Exercices corrigés : la géométrie analytique des droites (math SN4, secondaire 4)

a) $AB=\sqrt{(8-2)^{2}+(3-1)^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $BC=\sqrt{(6-8)^{2}+(9-3)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $AC=\sqrt{(6-2)^{2}+(9-1)^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Le signe des différences n'a aucune importance, puisqu'elles sont élevées au carré : $(8-2)$ et $(2-8)$ donnent le même $36$.

b) Oui : $AB=BC=2\sqrt{10}$, donc le triangle est isocèle de sommet principal $B$. C'est une conclusion qu'on ne pouvait pas tirer du dessin, où les deux côtés ont des directions très différentes. La géométrie analytique sert exactement à cela : elle décide, alors que l'oeil suggère.

c) On compare les carrés, ce qui évite tout radical. Le plus grand côté est $AC$, avec $AC^{2}=80$. Les deux autres donnent $AB^{2}+BC^{2}=40+40=80$. L'égalité est vérifiée, donc par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est RECTANGLE en $B$. Le triangle est donc rectangle ET isocèle, ce qui est le cas particulier le plus commode : ses deux angles aigus valent $45$ degrés.

d) Le périmètre vaut $2\sqrt{10}+2\sqrt{10}+4\sqrt{5}=4\sqrt{10}+4\sqrt{5}$. Numériquement, $\sqrt{10}\approx 3{,}1623$ et $\sqrt{5}\approx 2{,}2361$, donc le périmètre vaut environ $12{,}65+8{,}94=21{,}59$ unités. On garde la forme exacte jusqu'au dernier moment : arrondir chaque racine avant d'additionner fait perdre des centièmes et parfois la réponse attendue.

e) L'angle droit est en $B$, donc les deux côtés de l'angle droit sont $AB$ et $BC$ : l'aire vaut $\dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{\sqrt{40}\times\sqrt{40}}{2}=\dfrac{40}{2}=20$ unités carrées. Le produit de deux racines identiques redonne le radicande, ce qui évite tout arrondi : l'aire est un nombre entier. Sans l'angle droit trouvé en c), il aurait fallu une hauteur, donc un calcul bien plus long.

a) $m=\dfrac{1-5}{6-(-4)}=\dfrac{-4}{10}=-\dfrac{2}{5}=-0{,}4$. La pente est négative, donc la droite descend de gauche à droite. On peut prendre les points dans l'autre ordre, $\dfrac{5-1}{-4-6}=\dfrac{4}{-10}$, ce qui donne le même résultat : seul le fait de mélanger les ordres, en écrivant $\dfrac{5-1}{6-(-4)}$, est faux.

b) Les deux points ont la même abscisse, donc le dénominateur vaut $3-3=0$ : la pente n'existe PAS. La droite est VERTICALE, d'équation $x=3$. On n'écrit jamais « pente infinie » ni « pente nulle » dans ce cas : la formulation attendue est que la pente est indéfinie, et c'est aussi pourquoi une droite verticale n'est pas une fonction.

c) Les deux points ont la même ordonnée : $m=\dfrac{4-4}{5-(-1)}=\dfrac{0}{6}=0$. La droite est HORIZONTALE, d'équation $y=4$. Pente nulle et pente indéfinie sont les deux cas particuliers à ne pas intervertir : une pente qui vaut zéro existe, une pente indéfinie n'existe pas.

d) $m=\dfrac{0{,}6}{8}=0{,}075$. En pourcentage, on multiplie par $100$ : la pente vaut $7{,}5$ pour cent. Une pente en pourcentage compare deux longueurs de MÊME unité : il faut donc convertir avant de diviser, sous peine d'un résultat cent fois trop grand. Pour information, la norme d'accessibilité usuelle plafonne ce genre de rampe à $8$ pour cent, donc celle-ci est conforme.

e) On compare les valeurs absolues : $|-3|=3$, $|2|=2$, $|0{,}5|=0{,}5$, $|-0{,}2|=0{,}2$. Du plus incliné au moins incliné : $m_{1}$, puis $m_{3}$, puis $m_{2}$, puis $m_{4}$. Le signe ne joue aucun rôle dans ce classement : une pente de $-3$ est aussi raide qu'une pente de $3$, elle descend au lieu de monter. C'est l'erreur classique, qui place les pentes négatives en dernier.

