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Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Statistiques

Fiche de révision : nuage de points, corrélation et régression (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les nuages de points : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon ce que l'énoncé fournit, et la rédaction d'une conclusion qu'un correcteur acceptera.

C'est le seul chapitre de secondaire 4 où la moitié des points se joue sur des PHRASES plutôt que sur des calculs. Une droite parfaitement calculée, suivie d'une conclusion qui affirme une cause ou qui extrapole sans le dire, perd autant qu'un calcul faux.

Le fil du chapitre

Une droite de régression décrit une TENDANCE observée sur un intervalle précis : elle ne prouve aucune cause, et elle ne dit rien au-delà des données qui l'ont produite.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
  2. 2Statistique : échantillonnage, diagrammes et mesuresSecondaire 3

L'essentiel

Deux informations distinctes : le SENS et l'INTENSITÉ

  • • Le SENS est celui de la pente du nuage : positif si les deux variables augmentent ensemble, négatif si l'une monte quand l'autre descend. C'est le signe de rr.
  • • L'INTENSITÉ est l'étroitesse du nuage autour d'une droite. Elle se lit sur ∣r∣|r|, jamais sur le signe.
  • • Repères d'interprétation : ∣r∣|r| voisin de 0,50{,}5 correspond à une corrélation moyenne, voisin de 0,750{,}75 à une corrélation forte, au-delà de 0,90{,}9 à une corrélation très forte.
  • • rr vit toujours entre −1-1 et 11. Une valeur de 1,31{,}3 ou de −2-2 est une erreur de calcul, pas un résultat.
  • • Une description complète comporte donc les deux mots : « corrélation négative forte », jamais « forte » tout court.
positive fortenégative fortenuller ≈ 0,9r ≈ −0,9r ≈ 0
Les deux premiers nuages ont la MÊME intensité et des sens opposés; le troisième a le même sens que le premier, à intensité nulle. Le signe et la valeur absolue de rr sont bien deux lectures indépendantes.

Sur une copie, décrire un nuage sans donner le sens coûte la moitié des points de la question, même quand l'estimation de ∣r∣|r| est excellente.

La méthode du rectangle, pas à pas

  • • Tracer le plus petit rectangle qui contient tout le nuage, ORIENTÉ selon l'allongement du nuage et non selon les axes.
  • • Mesurer sa longueur LL, dans le sens de l'allongement, et sa largeur ll, perpendiculairement.
  • • Calculer ∣r∣≈1−lL|r|\approx 1-\frac{l}{L} : un rectangle très allongé donne un rapport lL\frac{l}{L} petit, donc un ∣r∣|r| proche de 11.
  • • Donner enfin le SIGNE, qui est celui de la pente du nuage : rien dans le rectangle ne le contient.
  • • Cas extrêmes : l=0l=0 donne ∣r∣=1|r|=1, tous les points alignés; l=Ll=L donne r=0r=0, le rectangle est un carré et le nuage n'a pas de direction.

La méthode est une ESTIMATION : une réponse de 0,80{,}8 ou de 0,850{,}85 sera acceptée, une réponse de 0,80{,}8 au lieu de −0,8-0{,}8 ne le sera pas.

Interpoler, extrapoler, et ce qu'on a le droit de conclure

  • • INTERPOLER, c'est estimer une valeur à l'INTÉRIEUR de l'intervalle des données observées. Le modèle y a été vérifié, l'estimation est fiable.
  • • EXTRAPOLER, c'est estimer AU-DELÀ. Rien ne garantit que la tendance se prolonge, et la copie doit le dire.
  • • Une corrélation, même de 0,990{,}99, ne démontre JAMAIS une relation de cause à effet. Elle peut venir d'une troisième variable, ou du hasard.
  • • Une conclusion défendable comporte trois éléments : la valeur estimée, l'intervalle de validité du modèle, et la réserve sur la causalité.

