Exercices corrigés : le théorème de Pythagore et sa réciproque (math, secondaire 3)

$c^{2}=9^{2}+40^{2}=81+1600=1681$, donc $c=\sqrt{1681}=41$ cm. Le triplet $9$-$40$-$41$ est rectangle, comme $3$-$4$-$5$.

$c^{2}=5^{2}+9^{2}=25+81=106$, donc $c=\sqrt{106}\approx 10{,}30$ cm. Contrôle : $10{,}30$ dépasse la plus longue cathète, $9$, sans atteindre la somme $5+9=14$.

$c^{2}=1{,}2^{2}+3{,}5^{2}=1{,}44+12{,}25=13{,}69$, donc $c=\sqrt{13{,}69}=3{,}7$ m. Piège : écrire $1{,}2^{2}=2{,}4$ ; le carré multiplie le nombre par lui-même, $1{,}2\times 1{,}2=1{,}44$.

L'hypoténuse est $37$ : $b^{2}=37^{2}-12^{2}=1369-144=1225$, donc $b=\sqrt{1225}=35$ cm. Piège : additionner, $1369+144=1513$, ce qui donne $38{,}9$ cm, plus long que l'hypoténuse.

$b^{2}=11^{2}-6^{2}=121-36=85$, donc $b=\sqrt{85}\approx 9{,}22$ cm.

$b^{2}=7{,}3^{2}-4{,}8^{2}=53{,}29-23{,}04=30{,}25$, donc $b=\sqrt{30{,}25}=5{,}5$ m. On garde toutes les décimales des carrés : c'est ce qui fait tomber la racine juste.

La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles dont elle est l'hypoténuse : $d^{2}=12^{2}+7^{2}=144+49=193$, donc $d=\sqrt{193}\approx 13{,}89$ cm.

La hauteur tombe au MILIEU de la base : le triangle rectangle a pour hypoténuse $9$ et pour cathète $\frac{8}{2}=4$. Donc $h^{2}=9^{2}-4^{2}=81-16=65$ et $h=\sqrt{65}\approx 8{,}06$ cm. Piège : garder la base entière, $9^{2}-8^{2}=17$, ce qui donne $4{,}12$ cm.

Écart horizontal : $3-(-4)=7$. Écart vertical : $1-(-2)=3$. Donc $EF^{2}=7^{2}+3^{2}=49+9=58$ et $EF=\sqrt{58}\approx 7{,}62$ unités. Piège : écrire $3-4=-1$ en perdant le signe de $-4$ ; soustraire un négatif, c'est ajouter.

Le plus grand côté est $5{,}3$ : $5{,}3^{2}=28{,}09$, et $2{,}8^{2}+4{,}5^{2}=7{,}84+20{,}25=28{,}09$. L'égalité est vérifiée : par la réciproque, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de $5{,}3$ cm. Piège : comparer avec un autre côté que le plus grand.

Triangle $ABC$, angle droit en $A$ : l'hypoténuse est $BC$, le côté qui ne touche pas $A$ ; relation $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Triangle $DEF$, angle droit en $E$ : hypoténuse $DF$, relation $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$. Triangle $GHI$, angle droit en $I$ : hypoténuse $GH$, le côté du BAS, relation $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$. Le troisième cas est le piège : l'hypoténuse n'est pas « le côté penché », c'est le côté opposé à l'angle droit, même quand il est horizontal.

$BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$, donc $BC=\sqrt{25}=5$. Le triangle $3$-$4$-$5$ est le plus connu des triangles rectangles à côtés entiers, et il sert de test rapide : chaque fois qu'on retrouve $3$, $4$, $5$ ou leurs multiples, le calcul est probablement juste.

$GH$ est l'hypoténuse, donc $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$, d'où $HI^{2}=GH^{2}-GI^{2}=36-15{,}21=20{,}79$ et $HI=\sqrt{20{,}79}\approx 4{,}56$. On SOUSTRAIT parce qu'on cherche une cathète : c'est l'hypoténuse qui est seule d'un côté de l'égalité. Écrire $HI^{2}=36+15{,}21$ donnerait $7{,}16$, un côté plus long que l'hypoténuse, impossible.