a) On isole $y$ : $4y=-3x+24$, donc $y=-\dfrac{3}{4}x+6$. La pente est $m=-\dfrac{3}{4}=-0{,}75$ et l'ordonnée à l'origine vaut $6$. Le raccourci à connaître : dans $Ax+By+C=0$, la pente vaut toujours $-\dfrac{A}{B}$, ici $-\dfrac{3}{4}$, ce qui permet de vérifier l'isolement en deux secondes.

b) L'ordonnée à l'origine s'obtient avec $x=0$ : $4y=24$, donc $y=6$. L'abscisse à l'origine s'obtient avec $y=0$ : $3x=24$, donc $x=8$. La forme symétrique s'écrit avec ces deux nombres AU DÉNOMINATEUR : $\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{6}=1$. C'est la forme la plus rapide à tracer, puisqu'elle donne directement les deux points où la droite coupe les axes, ceux que la figure marque.

c) Pour $(4\,;3)$ : $3\times 4+4\times 3-24=12+12-24=0$. L'égalité est vérifiée, donc le point appartient à la droite. Pour $(2\,;5)$ : $3\times 2+4\times 5-24=6+20-24=2\neq 0$. Le point n'appartient pas à la droite, et l'écart $2$ dit de quel côté il se trouve. Un point est sur une droite si et seulement si ses coordonnées VÉRIFIENT l'équation : on ne regarde jamais le dessin pour trancher.

d) On chasse les fractions en multipliant tout par $3$ : $3y=-2x+15$. On rassemble ensuite dans un même membre : $2x+3y-15=0$. La convention usuelle demande un coefficient $A$ positif et des coefficients entiers sans facteur commun ; ici $2$, $3$ et $-15$ n'en ont pas. Contrôle par la pente : $-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{2}{3}$, celle de l'énoncé.

e) Parce qu'une droite verticale n'a pas de pente : l'écriture $y=mx+b$ exige un $m$, et il n'existe pas ici. En revanche, la forme générale l'accepte sans difficulté, avec $B=0$ : $x-3=0$. C'est la raison pour laquelle la forme générale est dite la plus générale, elle décrit TOUTES les droites, y compris celles qui ne sont pas des fonctions.

a) La pente d'abord : $m=\dfrac{-7-5}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. Puis on remplace un des deux points dans $y=-2x+b$ : avec $(4\,;-7)$, $-7=-8+b$, donc $b=1$. L'équation est $y=-2x+1$. Le choix du point n'a aucune importance : avec $(-2\,;5)$, on aurait eu $5=4+b$, donc $b=1$ également, et c'est d'ailleurs un bon contrôle.

b) La pente est donnée, il ne manque que $b$ : $-1=\dfrac{2}{3}\times 3+b=2+b$, donc $b=-3$. L'équation est $y=\dfrac{2}{3}x-3$. Le piège est de remplacer $x$ et $y$ à l'envers : c'est l'abscisse $3$ qui entre dans la règle, et l'ordonnée $-1$ qui reste à gauche.

c) Les deux nombres donnés sont l'abscisse et l'ordonnée à l'origine : la forme symétrique s'écrit directement $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{-2}=1$. Pour la forme fonctionnelle, la droite passe par $(5\,;0)$ et $(0\,;-2)$, donc $m=\dfrac{-2-0}{0-5}=\dfrac{2}{5}$ et $b=-2$ : $y=\dfrac{2}{5}x-2$. Attention au signe du dénominateur dans la forme symétrique : une ordonnée à l'origine négative reste négative sous la barre.

d) La droite HORIZONTALE a une pente nulle et garde l'ordonnée du point : $y=-3$. La droite VERTICALE garde l'abscisse du point : $x=4$. La confusion entre les deux est constante, et le repère est simple : dans $y=-3$, c'est $y$ qui est bloqué, donc c'est la HAUTEUR qui ne change jamais, ce qui décrit bien une horizontale.

e) Pour a) : $-2\times(-2)+1=5$, l'ordonnée de $(-2\,;5)$. Pour b) : $\dfrac{2}{3}\times 3-3=-1$, l'ordonnée de $(3\,;-1)$. Pour c) : $\dfrac{2}{5}\times 5-2=0$, l'ordonnée de $(5\,;0)$. Pour d) : le point $(4\,;-3)$ vérifie bien $y=-3$ et $x=4$. Cette vérification coûte dix secondes et rattrape toutes les erreurs de signe, qui sont de loin les plus fréquentes du chapitre.