Le test le plus simple d'une extrapolation : la valeur obtenue a-t-elle un sens ? Une consommation d'électricité négative, un âge de −3-3 ans, une population de 0,40{,}4 personne signalent que le modèle a été poussé hors de son domaine.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Présenter une corrélation comme une relation de cause à effet

toute la question de conclusion, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coefficient de corrélation entre les ventes de crème glacée et le nombre de noyades vaut 0,920{,}92 : les ventes de crème glacée causent donc les noyades. »

Ce qu'il faut écrire

« La corrélation est très forte, mais elle ne démontre aucune cause. Une troisième variable, la température, explique à la fois la hausse des ventes et la fréquentation des plages. »

Pourquoi : Le coefficient mesure un ALIGNEMENT de points, pas un mécanisme. Il est identique si l'on échange les deux variables, ce qui interdit à lui seul d'en tirer un sens de causalité.

2. Confondre le signe de rr avec son intensité

2 points, et l'interprétation du problème est inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« r=−0,88r=-0{,}88 est une corrélation plus faible que r=0,45r=0{,}45, puisqu'elle est négative. »

Ce qu'il faut écrire

« L'intensité se lit sur la valeur absolue : ∣−0,88∣=0,88|-0{,}88|=0{,}88 est une corrélation forte, nettement plus forte que 0,450{,}45, qui est moyenne. Le signe ne dit que le sens. »

Pourquoi : Le signe et la valeur absolue répondent à deux questions différentes : dans quel sens, et à quel point. Un nuage négatif parfaitement aligné a r=−1r=-1, la corrélation la plus forte possible.

3. Extrapoler sans annoncer que c'est une extrapolation

2 points, et la réponse est physiquement absurde

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La droite y=−1,5x+32y=-1{,}5x+32 donne y=−5,5y=-5{,}5 pour x=25x=25. La consommation sera donc de −5,5-5{,}5 kWh. »

Ce qu'il faut écrire

« x=25x=25 est hors de l'intervalle observé, qui va de −20-20 à 00. C'est une extrapolation : le modèle n'y a jamais été vérifié, et il donne ici une consommation négative, ce qui est impossible. »

Pourquoi : Une droite calculée sur un intervalle ne dit rien de ce qui se passe ailleurs. Ici la relation cesse simplement d'être linéaire quand il fait chaud, parce que le chauffage s'arrête.

4. Oublier le signe après la méthode du rectangle

1 à 2 points à chaque estimation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« l=2l=2 et L=10L=10, donc r=1−210=0,8r=1-\frac{2}{10}=0{,}8. »

Ce qu'il faut écrire

« ∣r∣≈1−210=0,8|r|\approx 1-\frac{2}{10}=0{,}8, et le nuage est DÉCROISSANT, donc r≈−0,8r\approx -0{,}8. »

Pourquoi : Le rectangle ne mesure que l'étroitesse du nuage; sa forme est la même pour une pente montante et pour une pente descendante. Le signe se lit sur le dessin, jamais dans la formule.

5. Former les groupes de la droite de Mayer sans trier les données

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je prends les trois premières lignes du tableau pour le premier groupe et les trois suivantes pour le second. »

Ce qu'il faut écrire

« On ORDONNE d'abord les couples selon xx croissant, puis on partage en deux groupes de même effectif, et on calcule le point moyen de chacun. »

Pourquoi : Un tableau d'énoncé est presque toujours donné dans le désordre, exprès. Sans tri, les deux points moyens se rapprochent et la droite obtenue n'a plus aucune pente exploitable.

6. Supprimer une donnée aberrante sans la justifier

2 points, et l'analyse devient malhonnête

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Ce point est loin des autres, je l'enlève pour améliorer la corrélation. »

Ce qu'il faut écrire

« Cette valeur de 3030 s'explique par une erreur de saisie, la mesure réelle étant 1212. Je la corrige et je le signale. Sans explication de ce type, la donnée se conserve et on indique son influence sur la droite. »

Pourquoi : Retirer les points qui dérangent transforme les données en illustration d'une conclusion choisie d'avance. Une donnée ne s'écarte que pour une raison documentée : erreur de saisie, ou circonstance particulière connue.

7. Valider une droite sur un seul point de contrôle

1 point, et une pente fausse peut passer inaperçue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Ma droite passe par le point (−16 ;56)(-16\,;56), donc elle est bonne. »

Ce qu'il faut écrire

« Je vérifie DEUX points : la droite doit donner environ 5656 en x=−16x=-16 et environ 3838 en x=−4x=-4. »

Pourquoi : Une infinité de droites passent par un point donné. Un seul contrôle laisse donc passer une erreur de pente, qui est justement l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse dans la suite du problème.

