Exercices corrigés : dispersion, rang centile et diagrammes (math CST, secondaire 4)

a) On compte les feuilles ligne par ligne : $3+6+7+5+3+1=25$ résultats, ce qui correspond bien à l'effectif annoncé. Ce comptage est la première chose à faire, car une feuille oubliée fausse tout le reste. Les trois plus petits résultats se lisent en haut à gauche : $42$, $45$ et $48$. Les trois plus grands se lisent en bas à droite : $82$, $86$ et $94$.

b) Le MODE est la valeur qui revient le plus souvent. En parcourant les feuilles, une seule valeur apparaît deux fois : $64$, sur la tige $6$, dont les feuilles sont $0$, $2$, $4$, $4$, $5$, $6$ et $8$. Le mode vaut donc $64$. La MÉDIANE est la valeur du milieu une fois les données rangées, ce qu'un diagramme à tige et à feuilles fait déjà pour nous : avec $25$ données, elle occupe le rang $\dfrac{25+1}{2}=13$. En comptant les feuilles, les rangs $1$ à $3$ sont sur la tige $4$, les rangs $4$ à $9$ sur la tige $5$, et les rangs $10$ à $16$ sur la tige $6$ ; le rang $13$ est donc la quatrième feuille de la tige $6$, soit $64$. La médiane vaut $64$.

c) On additionne les $25$ résultats : $42+45+48 = 135$ pour la tige $4$, $330$ pour la tige $5$, $449$ pour la tige $6$, $371$ pour la tige $7$, $248$ pour la tige $8$ et $94$ pour la tige $9$. Le total vaut $1627$, donc la moyenne vaut $\dfrac{1627}{25}=65{,}08$. Additionner tige par tige plutôt que d'un seul jet est le moyen le plus sûr de ne pas se tromper, et cela permet de vérifier chaque bloc séparément.

d) Son avantage est de conserver TOUTES les données : on peut retrouver chaque résultat individuel et donc recalculer médiane, mode et moyenne, ce qu'un histogramme ne permet pas puisqu'il regroupe les valeurs en classes et les perd. Son inconvénient est de ne pas résister au grand nombre : au-delà de quelques dizaines de données, les lignes de feuilles deviennent illisibles, alors que l'histogramme, lui, reste lisible avec des milliers de données. On choisit donc le diagramme à tige et à feuilles pour un petit ensemble dont on veut garder le détail.

a) L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite donnée : $94-42=52$ points de pourcentage. Elle se calcule en une soustraction, mais elle ne repose que sur DEUX données, les deux extrêmes, et ignore complètement les $23$ autres. C'est à la fois sa simplicité et sa faiblesse.

b) La médiane, au rang $13$, partage les données en deux moitiés de $12$ valeurs. Le premier quartile est la médiane des $12$ premières, donc la moyenne des rangs $6$ et $7$ : $\dfrac{54+56}{2}=55$. Le troisième quartile est la médiane des $12$ dernières, donc la moyenne des rangs $19$ et $20$ : $\dfrac{74+75}{2}=74{,}5$. L'étendue interquartile vaut $74{,}5-55=19{,}5$. Elle mesure l'étalement de la MOITIÉ CENTRALE du groupe et ne dépend plus des extrêmes, ce qui la rend beaucoup plus robuste que l'étendue.

c) L'écart moyen est la moyenne des distances à la moyenne : $\dfrac{1}{25}\sum |x_i - 65{,}08|$. En calculant chaque écart en valeur absolue et en additionnant, on obtient une somme de $262{,}24$, donc un écart moyen de $\dfrac{262{,}24}{25}\approx 10{,}49$. Interprétation : un résultat s'écarte de la moyenne d'environ $10{,}5$ points de pourcentage, en moyenne. La valeur absolue n'est pas décorative, elle est indispensable : sans elle, les écarts positifs et négatifs s'annuleraient et la somme vaudrait exactement zéro pour toute distribution.

d) C'est l'ÉTENDUE qui change le plus. Sans le $94$, la plus grande donnée devient $86$ et l'étendue passe de $52$ à $86-42=44$, soit une chute de $8$ points causée par une seule donnée. La médiane, elle, ne bouge pas du tout : avec $24$ données elle devient la moyenne des rangs $12$ et $13$, soit $\dfrac{64+64}{2}=64$, exactement comme avant. La moyenne baisse légèrement, de $65{,}08$ à $63{,}88$. C'est la leçon centrale du chapitre : l'étendue et la moyenne sont sensibles aux valeurs extrêmes, la médiane et l'étendue interquartile leur résistent. Devant une distribution qui contient une donnée aberrante, on décrit donc le groupe par la médiane et l'étendue interquartile.