a) $d_{1}$ est déjà isolée : $m_{1}=3$ et $b_{1}=-2$. Pour $d_{2}$ : $2y=6x+10$, donc $y=3x+5$, d'où $m_{2}=3$ et $b_{2}=5$. Pour $d_{3}$ : $y=3x-2$, donc $m_{3}=3$ et $b_{3}=-2$. Pour $d_{4}$ : $m_{4}=-\dfrac{1}{3}$ et $b_{4}=1$. Trois droites sur quatre ont la même pente, ce qui rend la comparaison des ordonnées à l'origine décisive.

b) $d_{1}$ et $d_{2}$ ont la même pente $3$ mais des ordonnées à l'origine différentes, $-2$ et $5$ : elles sont PARALLÈLES DISTINCTES, donc sans aucun point commun. $d_{1}$ et $d_{3}$ ont la même pente ET la même ordonnée à l'origine : elles sont CONFONDUES, c'est la même droite écrite deux fois. La leçon de méthode : deux équations d'allures très différentes peuvent décrire la même droite, et seule la mise sous forme fonctionnelle le montre.

c) Le produit des pentes vaut $3\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-1$, donc les deux droites sont perpendiculaires. La pente d'une perpendiculaire est l'inverse OPPOSÉ : on retourne la fraction ET on change le signe. Écrire $-3$ ou $\dfrac{1}{3}$ n'aurait donné qu'une moitié de la transformation, et le produit aurait valu $-9$ ou $1$ au lieu de $-1$.

d) La pente cherchée est $-\dfrac{1}{3}$, l'inverse opposé de $3$. On remplace le point : $1=-\dfrac{1}{3}\times 6+b=-2+b$, donc $b=3$. L'équation est $y=-\dfrac{1}{3}x+3$. Contrôle : le point $(6\,;1)$ donne bien $-2+3=1$.

e) On égale les deux expressions de $y$ : $3x-2=-\dfrac{1}{3}x+1$. On multiplie tout par $3$ pour chasser la fraction : $9x-6=-x+3$, donc $10x=9$ et $x=0{,}9$. Puis $y=3\times 0{,}9-2=0{,}7$. Le point d'intersection est $(0{,}9\,;0{,}7)$. Vérification dans la SECONDE équation, jamais dans celle qui a servi au calcul : $-\dfrac{1}{3}\times 0{,}9+1=-0{,}3+1=0{,}7$.

a) La pente vaut $m=\dfrac{1\ 250-850}{2\ 000-0}=\dfrac{400}{2\ 000}=0{,}2$. En pourcentage, cela fait $20$ pour cent : le câble monte de $20$ mètres pour $100$ mètres parcourus horizontalement. Les deux mesures sont dans la même unité, le mètre, ce qui autorise la division ; c'est la condition que le pourcentage impose toujours.

b) L'ordonnée à l'origine est l'altitude de départ, $850$, puisque la gare de départ est en $x=0$. L'équation fonctionnelle est donc $y=0{,}2x+850$. Pour la forme générale à coefficients entiers, on multiplie par $5$ : $5y=x+4\ 250$, donc $x-5y+4\ 250=0$. Contrôle par la pente : $-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{1}{-5}=0{,}2$.

c) $y=0{,}2\times 750+850=150+850=1\ 000$ mètres. Le câble est donc à $1\ 000$ mètres d'altitude à cet endroit. On remarque que $750$ mètres correspondent à un peu plus du tiers du trajet, et que l'altitude gagnée, $150$ mètres, est bien un peu plus du tiers des $400$ mètres de dénivelé total : la proportionnalité du gain est la signature d'une droite.

d) La hauteur au-dessus du sol est la DIFFÉRENCE des deux altitudes : $1\ 000-970=30$ mètres. L'erreur classique consiste à répondre $1\ 000$ mètres, en confondant l'altitude du câble avec sa hauteur au-dessus du sol. Une altitude se compte depuis le niveau de la mer, une hauteur depuis le sol : seule la seconde intéresse les passagers.

e) La longueur du câble est la distance entre les deux gares, donc $\sqrt{2\ 000^{2}+400^{2}}=\sqrt{4\ 000\ 000+160\ 000}=\sqrt{4\ 160\ 000}$. Cela vaut environ $2\ 039{,}6$ mètres. Le câble est donc à peine $40$ mètres plus long que la distance horizontale, alors qu'il monte de $400$ mètres : une pente de $20$ pour cent allonge très peu le trajet, ce qui surprend toujours.

