Exercices corrigés : la géométrie analytique des droites (math SN4, secondaire 4)

$m=\frac{-8-(-2)}{-1-(-5)}=\frac{-6}{4}=-1{,}5$. Piège : $-1-5=-6$ au dénominateur, en perdant le signe de $-5$, ce qui donne $m=1$.

$9=-3\times(-2)+b=6+b$, donc $b=3$. L'équation est $y=-3x+3$. Piège : $-3\times(-2)=-6$, qui donne $b=15$.

$m=\frac{2-(-4)}{5-(-3)}=\frac{6}{8}=0{,}75$. Avec $(5\,;2)$ : $2=0{,}75\times 5+b=3{,}75+b$, donc $b=-1{,}75$. Contrôle avec l'autre point : $0{,}75\times(-3)-1{,}75=-4$.

$-2y=-5x-8$, donc $y=2{,}5x+4$ : $m=2{,}5$. Le raccourci $m=-\frac{A}{B}=-\frac{5}{-2}=2{,}5$ donne la même chose. Piège : oublier le signe de $B=-2$ et répondre $-2{,}5$.

Avec $x=0$ : $-5y-10=0$, donc $y=-2$. Piège : répondre $-10$, le terme constant $C$, qui n'est l'ordonnée à l'origine que si $B=1$.

Avec $y=0$ : $\frac{2}{3}x+4=0$, donc $\frac{2}{3}x=-4$ et $x=-4\times\frac{3}{2}=-6$.

Avec $y=0$ : $7x=-21$, donc l'abscisse à l'origine vaut $-3$. Avec $x=0$ : $-3y=-21$, donc l'ordonnée à l'origine vaut $7$. La forme symétrique est $\frac{x}{-3}+\frac{y}{7}=1$. Contrôle : on multiplie par $-21$ et on retrouve $7x-3y=-21$.

$3x+y-4=0$ donne $y=-3x+4$ : la parallèle garde $m=-3$. Avec $(2\,;5)$ : $5=-6+b$, donc $b=11$. Les ordonnées à l'origine $4$ et $11$ diffèrent : les deux droites sont parallèles distinctes.

La pente perpendiculaire est l'opposée de l'inverse : $m=-\frac{5}{2}=-2{,}5$, et $\frac{2}{5}\times\left(-\frac{5}{2}\right)=-1$. Avec $(-2\,;6)$ : $6=-2{,}5\times(-2)+b=5+b$, donc $b=1$. Piège : prendre l'inverse sans changer le signe, $m=2{,}5$.

On remplace $y$ par $2x-3$ dans la seconde équation : $x+3(2x-3)-12=0$, soit $7x-21=0$, donc $x=3$, puis $y=2\times 3-3=3$. Le point d'intersection est $(3\,;3)$. Contrôle dans la seconde : $3+9-12=0$.

$AB=\sqrt{(8-2)^{2}+(3-1)^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $BC=\sqrt{(6-8)^{2}+(9-3)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $AC=\sqrt{(6-2)^{2}+(9-1)^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Le signe des différences n'a aucune importance, puisqu'elles sont élevées au carré : $(8-2)$ et $(2-8)$ donnent le même $36$.

Oui : $AB=BC=2\sqrt{10}$, donc le triangle est isocèle de sommet principal $B$. C'est une conclusion qu'on ne pouvait pas tirer du dessin, où les deux côtés ont des directions très différentes. La géométrie analytique sert exactement à cela : elle décide, alors que l'oeil suggère.

On compare les carrés, ce qui évite tout radical. Le plus grand côté est $AC$, avec $AC^{2}=80$. Les deux autres donnent $AB^{2}+BC^{2}=40+40=80$. L'égalité est vérifiée, donc par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est RECTANGLE en $B$. Le triangle est donc rectangle ET isocèle, ce qui est le cas particulier le plus commode : ses deux angles aigus valent $45$ degrés.

Le périmètre vaut $2\sqrt{10}+2\sqrt{10}+4\sqrt{5}=4\sqrt{10}+4\sqrt{5}$. Numériquement, $\sqrt{10}\approx 3{,}1623$ et $\sqrt{5}\approx 2{,}2361$, donc le périmètre vaut environ $12{,}65+8{,}94=21{,}59$ unités. On garde la forme exacte jusqu'au dernier moment : arrondir chaque racine avant d'additionner fait perdre des centièmes et parfois la réponse attendue.

