Math secondaire 3 à Montréal • Statistiques
Cette fiche ne refait pas le cours de statistique, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : l'échantillon qu'on croit bon parce qu'il est grand, le crochet des classes, la pondération oubliée, et ce que deux moyennes égales peuvent cacher.
La statistique de secondaire 3 est le socle des mesures de dispersion de la CST 4 et de la corrélation de la SN4 : l'interprétation, là où se perdent les points, commence ici.
Le fil du chapitre
Une statistique ne vaut que ce que vaut l'ÉCHANTILLON dont elle sort, et un nombre n'a de sens qu'avec le groupe et l'unité auxquels il se rapporte.
Le stratifié est le plus fidèle à la composition de la population ; l'aléatoire simple l'est en moyenne seulement. Les deux sont acceptés, à condition d'être tirés au sort.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« auditeurs ont appelé, sont contre : la ville est contre. »
Ce qu'il faut écrire
« Les appels sont VOLONTAIRES et les auditeurs ne représentent pas la ville : le décrit les gens qui ont appelé. personnes tirées au sort vaudraient mieux. »
Pourquoi : La taille ne corrige pas un biais de sélection ; elle rend seulement le chiffre faux plus précis.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Stratifié de sur trois niveaux : , , . »
Ce qu'il faut écrire
« de chaque niveau : , , , total . Le stratifié conserve les PROPORTIONS de la population. »
Pourquoi : Égaliser les groupes surreprésente le plus petit ; le stratifié reproduit la composition, il ne l'aplatit pas.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« minutes va dans . »
Ce qu'il faut écrire
« Le crochet ouvert exclut : va dans . Chaque valeur appartient à UNE seule classe. »
Pourquoi : La convention des crochets sert précisément à ne compter aucune donnée deux fois ou aucune fois.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Un histogramme est un diagramme à bandes avec les classes en légende. »
Ce qu'il faut écrire
« Les rectangles d'un histogramme se TOUCHENT : l'axe horizontal est numérique et continu. Les bandes séparées servent aux catégories. »
Pourquoi : Entre et minutes, il n'y a pas de trou ; entre soccer et natation, il n'y a pas de valeur intermédiaire.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Marche : ; autobus : ... »
Ce qu'il faut écrire
« par pour cent : , , , , total . »
Pourquoi : Un pourcentage est une part de , un angle une part de : le facteur fait le pont, et le total est le contrôle.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Notes , , , dans la classe : moyenne . »
Ce qu'il faut écrire
« , , et élèves : . »
Pourquoi : La moyenne des quatre notes POSSIBLES n'est pas celle des trente élèves. Avec élèves à , l'écart serait énorme.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux magasins ont la même moyenne, : ils ont eu la même année. »
Ce qu'il faut écrire
« Même moyenne, mais étendues et : A oscille entre et , B reste entre et onze mois sur douze. »
Pourquoi : Une mesure de tendance centrale ne voit pas la dispersion ; l'étendue, ou le graphique, la montre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« L'étendue est , donc les ventes varient beaucoup tout le temps. »
Ce qu'il faut écrire
« L'étendue ne regarde que le maximum et le minimum, et ; les dix autres mois n'y sont pour rien. Si le seul mois change, elle passe à . »
Pourquoi : Deux données décident de l'étendue ; c'est ce qui la rend si sensible à une valeur extrême.
Regardez ce que représente l'axe horizontal : des catégories, du temps, des classes de nombres, ou les parts d'un tout.
Si des catégories sans ordre : sports, pays, couleurs → diagramme à BANDES, rectangles séparés
Exemple : médailles de cinq pays
Si les parts d'un TOUT, en pourcentages → diagramme CIRCULAIRE, par pour cent
Exemple : moyens de transport des élèves
Si une évolution dans le TEMPS → LIGNE BRISÉE, et un axe vertical qui part de zéro
Exemple : ventes mensuelles
Si une variable continue regroupée en CLASSES → HISTOGRAMME, rectangles accolés
Exemple : temps de trajet en classes de min
Si comparer deux séries mois par mois → deux lignes brisées sur le même graphique
Exemple : magasins A et B
Le circulaire efface le total : deux diagrammes identiques peuvent décrire et personnes. Le total va dans le titre.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé décrit une population, un nombre de répondants, et demande une méthode ou critique une proposition.
Phrase de conclusion
« Population : les élèves ; variable : le temps de devoirs par soir, en minutes. Échantillon stratifié de , soit de chaque niveau : , et élèves, tirés au sort dans les listes. Interroger les premiers entrés à la bibliothèque serait biaisé : le lieu sélectionne les élèves qui travaillent le plus. »
Le piège : Écrire « par niveau » : égaliser les strates détruit la proportionnalité, et le stratifié n'a plus de raison d'être.