a) Le coût total des sandwichs est $4x$ et celui des jus $2y$ : l'équation est $4x+2y=100$. Sous forme générale, on ramène tout d'un côté : $4x+2y-100=0$, et l'on peut simplifier par $2$ : $2x+y-50=0$. Simplifier n'est pas obligatoire, mais la convention préfère des coefficients entiers sans facteur commun.

b) L'ordonnée à l'origine s'obtient avec $x=0$ : $2y=100$, donc $y=50$. L'abscisse à l'origine s'obtient avec $y=0$ : $4x=100$, donc $x=25$. La forme symétrique est $\dfrac{x}{25}+\dfrac{y}{50}=1$. Dans le contexte, $25$ est le nombre de sandwichs qu'on pourrait acheter en n'achetant aucun jus, et $50$ le nombre de jus si l'on n'achetait aucun sandwich. La forme symétrique est donc la plus parlante ici : ses deux dénominateurs sont les deux scénarios extrêmes.

c) On isole $y$ : $2y=100-4x$, donc $y=-2x+50$. La pente vaut $-2$ : chaque sandwich acheté en plus coûte DEUX jus. C'est un taux d'échange, et son signe négatif dit qu'on ne peut pas augmenter les deux à la fois avec un budget fixe. Le rapport $2$ vient des prix : un sandwich coûte deux fois le prix d'un jus.

d) Avec $x=12$ : $y=-24+50=26$. Le comité peut acheter $26$ jus. Vérification par le coût : $12\times 4+26\times 2=48+52=100$ dollars, le budget est exactement dépensé.

e) Le contexte impose deux conditions que l'équation ignore : les deux nombres doivent être des ENTIERS et être POSITIFS ou nuls. Comme $y=-2x+50$ est entier dès que $x$ l'est, et que $y\geq 0$ exige $x\leq 25$, les valeurs possibles de $x$ vont de $0$ à $25$, ce qui fait $26$ combinaisons. La droite, elle, contient une infinité de points : c'est le contexte qui en sélectionne $26$. Retenez la formulation : on résout dans les réels, on conclut dans le contexte.

a) Faux : ce sont les ORDONNÉES qui sont égales, pas les abscisses. $m=\dfrac{5-5}{6-2}=\dfrac{0}{4}=0$ : la pente est NULLE et la droite est horizontale, d'équation $y=5$. Une pente indéfinie survient quand le DÉNOMINATEUR s'annule, c'est-à-dire pour une droite verticale comme $x=3$. Le repère : zéro en haut donne une pente nulle, zéro en bas donne une pente indéfinie.

b) Faux : leurs pentes sont inverses ET opposées, et non seulement opposées. Une droite de pente $2$ a pour perpendiculaire une droite de pente $-\dfrac{1}{2}$, car $2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1$. Avec la pente simplement opposée, $-2$, le produit vaudrait $-4$ : les deux droites seraient sécantes, mais pas perpendiculaires.

c) Faux : on n'additionne pas les différences, on additionne leurs CARRÉS avant d'extraire la racine. $d=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. La valeur annoncée, $7$, est la longueur du chemin en escalier, celui qui longe les deux côtés de l'angle droit : c'est justement ce que Pythagore raccourcit, et l'écart de $2$ unités le montre.

d) Faux : dans la forme symétrique, les dénominateurs sont l'abscisse et l'ordonnée à l'origine, soit $4$ et $3$, pas une pente. La droite passe donc par $(4\,;0)$ et $(0\,;3)$, et sa pente vaut $\dfrac{3-0}{0-4}=-\dfrac{3}{4}$. Retenez le signe : une droite qui coupe les deux axes du côté positif descend toujours, donc sa pente est négative.

e) Faux : une équation se vérifie exactement, jamais approximativement. $3(5)+4(2)-24=15+8-24=-1$, qui n'est pas nul : le point n'appartient PAS à la droite. L'écart de $-1$ indique d'ailleurs de quel côté de la droite il se trouve. En géométrie analytique, « proche » n'est pas une conclusion : un point est sur la droite ou n'y est pas, et c'est le calcul qui tranche.

a) La pente vaut $m=\dfrac{5-3}{6-2}=\dfrac{2}{4}=0{,}5$. On remplace $A$ dans $y=0{,}5x+b$ : $3=1+b$, donc $b=2$. La droite a pour équation $y=0{,}5x+2$. Contrôle avec l'autre point : $0{,}5\times 6+2=5$, l'ordonnée de $B$.