L'angle droit est en $B$, donc les deux côtés de l'angle droit sont $AB$ et $BC$ : l'aire vaut $\dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{\sqrt{40}\times\sqrt{40}}{2}=\dfrac{40}{2}=20$ unités carrées. Le produit de deux racines identiques redonne le radicande, ce qui évite tout arrondi : l'aire est un nombre entier. Sans l'angle droit trouvé en c), il aurait fallu une hauteur, donc un calcul bien plus long.

$m=\dfrac{1-5}{6-(-4)}=\dfrac{-4}{10}=-\dfrac{2}{5}=-0{,}4$. La pente est négative, donc la droite descend de gauche à droite. On peut prendre les points dans l'autre ordre, $\dfrac{5-1}{-4-6}=\dfrac{4}{-10}$, ce qui donne le même résultat : seul le fait de mélanger les ordres, en écrivant $\dfrac{5-1}{6-(-4)}$, est faux.

Les deux points ont la même abscisse, donc le dénominateur vaut $3-3=0$ : la pente n'existe PAS. La droite est VERTICALE, d'équation $x=3$. On n'écrit jamais « pente infinie » ni « pente nulle » dans ce cas : la formulation attendue est que la pente est indéfinie, et c'est aussi pourquoi une droite verticale n'est pas une fonction.

Les deux points ont la même ordonnée : $m=\dfrac{4-4}{5-(-1)}=\dfrac{0}{6}=0$. La droite est HORIZONTALE, d'équation $y=4$. Pente nulle et pente indéfinie sont les deux cas particuliers à ne pas intervertir : une pente qui vaut zéro existe, une pente indéfinie n'existe pas.

$m=\dfrac{0{,}6}{8}=0{,}075$. En pourcentage, on multiplie par $100$ : la pente vaut $7{,}5$ pour cent. Une pente en pourcentage compare deux longueurs de MÊME unité : il faut donc convertir avant de diviser, sous peine d'un résultat cent fois trop grand. Pour information, la norme d'accessibilité usuelle plafonne ce genre de rampe à $8$ pour cent, donc celle-ci est conforme.

On compare les valeurs absolues : $|-3|=3$, $|2|=2$, $|0{,}5|=0{,}5$, $|-0{,}2|=0{,}2$. Du plus incliné au moins incliné : $m_{1}$, puis $m_{3}$, puis $m_{2}$, puis $m_{4}$. Le signe ne joue aucun rôle dans ce classement : une pente de $-3$ est aussi raide qu'une pente de $3$, elle descend au lieu de monter. C'est l'erreur classique, qui place les pentes négatives en dernier.

On isole $y$ : $4y=-3x+24$, donc $y=-\dfrac{3}{4}x+6$. La pente est $m=-\dfrac{3}{4}=-0{,}75$ et l'ordonnée à l'origine vaut $6$. Le raccourci à connaître : dans $Ax+By+C=0$, la pente vaut toujours $-\dfrac{A}{B}$, ici $-\dfrac{3}{4}$, ce qui permet de vérifier l'isolement en deux secondes.

L'ordonnée à l'origine s'obtient avec $x=0$ : $4y=24$, donc $y=6$. L'abscisse à l'origine s'obtient avec $y=0$ : $3x=24$, donc $x=8$. La forme symétrique s'écrit avec ces deux nombres AU DÉNOMINATEUR : $\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{6}=1$. C'est la forme la plus rapide à tracer, puisqu'elle donne directement les deux points où la droite coupe les axes, ceux que la figure marque.

Pour $(4\,;3)$ : $3\times 4+4\times 3-24=12+12-24=0$. L'égalité est vérifiée, donc le point appartient à la droite. Pour $(2\,;5)$ : $3\times 2+4\times 5-24=6+20-24=2\neq 0$. Le point n'appartient pas à la droite, et l'écart $2$ dit de quel côté il se trouve. Un point est sur une droite si et seulement si ses coordonnées VÉRIFIENT l'équation : on ne regarde jamais le dessin pour trancher.

On chasse les fractions en multipliant tout par $3$ : $3y=-2x+15$. On rassemble ensuite dans un même membre : $2x+3y-15=0$. La convention usuelle demande un coefficient $A$ positif et des coefficients entiers sans facteur commun ; ici $2$, $3$ et $-15$ n'en ont pas. Contrôle par la pente : $-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{2}{3}$, celle de l'énoncé.

Parce qu'une droite verticale n'a pas de pente : l'écriture $y=mx+b$ exige un $m$, et il n'existe pas ici. En revanche, la forme générale l'accepte sans difficulté, avec $B=0$ : $x-3=0$. C'est la raison pour laquelle la forme générale est dite la plus générale, elle décrit TOUTES les droites, y compris celles qui ne sont pas des fonctions.

