Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la géométrie analytique des droites (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours de géométrie analytique : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie de secondaire 4 et le geste précis qui l'évite.

La géométrie analytique de la quatrième secondaire s'arrête aux droites, et c'est une bonne nouvelle : tout le chapitre tient dans deux formules, la distance et la pente, plus trois façons d'écrire une équation. Le cercle et les lieux géométriques appartiennent à la cinquième secondaire.

Le fil du chapitre

Une droite se donne de quatre façons, deux points, un point et une pente, ses deux intersections avec les axes ou une équation, et chacune répond à une question différente. Et un point est sur une droite si et seulement si ses coordonnées VÉRIFIENT son équation, jamais parce que le dessin le suggère.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
5Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
6Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
7Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3

Notions couvertes

Distance entre deux points
Pente d'une droite
Forme fonctionnelle
Forme générale
Forme symétrique
Abscisse à l'origine
Ordonnée à l'origine
Droites parallèles
Droites perpendiculaires
Position relative de deux droites
Points alignés

L'essentiel

Deux formules, et tout le chapitre en sort

• DISTANCE : $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ . C'est Pythagore appliqué aux deux différences, et l'ordre des points ne change rien, puisque tout est élevé au carré.
• PENTE : $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ , la variation verticale divisée par la variation horizontale. Les deux différences se prennent dans le MÊME ordre.
• Le signe de $m$ donne le sens, sa valeur absolue l'inclinaison : $-3$ est aussi raide que $3$ , elle descend au lieu de monter.
• Une droite horizontale a une pente NULLE ; une droite verticale n'a PAS de pente, car le dénominateur s'annule.

La droite coupe l'axe des ordonnées à

6

, et descend de

3

quand on avance de

4

: sa pente vaut

-\dfrac{3}{4}

et son équation

y=-\dfrac{3}{4}x+6

Sur la figure, la pente se lit en escalier : $4$ vers la droite, $3$ vers le bas, donc $m=-\dfrac{3}{4}$ . C'est la lecture la plus rapide sur un graphique quadrillé.

Trois écritures, trois questions

• FONCTIONNELLE $y=mx+b$ : donne la pente et l'ordonnée à l'origine à la lecture. C'est la forme du tracé et de la comparaison entre deux droites.
• GÉNÉRALE $Ax+By+C=0$ : la seule qui accepte les droites VERTICALES, et celle où la pente vaut $-\dfrac{A}{B}$ .
• SYMÉTRIQUE $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ : les dénominateurs sont l'abscisse et l'ordonnée à l'origine, donc les deux points où la droite coupe les axes.
• PARALLÈLES : mêmes pentes, distinctes si les $b$ diffèrent, CONFONDUES sinon. PERPENDICULAIRES : produit des pentes égal à $-1$ .

Avant de calculer, regardez ce que l'énoncé donne : deux points, un point et une pente, ou deux intersections avec les axes. La forme à écrire en découle sans réflexion.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Les deux différences prises dans des ordres opposés

2 points, car la pente sort avec le mauvais signe et l'équation entière est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $m=\dfrac{5-1}{6-(-4)}$ pour les points $(-4\,;5)$ et $(6\,;1)$ »

Ce qu'il faut écrire

« $m=\dfrac{1-5}{6-(-4)}=-0{,}4$ , ou $\dfrac{5-1}{-4-6}=-0{,}4$ : le même ordre en haut et en bas. »

Pourquoi : Inverser les deux différences donne la même pente ; n'en inverser qu'une donne son opposée. Le contrôle visuel est immédiat : une droite qui descend doit avoir une pente négative, et le signe trouvé doit coller au dessin.

2. La pente nulle confondue avec la pente indéfinie

1 point, et l'équation écrite décrit alors une droite perpendiculaire à la bonne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les points $(2\,;5)$ et $(6\,;5)$ donnent une pente indéfinie »

Ce qu'il faut écrire

« $m=\dfrac{5-5}{6-2}=0$ : la droite est horizontale, d'équation $y=5$ . »

Pourquoi : Zéro EN HAUT donne une pente nulle, donc une horizontale. Zéro EN BAS rend la division impossible, donc la pente n'existe pas et la droite est verticale. Les deux cas sont symétriques et se confondent d'autant plus facilement.

