : les données des neuf volontaires

Document 2 : le nuage de points, heures d'étude en abscisse et note en pourcentage en ordonnée

Jade compte étudier $7{,}5$ heures par semaine. Quelle note peut-elle espérer, d'après une droite médiane-médiane ? Cette note la placerait-elle parmi le quart des meilleurs résultats des neuf volontaires ?

Voir la correction

Réponses

1) Droite médiane-médiane $y=4x+46$ : note espérée $76\;\%$
2) $Q_{3}=80\;\%$
3) $76<80$ : Jade ne serait pas parmi le quart des meilleurs résultats

Étape 1 : les trois groupes et leurs points médians.

Les couples sont déjà rangés par heures croissantes ; on forme trois groupes de trois.

Groupe 1, $x=2,3,4$ : médiane des $x$ égale à $3$ , médiane de $55$ , $58$ , $64$ égale à $58$ , donc $P_{1}(3\,;58)$

Groupe 2, $x=5,6,7$ : médiane des $x$ égale à $6$ ; les notes $66$ , $71$ , $70$ se rangent en $66$ , $70$ , $71$ , donc $P_{2}(6\,;70)$

Groupe 3, $x=8,9,10$ : $P_{3}(9\,;82)$

Piège : dans le groupe 2, la médiane des notes est $70$ , pas $71$ ; on range les trois notes avant de prendre celle du milieu.

Étape 2 : la droite médiane-médiane.

Pente, avec $P_{1}$ et $P_{3}$ seulement : $a=\dfrac{82-58}{9-3}=\dfrac{24}{6}=4$

Point moyen des trois points médians : $\left(\dfrac{3+6+9}{3}\,;\dfrac{58+70+82}{3}\right)=(6\,;70)$

$70=4(6)+b$ , donc $b=46$ : $y=4x+46$

Étape 3 : la prévision pour Jade.

\displaystyle y=4(7{,}5)+46=76

$7{,}5$ heures est à l'intérieur de la plage observée, de $2$ à $10$ heures : c'est une interpolation, la prévision est légitime.

Étape 4 : le quart des meilleurs résultats.

Le quart des meilleurs résultats commence au troisième quartile, $Q_{3}$ .

Notes rangées : $55$ , $58$ , $64$ , $66$ , $70$ , $71$ , $78$ , $82$ , $85$ ; la médiane est la cinquième, $70$

Moitié supérieure, sans la médiane : $71$ , $78$ , $82$ , $85$ , donc $Q_{3}=\dfrac{78+82}{2}=80$

$76<80$ : Jade se situerait entre la médiane et $Q_{3}$ , dans le troisième quart, pas dans le quart supérieur.

Piège : avec un effectif impair, la médiane n'appartient à aucune des deux moitiés ; l'inclure déplace $Q_{3}$ à $78$ . La conclusion ne change pas ici, mais le quartile est faux.

Conclusion. D'après la droite médiane-médiane $y=4x+46$ , Jade peut espérer environ $76\,\%$ en étudiant $7{,}5$ heures par semaine. Cette note resterait sous le troisième quartile des volontaires, $80\,\%$ : elle ne la placerait pas parmi le quart des meilleurs résultats.

Validation : la prévision, $76$ , tombe entre les notes de $7$ et de $8$ heures, $70$ et $78$ , ce que le nuage laissait attendre. Avec neuf volontaires seulement, c'est une tendance, pas une garantie.

Grille : ce que la grille descriptive du Ministère attend dans cette situation.

Cr2, concepts et processus : la droite médiane-médiane construite selon ses règles (groupes, médianes des $x$ et des $y$ prises séparément, pente par $P_{1}$ et $P_{3}$ , point moyen), puis le calcul de $Q_{3}$ .

Cr3, raisonnement : relier « le quart des meilleurs résultats » au troisième quartile, qu'aucune ligne de la consigne ne nomme. C'est l'exigence que le plus de copies ratent.

