Math secondaire 3 à Montréal • Probabilités

Fiche de révision : Dénombrement et probabilité géométrique (math, secondaire 3)

Q: Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Dans les deux cas on choisit k objets parmi n sans répétition. Dans un arrangement, l'ordre compte : un podium or, argent, bronze parmi 8 coureurs donne 8 fois 7 fois 6, soit 336. Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas : un comité de 3 parmi 8 donne 336 divisé par 3 factorielle, soit 56. On passe de l'un à l'autre en divisant par k factorielle, et c'est le mot de l'énoncé qui dit si l'ordre compte.

Q: Comment calculer une probabilité géométrique ?

On divise la mesure de la zone favorable par la mesure totale : aire sur aire pour une cible, longueur sur longueur pour un segment, durée sur durée pour une attente, angle sur angle pour une roue. Les deux mesures doivent être dans la même unité. Pour une zone en couronne, on retire le disque intérieur du disque extérieur avant de diviser. Le résultat est toujours entre 0 et 1.

Q: Pourquoi divise-t-on par k factorielle pour une combinaison ?

Parce qu'un même groupe de k objets peut être rangé de k factorielle façons différentes, et qu'un arrangement compte chacune de ces façons comme un cas distinct. Pour un comité de 3 personnes A, B et C, il existe 6 ordres, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, qui désignent le même comité. Diviser le nombre d'arrangements par 6 ne garde qu'un cas par groupe.

Q: Combien de codes possibles pour un cadenas à 3 roulettes ?

Chaque roulette offre 10 chiffres et un chiffre peut se répéter : 10 fois 10 fois 10, soit 1000 codes, de 000 à 999. Si l'on sait que les trois chiffres sont différents, il en reste 10 fois 9 fois 8, soit 720. Ajouter une quatrième roulette multiplie le nombre de codes par 10 : chaque position supplémentaire compte comme une étape de plus dans le principe multiplicatif.

Cette fiche ne refait pas le cours sur le dénombrement, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : la lecture de la situation, qui choisit la formule, et les deux divisions qu'on oublie, par k factorielle quand l'ordre ne compte pas, et par la factorielle des répétitions.

Le dénombrement de secondaire 3 est la base des probabilités de la CST 5 et de la TS, et de tout le calcul des probabilités au cégep : la question « l'ordre compte-t-il ? » ne quittera plus l'élève.

Le fil du chapitre

Compter, c'est d'abord répondre à deux questions, l'ORDRE compte-t-il et peut-on RÉPÉTER ; la probabilité ne fait ensuite que diviser deux comptages, ou deux mesures.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Lois des exposants et notation scientifique Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Le principe multiplicatif

• Des étapes successives se MULTIPLIENT : $3$ entrées, $4$ plats, $2$ desserts font $24$ menus, pas $9$ .
• Répétition permise, $k$ positions à $n$ choix chacune : $n^{k}$ . Un code de $4$ chiffres : $10^{4}=10\,000$ .
• Sans répétition, le nombre de choix diminue de $1$ à chaque étape : $10\times 9\times 8\times 7=5040$ codes à chiffres distincts.
• L'arbre montre pourquoi on multiplie : chaque branche se divise en autant de branches que de choix à l'étape suivante.

Trois entrées, deux desserts chacune : six chemins du départ aux feuilles. On multiplie

3\times 2

; additionner

3+2

compterait les mets, pas les menus.

Permutation, arrangement, combinaison : deux questions

• PERMUTATION : ranger TOUS les $n$ objets, $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times 1$ . $5!=120$ .
• ARRANGEMENT : choisir $k$ parmi $n$ , l'ordre compte, sans répétition : $n\times(n-1)\times\cdots$ , $k$ facteurs. Podium : $8\times 7\times 6=336$ .
• COMBINAISON : choisir $k$ parmi $n$ , l'ordre NE compte PAS : arrangements divisés par $k!$ . Comité de $3$ parmi $8$ : $\dfrac{336}{6}=56$ .
• Lettres répétées : diviser par la factorielle du nombre de répétitions. ALLO : $\dfrac{4!}{2!}=12$ mots.

Les six podiums ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ne forment qu'un seul comité

\{A,B,C\}

: chaque combinaison vaut

3!=6

arrangements, d'où la division.

Le mot de l'énoncé décide : « podium », « président et secrétaire », « mot de passe » signalent l'ordre ; « comité », « équipe », « poignée de main », « tirage de loterie » signalent qu'il ne compte pas.

La probabilité géométrique

• Un point au hasard sur une surface : $P=\dfrac{\text{aire favorable}}{\text{aire totale}}$ . Sur un segment ou une durée : rapport des longueurs.
• Mêmes unités en haut et en bas ; $\pi$ se simplifie entre deux disques, seuls les carrés des rayons comptent.
• Une couronne est un disque MOINS un disque. Trois zones de même largeur radiale ont des aires dans les rapports $1$ , $3$ , $5$ .
• Une probabilité prédit une FRÉQUENCE à long terme : $\dfrac{1}{9}$ de $180$ lancers, environ $20$ , jamais exactement.