a) On compte les résultats strictement inférieurs à $74$ : ce sont les rangs $1$ à $18$, soit $42$, $45$, $48$, $51$, $53$, $54$, $56$, $57$, $59$, $60$, $62$, $64$, $64$, $65$, $66$, $68$, $71$ et $73$, donc $18$ données. Une seule donnée est égale à $74$, ce qui ajoute $\dfrac{1}{2}=0{,}5$. Le calcul donne $\dfrac{18+0{,}5}{25}\times 100 = 74$. Le rang centile de $74$ est donc $74$ : environ $74\,\%$ du groupe a fait moins bien.

b) Les résultats strictement inférieurs à $64$ sont au nombre de $11$. La valeur $64$ apparaît DEUX fois, ce qui ajoute $\dfrac{2}{2}=1$. On obtient $\dfrac{11+1}{25}\times 100 = 48$, donc un rang centile de $48$. Compter la moitié des données égales est ce qui donne le même rang centile aux deux élèves qui ont obtenu $64$, ce qui est équitable : deux résultats identiques doivent occuper la même position dans le groupe.

c) Les résultats strictement inférieurs à $94$ sont les $24$ autres, et une seule donnée lui est égale, d'où $\dfrac{24+0{,}5}{25}\times 100 = 98$. Le meilleur résultat du groupe a donc un rang centile de $98$, et non de $100$. Avec cette formule, le rang centile $100$ est IMPOSSIBLE : la moitié des données égales, au minimum la donnée elle-même comptée pour un demi, empêche toujours d'atteindre le total. De la même façon, le plus faible résultat, $42$, obtient un rang centile de $2$ et non de $0$.

d) L'élève confond son RÉSULTAT et son RANG CENTILE. Le résultat $64$ est une note sur $100$ ; le rang centile $48$ est une position dans le groupe, qui dit qu'environ $48\,\%$ des élèves ont fait moins bien que lui. Les deux nombres se ressemblent parce qu'ils s'expriment tous deux sur une échelle de $0$ à $100$, mais ils ne mesurent pas la même chose : un même résultat de $64$ donnerait un rang centile beaucoup plus élevé dans un groupe plus faible, et beaucoup plus bas dans un groupe très fort. C'est précisément pour cela que les rangs centiles servent à comparer des élèves venant de groupes différents, ce que les notes brutes ne permettent pas.

a) Le total vaut $160+100+80+60=400$, ce qui correspond bien à l'effectif annoncé : la lecture du diagramme est donc correcte et complète. Les pourcentages s'obtiennent en divisant chaque effectif par $400$ : autobus $\dfrac{160}{400}=40\,\%$, marche $\dfrac{100}{400}=25\,\%$, voiture $\dfrac{80}{400}=20\,\%$, vélo $\dfrac{60}{400}=15\,\%$. Leur somme vaut $100\,\%$, ce qui est la vérification à écrire.

b) Un tour complet vaut $360$ degrés et représente les $400$ élèves, donc chaque secteur reçoit sa part de ces $360$ degrés : autobus $0{,}40\times 360 = 144$ degrés, marche $0{,}25\times 360 = 90$ degrés, voiture $0{,}20\times 360 = 72$ degrés, vélo $0{,}15\times 360 = 54$ degrés. La somme vaut $144+90+72+54=360$ degrés, ce qui confirme les quatre calculs d'un coup. Ne jamais rendre une copie sans cette addition : elle repère aussitôt un pourcentage mal calculé.

c) Comparer quatre effectifs se fait avec un DIAGRAMME À BANDES : les hauteurs se comparent d'un coup d'oeil, bien mieux que des secteurs. Montrer la part de chacun dans un tout se fait avec un DIAGRAMME CIRCULAIRE, dont le disque entier représente justement le tout. Représenter des temps de trajet à la minute près demande un HISTOGRAMME : la variable est continue, il faut donc la regrouper en classes, et les bandes de l'histogramme sont collées les unes aux autres pour marquer cette continuité, contrairement à celles d'un diagramme à bandes.

d) Le diagramme CIRCULAIRE serait exactement le même : les proportions n'ayant pas changé, les angles ne changent pas non plus, et le disque ne montre pas l'effectif total. Le diagramme à BANDES, lui, changerait : toutes les bandes monteraient d'un quart, de $160$ à $200$ pour l'autobus par exemple. C'est la différence essentielle entre les deux, et une question d'examen classique : un diagramme circulaire montre des parts et cache le total, un diagramme à bandes montre des effectifs et révèle donc la croissance.

