Exercices corrigés : le théorème de Pythagore et sa réciproque (math, secondaire 3)

a) Triangle $ABC$, angle droit en $A$ : l'hypoténuse est $BC$, le côté qui ne touche pas $A$ ; relation $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Triangle $DEF$, angle droit en $E$ : hypoténuse $DF$, relation $DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$. Triangle $GHI$, angle droit en $I$ : hypoténuse $GH$, le côté du BAS, relation $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$. Le troisième cas est le piège : l'hypoténuse n'est pas « le côté penché », c'est le côté opposé à l'angle droit, même quand il est horizontal.

b) $BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25$, donc $BC=\sqrt{25}=5$. Le triangle $3$-$4$-$5$ est le plus connu des triangles rectangles à côtés entiers, et il sert de test rapide : chaque fois qu'on retrouve $3$, $4$, $5$ ou leurs multiples, le calcul est probablement juste.

c) $GH$ est l'hypoténuse, donc $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$, d'où $HI^{2}=GH^{2}-GI^{2}=36-15{,}21=20{,}79$ et $HI=\sqrt{20{,}79}\approx 4{,}56$. On SOUSTRAIT parce qu'on cherche une cathète : c'est l'hypoténuse qui est seule d'un côté de l'égalité. Écrire $HI^{2}=36+15{,}21$ donnerait $7{,}16$, un côté plus long que l'hypoténuse, impossible.

d) Parce que $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ avec $a^{2}>0$ et $b^{2}>0$ : le carré de l'hypoténuse est strictement plus grand que chacun des deux autres carrés, donc l'hypoténuse est plus longue que chaque cathète. C'est un contrôle gratuit sur toute réponse : une « hypoténuse » de $4{,}56$ avec une cathète de $6$ est fausse avant même de vérifier le calcul. En revanche, l'hypoténuse est plus COURTE que la somme des deux cathètes, $5<3+4$ : le chemin direct est plus court que le détour par l'angle droit.

a) $c^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$, donc $c=10$ cm. C'est le triangle $3$-$4$-$5$ agrandi par $2$ : $6$-$8$-$10$. Les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles, ce qui donne des vérifications rapides.

b) L'hypoténuse est $13$ : $13^{2}=5^{2}+b^{2}$, donc $b^{2}=169-25=144$ et $b=12$ cm. Le triangle $5$-$12$-$13$ est le deuxième triplet à connaître. On isole le carré de la cathète cherchée en soustrayant : l'hypoténuse reste seule de son côté.

c) $c^{2}=7{,}5^{2}+4^{2}=56{,}25+16=72{,}25$, donc $c=\sqrt{72{,}25}=8{,}5$ cm, une racine exacte. Avec des décimaux, on garde toutes les décimales dans les carrés : $56{,}25$ et non $56$, sinon la racine ne tombe plus juste et on croit à une erreur. Contrôle : $8{,}5$ est plus grand que $7{,}5$ et plus petit que $7{,}5+4=11{,}5$.

d) La réponse $13{,}9$ cm est une cathète plus longue que l'hypoténuse $13$ cm : IMPOSSIBLE, l'hypoténuse est toujours le plus long côté. L'élève a additionné alors qu'il cherchait une cathète. Ce contrôle de bon sens ne demande aucun calcul et attrape l'erreur la plus courante du chapitre. La bonne réponse, $12$, est bien plus courte que $13$.

a) $c^{2}=25+49=74$, donc $c=\sqrt{74}$ cm, valeur exacte. $74$ n'est pas un carré parfait : $8^{2}=64$ et $9^{2}=81$. Arrondi : $\sqrt{74}\approx 8{,}60$ cm. L'écriture $\sqrt{74}$ n'est pas une réponse « pas finie », c'est la réponse exacte ; $8{,}60$ est l'approximation.

b) $64<74<81$, donc $8<\sqrt{74}<9$. Plus finement, $74$ est proche de $81$ mais plus proche du milieu : $8{,}5^{2}=72{,}25<74$, donc $\sqrt{74}>8{,}5$, et $8{,}6^{2}=73{,}96<74$, donc $\sqrt{74}>8{,}6$ ; $8{,}7^{2}=75{,}69>74$. Donc $8{,}6<\sqrt{74}<8{,}7$, cohérent avec la calculatrice.