8. Ajuster une droite sur un nuage manifestement courbé

toute la question de modélisation, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le coefficient vaut environ 00, donc il n'y a aucun lien entre les deux variables. »

Ce qu'il faut écrire

« Le coefficient est proche de 00 parce qu'il mesure l'alignement LINÉAIRE. Le nuage montre pourtant un lien très net, mais courbé : une droite n'est pas le bon modèle ici. »

r ≈ 0la droite ne convient pas
Le nuage suit une courbe très nette, et pourtant la droite de régression est presque horizontale : le coefficient vaut environ 00. Un rr nul dit « pas d'alignement », jamais « pas de lien ».

Pourquoi : Un rr nul ne signifie pas absence de relation, seulement absence de relation linéaire. C'est la raison pour laquelle on TRACE toujours le nuage avant de calculer quoi que ce soit.

9. Prendre la médiane des couples au lieu des deux médianes séparées

les trois points médians, donc la pente et l'équation, souvent 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le premier groupe contient (2 ; 3)(2\ ;\ 3), (4 ; 5)(4\ ;\ 5), (5 ; 6)(5\ ;\ 6) et (7 ; 8)(7\ ;\ 8), donc M1M_1 est le couple du milieu, disons (4 ; 5)(4\ ;\ 5). »

Ce qu'il faut écrire

« On prend la médiane des xx, 4+52=4,5\dfrac{4+5}{2}=4{,}5, et la médiane des yy, 5+62=5,5\dfrac{5+6}{2}=5{,}5, donc M1=(4,5 ; 5,5)M_1=(4{,}5\ ;\ 5{,}5), qui n'est aucun des quatre couples. »

Pourquoi : Un point médian n'est pas une donnée du nuage, c'est un repère construit, exactement comme le point moyen de la méthode de Mayer. Les deux médianes se calculent INDÉPENDAMMENT l'une de l'autre, et rien n'oblige le couple obtenu à figurer dans le tableau. Quand un groupe a un effectif pair, il est même impossible qu'il y figure.

10. Garder la droite de Mayer alors que le nuage contient une valeur extrême

la prévision finale et la justification du modèle, souvent 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le douzième loyer vaut 19001900 dollars au lieu de 12001200, mais la méthode de Mayer est au programme, donc je l'applique. »

Ce qu'il faut écrire

« Une donnée s'écarte nettement des autres, donc j'utilise la droite MÉDIANE-MÉDIANE, qui ne dépend que du rang des valeurs, et je le justifie en nommant la donnée en cause. »

Pourquoi : Le point moyen d'un groupe additionne les valeurs, donc une valeur extrême y entre en entier et tire la droite ; une médiane ne regarde que le rang, et un 19001900 y pèse exactement autant qu'un 12501250 tant qu'il reste le plus grand de son groupe. Sur un jeu réel, la médiane-médiane calculée AVEC la donnée aberrante donne la même prévision que Mayer calculée SANS elle.

11. Inverser le sens du conditionnement dans un tableau à double entrée

la question de lecture du tableau, et souvent la conclusion qui en découle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 99 des 2626 élèves faibles travaillent beaucoup, donc 34 %34\ \% de ceux qui travaillent beaucoup sont faibles. »

Ce qu'il faut écrire

« Parmi les 1414 élèves qui travaillent beaucoup, 99 sont faibles, soit 64 %64\ \%. Parmi les 2626 élèves faibles, 99 travaillent beaucoup, soit 34 %34\ \%. Ce sont deux affirmations différentes. »

Pourquoi : Le numérateur est le même, la case commune aux deux conditions, mais le dénominateur change avec la question posée : total de LIGNE dans un cas, total de COLONNE dans l'autre. Repère de rédaction : le mot qui suit « parmi » désigne le total à mettre au dénominateur. L'erreur est grave parce qu'elle fait dire au tableau autre chose que ce qu'il dit.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon ce que l'énoncé fournit

Regardez ce qui est donné : un dessin seul, un tableau de valeurs, une équation déjà calculée, ou une calculatrice autorisée.