3. La distance calculée comme une somme de différences

2 points, et toute conclusion sur la nature d'une figure tombe avec

Ce qu'il ne faut pas écrire

« De $A(-1\,;2)$ à $B(3\,;5)$ : $4+3=7$ »

Ce qu'il faut écrire

« $d=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$ . »

Le trajet en escalier mesure

4+3=7

; le segment direct, lui, mesure

5

. La distance entre deux points est toujours l'hypoténuse, jamais la somme des deux côtés.

Pourquoi : La somme $4+3$ mesure le trajet en escalier, celui qui longe les deux côtés de l'angle droit. La distance cherchée est l'HYPOTÉNUSE, toujours plus courte. L'écart est ici de $2$ unités, soit $40$ pour cent : ce n'est pas un détail.

4. La perpendiculaire à pente seulement opposée

2 points, et la figure construite n'a aucun angle droit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La perpendiculaire à $y=2x+1$ a pour pente $-2$ »

Ce qu'il faut écrire

« Sa pente est $-\dfrac{1}{2}$ : l'inverse OPPOSÉ, car $2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1$ . »

Les deux traits pleins, de pentes

2

-2

, sont symétriques mais PAS perpendiculaires. C'est le trait pointillé, de pente

-0{,}5

, qui est perpendiculaire à la droite de pente

2

Pourquoi : Il faut retourner la fraction ET changer le signe. Avec la seule opposée, le produit des pentes vaut $-4$ et les deux droites sont simplement sécantes. Le contrôle tient en une multiplication : le produit doit valoir $-1$ , jamais autre chose.

5. Les dénominateurs de la forme symétrique pris pour une pente

2 points, car la droite tracée monte au lieu de descendre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{3}=1$ , la pente vaut $\dfrac{4}{3}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $4$ et $3$ sont l'abscisse et l'ordonnée à l'origine ; la pente vaut $-\dfrac{3}{4}$ . »

Pourquoi : La forme symétrique donne deux POINTS, $(4\,;0)$ et $(0\,;3)$ , pas une pente. On la calcule ensuite : $\dfrac{3-0}{0-4}=-\dfrac{3}{4}$ . Retenez le signe : une droite qui coupe les deux axes du côté positif descend toujours.

6. Parallèles distinctes et parallèles confondues traitées pareil

toute la question de position relative, souvent 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=3x-2$ et $3x-y-2=0$ sont parallèles, donc sans point commun »

Ce qu'il faut écrire

« $3x-y-2=0$ s'écrit $y=3x-2$ : c'est la MÊME droite, elles sont confondues et ont une infinité de points communs. »

Pourquoi : Deux équations d'allures différentes peuvent décrire la même droite. On compare donc les pentes ET les ordonnées à l'origine, après avoir mis les deux sous forme fonctionnelle. Même pente et même $b$ : confondues. Même pente, $b$ différents : parallèles distinctes.

7. L'appartenance d'un point vérifiée à peu près

la question entière, car la conclusion est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3(5)+4(2)=23$ , c'est presque $24$ , donc $(5\,;2)$ est sur la droite $3x+4y-24=0$ »

Ce qu'il faut écrire

« $3(5)+4(2)-24=-1\neq 0$ : le point n'appartient PAS à la droite. »

Pourquoi : Une équation se vérifie exactement. L'écart obtenu n'est d'ailleurs pas du bruit : son signe dit de quel côté de la droite se trouve le point, ce qui servira aux demi-plans. « Proche » n'est jamais une réponse en géométrie analytique.