Parce que $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ avec $a^{2}>0$ et $b^{2}>0$ : le carré de l'hypoténuse est strictement plus grand que chacun des deux autres carrés, donc l'hypoténuse est plus longue que chaque cathète. C'est un contrôle gratuit sur toute réponse : une « hypoténuse » de $4{,}56$ avec une cathète de $6$ est fausse avant même de vérifier le calcul. En revanche, l'hypoténuse est plus COURTE que la somme des deux cathètes, $5<3+4$ : le chemin direct est plus court que le détour par l'angle droit.

$c^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$, donc $c=10$ cm. C'est le triangle $3$-$4$-$5$ agrandi par $2$ : $6$-$8$-$10$. Les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles, ce qui donne des vérifications rapides.

L'hypoténuse est $13$ : $13^{2}=5^{2}+b^{2}$, donc $b^{2}=169-25=144$ et $b=12$ cm. Le triangle $5$-$12$-$13$ est le deuxième triplet à connaître. On isole le carré de la cathète cherchée en soustrayant : l'hypoténuse reste seule de son côté.

$c^{2}=7{,}5^{2}+4^{2}=56{,}25+16=72{,}25$, donc $c=\sqrt{72{,}25}=8{,}5$ cm, une racine exacte. Avec des décimaux, on garde toutes les décimales dans les carrés : $56{,}25$ et non $56$, sinon la racine ne tombe plus juste et on croit à une erreur. Contrôle : $8{,}5$ est plus grand que $7{,}5$ et plus petit que $7{,}5+4=11{,}5$.

La réponse $13{,}9$ cm est une cathète plus longue que l'hypoténuse $13$ cm : IMPOSSIBLE, l'hypoténuse est toujours le plus long côté. L'élève a additionné alors qu'il cherchait une cathète. Ce contrôle de bon sens ne demande aucun calcul et attrape l'erreur la plus courante du chapitre. La bonne réponse, $12$, est bien plus courte que $13$.

$c^{2}=25+49=74$, donc $c=\sqrt{74}$ cm, valeur exacte. $74$ n'est pas un carré parfait : $8^{2}=64$ et $9^{2}=81$. Arrondi : $\sqrt{74}\approx 8{,}60$ cm. L'écriture $\sqrt{74}$ n'est pas une réponse « pas finie », c'est la réponse exacte ; $8{,}60$ est l'approximation.

$64<74<81$, donc $8<\sqrt{74}<9$. Plus finement, $74$ est proche de $81$ mais plus proche du milieu : $8{,}5^{2}=72{,}25<74$, donc $\sqrt{74}>8{,}5$, et $8{,}6^{2}=73{,}96<74$, donc $\sqrt{74}>8{,}6$ ; $8{,}7^{2}=75{,}69>74$. Donc $8{,}6<\sqrt{74}<8{,}7$, cohérent avec la calculatrice.

Nouvelle hypoténuse : $c'^{2}=(\sqrt{74})^{2}+5^{2}=74+25=99$, donc $c'=\sqrt{99}\approx 9{,}95$ cm. Élever $\sqrt{74}$ au carré redonne $74$ EXACTEMENT, c'est tout l'intérêt de garder le radical. Avec l'arrondi $8{,}6$ : $8{,}6^{2}+25=98{,}96$, $\sqrt{98{,}96}\approx 9{,}948$, encore acceptable ; mais avec l'arrondi $8{,}60$ à l'unité, $9$, on obtiendrait $\sqrt{106}\approx 10{,}3$, faux dès la première décimale. Les arrondis s'accumulent d'une étape à l'autre, le radical jamais.

Diagonale $d$ : $d^{2}=1^{2}+1^{2}=2$, donc $d=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ m. C'est le nombre irrationnel le plus célèbre, et il apparaît dans le carré le plus simple qui soit. Pour un côté $a$ : $d^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$, donc $d=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}$. La diagonale de tout carré vaut son côté multiplié par $\sqrt{2}$, une formule qui reviendra sans arrêt.

Le plus grand côté est $29$ : $29^{2}=841$. Somme des carrés des deux autres : $20^{2}+21^{2}=400+441=841$. Égalité : le triangle est RECTANGLE, et l'angle droit est opposé au côté de $29$, c'est-à-dire entre les côtés de $20$ et de $21$. Le triplet $20$-$21$-$29$ est un vrai triplet rectangle, moins connu que $3$-$4$-$5$.

Plus grand côté $11$ : $11^{2}=121$. Autres : $7^{2}+8^{2}=49+64=113$. $121\neq 113$ : le triangle n'est PAS rectangle. Comme $121>113$, le carré du grand côté dépasse la somme, et l'angle opposé à $11$ est OBTUS, un peu plus de $90^{\circ}$ ; si c'était l'inverse, il serait aigu. Cette précision n'est pas exigée en secondaire 3, mais elle rend le test plus parlant.