Cr4, structuration : les trois points médians écrits avec leur groupe, l'équation posée avant la prévision, les notes rangées avant les quartiles.

Cr5, justification : « interpolation » justifie le droit de prévoir ; « $76<80$ » justifie la réponse à la seconde question.

Copie de niveau A : la droite, la prévision et le quartile justes, les deux réponses rédigées. Copie de niveau C : la droite et les $76\,\%$ justes, mais la seconde question tranchée sans quartile, une exigence sur deux.

Piège : comparer $76$ à la moyenne des notes, environ $69{,}89$ , et conclure « au-dessus de la moyenne, donc parmi les meilleurs ». Être au-dessus de la moyenne ne dit pas qu'on est dans le quart supérieur.

Les points médians en orange, la droite médiane-médiane y = 4x + 46 en bleu, la prévision de Jade en vert, sous le troisième quartile

Exercice 8 : Situation d'application, catégorie II : le véhicule et les promesses du vendeur

10 points Les fonctions exponentielles

Un concessionnaire vend un véhicule neuf $32\,000$ dollars. Le document 1 donne la valeur de revente estimée par un guide automobile pour les trois premières années.

Le vendeur affirme : « Ce véhicule perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Après $4$ ans, il aura donc perdu $60\,\%$ de sa valeur. Mais rassurez-vous : il vaudra encore plus de $10\,000$ dollars au bout de $7$ ans. »

Années écoulées	$0$	$1$	$2$	$3$
Valeur estimée (dollars)	$32\,000$	$27\,200$	$23\,120$	$19\,652$

Document 1 : la valeur de revente estimée par le guide

Chacune des deux affirmations chiffrées du vendeur, la perte de $60\,\%$ en $4$ ans et la valeur de plus de $10\,000$ dollars après $7$ ans, est-elle vraie ou fausse ? Justifiez à l'aide d'un modèle mathématique que vous aurez validé sur les données du guide.

Voir la correction

Réponses

1) Modèle $V(t)=32\,000(0{,}85)^{t}$ (rapports constants de $0{,}85$ ) ; perte réelle en $4$ ans : $47{,}8\;\%$
2) « $60\;\%$ en $4$ ans » : affirmation fausse
3) $V(7)\approx 10\,258{,}47$ dollars : « plus de $10\,000$ dollars après $7$ ans » est vraie

Étape 1 : reconnaître le modèle.

Les écarts d'une année à l'autre ne sont pas constants, donc le modèle n'est pas affine :

$32\,000-27\,200=4\,800$ ; $27\,200-23\,120=4\,080$ ; $23\,120-19\,652=3\,468$

Les rapports, eux, sont constants :

\displaystyle \dfrac{27\,200}{32\,000}=\dfrac{23\,120}{27\,200}=\dfrac{19\,652}{23\,120}=0{,}85

Un rapport constant d'une année à la suivante caractérise une fonction exponentielle : chaque année on multiplie par $0{,}85$ , on conserve $85\,\%$ de la valeur, on en perd $15\,\%$ . Le début de la phrase du vendeur est donc juste.

Modèle : $V(t)=32\,000(0{,}85)^{t}$ , où $t$ est le nombre d'années écoulées

Étape 2 : la perte en 4 ans.

$V(4)=32\,000(0{,}85)^{4}=32\,000\times 0{,}522\,006\,25=16\,704{,}20$ dollars

Part conservée : $0{,}85^{4}\approx 0{,}522$ , soit $52{,}2\,\%$ ; perte réelle : $100\,\%-52{,}2\,\%=47{,}8\,\%$

La première affirmation est fausse : le vendeur additionne quatre fois $15\,\%$ , alors que chaque année les $15\,\%$ se calculent sur une valeur déjà réduite. Contre-exemple chiffré : une perte de $60\,\%$ laisserait $12\,800$ dollars, et le modèle en donne $16\,704{,}20$ .

Étape 3 : la valeur après 7 ans.