  • Si un nuage dessiné, sans tableau → méthode du rectangle pour estimer ∣r∣|r|, puis lecture du signe sur la pente

    Exemple : un rectangle de L=10L=10 et l=2l=2 donne ∣r∣≈0,8|r|\approx 0{,}8

  • Si un tableau de valeurs et la consigne de tracer une droite → droite de Mayer : trier selon xx, deux groupes de même effectif, un point moyen chacun

    Exemple : les points moyens (−16 ;56)(-16\,;56) et (−4 ;38)(-4\,;38) donnent une pente de −1,5-1{,}5

    avec un effectif impair, l'usage est d'écarter la valeur centrale

  • Si une équation de droite est déjà donnée et on demande une valeur → remplacer, puis vérifier si l'abscisse est DANS l'intervalle des données

    Exemple : x=−10x=-10 dans y=−1,5x+32y=-1{,}5x+32 donne 4747, une interpolation

  • Si une valeur de yy est donnée et on cherche xx → résoudre l'équation du premier degré, puis contrôler l'intervalle de la même façon

    Exemple : y=41y=41 donne −1,5x+32=41-1{,}5x+32=41, donc x=−6x=-6

  • Si l'énoncé demande de commenter la qualité du modèle → regarder d'abord la FORME du nuage : s'il est courbé, dire qu'une droite ne convient pas

    Exemple : un nuage en dôme donne r≈0r\approx 0 sans être sans relation

  • Si l'énoncé demande une conclusion sur le lien entre les variables → décrire la corrélation, puis refuser explicitement la causalité

    Exemple : « corrélation négative forte, ce qui n'établit pas de lien de cause à effet »

  • Si un tableau de valeurs dont une donnée s'écarte nettement des autres → droite médiane-médiane, et on nomme la donnée aberrante dans la justification

    Exemple : un loyer de 19001900 dollars parmi des loyers de 700700 à 12201220 : les médianes l'ignorent, les moyennes non

Quel que soit le chemin, le nuage se dessine AVANT tout calcul. C'est la seule façon de repérer une donnée aberrante ou une forme courbée, et ces deux constats changent la méthode.

Rédiger une conclusion défendable

Une conclusion de ce chapitre comporte quatre éléments, et chacun vaut des points. Les voici dans l'ordre où le correcteur les cherche.

  • Si on décrit le nuage → donner le SENS et l'INTENSITÉ, dans cet ordre, avec une valeur estimée de rr

    Exemple : « corrélation négative forte, rr voisin de −0,95-0{,}95 »

  • Si on donne une estimation chiffrée → l'accompagner de l'intervalle sur lequel le modèle a été construit

    Exemple : « environ 4747 kWh, estimation valable pour des températures entre −20-20 et 00 degrés »

  • Si la valeur demandée sort de cet intervalle → nommer l'extrapolation et exprimer la réserve, en montrant si possible l'absurdité

    Exemple : « −5,5-5{,}5 kWh est impossible : le modèle ne vaut plus au-delà de 00 degré »

  • Si l'énoncé suggère un lien de cause à effet → distinguer la corrélation observée de la causalité, et proposer une variable cachée quand il en existe une plausible

    Exemple : « la chaleur explique à la fois les ventes de crème glacée et la fréquentation des plages »

Une conclusion qui affirme une cause perd ses points même quand tous les calculs qui la précèdent sont justes. C'est le seul chapitre où une phrase peut coûter plus qu'un calcul.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Construire la droite de Mayer, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau de couples et demande une droite, un modèle ou une estimation.

  1. 1 Recopier le tableau ORDONNÉ selon xx croissant, et le dire : « j'ordonne les données selon la température ».
  2. 2 Séparer en deux groupes de même effectif et les identifier clairement, par exemple G1G_{1} et G2G_{2}.
  3. 3 Calculer le point moyen de chaque groupe, en donnant les deux coordonnées : moyenne des xx, moyenne des yy.
  4. 4 Calculer la pente comme le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses des deux points moyens.
  5. 5 Trouver l'ordonnée à l'origine en remplaçant l'un des deux points moyens dans y=ax+by=ax+b.
  6. 6 Écrire l'équation complète, puis vérifier avec le SECOND point moyen.