8. La pente en pourcentage calculée sans convertir les unités

1 point, et une réponse absurde, une pente de 750 pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une rampe qui monte de $60$ centimètres sur $8$ mètres a une pente de $7{,}5$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{0{,}6}{8}=0{,}075$ , soit $7{,}5$ pour cent. »

Pourquoi : Une pente est un rapport entre deux longueurs de MÊME unité : il faut convertir avant de diviser. L'ordre de grandeur sert de garde-fou, puisqu'une rampe accessible ne dépasse jamais $8$ pour cent.

Quelle méthode choisir

Quelle écriture, selon ce que l'énoncé donne

On ne choisit pas la forme au hasard : on regarde les données, et une seule forme les utilise directement.

Si deux points sont donnés → calculer $m$ , puis $b$ en remplaçant l'un des deux points

Exemple : $(-2\,;5)$ et $(4\,;-7)$ donnent $m=-2$ puis $y=-2x+1$

vérifier avec l'AUTRE point, c'est un contrôle gratuit
Si un point et la pente sont donnés → écrire $y=mx+b$ et remplacer le point pour trouver $b$

Exemple : $(3\,;-1)$ et $m=\tfrac{2}{3}$ donnent $y=\tfrac{2}{3}x-3$

c'est l'abscisse qui entre dans la règle, pas l'ordonnée
Si les deux intersections avec les axes sont données → forme symétrique $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ , directement

Exemple : coupe en $5$ et en $-2$ donne $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{-2}=1$

un signe négatif reste au dénominateur, il ne se déplace pas
Si la droite est verticale ou horizontale → écrire $x=$ constante ou $y=$ constante, sans passer par $m$

Exemple : verticale par $(4\,;-3)$ : $x=4$

une verticale n'est pas une fonction et n'a pas de pente
Si on veut la parallèle à une droite connue → reprendre la MÊME pente et recalculer $b$ avec le point donné

Exemple : parallèle à $y=3x-2$ par $(1\,;4)$ : $y=3x+1$

si $b$ retombe identique, la droite est confondue, pas parallèle distincte
Si on veut la perpendiculaire à une droite connue → prendre l'inverse OPPOSÉ de la pente, puis recalculer $b$

Exemple : perpendiculaire à $y=3x-2$ par $(6\,;1)$ : $y=-\tfrac{1}{3}x+3$

contrôle : le produit des deux pentes doit valoir $-1$
Si on doit décider si trois points sont alignés → comparer deux pentes, ou tester le troisième dans l'équation des deux premiers

Exemple : $A(2\,;3)$ , $B(6\,;5)$ , $C(12\,;8)$ : $0{,}5\times 12+2=8$ , aligné

ne jamais trancher sur le dessin, un écart de 1 sur 16 ne se voit pas

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Écrire l'équation d'une droite, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « déterminez l'équation », « écrivez sous forme générale » ou donne deux points.

1 Écrire la formule de la pente avec les valeurs, avant de calculer : cette ligne est notée.
2 Calculer $m$ et simplifier la fraction.
3 Écrire $y=mx+b$ , remplacer les coordonnées d'un point connu, et isoler $b$ .
4 Donner l'équation sous la forme demandée, et une seule : fonctionnelle, générale à coefficients entiers, ou symétrique.
5 Vérifier avec le second point, ou avec le point donné, en une ligne.

Phrase de conclusion

« $m=\dfrac{-7-5}{4-(-2)}=-2$ , puis $-7=-2(4)+b$ donne $b=1$ : la droite a pour équation $y=-2x+1$ . »

Le piège : Donner la pente sans écrire la formule avec les valeurs. Une pente juste tombée du ciel ne rapporte que la moitié des points, et une pente fausse n'en rapporte aucun.

Barème : En général 1 point pour la pente, 1 pour $b$ , 1 pour la forme demandée.

Démontrer la nature d'une figure

Quand l'utiliser : L'énoncé donne des sommets et demande « montrez que le triangle est rectangle », « de quelle sorte de quadrilatère s'agit-il ».