b) On remplace l'abscisse de $C$ : $0{,}5\times 12+2=6+2=8$. C'est exactement l'ordonnée de $C$, donc $C$ appartient à la droite : les trois capteurs $A$, $B$ et $C$ sont bien alignés. Autre chemin, tout aussi valable : la pente de $BC$ vaut $\dfrac{8-5}{12-6}=\dfrac{3}{6}=0{,}5$, la même que celle de $AB$. Deux segments de même pente issus d'un point commun sont portés par une seule droite.

c) On remplace l'abscisse de $D$ : $0{,}5\times 16+2=8+2=10$. Or l'ordonnée annoncée est $11$ : le capteur $D$ n'est PAS aligné. Il se trouve $1$ unité AU-DESSUS de la droite, soit $100$ mètres trop au nord sur la carte. L'affirmation du fabricant est donc fausse, et c'est un calcul de trois lignes qui le montre, là où l'oeil aurait hésité : sur un dessin, un écart de $1$ pour une abscisse de $16$ ne se voit presque pas.

d) Il aurait fallu $y=10$, c'est-à-dire le point $D'(16\,;10)$. Vérification par la pente : de $C(12\,;8)$ à $D'(16\,;10)$, $m=\dfrac{10-8}{16-12}=\dfrac{2}{4}=0{,}5$, la pente commune. Le déplacement à faire est donc de $100$ mètres vers le sud.

e) On résout $0{,}5x+2=15$, donc $0{,}5x=13$ et $x=26$. Le cinquième capteur doit être posé en $(26\,;15)$, soit à $2\ 600$ mètres à l'est de l'origine. Remarquez la différence entre les questions d) et e) : dans l'une on connaît $x$ et l'on calcule $y$, dans l'autre on connaît $y$ et l'on RÉSOUT une équation. C'est la même droite, mais pas le même travail.

a) Pente de $AB$ : $\dfrac{3-1}{7-1}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$. Pente de $BC$ : $\dfrac{12-3}{4-7}=\dfrac{9}{-3}=-3$. Pente de $CD$ : $\dfrac{10-12}{-2-4}=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}$. Pente de $DA$ : $\dfrac{1-10}{1-(-2)}=\dfrac{-9}{3}=-3$. Les côtés opposés ont la même pente, donc $AB$ est parallèle à $CD$ et $BC$ à $DA$ : le quadrilatère est un PARALLÉLOGRAMME.

b) Le produit des pentes de deux côtés consécutifs vaut $\dfrac{1}{3}\times(-3)=-1$ : ces côtés sont perpendiculaires. Comme c'est vrai à chaque sommet, les quatre angles sont droits : le parallélogramme est un RECTANGLE. Un seul angle droit aurait d'ailleurs suffi dans un parallélogramme, mais le produit se calcule si vite qu'on le vérifie partout.

c) $AB=\sqrt{(7-1)^{2}+(3-1)^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6{,}32$. $BC=\sqrt{(4-7)^{2}+(12-3)^{2}}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\approx 9{,}49$. Les deux longueurs diffèrent, donc le terrain n'est PAS carré : c'est un rectangle de dimensions $2\sqrt{10}$ sur $3\sqrt{10}$ décamètres.

d) Le périmètre vaut $2(AB+BC)=2\left(2\sqrt{10}+3\sqrt{10}\right)=10\sqrt{10}$, soit environ $31{,}62$ décamètres. L'aire vaut $AB\times BC=2\sqrt{10}\times 3\sqrt{10}=6\times 10=60$ décamètres carrés. Le produit de deux radicaux de même radicande tombe sur un entier : c'est le genre de simplification qu'on perd en arrondissant trop tôt, car $6{,}32\times 9{,}49$ donne $59{,}98$ au lieu de $60$.

e) $AC=\sqrt{(4-1)^{2}+(12-1)^{2}}=\sqrt{9+121}=\sqrt{130}\approx 11{,}40$. $BD=\sqrt{(-2-7)^{2}+(10-3)^{2}}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx 11{,}40$. Les deux diagonales ont exactement la même longueur, ce qui confirme la conclusion de la question b) : dans un parallélogramme, les diagonales ne sont de même longueur que si c'est un rectangle. Ce contrôle est indépendant des pentes, et deux démonstrations indépendantes de la même propriété valent mieux qu'une.