Phrase de conclusion

« Les points moyens sont M1(−16 ;56)M_{1}(-16\,;56) et M2(−4 ;38)M_{2}(-4\,;38). La pente vaut 38−56−4−(−16)=−1812=−1,5\frac{38-56}{-4-(-16)}=\frac{-18}{12}=-1{,}5, et 56=−1,5×(−16)+b56=-1{,}5\times(-16)+b donne b=32b=32. La droite de Mayer a donc pour équation y=−1,5x+32y=-1{,}5x+32. »

Le piège : Calculer la pente avec deux points du nuage au lieu des deux points MOYENS. La droite obtenue passe alors par deux observations particulières au lieu de résumer l'ensemble.

Barème : 1 point pour le tri, 2 pour les deux points moyens, 1 pour la pente, 1 pour l'équation vérifiée.

Interpréter la pente et l'ordonnée à l'origine

Quand l'utiliser : L'énoncé demande ce que signifient les coefficients de la droite dans le contexte.

  1. 1 Reprendre les unités des deux variables, telles qu'elles apparaissent dans l'énoncé.
  2. 2 Traduire la pente comme une variation : quand xx augmente d'une unité, yy varie de la valeur de la pente, dans son unité.
  3. 3 Traduire l'ordonnée à l'origine comme la valeur de yy lorsque xx vaut zéro, et vérifier que ce cas a un sens concret.
  4. 4 Signaler explicitement si x=0x=0 est hors de l'intervalle observé : l'ordonnée à l'origine n'est alors qu'un paramètre de calcul, pas une prédiction.

Phrase de conclusion

« La pente −1,5-1{,}5 signifie que chaque degré de plus fait baisser la consommation d'environ 1,51{,}5 kWh par jour. L'ordonnée à l'origine 3232 correspond à la consommation estimée à 00 degré, soit environ 3232 kWh par jour. »

Le piège : Interpréter l'ordonnée à l'origine sans vérifier que x=0x=0 est réaliste. Sur des données d'âge ou de taille, x=0x=0 n'a souvent aucun sens et la phrase devient fausse.

Barème : 2 points pour la pente avec son unité, 1 pour l'ordonnée à l'origine, 1 pour la réserve quand elle s'impose.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Température et consommation d'électricité : de la droite à la conclusion

On relève, pour six journées d'hiver, la température moyenne extérieure en degrés Celsius et la consommation d'électricité d'une maison, en kilowattheures par jour.

Les couples observés sont (−20 ;64)(-20\,;64), (−16 ;55)(-16\,;55), (−12 ;49)(-12\,;49), (−8 ;43)(-8\,;43), (−4 ;37)(-4\,;37) et (0 ;34)(0\,;34).

Trouvez la droite de Mayer, estimez la consommation à −10-10 degrés, puis à 2525 degrés, et concluez.

-24-20-16-12-8-4410203040506070température (°C)kWh
Les six relevés, portés dans un repère. Le nuage descend nettement de gauche à droite, ce qui annonce une corrélation négative forte, et il ne montre aucune courbure.

Étape 1

Les couples sont déjà ordonnés selon xx croissant. On les partage en deux groupes de trois : G1G_{1} contient (−20 ;64)(-20\,;64), (−16 ;55)(-16\,;55) et (−12 ;49)(-12\,;49); G2G_{2} contient (−8 ;43)(-8\,;43), (−4 ;37)(-4\,;37) et (0 ;34)(0\,;34).

Pourquoi

Le tri selon xx est la condition de la méthode. Ici il est déjà fait, mais le dire explicitement vaut un point et protège quand l'énoncé donne le tableau en désordre.

Étape 2

Point moyen de G1G_{1} : x=−20−16−123=−16x=\frac{-20-16-12}{3}=-16 et y=64+55+493=1683=56y=\frac{64+55+49}{3}=\frac{168}{3}=56, donc M1(−16 ;56)M_{1}(-16\,;56).

Pourquoi

On calcule séparément la moyenne des abscisses et celle des ordonnées. Le point moyen n'est pas un point du nuage : ici aucun relevé ne vaut 5656 kWh.