a) On trace un axe gradué couvrant les résultats, ici de $40$ à $100$. On dessine ensuite la boîte entre le premier quartile $55$ et le troisième quartile $74{,}5$, on la coupe par un trait vertical à la médiane $64$, puis on prolonge par deux moustaches jusqu'au minimum $42$ et jusqu'au maximum $94$. Le diagramme obtenu est celui de la figure. Attention à un détail de construction souvent oublié : les cinq valeurs se placent selon l'ÉCHELLE de l'axe, jamais à intervalles réguliers, sans quoi le diagramme ne montrerait plus rien de la dispersion.

b) Chacun des quatre morceaux du diagramme contient un quart des données, par construction des quartiles. La BOÎTE, qui va du premier au troisième quartile, contient donc $50\,\%$ des élèves, soit la moitié centrale du groupe ; chaque MOUSTACHE en contient $25\,\%$. C'est ce qui rend ce diagramme si compact : il montre d'un coup où se trouve la moitié centrale et jusqu'où s'étendent les extrêmes.

c) Les $25\,\%$ d'élèves les plus forts s'étalent de $74{,}5$ à $94$, soit sur $19{,}5$ points, alors que les $25\,\%$ les plus faibles s'étalent de $42$ à $55$, soit sur $13$ points. La distribution est donc étirée vers le HAUT : les meilleurs résultats sont plus dispersés que les plus faibles, et le résultat de $94$ y est pour beaucoup. C'est aussi la raison pour laquelle la moyenne, $65{,}08$, dépasse légèrement la médiane, $64$ : une valeur haute isolée tire la moyenne vers elle sans déplacer la médiane.

d) L'élève qui a obtenu $56$ se situe juste au-dessus du premier quartile $55$ : il fait donc partie de la moitié centrale du groupe, mais dans son quart inférieur, entre $55$ et $64$. L'élève qui a obtenu $72$ est situé entre la médiane $64$ et le troisième quartile $74{,}5$ : il appartient lui aussi à la moitié centrale, mais dans son quart supérieur. Aucun des deux ne se trouve dans une moustache, donc aucun n'est un cas extrême. C'est exactement l'usage du diagramme de quartiles : situer une donnée dans le groupe sans avoir la liste complète sous les yeux.

a) Classe A : étendue $75-55=20$ et étendue interquartile $69-61=8$. Classe B : étendue $94-42=52$ et étendue interquartile $74{,}5-55=19{,}5$. Les deux mesures de dispersion de la classe B valent donc environ deux fois et demie celles de la classe A, alors que leurs mesures de tendance centrale sont presque identiques.

b) Non, et c'est tout l'objet de l'exercice. Les moyennes, $65{,}0$ et $65{,}1$, ne diffèrent pratiquement pas, et les médianes non plus, $65$ et $64$. Mais l'écart moyen vaut $4{,}8$ dans la classe A contre $10{,}5$ dans la classe B : les résultats de la classe A sont serrés autour de la moyenne, ceux de la classe B très dispersés. La classe A est un groupe homogène où presque personne n'est en échec ni très en avance ; la classe B contient à la fois des élèves à $42$ et un élève à $94$. Une moyenne seule ne décrit jamais un groupe, il faut toujours l'accompagner d'une mesure de dispersion.

c) Dans la classe A. Un résultat de $70$ y dépasse le troisième quartile $69$, donc cet élève fait partie des $25\,\%$ les plus forts de sa classe. Dans la classe B, le même $70$ se situe entre la médiane $64$ et le troisième quartile $74{,}5$, donc dans le troisième quart : l'élève est au-dessus de la moitié du groupe, sans plus. Le même résultat brut ne vaut donc pas la même position selon le groupe, ce qui est exactement ce que mesure le rang centile de l'exercice 3.

d) Dans la classe B, nettement. Sa moustache de gauche descend jusqu'à $42$ et son premier quartile vaut $55$ : un quart de la classe, soit environ six élèves, se situe entre $42$ et $55$, donc en difficulté réelle. Dans la classe A, le minimum est $55$ et le premier quartile $61$ : le quart le plus faible se situe entre $55$ et $61$, ce qui est un niveau moyen sans plus. La moyenne ne pouvait pas le montrer parce qu'elle compense : dans la classe B, l'élève à $94$ et les élèves à $42$ se neutralisent dans le calcul, et le résultat ressemble à celui d'une classe homogène. C'est pour cela qu'on regarde d'abord le diagramme de quartiles avant de décider d'une intervention.