La pente d'abord : $m=\dfrac{-7-5}{4-(-2)}=\dfrac{-12}{6}=-2$. Puis on remplace un des deux points dans $y=-2x+b$ : avec $(4\,;-7)$, $-7=-8+b$, donc $b=1$. L'équation est $y=-2x+1$. Le choix du point n'a aucune importance : avec $(-2\,;5)$, on aurait eu $5=4+b$, donc $b=1$ également, et c'est d'ailleurs un bon contrôle.

La pente est donnée, il ne manque que $b$ : $-1=\dfrac{2}{3}\times 3+b=2+b$, donc $b=-3$. L'équation est $y=\dfrac{2}{3}x-3$. Le piège est de remplacer $x$ et $y$ à l'envers : c'est l'abscisse $3$ qui entre dans la règle, et l'ordonnée $-1$ qui reste à gauche.

Les deux nombres donnés sont l'abscisse et l'ordonnée à l'origine : la forme symétrique s'écrit directement $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{-2}=1$. Pour la forme fonctionnelle, la droite passe par $(5\,;0)$ et $(0\,;-2)$, donc $m=\dfrac{-2-0}{0-5}=\dfrac{2}{5}$ et $b=-2$ : $y=\dfrac{2}{5}x-2$. Attention au signe du dénominateur dans la forme symétrique : une ordonnée à l'origine négative reste négative sous la barre.

La droite HORIZONTALE a une pente nulle et garde l'ordonnée du point : $y=-3$. La droite VERTICALE garde l'abscisse du point : $x=4$. La confusion entre les deux est constante, et le repère est simple : dans $y=-3$, c'est $y$ qui est bloqué, donc c'est la HAUTEUR qui ne change jamais, ce qui décrit bien une horizontale.

Pour a) : $-2\times(-2)+1=5$, l'ordonnée de $(-2\,;5)$. Pour b) : $\dfrac{2}{3}\times 3-3=-1$, l'ordonnée de $(3\,;-1)$. Pour c) : $\dfrac{2}{5}\times 5-2=0$, l'ordonnée de $(5\,;0)$. Pour d) : le point $(4\,;-3)$ vérifie bien $y=-3$ et $x=4$. Cette vérification coûte dix secondes et rattrape toutes les erreurs de signe, qui sont de loin les plus fréquentes du chapitre.

$d_{1}$ est déjà isolée : $m_{1}=3$ et $b_{1}=-2$. Pour $d_{2}$ : $2y=6x+10$, donc $y=3x+5$, d'où $m_{2}=3$ et $b_{2}=5$. Pour $d_{3}$ : $y=3x-2$, donc $m_{3}=3$ et $b_{3}=-2$. Pour $d_{4}$ : $m_{4}=-\dfrac{1}{3}$ et $b_{4}=1$. Trois droites sur quatre ont la même pente, ce qui rend la comparaison des ordonnées à l'origine décisive.

$d_{1}$ et $d_{2}$ ont la même pente $3$ mais des ordonnées à l'origine différentes, $-2$ et $5$ : elles sont PARALLÈLES DISTINCTES, donc sans aucun point commun. $d_{1}$ et $d_{3}$ ont la même pente ET la même ordonnée à l'origine : elles sont CONFONDUES, c'est la même droite écrite deux fois. La leçon de méthode : deux équations d'allures très différentes peuvent décrire la même droite, et seule la mise sous forme fonctionnelle le montre.

Le produit des pentes vaut $3\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-1$, donc les deux droites sont perpendiculaires. La pente d'une perpendiculaire est l'inverse OPPOSÉ : on retourne la fraction ET on change le signe. Écrire $-3$ ou $\dfrac{1}{3}$ n'aurait donné qu'une moitié de la transformation, et le produit aurait valu $-9$ ou $1$ au lieu de $-1$.

La pente cherchée est $-\dfrac{1}{3}$, l'inverse opposé de $3$. On remplace le point : $1=-\dfrac{1}{3}\times 6+b=-2+b$, donc $b=3$. L'équation est $y=-\dfrac{1}{3}x+3$. Contrôle : le point $(6\,;1)$ donne bien $-2+3=1$.