c) Nouvelle hypoténuse : $c'^{2}=(\sqrt{74})^{2}+5^{2}=74+25=99$, donc $c'=\sqrt{99}\approx 9{,}95$ cm. Élever $\sqrt{74}$ au carré redonne $74$ EXACTEMENT, c'est tout l'intérêt de garder le radical. Avec l'arrondi $8{,}6$ : $8{,}6^{2}+25=98{,}96$, $\sqrt{98{,}96}\approx 9{,}948$, encore acceptable ; mais avec l'arrondi $8{,}60$ à l'unité, $9$, on obtiendrait $\sqrt{106}\approx 10{,}3$, faux dès la première décimale. Les arrondis s'accumulent d'une étape à l'autre, le radical jamais.

d) Diagonale $d$ : $d^{2}=1^{2}+1^{2}=2$, donc $d=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ m. C'est le nombre irrationnel le plus célèbre, et il apparaît dans le carré le plus simple qui soit. Pour un côté $a$ : $d^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$, donc $d=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}$. La diagonale de tout carré vaut son côté multiplié par $\sqrt{2}$, une formule qui reviendra sans arrêt.

a) Le plus grand côté est $29$ : $29^{2}=841$. Somme des carrés des deux autres : $20^{2}+21^{2}=400+441=841$. Égalité : le triangle est RECTANGLE, et l'angle droit est opposé au côté de $29$, c'est-à-dire entre les côtés de $20$ et de $21$. Le triplet $20$-$21$-$29$ est un vrai triplet rectangle, moins connu que $3$-$4$-$5$.

b) Plus grand côté $11$ : $11^{2}=121$. Autres : $7^{2}+8^{2}=49+64=113$. $121\neq 113$ : le triangle n'est PAS rectangle. Comme $121>113$, le carré du grand côté dépasse la somme, et l'angle opposé à $11$ est OBTUS, un peu plus de $90^{\circ}$ ; si c'était l'inverse, il serait aigu. Cette précision n'est pas exigée en secondaire 3, mais elle rend le test plus parlant.

c) « Le plus grand côté mesure $17$ cm. D'une part, $17^{2}=289$. D'autre part, $8^{2}+15^{2}=64+225=289$. Les deux résultats sont égaux, donc, d'après la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au côté de $17$ cm. » Quatre éléments notés : le plus grand côté nommé, les deux calculs séparés, la comparaison explicite, la conclusion qui cite la réciproque et place l'angle droit. Écrire seulement « $289=289$ donc rectangle » perd la moitié des points.

d) Non. Le test doit isoler le carré du PLUS GRAND côté, $11$, et le comparer à la somme des deux autres. L'élève a mis $11$ dans la somme : il compare $7^{2}+11^{2}$ à $8^{2}$, ce qui ne peut jamais être égal, puisque le membre de gauche contient déjà $11^{2}>8^{2}$. Ce faux test conclut « pas rectangle » pour TOUS les triangles, même le $3$-$4$-$5$ : $3^{2}+5^{2}=34\neq 16$. Une méthode qui donne toujours la même réponse ne teste rien ; ici, elle est tombée juste par hasard.

a) Cathète horizontale : $7-1=6$ ; cathète verticale : $10-2=8$. Alors $AB^{2}=6^{2}+8^{2}=100$, donc $AB=10$ unités. C'est le triangle $6$-$8$-$10$ de l'exercice 2, posé sur un quadrillage : compter les carreaux revient à soustraire les coordonnées.

b) Écart horizontal : $5-(-3)=8$. Écart vertical : $4-(-2)=6$, ou $-2-4=-6$, mais un carré efface le signe. $CD^{2}=8^{2}+6^{2}=100$, $CD=10$. Le piège est la soustraction d'un négatif : $5-(-3)=8$, pas $2$. On n'a pas besoin de tracer le triangle, mais le dessiner évite ce genre d'erreur.

c) $PQ$ est horizontal, $QR$ est vertical : l'angle en $Q$ est droit, le triangle est rectangle en $Q$. $PQ=6$, $QR=8$, et $PR=\sqrt{36+64}=10$. Périmètre : $6+8+10=24$ unités. On peut aussi vérifier par la réciproque : $10^{2}=6^{2}+8^{2}$, ce qui confirme l'angle droit en $Q$, opposé à $PR$.