$V(7)=32\,000(0{,}85)^{7}\approx 10\,258{,}47$ dollars

$10\,258{,}47>10\,000$ : la seconde affirmation est vraie, de justesse. La valeur passe sous $10\,000$ dollars pendant la huitième année : $V(8)\approx 8\,719{,}70$ dollars.

Piège : garder le raisonnement additif pour la seconde affirmation, $32\,000-7\times 4\,800=-1\,600$ , une valeur négative, et la déclarer fausse. Le modèle affine a été écarté dès l'étape 1.

Conclusion. Le modèle exponentiel $V(t)=32\,000(0{,}85)^{t}$ reproduit exactement les données du guide. Avec lui, la perte après $4$ ans est de $47{,}8\,\%$ et non de $60\,\%$ : la première affirmation est fausse. La valeur après $7$ ans, environ $10\,258{,}47$ dollars, dépasse bien $10\,000$ dollars : la seconde est vraie.

Validation : le modèle redonne la valeur de l'année $3$ du guide, $32\,000(0{,}85)^{3}=19\,652$ dollars ; et une perte inférieure à $4\times 15=60\,\%$ est cohérente, puisque chaque nouvelle perte porte sur un montant plus petit.

Grille : ce que la grille descriptive du Ministère attend dans cette situation.

C'est la situation de catégorie II de l'épreuve : on doit reconnaître un modèle, puis convaincre et invalider. La conjecture « le modèle est exponentiel », lisible dans les traces de l'étape 1, s'évalue au critère 3, comme le prévoit la note de la grille du Ministère.

Cr2, concepts et processus : la base $0{,}85$ tirée des rapports, les calculs de $V(4)$ et de $V(7)$ sans erreur. Une base de $0{,}15$ est une erreur conceptuelle.

Cr3, raisonnement : valider le modèle sur les données avant de s'en servir. Une copie qui reprend les $15\,\%$ de la phrase du vendeur sans les confronter au guide n'a pas reconnu le modèle, elle l'a recopié.

Cr4, structuration : les deux affirmations traitées séparément, chacune annoncée, calculée, puis tranchée.

Cr5, justification : c'est le critère qui pèse le plus ici. « Fausse » se justifie par un contre-exemple chiffré, $47{,}8\,\%$ contre $60\,\%$ ou $16\,704{,}20$ dollars contre $12\,800$ ; « vraie » par la valeur calculée et sa comparaison avec $10\,000$ .

Copie de niveau A : modèle reconnu par les rapports, deux verdicts justes et chiffrés. Copie de niveau C : deux verdicts justes, mais un modèle posé sans vérification sur le tableau et une première affirmation écartée par « les pourcentages ne s'additionnent pas », sans calcul.

Piège : croire qu'un vendeur qui se trompe une fois se trompe toujours. Chaque affirmation se tranche par son propre calcul, et ici l'une est fausse, l'autre vraie.

Exercice 9 : Situation d'application, catégorie I : le terrain triangulaire

10 points La résolution de triangles

Une municipalité veut aménager un terrain triangulaire $ABC$ en parc de quartier. L'arpenteur a mesuré le côté $\overline{AB}=85$ m, qui longe la rue, et les deux angles à ses extrémités : l'angle $A$ mesure $78^{\circ}$ et l'angle $B$ , $40^{\circ}$ (document 1).

Le terrain doit être entièrement clôturé et couvert de gazon en plaques. La clôture coûte $28$ dollars le mètre, pose comprise ; le gazon, $5$ dollars le mètre carré, pose comprise. Le budget des travaux est de $20\,000$ dollars.

Document 1 : le terrain d'après les mesures de l'arpenteur

Ce budget suffit-il à clôturer et à engazonner le terrain ? Donnez l'aire du terrain et le coût total des travaux.