« Le plus grand côté mesure $17$ cm. D'une part, $17^{2}=289$. D'autre part, $8^{2}+15^{2}=64+225=289$. Les deux résultats sont égaux, donc, d'après la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au côté de $17$ cm. » Quatre éléments notés : le plus grand côté nommé, les deux calculs séparés, la comparaison explicite, la conclusion qui cite la réciproque et place l'angle droit. Écrire seulement « $289=289$ donc rectangle » perd la moitié des points.

Non. Le test doit isoler le carré du PLUS GRAND côté, $11$, et le comparer à la somme des deux autres. L'élève a mis $11$ dans la somme : il compare $7^{2}+11^{2}$ à $8^{2}$, ce qui ne peut jamais être égal, puisque le membre de gauche contient déjà $11^{2}>8^{2}$. Ce faux test conclut « pas rectangle » pour TOUS les triangles, même le $3$-$4$-$5$ : $3^{2}+5^{2}=34\neq 16$. Une méthode qui donne toujours la même réponse ne teste rien ; ici, elle est tombée juste par hasard.

Cathète horizontale : $7-1=6$ ; cathète verticale : $10-2=8$. Alors $AB^{2}=6^{2}+8^{2}=100$, donc $AB=10$ unités. C'est le triangle $6$-$8$-$10$ de l'exercice 2, posé sur un quadrillage : compter les carreaux revient à soustraire les coordonnées.

Écart horizontal : $5-(-3)=8$. Écart vertical : $4-(-2)=6$, ou $-2-4=-6$, mais un carré efface le signe. $CD^{2}=8^{2}+6^{2}=100$, $CD=10$. Le piège est la soustraction d'un négatif : $5-(-3)=8$, pas $2$. On n'a pas besoin de tracer le triangle, mais le dessiner évite ce genre d'erreur.

$PQ$ est horizontal, $QR$ est vertical : l'angle en $Q$ est droit, le triangle est rectangle en $Q$. $PQ=6$, $QR=8$, et $PR=\sqrt{36+64}=10$. Périmètre : $6+8+10=24$ unités. On peut aussi vérifier par la réciproque : $10^{2}=6^{2}+8^{2}$, ce qui confirme l'angle droit en $Q$, opposé à $PR$.

Oui : les points $(0\,;0)$ et $(3\,;4)$ sont à distance $\sqrt{9+16}=5$, sans être alignés horizontalement ni verticalement, grâce au triplet $3$-$4$-$5$. Autre exemple : $(1\,;1)$ et $(5\,;4)$. Pour $\sqrt{2}$ : deux sommets opposés d'un carreau, $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$, la diagonale du carré unité. Sur un quadrillage, les distances possibles sont les racines carrées des sommes de deux carrés entiers : $1$, $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{8}$, $3$, $\sqrt{10}$ et ainsi de suite ; $\sqrt{3}$, par exemple, est impossible.

La hauteur tombe au milieu de la base : chaque demi-base mesure $5$ cm. Dans le demi-triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté de $13$ : $h^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144$, donc $h=12$ cm. Aire : $\dfrac{10\times 12}{2}=60$ cm$^{2}$. Le triangle $5$-$12$-$13$ réapparaît, cette fois comme MOITIÉ d'un triangle isocèle. Le piège est d'utiliser la base entière, $10$, dans le calcul de $h$ : cela donne $\sqrt{69}$, faux.

Demi-base $3$, hypoténuse $6$ : $h^{2}=36-9=27$, donc $h=\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$ cm. Aire : $\dfrac{6\times 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx 15{,}6$ cm$^{2}$. La hauteur d'un équilatéral n'est jamais un nombre entier quand le côté l'est : $\sqrt{3}$ est irrationnel.

Demi-base $\dfrac{a}{2}$, hypoténuse $a$ : $h^{2}=a^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{3a^{2}}{4}$, donc $h=\sqrt{\dfrac{3a^{2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Vérification avec $a=6$ : $\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, comme en b). Cette formule et celle de la diagonale du carré, $a\sqrt{2}$, sont les deux résultats de Pythagore à connaître par cœur : elles reviennent en géométrie des solides, en trigonométrie et au cégep.