a) On range les données selon $x$, ici déjà fait, et on les partage en trois groupes de trois. Groupe $1$ : $(1;48)$, $(2;55)$ et $(3;52)$. Groupe $2$ : $(4;60)$, $(5;64)$ et $(6;63)$. Groupe $3$ : $(7;70)$, $(8;74)$ et $(9;78)$. Le point médian d'un groupe a pour abscisse la MÉDIANE des $x$ et pour ordonnée la MÉDIANE des $y$, calculées séparément. On obtient $P_1(2\,;52)$, car la médiane des $y$ de $48$, $55$ et $52$ est $52$ ; puis $P_2(5\,;63)$ et $P_3(8\,;74)$. Ces trois points sont tracés en blanc sur la figure du corrigé, et remarquez que $P_1$ et $P_3$ ne sont pas des points du nuage : un point médian est construit, il n'a pas à exister dans les données.

b) La pente de la droite médiane-médiane se calcule avec le PREMIER et le TROISIÈME point médian seulement : $a = \dfrac{74-52}{8-2}=\dfrac{22}{6}=\dfrac{11}{3}\approx 3{,}67$. La droite passe ensuite par le point moyen des trois points médians, d'abscisse $\dfrac{2+5+8}{3}=5$ et d'ordonnée $\dfrac{52+63+74}{3}=63$. On écrit $y-63=\dfrac{11}{3}(x-5)$, d'où $y=\dfrac{11}{3}x + \dfrac{134}{3}$, soit environ $y=3{,}67x+44{,}67$. Le rôle du point du milieu est d'ajuster la HAUTEUR de la droite sans toucher à sa pente : c'est ce qui distingue cette méthode d'une simple droite tracée entre deux points.

c) Pour $x=6$, le modèle donne $y=\dfrac{11}{3}\times 6 + \dfrac{134}{3}=22+44{,}67\approx 66{,}7$. L'estimation est FIABLE, parce que $6$ heures se situe à l'intérieur de l'intervalle des données observées, qui va de $1$ à $9$ heures : on INTERPOLE. On peut d'ailleurs la confronter au nuage, où l'élève ayant révisé $6$ heures a obtenu $63$, ce qui est cohérent à quelques points près.

d) Pour $x=20$, le modèle donne $y=\dfrac{11}{3}\times 20 + \dfrac{134}{3}=\dfrac{220+134}{3}=118$. Un résultat de $118\,\%$ est impossible, ce qui suffit à disqualifier le calcul. L'erreur n'est pas arithmétique, elle est de méthode : $20$ heures est très loin des données observées, donc on EXTRAPOLE, et rien ne garantit que le lien reste linéaire au-delà de ce qui a été mesuré. Dans la réalité, les gains plafonnent, comme le résultat lui-même. Un modèle statistique n'est valide que dans l'intervalle où il a été construit, et une réponse d'examen doit le dire explicitement.

1) FAUX. Les deux classes de l'exercice 6 ont des moyennes de $65{,}0$ et $65{,}1$ et pourtant des écarts moyens de $4{,}8$ et $10{,}5$ : l'une est homogène, l'autre contient à la fois des élèves à $42$ et un élève à $94$. Énoncé correct : deux distributions se comparent par une mesure de tendance centrale ET par une mesure de dispersion, car la moyenne ne dit rien de l'étalement du groupe.

2) FAUX, et la confusion vient de ce que les deux nombres s'expriment sur une échelle de $0$ à $100$. Le résultat est une note, le rang centile est une position dans le groupe. Dans la distribution des exercices précédents, le résultat $64$ a un rang centile de $48$. Énoncé correct : le rang centile compte la proportion du groupe qui a fait moins bien, il dépend donc du groupe entier, alors que la note ne dépend que de la copie.

3) FAUX : la boîte contient bien $50\,\%$ des données, mais sa LONGUEUR dépend de l'étalement de ces données, pas de leur nombre. Dans le diagramme de l'exercice 5, la boîte s'étend de $55$ à $74{,}5$, soit $19{,}5$ points sur les $52$ points d'étendue totale, c'est-à-dire environ $37\,\%$ de la longueur. Énoncé correct : chacun des quatre morceaux contient un quart des données, et une longueur courte signale au contraire que ce quart est très resserré.