Barème : 1 point pour la population et la variable, 1 pour la méthode justifiée, 1 pour les effectifs, 1 pour le biais nommé.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le total des effectifs
Additionnez les effectifs des classes ou des strates : le total doit être celui de l'énoncé. Comptez deux fois.
élèves : bon. Un total de signale une donnée mal classée, souvent une borne.
Les angles totalisent , les fréquences
Après un diagramme circulaire ou un tableau de fréquences, additionnez : et , sinon une catégorie manque ou un calcul est faux.
. Une somme de signale un arrondi ou un oubli.
La moyenne entre le minimum et le maximum
Une moyenne pondérée doit tomber entre la plus petite et la plus grande valeur, et près de la valeur la plus fréquente si la distribution est resserrée.
Notes de à : est plausible. Une moyenne de ou de est impossible.
La question « qui a répondu ? »
Avant d'interpréter un pourcentage, demandez-vous qui a été interrogé et comment. Si la réponse est « ceux qui voulaient » ou « ceux qui étaient là », le chiffre décrit ces gens-là.
« des appels » décrit les appelants ; « des citoyens » exigerait un tirage au sort.
Deux classes de élèves notent leur temps de sommeil, en heures, une nuit d'école. Classe A : élèves à h, à h, à h, à h. Classe B : élèves à h, à h, à h, à h, à h.
Calculer la moyenne, la médiane, le mode et l'étendue de chaque classe, puis dire laquelle dort « le mieux ».
Étape 1
Moyenne A : h. Moyenne B : h.
Pourquoi
Chaque valeur est pondérée par son effectif : c'est la moyenne des trente élèves, pas celle des quatre ou cinq valeurs possibles. Les deux classes ont la même moyenne.
Étape 2
Médiane A : les e et e valeurs rangées sont et , médiane . Médiane B : les e et e sont toutes deux , médiane .
Pourquoi
Avec données, on prend la moyenne des deux du milieu. Les effectifs cumulés localisent les rangs : en A, puis puis ; en B, , , .
Étape 3
Mode A : et à égalité, deux modes. Mode B : , avec élèves sur .
Pourquoi
Le mode est la valeur la plus fréquente ; une distribution peut en avoir deux. En B, un seul mode très dominant : les élèves se ressemblent.
Étape 4
Étendue A : h. Étendue B : h.
Pourquoi
Même moyenne, même médiane, mais B a une étendue plus grande à cause de quatre élèves extrêmes, à h et à h.
Étape 5
Interprétation : A est régulière et étalée entre et ; B est concentrée à avec quelques extrêmes. « Dormir le mieux » dépend du critère : la majorité de B dort h, mais deux élèves de B dorment h.
Pourquoi
Les mesures de tendance centrale ne séparent pas les deux classes ; l'étendue et le mode le font. La question exige de nommer le critère avant de répondre.
Conclusion rédigée
Les deux classes ont la même moyenne et la même médiane, h ; A a deux modes, et , et une étendue de h ; B a un mode dominant, , et une étendue de h. La réponse dépend du critère choisi, et il faut le dire.
L'erreur classique sur cet exercice : Calculer la moyenne de A comme : le résultat tombe juste par symétrie, mais la méthode est fausse et donnerait pour B aussi quelle que soit la répartition.
C'est un échantillon construit en découpant la population en groupes, les strates, par niveau scolaire ou par âge par exemple, puis en tirant au sort dans chaque groupe un nombre de personnes proportionnel à son effectif. Pour 900 élèves répartis en 360, 300 et 240, un échantillon de 90 prend 10 pour cent de chaque groupe, soit 36, 30 et 24. Il garantit que chaque groupe est représenté dans la bonne proportion.
Parce que la taille ne corrige pas la façon dont les répondants ont été choisis. Des auditeurs qui appellent une radio sont des volontaires motivés, et ils ne représentent pas la population ; des élèves interrogés à la sortie du gymnase font plus de sport que les autres. Le pourcentage obtenu décrit les gens qui ont répondu, pas la population. Un petit échantillon tiré au sort vaut mieux qu'un grand échantillon biaisé.
L'histogramme représente une variable numérique continue regroupée en classes, comme des temps de trajet par tranches de 10 minutes : ses rectangles se touchent, parce qu'une classe finit exactement où la suivante commence. Le diagramme à bandes représente des catégories sans ordre ni valeurs intermédiaires, comme des sports ou des pays : ses rectangles sont séparés.
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, et on divise par l'effectif total. Pour 6 élèves à 60, 10 à 70, 8 à 80 et 6 à 90, la somme des produits vaut 2240 et la moyenne 2240 sur 30, soit environ 74,7. Faire la moyenne des quatre notes, 75, ignore le nombre d'élèves à chaque note. Avec des classes, on utilise le milieu de chaque classe comme valeur.