d) Oui : les points $(0\,;0)$ et $(3\,;4)$ sont à distance $\sqrt{9+16}=5$, sans être alignés horizontalement ni verticalement, grâce au triplet $3$-$4$-$5$. Autre exemple : $(1\,;1)$ et $(5\,;4)$. Pour $\sqrt{2}$ : deux sommets opposés d'un carreau, $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$, la diagonale du carré unité. Sur un quadrillage, les distances possibles sont les racines carrées des sommes de deux carrés entiers : $1$, $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{8}$, $3$, $\sqrt{10}$ et ainsi de suite ; $\sqrt{3}$, par exemple, est impossible.

a) La hauteur tombe au milieu de la base : chaque demi-base mesure $5$ cm. Dans le demi-triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté de $13$ : $h^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144$, donc $h=12$ cm. Aire : $\dfrac{10\times 12}{2}=60$ cm$^{2}$. Le triangle $5$-$12$-$13$ réapparaît, cette fois comme MOITIÉ d'un triangle isocèle. Le piège est d'utiliser la base entière, $10$, dans le calcul de $h$ : cela donne $\sqrt{69}$, faux.

b) Demi-base $3$, hypoténuse $6$ : $h^{2}=36-9=27$, donc $h=\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}\approx 5{,}20$ cm. Aire : $\dfrac{6\times 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx 15{,}6$ cm$^{2}$. La hauteur d'un équilatéral n'est jamais un nombre entier quand le côté l'est : $\sqrt{3}$ est irrationnel.

c) Demi-base $\dfrac{a}{2}$, hypoténuse $a$ : $h^{2}=a^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{3a^{2}}{4}$, donc $h=\sqrt{\dfrac{3a^{2}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Vérification avec $a=6$ : $\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, comme en b). Cette formule et celle de la diagonale du carré, $a\sqrt{2}$, sont les deux résultats de Pythagore à connaître par cœur : elles reviennent en géométrie des solides, en trigonométrie et au cégep.

d) Parce que le théorème ne vaut QUE pour un triangle RECTANGLE, et le triangle isocèle $13$-$13$-$10$ n'a pas d'angle droit : $13^{2}\neq 13^{2}+10^{2}$, la réciproque le confirme. Il faut d'abord CRÉER un angle droit, en traçant la hauteur, puis travailler dans l'un des deux demi-triangles. C'est le geste général du chapitre : devant une figure sans angle droit, on cherche ou on construit le triangle rectangle caché.

a) Le triangle rectangle a pour sommets le haut du grand poteau, le haut du petit poteau, et le point du grand poteau situé à la hauteur du petit, $4$ m au-dessus du sol. Ses cathètes : la distance horizontale $30$ m, et la DIFFÉRENCE des hauteurs, $12-4=8$ m. Le câble est l'hypoténuse. Le piège est de prendre $12$ m comme cathète verticale : le câble ne descend que de $8$ m, puisqu'il ne va pas jusqu'au sol.

b) $c^{2}=30^{2}+8^{2}=900+64=964$, donc $c=\sqrt{964}\approx 31{,}05$ m, soit $31$ m et $5$ cm. Contrôle : le câble est plus long que $30$ m et plus court que $30+8=38$ m.

c) $31{,}05-30=1{,}05$ m : à peine plus d'un mètre de plus pour $8$ m de descente. Descendre de $8$ m sur $30$ m n'allonge le trajet que de $3{,}5\,\%$ : quand une cathète est beaucoup plus petite que l'autre, l'hypoténuse est à peine plus longue que la grande cathète, parce que les carrés écrasent le petit côté ($64$ ne pèse presque rien à côté de $900$).

d) Pente : $\dfrac{8}{30}\approx 0{,}267$, soit $26{,}7\,\%$, au-dessus de $25\,\%$ : NON conforme. Pour une pente de $25\,\%$ avec $8$ m de descente, il faut une distance horizontale $d$ telle que $\dfrac{8}{d}=0{,}25$, donc $d=32$ m. Le poteau bas doit être planté à au moins $32$ m, et le câble mesurera alors $\sqrt{32^{2}+8^{2}}=\sqrt{1088}\approx 32{,}98$ m. La pente est un rapport de cathètes, pas une longueur d'hypoténuse : on la calcule AVANT Pythagore.