1 Choisir l'outil selon la propriété : les PENTES pour le parallélisme et la perpendicularité, les DISTANCES pour l'égalité des côtés.
2 Calculer tout ce qui est nécessaire, et l'écrire, y compris les calculs qui servent de contrôle.
3 Pour un angle droit, conclure par le produit des pentes égal à $-1$ , ou par la réciproque du théorème de Pythagore sur les carrés des longueurs.
4 Nommer la figure avec le mot exact : parallélogramme, rectangle, losange, carré, triangle isocèle, rectangle, équilatéral.
5 Écrire la phrase de conclusion qui cite la propriété utilisée.

Phrase de conclusion

« $AB^{2}+BC^{2}=40+40=80=AC^{2}$ , donc par la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en $B$ . »

Le piège : Conclure d'après le dessin. Un quadrilatère qui a l'air d'un carré peut être un rectangle, et c'est justement ce que le calcul est là pour trancher.

Barème : 1 point par calcul pertinent, 1 point pour la conclusion nommée et justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe de la pente colle-t-il au dessin ?

Regardez si la droite monte ou descend de gauche à droite, et comparez au signe trouvé. Une pente positive sur une droite descendante signale des différences prises dans des ordres opposés.

De $(-4\,;5)$ à $(6\,;1)$ , la droite descend : la pente doit être négative, et elle vaut $-0{,}4$ .
Remplacer le SECOND point dans l'équation trouvée

L'équation a été construite avec un point ; testez-la avec l'autre. Si l'égalité tombe, la pente et l'ordonnée à l'origine sont bonnes toutes les deux.

$y=-2x+1$ construite avec $(4\,;-7)$ : en $x=-2$ , elle donne $5$ , l'ordonnée du premier point.
La pente vaut-elle bien $-\dfrac{A}{B}$ ?

Après un passage de la forme générale à la forme fonctionnelle, comparez la pente obtenue à $-\dfrac{A}{B}$ . C'est un contrôle en trois secondes sur un isolement où les signes se perdent.

$3x+4y-24=0$ : $-\dfrac{3}{4}$ , la pente lue dans $y=-\dfrac{3}{4}x+6$ .
Le produit des pentes vaut-il exactement $-1$ ?

Sur toute question de perpendicularité, multipliez les deux pentes. Le résultat doit être $-1$ , pas $1$ ni $-4$ : c'est la seule preuve acceptée, et elle tient en une ligne.

$\dfrac{1}{3}\times(-3)=-1$ : les côtés sont perpendiculaires, le parallélogramme est un rectangle.
Les longueurs gardées sous forme exacte jusqu'au bout

Gardez les radicaux tant que le calcul continue. Un produit de deux racines de même radicande tombe sur un entier, qu'un arrondi intermédiaire aurait fait disparaître.

$2\sqrt{10}\times 3\sqrt{10}=60$ exactement, alors que $6{,}32\times 9{,}49$ donne $59{,}98$ .

L'exercice type décortiqué

Une droite, ses trois écritures et un point à tester

Une droite passe par $A(-3\,;7)$ et $B(5\,;-1)$ .

Écrivez son équation sous les trois formes, dites si le point $C(1\,;3)$ lui appartient, et calculez la distance $AB$ .

Étape 1

Pente : $m=\dfrac{-1-7}{5-(-3)}=\dfrac{-8}{8}=-1$ .

Pourquoi

On écrit la formule avec les valeurs avant de simplifier. Les deux différences sont prises dans le même ordre, de $A$ vers $B$ en haut comme en bas.

Étape 2

Ordonnée à l'origine : $7=-1\times(-3)+b=3+b$ , donc $b=4$ . Forme fonctionnelle : $y=-x+4$ .

Pourquoi

On remplace un point connu, celui qu'on veut. Le second servira de vérification, ce qui vaut mieux que de relire le calcul.

Étape 3

Vérification avec $B$ : $-5+4=-1$ , l'ordonnée annoncée. Forme générale : $x+y-4=0$ .

Pourquoi

Le passage à la forme générale se fait en ramenant tout d'un côté. Contrôle par la pente : $-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{1}{1}=-1$ .