Étape 3

Point moyen de G2G_{2} : x=−8−4+03=−4x=\frac{-8-4+0}{3}=-4 et y=43+37+343=1143=38y=\frac{43+37+34}{3}=\frac{114}{3}=38, donc M2(−4 ;38)M_{2}(-4\,;38).

Pourquoi

Deux points suffisent à définir une droite, et ce sont ces deux-là, pas deux observations choisies au hasard, qui résument l'ensemble des données.

Étape 4

Pente : a=38−56−4−(−16)=−1812=−1,5a=\frac{38-56}{-4-(-16)}=\frac{-18}{12}=-1{,}5.

Pourquoi

Le signe négatif confirme la lecture du nuage, qui descend. Une pente positive ici signalerait une soustraction faite dans deux ordres différents en haut et en bas.

Étape 5

Ordonnée à l'origine : 56=−1,5×(−16)+b56=-1{,}5\times(-16)+b, donc 56=24+b56=24+b et b=32b=32. La droite de Mayer est y=−1,5x+32y=-1{,}5x+32. Vérification avec M2M_{2} : −1,5×(−4)+32=6+32=38-1{,}5\times(-4)+32=6+32=38.

-24-20-16-12-8-4410203040506070température (°C)M1M2

Pourquoi

La vérification se fait sur l'AUTRE point moyen, celui qui n'a pas servi au calcul de bb. C'est ce second contrôle qui valide la pente en même temps que l'ordonnée à l'origine.

Étape 6

Interprétation des coefficients : chaque degré de plus fait baisser la consommation d'environ 1,51{,}5 kWh par jour, et à 00 degré la consommation estimée est d'environ 3232 kWh par jour.

Pourquoi

x=0x=0 appartient ici à l'intervalle observé, donc l'ordonnée à l'origine a un sens concret. Sur d'autres données, il faudrait signaler qu'elle n'est qu'un paramètre de calcul.

Étape 7

À −10-10 degrés : y=−1,5×(−10)+32=15+32=47y=-1{,}5\times(-10)+32=15+32=47 kWh. La valeur −10-10 est comprise entre −20-20 et 00 : c'est une INTERPOLATION, l'estimation est fiable.

Pourquoi

Vérifier l'appartenance à l'intervalle avant d'annoncer le résultat est ce qui distingue une estimation défendable d'un simple calcul.

Étape 8

À 2525 degrés : y=−1,5×25+32=−37,5+32=−5,5y=-1{,}5\times 25+32=-37{,}5+32=-5{,}5 kWh. C'est une EXTRAPOLATION, et elle donne une consommation négative, donc impossible.

Pourquoi

L'absurdité du résultat rend la démonstration facile : au-delà de 00 degré le chauffage s'arrête et la relation cesse d'être linéaire. Le modèle sort de son domaine de validité.

Conclusion rédigée

« La droite de Mayer a pour équation y=−1,5x+32y=-1{,}5x+32. À −10-10 degrés, la consommation estimée est d'environ 4747 kWh par jour, une interpolation fiable. À 2525 degrés, le modèle donnerait −5,5-5{,}5 kWh, ce qui est impossible : il s'agit d'une extrapolation hors du domaine observé. La corrélation est négative et forte, mais elle ne suffit pas à elle seule à démontrer que la température CAUSE la consommation, même si le lien du chauffage la rend physiquement plausible. »

L'erreur classique sur cet exercice : Donner −5,5-5{,}5 kWh comme réponse à la dernière question, sans commentaire. Le calcul est exact et la réponse vaut zéro : ce que l'énoncé teste ici, c'est la capacité à reconnaître qu'un modèle a des limites, pas la capacité à remplacer xx par 2525.