4) FAUX tel quel : la moyenne des écarts à la moyenne vaut TOUJOURS zéro, quelle que soit la distribution, puisque les écarts au-dessus compensent exactement ceux en dessous. Énoncé correct : l'écart moyen est la moyenne des VALEURS ABSOLUES des écarts à la moyenne, $\dfrac{1}{n}\sum |x_i - \bar{x}|$. Oublier la valeur absolue ne donne pas un résultat approximatif, il donne zéro à tous les coups.

5) FAUX. Le modèle n'est justifié que dans l'intervalle des données qui ont servi à le construire. Sur le nuage de l'exercice 7, appliquer la droite à $20$ heures donne $118\,\%$, un résultat impossible. Énoncé correct : la droite médiane-médiane permet d'INTERPOLER, c'est-à-dire d'estimer à l'intérieur de l'intervalle observé ; toute EXTRAPOLATION au-delà doit être annoncée comme incertaine, et une valeur impossible suffit à la rejeter.

a) La question porte sur les $300$ personnes interrogées, donc le dénominateur est $300$. La case commune aux deux caractères contient $90$ personnes, d'où $\dfrac{90}{300}=30\,\%$. On lit donc une case intérieure et on divise par le grand total.

b) Cette fois on ne s'intéresse qu'aux moins de $30$ ans, qui sont $130$ : le dénominateur change et devient un total de COLONNE. On obtient $\dfrac{90}{130}\approx 69{,}2\,\%$. Près de sept jeunes sur dix utilisent donc le transport collectif.

c) On se restreint maintenant aux usagers du transport collectif, qui sont $150$ : le dénominateur est un total de LIGNE. On obtient $\dfrac{90}{150}=60\,\%$. Les trois questions portent toutes sur les mêmes $90$ personnes, et pourtant elles donnent $30\,\%$, $69{,}2\,\%$ et $60\,\%$ : c'est le dénominateur, donc le groupe de référence, qui fait toute la différence. Avant de calculer un pourcentage dans un tableau à double entrée, il faut donc dire à voix haute sur quel groupe on le calcule.

d) Non, le titre est faux, et il confond exactement les questions b) et c). Le $60\,\%$ calculé en c) répond à « quelle part des usagers du transport collectif est jeune », alors que le titre affirme « quelle part des jeunes prend le transport collectif », qui est la question b) et vaut $69{,}2\,\%$. Un titre correct serait donc soit « $60\,\%$ des usagers du transport collectif ont moins de $30$ ans », soit « près de $70\,\%$ des jeunes prennent le transport collectif ». Cette inversion est l'erreur d'interprétation la plus répandue dans la lecture des sondages, et une évaluation la teste presque toujours.

a) Le rang centile $62$ de Camille signifie qu'environ $62\,\%$ des élèves de son groupe ont obtenu un résultat inférieur au sien : elle se situe un peu au-dessus de la médiane de sa classe. Le rang centile $85$ de Dominique signifie qu'environ $85\,\%$ de son groupe a fait moins bien : Dominique appartient donc aux $15\,\%$ les plus forts de son école, ce qui la ou le place dans le quart supérieur, au-delà du troisième quartile.

b) C'est la candidature de Dominique, malgré une note inférieure de sept points. Le rang centile mesure une POSITION dans un groupe, et $85$ est très supérieur à $62$. La lecture la plus parlante est celle des quartiles : Dominique dépasse le troisième quartile de son groupe, alors que Camille se situe entre la médiane et le troisième quartile du sien. Rapportée à son école, la performance de Dominique est donc nettement plus rare.

c) Parce que les deux notes viennent d'écoles différentes, donc d'examens différents, corrigés par des enseignants différents et passés par des groupes de niveaux différents. Un $78$ obtenu dans un groupe fort et un $78$ obtenu dans un groupe faible ne représentent pas la même performance. Le rang centile règle précisément ce problème : en exprimant chaque résultat comme une position dans SON groupe, il rend les deux dossiers comparables. C'est la raison pour laquelle les organismes d'admission s'appuient sur des rangs plutôt que sur des notes brutes.

d) Le rang centile $85$ signifie qu'environ $85\,\%$ des $40$ élèves ont fait moins bien, soit $0{,}85\times 40 = 34$ élèves. La réponse est APPROXIMATIVE, pour deux raisons. D'abord le rang centile est arrondi à l'entier supérieur, donc $85$ correspond à un intervalle de valeurs exactes et non à un nombre unique. Ensuite la formule ajoute la moitié des données égales, si bien que le compte des élèves strictement moins bons n'est pas exactement $85\,\%$ de l'effectif dès que plusieurs élèves ont la même note. On répond donc « environ $34$ élèves », et le mot « environ » fait partie de la réponse attendue.