Voir la correction

Réponses

1) $C=62^{\circ}$ , $\overline{BC}\approx 94{,}16$ m, $\overline{AC}\approx 61{,}88$ m ; aire $\approx 2\,572{,}44$ m $^{2}$
2) Coût total $\approx 19\,611{,}45$ dollars ( $6\,749{,}26$ de clôture, $12\,862{,}19$ de gazon)
3) Le budget suffit, avec une marge d'environ $388{,}55$ dollars

Étape 1 : le troisième angle.

\displaystyle C=180^{\circ}-78^{\circ}-40^{\circ}=62^{\circ}

C'est lui qui fait face au seul côté connu, $\overline{AB}$ : sans lui, la loi des sinus ne peut pas démarrer.

Étape 2 : les deux côtés manquants, par la loi des sinus.

Chaque côté va avec l'angle qui lui fait face : $\overline{AB}$ avec $C$ , $\overline{BC}$ avec $A$ , $\overline{AC}$ avec $B$ .

$\dfrac{\overline{BC}}{\sin 78^{\circ}}=\dfrac{85}{\sin 62^{\circ}}$ , donc $\overline{BC}=\dfrac{85\sin 78^{\circ}}{\sin 62^{\circ}}\approx 94{,}16$ m

$\dfrac{\overline{AC}}{\sin 40^{\circ}}=\dfrac{85}{\sin 62^{\circ}}$ , donc $\overline{AC}=\dfrac{85\sin 40^{\circ}}{\sin 62^{\circ}}\approx 61{,}88$ m

Piège : apparier $85$ avec $\sin 78^{\circ}$ parce que l'angle de $78^{\circ}$ touche le côté $\overline{AB}$ . Le côté $\overline{AB}$ fait face au sommet $C$ , pas à $A$ .

Étape 3 : le périmètre et l'aire.

Périmètre : $85+94{,}16+61{,}88\approx 241{,}04$ m

Aire, avec deux côtés et l'angle compris :

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times 85\times 61{,}88\times\sin 78^{\circ}\approx 2\,572{,}44$ m $^{2}$

Étape 4 : le coût et la décision.

Clôture : $241{,}04\times 28\approx 6\,749{,}26$ dollars

Gazon : $2\,572{,}44\times 5\approx 12\,862{,}19$ dollars

Total : $6\,749{,}26+12\,862{,}19\approx 19\,611{,}45$ dollars

$19\,611{,}45<20\,000$ : le budget suffit, il reste environ $388{,}55$ dollars.

Conclusion. Le terrain a une aire d'environ $2\,572{,}44$ m $^{2}$ . La clôture et le gazon coûtent environ $19\,611{,}45$ dollars : le budget de $20\,000$ dollars suffit, avec une marge d'environ $388{,}55$ dollars, à peine $2\,\%$ .

Validation : le plus grand côté, $\overline{BC}\approx 94{,}16$ m, fait face au plus grand angle, $78^{\circ}$ , et le plus petit, $\overline{AC}\approx 61{,}88$ m, au plus petit, $40^{\circ}$ . L'aire recalculée avec un autre couple de côtés, $\dfrac{1}{2}\times 85\times 94{,}16\times\sin 40^{\circ}$ , redonne la même valeur. Une marge de $2\,\%$ est mince : un devis réel prévoirait une barrière et des pertes de gazon avant de signer.

Grille : ce que la grille descriptive du Ministère attend dans cette situation.

Cr2, concepts et processus : la somme des angles d'un triangle, la loi des sinus avec les bons appariements, la formule d'aire $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ . La loi des cosinus n'est pas au programme de la CST de quatrième secondaire, et elle n'est pas nécessaire ici.

Cr3, raisonnement : chercher le troisième angle avant la loi des sinus, et voir que la clôture demande le périmètre, le gazon l'aire : deux grandeurs, deux unités.

Cr4, structuration : chaque côté nommé avec son calcul, les deux coûts séparés avant le total, les mètres et les mètres carrés distingués.

Cr5, justification : la décision appuyée par la comparaison $19\,611{,}45<20\,000$ et la marge chiffrée.