« La zone est une COURONNE : $100\pi-25\pi=75\pi$ , probabilité $\dfrac{75}{225}=\dfrac{1}{3}$ . »

Trois zones de même largeur radiale,

5

cm chacune, mais des aires dans les rapports

1

3

5

: la zone du milieu est une couronne trois fois plus grande que le disque central.

Pourquoi : Le disque de rayon $10$ contient le centre ; il faut retirer le disque de rayon $5$ . Les trois zones de la cible ont des aires $1$ , $3$ , $5$ , pas $1$ , $4$ , $9$ .

6. Prendre une probabilité pour une certitude

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Probabilité $\dfrac{1}{9}$ , donc sur $9$ lancers, une fléchette exactement marque $10$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur un grand nombre de lancers, environ un sur neuf marque $10$ ; sur $9$ lancers précis, il peut y en avoir $0$ , $1$ ou $3$ . »

Pourquoi : Une probabilité décrit une fréquence à long terme, pas le résultat d'une expérience particulière.

7. Oublier une des deux extrémités

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Corde de $1$ m coupée au hasard, plus petit morceau sous $20$ cm : probabilité $\dfrac{20}{100}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La coupe peut être à moins de $20$ cm de l'une OU l'autre extrémité : $\dfrac{40}{100}=0{,}4$ . »

Pourquoi : « Le plus petit morceau » est à gauche ou à droite de la coupe : deux intervalles favorables, pas un.

Quelle méthode choisir

Quelle formule ? Deux questions avant tout calcul

Peut-on RÉPÉTER un élément ? L'ORDRE des éléments choisis compte-t-il ? Les réponses désignent la branche.

Si répétition permise, $k$ positions → principe multiplicatif, $n^{k}$

Exemple : code de $3$ chiffres : $10^{3}=1000$
Si pas de répétition, tous les objets rangés → permutation, $n!$

Exemple : $7$ trophées : $7!=5040$
Si pas de répétition, $k$ parmi $n$ , l'ordre compte → arrangement, $n\times(n-1)\times\cdots$ ( $k$ facteurs)

Exemple : $3$ prix différents parmi $7$ : $7\times 6\times 5=210$
Si pas de répétition, $k$ parmi $n$ , l'ordre ne compte pas → combinaison, arrangement divisé par $k!$

Exemple : $3$ livres parmi $7$ : $\dfrac{210}{6}=35$
Si objets identiques dans un rangement → permutation divisée par la factorielle des répétitions

Exemple : ALLO : $\dfrac{4!}{2!}=12$
Si un point au hasard sur une figure ou une durée → probabilité géométrique, aire (ou longueur) favorable sur totale

Exemple : cible : $\dfrac{25\pi}{225\pi}=\dfrac{1}{9}$

Choisir $k$ objets, c'est laisser $n-k$ : $\dfrac{7\times 6\times 5}{3!}$ et $\dfrac{7\times 6\times 5\times 4}{4!}$ valent tous deux $35$ .

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Un dénombrement rédigé, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « combien de façons », « combien de possibilités », « combien de codes ».

1 Écrire les deux réponses : répétition permise ou non, ordre qui compte ou non.
2 Nommer la formule choisie, en un mot : principe multiplicatif, permutation, arrangement, combinaison.
3 Écrire le produit, puis la division par $k!$ s'il y a lieu.
4 Donner le nombre, et vérifier l'ordre de grandeur.

Phrase de conclusion

« Comité de $2$ délégués parmi $28$ : pas de répétition, l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison. Arrangements : $28\times 27=756$ . Combinaisons : $\dfrac{756}{2!}=378$ façons. »

Le piège : Si les deux postes étaient différents, président et vice-président, la réponse serait $756$ : le mot de l'énoncé décide, et il faut le citer.

Barème : 1 point pour les deux questions, 1 pour la formule nommée, 1 pour le calcul.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le petit cas qu'on peut lister

Réduisez à $3$ ou $4$ objets et listez à la main : le nombre obtenu doit coïncider avec la formule.

Pizzas à $2$ garnitures parmi $4$ : $ab$ , $ac$ , $ad$ , $bc$ , $bd$ , $cd$ , six paires, et $\dfrac{4\times 3}{2}=6$ .
Combinaisons plus petites qu'arrangements

Pour un même $k$ parmi $n$ , le nombre de combinaisons est le nombre d'arrangements divisé par $k!$ : il doit être plus petit.

$56$ comités contre $336$ podiums. Un « comité » de $336$ est un podium déguisé.
Les probabilités totalisent $1$

Quand plusieurs zones ou événements couvrent tout, additionnez leurs probabilités : la somme doit valoir $1$ .

Cible : $\dfrac{1}{9}+\dfrac{3}{9}+\dfrac{5}{9}=1$ . Une somme de $\dfrac{14}{9}$ signale une couronne comptée comme un disque.
Mêmes unités en haut et en bas

Dans une probabilité géométrique, aire favorable et aire totale doivent être dans la même unité, sinon le rapport n'a pas de sens.