a) La diagonale est l'hypoténuse : $(16x)^{2}+(9x)^{2}=55^{2}$, soit $256x^{2}+81x^{2}=3025$, donc $337x^{2}=3025$ et $x=\sqrt{\dfrac{3025}{337}}\approx 2{,}996$ pouces. Le nombre $337=16^{2}+9^{2}$ est la constante du format $16:9$ : pour toute diagonale $D$, $x=\dfrac{D}{\sqrt{337}}$.

b) Largeur : $16x\approx 47{,}9$ pouces $\approx 121{,}8$ cm. Hauteur : $9x\approx 27{,}0$ pouces $\approx 68{,}5$ cm. Vérification : $\sqrt{47{,}9^{2}+27{,}0^{2}}\approx 55{,}0$. Un « $55$ pouces » fait donc environ $122$ cm de large et non $140$ : la diagonale est toujours plus grande que la largeur, puisque c'est l'hypoténuse.

c) $121{,}8$ cm de large : NON, il manque environ $2$ cm, sans compter le cadre. Pour le $65$ pouces : largeur $\dfrac{16\times 65}{\sqrt{337}}\approx 56{,}6$ pouces $\approx 143{,}9$ cm, encore moins. La largeur est proportionnelle à la diagonale, avec un facteur $\dfrac{16}{\sqrt{337}}\approx 0{,}872$ : pour une niche de $120$ cm, la diagonale maximale est environ $\dfrac{120}{2{,}54\times 0{,}872}\approx 54{,}2$ pouces, donc un « $50$ pouces » ou un « $52$ pouces ».

d) Format $4:3$ : $(4y)^{2}+(3y)^{2}=25y^{2}=3025$, donc $y=11$ pouces exactement, le triplet $3$-$4$-$5$ agrandi. Largeur $44$, hauteur $33$, aire $1452$ pouces carrés. Format $16:9$ : aire $47{,}9\times 27{,}0\approx 1293$ pouces carrés. L'écran $4:3$ a la plus grande aire, environ $12\,\%$ de plus, à diagonale égale : plus un rectangle est allongé, moins il a d'aire pour une même diagonale, et le carré serait le maximum. La « taille » en pouces d'un écran ne mesure donc pas sa surface.

a) Le fond est un rectangle $40\times 30$, et sa diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés : $f^{2}=40^{2}+30^{2}=1600+900=2500$, donc $f=50$ cm. C'est encore le triplet $3$-$4$-$5$, multiplié par $10$. C'est déjà plus long que la plus longue arête, $40$ cm.

b) Le triangle formé par la diagonale du fond $f$, l'arête verticale $20$ et la grande diagonale $d$ est rectangle, parce que l'arête verticale est perpendiculaire au fond, donc à $f$. Ainsi $d^{2}=f^{2}+20^{2}=2500+400=2900$, et $d=\sqrt{2900}=10\sqrt{29}\approx 53{,}85$ cm, soit $538{,}5$ mm. Deux applications successives de Pythagore : une dans le fond, une en se relevant.

c) En remplaçant $f^{2}$ par sa valeur : $d^{2}=(40^{2}+30^{2})+20^{2}=40^{2}+30^{2}+20^{2}$. En général, pour un pavé $a\times b\times c$ : $d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. C'est le théorème de Pythagore en TROIS dimensions, obtenu en l'appliquant deux fois, et il donne la distance entre deux sommets opposés de n'importe quelle boîte, ou entre deux points de l'espace à partir de leurs trois coordonnées.

d) $55>53{,}85$ : une baguette de $55$ cm n'entre PAS, même en diagonale, il manque $1{,}15$ cm. La plus longue possible mesure $53{,}8$ cm environ. Pour un cube de $30$ cm : $d=\sqrt{3\times 30^{2}}=30\sqrt{3}\approx 51{,}96$ cm. La diagonale d'un cube vaut son arête fois $\sqrt{3}$, comme la diagonale d'un carré vaut son côté fois $\sqrt{2}$ : deux dimensions donnent $\sqrt{2}$, trois dimensions donnent $\sqrt{3}$.