Étape 4

Intersections avec les axes : $y=0$ donne $x=4$ , et $x=0$ donne $y=4$ . Forme symétrique : $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1$ .

Pourquoi

Les deux dénominateurs sont les deux intersections, jamais la pente. Ils permettent de tracer la droite en plaçant deux points seulement.

Étape 5

Test du point $C(1\,;3)$ : $1+3-4=0$ . L'égalité est vérifiée, donc $C$ appartient à la droite.

Pourquoi

On teste dans la forme générale, où l'appartenance se lit à la valeur zéro. Un écart non nul aurait signifié que le point n'y est pas, quelle que soit sa taille.

Étape 6

Distance : $AB=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(-1-7)^{2}}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\approx 11{,}31$ .

Pourquoi

On simplifie le radical avant d'arrondir : $\sqrt{128}=\sqrt{64\times 2}=8\sqrt{2}$ . La forme exacte est ce que l'évaluation demande quand elle ne précise pas d'arrondi.

Conclusion rédigée

$y=-x+4$ , soit $x+y-4=0$ ou $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1$ ; $C$ appartient à la droite et $AB=8\sqrt{2}\approx 11{,}31$ .

À savoir par cœur

• $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ : jamais la somme des différences.
• $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ , les deux différences dans le MÊME ordre.
• Pente nulle : droite horizontale. Pente indéfinie : droite verticale, et ce n'est pas une fonction.
• Trois formes : $y=mx+b$ , $Ax+By+C=0$ , $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ .
• Dans la forme générale, la pente vaut $-\dfrac{A}{B}$ .
• Dans la forme symétrique, $a$ et $b$ sont les intersections avec les axes, pas une pente.
• Parallèles : mêmes pentes. Confondues si le $b$ est aussi le même.
• Perpendiculaires : produit des pentes égal à $-1$ , donc inverse ET opposé.
• Un point est sur une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation, exactement.
• Trois points sont alignés si deux pentes calculées entre eux sont égales.

Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'une droite à partir de deux points ?

On calcule d'abord la pente : la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, les deux prises dans le même ordre. On écrit ensuite y égale m x plus b, on remplace les coordonnées de l'un des deux points, et on isole b. Enfin on vérifie avec l'autre point, ce qui ne coûte rien et attrape presque toutes les erreurs de signe.

Quelle est la différence entre une pente nulle et une pente indéfinie ?

Une pente nulle vient d'un numérateur nul : les deux points ont la même ordonnée, la droite est horizontale et son équation s'écrit y égale une constante. Une pente indéfinie vient d'un dénominateur nul : les deux points ont la même abscisse, la droite est verticale, son équation s'écrit x égale une constante, et ce n'est pas une fonction.

Comment reconnaître deux droites perpendiculaires en secondaire 4 ?

On multiplie leurs pentes : le produit doit valoir moins un. Autrement dit, la pente de la perpendiculaire est l'inverse opposé de l'autre : on retourne la fraction et on change le signe. Une pente simplement opposée ne suffit pas, les deux droites seraient alors sécantes sans former d'angle droit.

À quoi sert la forme symétrique d'une équation de droite ?

Ses deux dénominateurs sont exactement les endroits où la droite coupe les axes, donc elle se trace en plaçant deux points, sans aucun calcul. Elle est aussi la forme la plus parlante dans un problème de budget ou de ressource partagée, où ces deux nombres sont les deux scénarios extrêmes, tout d'un côté ou tout de l'autre.

Comment savoir si trois points sont alignés ?

Deux méthodes, aussi acceptées l'une que l'autre. On calcule la pente entre le premier et le deuxième point, puis entre le deuxième et le troisième : si les deux pentes sont égales, les points sont alignés. Ou bien on écrit l'équation de la droite passant par les deux premiers et on vérifie que le troisième la satisfait exactement. Le dessin ne prouve rien, un petit écart y est invisible.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La géométrie analytique : droites et distances

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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