Copie de niveau A : les côtés, l'aire, le coût et la décision justes et justifiés. Copie de niveau C : $\overline{BC}$ juste mais $\overline{AC}$ calculé avec $\sin 78^{\circ}$ ; le périmètre passe à $273{,}33$ m, l'aire à $3\,914{,}55$ m $^{2}$ , le coût à $27\,225{,}97$ dollars, et la copie conclut à tort que le budget ne suffit pas, avec une démarche par ailleurs cohérente.

Piège : clôturer seulement les deux côtés qui ne longent pas la rue, $17\,231{,}45$ dollars. La consigne dit « entièrement clôturé » : le côté $\overline{AB}$ se paie aussi.

Exercice 10 : Situation d'application, catégorie I : le mât et le nouveau drapeau

10 points La similitude et l'isométrie des triangles

Le comité de l'école veut remplacer le drapeau hissé au sommet du mât de la cour. Pour l'installer, le concierge doit louer une nacelle élévatrice dont la hauteur de travail atteint au moins le sommet du mât. Personne ne connaît la hauteur du mât.

Un après-midi ensoleillé, des élèves mesurent au même instant l'ombre du mât, $12$ m, et celle d'un piquet vertical de $1{,}5$ m, $2$ m (document 1). Les rayons du soleil sont parallèles.

Le nouveau drapeau sera un agrandissement de l'ancien, de même forme, long de $1{,}8$ m au lieu de $1{,}2$ m (document 2). Le tissu coûte $24$ dollars le mètre carré. Les tarifs de location sont dans le document 3.

Document 1 : le mât, le piquet et leurs ombres (schéma non à l'échelle)

Document 2 : l'ancien drapeau

Hauteur de travail maximale	Location pour une journée
$8$ m	$185$ dollars
$10$ m	$245$ dollars
$12$ m	$320$ dollars

Document 3 : les tarifs de location des nacelles

Le comité dispose de $300$ dollars. Ce montant suffit-il pour louer la nacelle la moins chère qui convienne et pour acheter le tissu du nouveau drapeau ?

Voir la correction

Réponses

1) Triangles semblables (cas AA) : mât de $9$ m, nacelle de $10$ m à $245$ dollars
2) Tissu $2{,}16$ m $^{2}$ , soit $51{,}84$ dollars ; dépense totale $296{,}84$ dollars
3) Les $300$ dollars suffisent, il reste $3{,}16$ dollars

Étape 1 : deux triangles semblables.

Le mât et son ombre, le piquet et son ombre forment deux triangles rectangles : l'objet est vertical, le sol horizontal.

Les rayons du soleil étant parallèles, ils font le même angle avec le sol dans les deux triangles.

Deux angles isométriques deux à deux, l'angle droit et l'angle des rayons : les triangles sont semblables par le cas AA.

Étape 2 : la hauteur du mât.

Les côtés homologues sont proportionnels, la hauteur avec la hauteur, l'ombre avec l'ombre :

$\dfrac{h}{1{,}5}=\dfrac{12}{2}=6$ , donc $h=6\times 1{,}5=9$ m

Piège : renverser la proportion, $\dfrac{h}{12}=\dfrac{2}{1{,}5}$ , donne $16$ m, un mât qu'aucune nacelle du document 3 n'atteindrait.

Étape 3 : la nacelle.

Il faut une hauteur de travail d'au moins $9$ m : la nacelle de $8$ m est trop courte ; celle de $10$ m convient et coûte $245$ dollars ; celle de $12$ m convient aussi, mais coûte $320$ dollars. On retient celle de $10$ m.

Étape 4 : le tissu du drapeau.