On égale les deux expressions de $y$ : $3x-2=-\dfrac{1}{3}x+1$. On multiplie tout par $3$ pour chasser la fraction : $9x-6=-x+3$, donc $10x=9$ et $x=0{,}9$. Puis $y=3\times 0{,}9-2=0{,}7$. Le point d'intersection est $(0{,}9\,;0{,}7)$. Vérification dans la SECONDE équation, jamais dans celle qui a servi au calcul : $-\dfrac{1}{3}\times 0{,}9+1=-0{,}3+1=0{,}7$.

La pente vaut $m=\dfrac{1\ 250-850}{2\ 000-0}=\dfrac{400}{2\ 000}=0{,}2$. En pourcentage, cela fait $20$ pour cent : le câble monte de $20$ mètres pour $100$ mètres parcourus horizontalement. Les deux mesures sont dans la même unité, le mètre, ce qui autorise la division ; c'est la condition que le pourcentage impose toujours.

L'ordonnée à l'origine est l'altitude de départ, $850$, puisque la gare de départ est en $x=0$. L'équation fonctionnelle est donc $y=0{,}2x+850$. Pour la forme générale à coefficients entiers, on multiplie par $5$ : $5y=x+4\ 250$, donc $x-5y+4\ 250=0$. Contrôle par la pente : $-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{1}{-5}=0{,}2$.

$y=0{,}2\times 750+850=150+850=1\ 000$ mètres. Le câble est donc à $1\ 000$ mètres d'altitude à cet endroit. On remarque que $750$ mètres correspondent à un peu plus du tiers du trajet, et que l'altitude gagnée, $150$ mètres, est bien un peu plus du tiers des $400$ mètres de dénivelé total : la proportionnalité du gain est la signature d'une droite.

La hauteur au-dessus du sol est la DIFFÉRENCE des deux altitudes : $1\ 000-970=30$ mètres. L'erreur classique consiste à répondre $1\ 000$ mètres, en confondant l'altitude du câble avec sa hauteur au-dessus du sol. Une altitude se compte depuis le niveau de la mer, une hauteur depuis le sol : seule la seconde intéresse les passagers.

La longueur du câble est la distance entre les deux gares, donc $\sqrt{2\ 000^{2}+400^{2}}=\sqrt{4\ 000\ 000+160\ 000}=\sqrt{4\ 160\ 000}$. Cela vaut environ $2\ 039{,}6$ mètres. Le câble est donc à peine $40$ mètres plus long que la distance horizontale, alors qu'il monte de $400$ mètres : une pente de $20$ pour cent allonge très peu le trajet, ce qui surprend toujours.

Le coût total des sandwichs est $4x$ et celui des jus $2y$ : l'équation est $4x+2y=100$. Sous forme générale, on ramène tout d'un côté : $4x+2y-100=0$, et l'on peut simplifier par $2$ : $2x+y-50=0$. Simplifier n'est pas obligatoire, mais la convention préfère des coefficients entiers sans facteur commun.

L'ordonnée à l'origine s'obtient avec $x=0$ : $2y=100$, donc $y=50$. L'abscisse à l'origine s'obtient avec $y=0$ : $4x=100$, donc $x=25$. La forme symétrique est $\dfrac{x}{25}+\dfrac{y}{50}=1$. Dans le contexte, $25$ est le nombre de sandwichs qu'on pourrait acheter en n'achetant aucun jus, et $50$ le nombre de jus si l'on n'achetait aucun sandwich. La forme symétrique est donc la plus parlante ici : ses deux dénominateurs sont les deux scénarios extrêmes.

On isole $y$ : $2y=100-4x$, donc $y=-2x+50$. La pente vaut $-2$ : chaque sandwich acheté en plus coûte DEUX jus. C'est un taux d'échange, et son signe négatif dit qu'on ne peut pas augmenter les deux à la fois avec un budget fixe. Le rapport $2$ vient des prix : un sandwich coûte deux fois le prix d'un jus.

Avec $x=12$ : $y=-24+50=26$. Le comité peut acheter $26$ jus. Vérification par le coût : $12\times 4+26\times 2=48+52=100$ dollars, le budget est exactement dépensé.

Le contexte impose deux conditions que l'équation ignore : les deux nombres doivent être des ENTIERS et être POSITIFS ou nuls. Comme $y=-2x+50$ est entier dès que $x$ l'est, et que $y\geq 0$ exige $x\leq 25$, les valeurs possibles de $x$ vont de $0$ à $25$, ce qui fait $26$ combinaisons. La droite, elle, contient une infinité de points : c'est le contexte qui en sélectionne $26$. Retenez la formulation : on résout dans les réels, on conclut dans le contexte.