Parce que le théorème ne vaut QUE pour un triangle RECTANGLE, et le triangle isocèle $13$-$13$-$10$ n'a pas d'angle droit : $13^{2}\neq 13^{2}+10^{2}$, la réciproque le confirme. Il faut d'abord CRÉER un angle droit, en traçant la hauteur, puis travailler dans l'un des deux demi-triangles. C'est le geste général du chapitre : devant une figure sans angle droit, on cherche ou on construit le triangle rectangle caché.

Le triangle rectangle a pour sommets le haut du grand poteau, le haut du petit poteau, et le point du grand poteau situé à la hauteur du petit, $4$ m au-dessus du sol. Ses cathètes : la distance horizontale $30$ m, et la DIFFÉRENCE des hauteurs, $12-4=8$ m. Le câble est l'hypoténuse. Le piège est de prendre $12$ m comme cathète verticale : le câble ne descend que de $8$ m, puisqu'il ne va pas jusqu'au sol.

$c^{2}=30^{2}+8^{2}=900+64=964$, donc $c=\sqrt{964}\approx 31{,}05$ m, soit $31$ m et $5$ cm. Contrôle : le câble est plus long que $30$ m et plus court que $30+8=38$ m.

$31{,}05-30=1{,}05$ m : à peine plus d'un mètre de plus pour $8$ m de descente. Descendre de $8$ m sur $30$ m n'allonge le trajet que de $3{,}5\,\%$ : quand une cathète est beaucoup plus petite que l'autre, l'hypoténuse est à peine plus longue que la grande cathète, parce que les carrés écrasent le petit côté ($64$ ne pèse presque rien à côté de $900$).

Pente : $\dfrac{8}{30}\approx 0{,}267$, soit $26{,}7\,\%$, au-dessus de $25\,\%$ : NON conforme. Pour une pente de $25\,\%$ avec $8$ m de descente, il faut une distance horizontale $d$ telle que $\dfrac{8}{d}=0{,}25$, donc $d=32$ m. Le poteau bas doit être planté à au moins $32$ m, et le câble mesurera alors $\sqrt{32^{2}+8^{2}}=\sqrt{1088}\approx 32{,}98$ m. La pente est un rapport de cathètes, pas une longueur d'hypoténuse : on la calcule AVANT Pythagore.

La diagonale est l'hypoténuse : $(16x)^{2}+(9x)^{2}=55^{2}$, soit $256x^{2}+81x^{2}=3025$, donc $337x^{2}=3025$ et $x=\sqrt{\dfrac{3025}{337}}\approx 2{,}996$ pouces. Le nombre $337=16^{2}+9^{2}$ est la constante du format $16:9$ : pour toute diagonale $D$, $x=\dfrac{D}{\sqrt{337}}$.

Largeur : $16x\approx 47{,}9$ pouces $\approx 121{,}8$ cm. Hauteur : $9x\approx 27{,}0$ pouces $\approx 68{,}5$ cm. Vérification : $\sqrt{47{,}9^{2}+27{,}0^{2}}\approx 55{,}0$. Un « $55$ pouces » fait donc environ $122$ cm de large et non $140$ : la diagonale est toujours plus grande que la largeur, puisque c'est l'hypoténuse.

$121{,}8$ cm de large : NON, il manque environ $2$ cm, sans compter le cadre. Pour le $65$ pouces : largeur $\dfrac{16\times 65}{\sqrt{337}}\approx 56{,}6$ pouces $\approx 143{,}9$ cm, encore moins. La largeur est proportionnelle à la diagonale, avec un facteur $\dfrac{16}{\sqrt{337}}\approx 0{,}872$ : pour une niche de $120$ cm, la diagonale maximale est environ $\dfrac{120}{2{,}54\times 0{,}872}\approx 54{,}2$ pouces, donc un « $50$ pouces » ou un « $52$ pouces ».

Format $4:3$ : $(4y)^{2}+(3y)^{2}=25y^{2}=3025$, donc $y=11$ pouces exactement, le triplet $3$-$4$-$5$ agrandi. Largeur $44$, hauteur $33$, aire $1452$ pouces carrés. Format $16:9$ : aire $47{,}9\times 27{,}0\approx 1293$ pouces carrés. L'écran $4:3$ a la plus grande aire, environ $12\,\%$ de plus, à diagonale égale : plus un rectangle est allongé, moins il a d'aire pour une même diagonale, et le carré serait le maximum. La « taille » en pouces d'un écran ne mesure donc pas sa surface.