Rapport de similitude : $k=\dfrac{1{,}8}{1{,}2}=1{,}5$

Ancien drapeau : $1{,}2\times 0{,}8=0{,}96$ m $^{2}$

Les aires sont dans le rapport $k^{2}=2{,}25$ : $0{,}96\times 2{,}25=2{,}16$ m $^{2}$

Contrôle direct : le nouveau drapeau mesure $1{,}8$ m sur $0{,}8\times 1{,}5=1{,}2$ m, soit $2{,}16$ m $^{2}$ .

Tissu : $2{,}16\times 24=51{,}84$ dollars

Piège : multiplier l'aire par $k=1{,}5$ au lieu de $k^{2}$ donne $1{,}44$ m $^{2}$ et $34{,}56$ dollars. Ici la décision ne change pas, mais le coût du tissu est sous-estimé d'un tiers.

Étape 5 : la décision.

$245+51{,}84=296{,}84$ dollars, et $296{,}84\le 300$

Conclusion. Le mât mesure $9$ m ; la nacelle de $10$ m, à $245$ dollars, est la moins chère qui convienne. Avec $51{,}84$ dollars de tissu, la dépense totale est de $296{,}84$ dollars : les $300$ dollars du comité suffisent, et il reste $3{,}16$ dollars.

Validation : le piquet a une ombre plus longue que lui, $2$ m pour $1{,}5$ m ; le mât doit donc lui aussi être moins haut que son ombre, et $9<12$ .

Grille : ce que la grille descriptive du Ministère attend dans cette situation.

Cr2, concepts et processus : le cas de similitude AA, la proportion entre côtés homologues, le rapport des aires $k^{2}$ . Ce dernier point est le concept qui sépare les copies.

Cr3, raisonnement : la situation cache deux similitudes de natures différentes, les triangles d'ombre pour une longueur, les drapeaux pour une aire ; et le choix de la nacelle demande de comparer trois offres, pas seulement de calculer.

Cr4, structuration : la hauteur établie avant le choix de la nacelle, l'aire avant le prix du tissu, les deux dépenses additionnées en une ligne.

Cr5, justification : la similitude des triangles justifiée par le NOM du cas et ses deux angles ; le choix de la nacelle par la comparaison avec $9$ m ; la décision par $296{,}84\le 300$ .

Copie de niveau A : hauteur, nacelle, tissu et décision justes, chaque affirmation appuyée. Copie de niveau C : hauteur et nacelle justes, mais l'aire multipliée par $k$ , donc un tissu à $34{,}56$ dollars et un total de $279{,}56$ dollars ; la décision est la même, mais un concept requis est mal appliqué et la similitude n'est pas justifiée.

Piège : écrire la proportion sans dire pourquoi les triangles sont semblables. « Les rayons sont parallèles » est la donnée qui fonde tout le calcul : la citer avec le cas AA, c'est le point du critère 5 que les copies laissent le plus souvent.

Examen blanc corrigé : l'épreuve ministérielle de mathématique CST (secondaire 4)

Rappel de cours

Section A : questions à choix multiple (/24 • environ 30 minutes)

Exercice 1 : Questions à choix multiple : puissance, relations métriques, corrélation

Exercice 2 : Questions à choix multiple : système, similitude, rang centile

Section B : questions à réponse courte (/16 • environ 30 minutes)

Exercice 3 : Réponses courtes : fonction quadratique et fonction définie par parties

Exercice 4 : Réponses courtes : droite perpendiculaire et aire d'un triangle quelconque

Section C : situations d'application (/60 • environ 120 minutes)

Exercice 5 : Situation d'application, catégorie I : la passerelle du parc

Exercice 6 : Situation d'application, catégorie I : le stationnement et la navette

Exercice 7 : Situation d'application, catégorie I : le sondage du conseil étudiant

Exercice 8 : Situation d'application, catégorie II : le véhicule et les promesses du vendeur

Exercice 9 : Situation d'application, catégorie I : le terrain triangulaire

Exercice 10 : Situation d'application, catégorie I : le mât et le nouveau drapeau

Voir aussi

Vous préparez l'épreuve ministérielle de math CST à Montréal ?