À savoir par cœur

  • • Décrire un nuage, c'est donner DEUX choses : le sens, qui est le signe de rr, et l'intensité, qui est ∣r∣|r|.
  • • rr vit entre −1-1 et 11. Une valeur hors de cet intervalle est un calcul faux.
  • • Repères : ∣r∣|r| voisin de 0,50{,}5 est moyen, voisin de 0,750{,}75 est fort, au-delà de 0,90{,}9 est très fort.
  • • Méthode du rectangle : ∣r∣≈1−lL|r|\approx 1-\frac{l}{L}, et le SIGNE se lit sur la pente du nuage.
  • • Droite de Mayer : ordonner selon xx, deux groupes de même effectif, un point moyen chacun, puis la droite par ces deux points.
  • • Interpoler, c'est estimer DANS l'intervalle observé. Extrapoler, c'est estimer au-delà, et cela s'annonce.
  • • Une corrélation, même de 0,990{,}99, ne démontre JAMAIS une cause.
  • • Un rr proche de 00 ne dit pas « aucun lien », il dit « aucun lien LINÉAIRE » : un nuage courbé peut avoir r=0r=0.
  • • Une donnée ne se supprime que si son origine est documentée : erreur de saisie, ou circonstance particulière.
  • • Droite MÉDIANE-MÉDIANE : trois groupes de même effectif sur les xx ordonnés, la médiane des xx et celle des yy SÉPARÉMENT dans chacun, la droite par M1M_1 et M3M_3, puis translation du tiers vers M2M_2.
  • • Reste de la division par 33 : une donnée en trop va au groupe du MILIEU, deux données en trop vont aux deux groupes EXTRÊMES. Les groupes extrêmes gardent toujours le même effectif.
  • • Mayer utilise des moyennes, donc une valeur extrême tire la droite. La médiane-médiane utilise des médianes, donc une valeur extrême ne compte que par son rang.
  • • Dans un tableau à double entrée, le mot qui suit « parmi » désigne le total à mettre au DÉNOMINATEUR du pourcentage.

Questions fréquentes

Comment estimer le coefficient de corrélation avec la méthode du rectangle ?

On trace le plus petit rectangle contenant tout le nuage, orienté selon son allongement et non selon les axes. On mesure sa longueur et sa largeur, puis on calcule un moins le rapport de la largeur sur la longueur. Ce nombre est la valeur absolue du coefficient. On ajoute enfin le signe, qui est celui de la pente du nuage : la formule ne le contient pas.

Quelle différence entre interpoler et extrapoler ?

Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle des données observées : le modèle y a été vérifié, l'estimation est fiable. Extrapoler, c'est estimer au-delà de cet intervalle : rien ne garantit que la tendance se prolonge. Une extrapolation doit être annoncée comme telle sur la copie, avec une réserve, sinon la question est perdue.

Est-ce qu'une forte corrélation prouve une relation de cause à effet ?

Non, jamais, même avec un coefficient de zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf. Le coefficient mesure un alignement de points, pas un mécanisme, et il ne change pas si l'on échange les deux variables. Une troisième variable cachée peut expliquer les deux, comme la chaleur explique à la fois les ventes de crème glacée et le nombre de baignades.

Comment tracer la droite de Mayer à partir d'un tableau ?

On ordonne d'abord les couples selon les abscisses croissantes, ce que l'énoncé ne fait presque jamais. On partage ensuite en deux groupes de même effectif et on calcule le point moyen de chacun : moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées. La droite passe par ces deux points moyens, et on vérifie l'équation obtenue sur le second.

Que faire quand le coefficient de corrélation est proche de zéro ?

Regarder le nuage avant de conclure. Un coefficient nul signifie qu'il n'y a pas d'alignement linéaire, pas qu'il n'y a aucun lien. Un nuage en forme de dôme ou de vallée montre une relation très nette tout en donnant un coefficient voisin de zéro. Dans ce cas, la bonne réponse est qu'une droite n'est pas le modèle adapté.

Quelle différence y a-t-il entre la droite de Mayer et la droite médiane-médiane ?

Les deux servent à résumer un nuage de points par une droite, mais elles ne réagissent pas de la même façon à une donnée extrême. La droite de Mayer partage les données en deux groupes et utilise la moyenne de chacun : une valeur très éloignée des autres entre en entier dans cette moyenne et déplace la droite. La droite médiane-médiane partage les données en trois groupes et utilise la médiane de chacun : une valeur extrême ne compte alors que par son rang, pas par sa taille, donc elle ne déplace presque rien. En pratique, on choisit Mayer sur un nuage régulier, parce qu'elle se calcule plus vite, et la médiane-médiane dès qu'une donnée s'écarte nettement des autres.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Nuage de points, corrélation et régression

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 19 exercices corrigés
  • 190 points
  • 285 minutes
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