Disques en cm $^{2}$ sur un tapis en cm $^{2}$ : $\dfrac{675\pi}{24\,000}$ . Un tapis laissé en m $^{2}$ donnerait une probabilité de $884$ .

L'exercice type décortiqué

Le tournoi d'échecs de l'école

Dix élèves participent à un tournoi d'échecs. On veut savoir combien de parties se jouent si chacun affronte chaque autre une fois, combien de classements finaux sont possibles pour les trois premières places, et de combien de façons on peut former deux équipes de cinq pour la finale par équipes.

Enfin, la roue de départage a un secteur rouge de $72^{\circ}$ : quelle est la probabilité de tomber dessus ?

Étape 1

Parties : deux joueurs parmi $10$ , sans ordre, c'est une combinaison : $\dfrac{10\times 9}{2!}=45$ parties.

Pourquoi

Une partie entre A et B est la même qu'entre B et A : on divise par $2$ . Raisonner « chacun joue $9$ parties, donc $90$ » compte chaque partie deux fois.

Étape 2

Trois premières places : ordre compte, sans répétition, c'est un arrangement : $10\times 9\times 8=720$ classements.

Pourquoi

Premier, deuxième, troisième sont des rôles différents ; on ne divise pas par $3!$ . Comparer avec $\dfrac{720}{6}=120$ trios non ordonnés.

Étape 3

Deux équipes de cinq : choisir l'équipe A, $\dfrac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5!}=252$ ; mais choisir A revient à choisir B, donc $\dfrac{252}{2}=126$ partages.

Pourquoi

Deux divisions successives : par $5!$ parce que l'ordre dans l'équipe ne compte pas, puis par $2$ parce que les deux équipes n'ont pas de nom. Le second oubli est le plus fréquent.

Étape 4

Roue : probabilité géométrique par les angles, $\dfrac{72}{360}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ .

Pourquoi

L'angle favorable sur l'angle total, mêmes unités. Sur $50$ départages, on attend environ $10$ rouges, sans certitude.

Étape 5

Contrôles : $45<90$ , $120<720$ , $126<252$ , et $0<0{,}2<1$ .

Pourquoi

Chaque combinaison est plus petite que l'arrangement correspondant, chaque probabilité est entre $0$ et $1$ : les quatre réponses passent les tests de bon sens.

Conclusion rédigée

$45$ parties, $720$ podiums possibles, $126$ façons de former les deux équipes de cinq, et une chance sur cinq de tomber sur le rouge.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $252$ pour les équipes : c'est le nombre de façons de choisir « l'équipe A », mais les deux équipes sont interchangeables, et chaque partage a été compté deux fois.

À savoir par cœur

• Étapes successives : MULTIPLIER. Répétition permise : $n^{k}$ .
• Permutation : tous rangés, $n!$ . Arrangement : $k$ parmi $n$ , ordre compte, $k$ facteurs décroissants.
• Combinaison : ordre ne compte pas, arrangement divisé par $k!$ . Choisir $k$ , c'est laisser $n-k$ .
• Lettres identiques : diviser par la factorielle des répétitions.
• Probabilité géométrique : favorable sur total, aires, longueurs ou angles, mêmes unités. Couronne : disque moins disque.
• Les probabilités d'un tout totalisent $1$ . Une probabilité prédit une fréquence, pas un résultat.
• Les deux questions avant toute formule : l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter ?

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Dans les deux cas on choisit k objets parmi n sans répétition. Dans un arrangement, l'ordre compte : un podium or, argent, bronze parmi 8 coureurs donne 8 fois 7 fois 6, soit 336. Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas : un comité de 3 parmi 8 donne 336 divisé par 3 factorielle, soit 56. On passe de l'un à l'autre en divisant par k factorielle, et c'est le mot de l'énoncé qui dit si l'ordre compte.

Comment calculer une probabilité géométrique ?

On divise la mesure de la zone favorable par la mesure totale : aire sur aire pour une cible, longueur sur longueur pour un segment, durée sur durée pour une attente, angle sur angle pour une roue. Les deux mesures doivent être dans la même unité. Pour une zone en couronne, on retire le disque intérieur du disque extérieur avant de diviser. Le résultat est toujours entre 0 et 1.

Pourquoi divise-t-on par k factorielle pour une combinaison ?

Parce qu'un même groupe de k objets peut être rangé de k factorielle façons différentes, et qu'un arrangement compte chacune de ces façons comme un cas distinct. Pour un comité de 3 personnes A, B et C, il existe 6 ordres, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, qui désignent le même comité. Diviser le nombre d'arrangements par 6 ne garde qu'un cas par groupe.

Combien de codes possibles pour un cadenas à 3 roulettes ?

Chaque roulette offre 10 chiffres et un chiffre peut se répéter : 10 fois 10 fois 10, soit 1000 codes, de 000 à 999. Si l'on sait que les trois chiffres sont différents, il en reste 10 fois 9 fois 8, soit 720. Ajouter une quatrième roulette multiplie le nombre de codes par 10 : chaque position supplémentaire compte comme une étape de plus dans le principe multiplicatif.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Dénombrement et probabilité géométrique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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Probabilités, dénombrement et espéranceSecondaire 4 TS

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