Math secondaire 3 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : Théorème de Pythagore et réciproque (math, secondaire 3)

Q: Comment reconnaître l'hypoténuse dans un triangle rectangle ?

C'est le côté opposé à l'angle droit, celui qui ne le touche pas. Son orientation ne compte pas : elle peut être horizontale ou verticale sur le dessin. C'est aussi toujours le plus long des trois côtés, ce qui donne un contrôle rapide sur toute réponse : une hypoténuse plus courte qu'une cathète est forcément fausse.

Q: Quand faut-il additionner et quand faut-il soustraire avec Pythagore ?

On additionne les carrés des deux cathètes quand on cherche l'hypoténuse. On soustrait le carré de l'autre cathète du carré de l'hypoténuse quand on cherche une cathète. Dans les deux cas, on termine par une racine carrée et on garde la valeur positive. Si on additionne à tort, on obtient une cathète plus longue que l'hypoténuse, ce qui est impossible.

Q: Comment démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque de Pythagore ?

On nomme le plus grand côté, on calcule son carré sur une ligne, puis la somme des carrés des deux autres côtés sur une autre ligne. Si les deux nombres sont égaux, le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore, et l'angle droit est en face du plus grand côté. Si les nombres diffèrent, il n'est pas rectangle. Il faut citer le théorème et placer l'angle droit pour avoir tous les points.

Q: Que faire quand la racine carrée ne tombe pas juste ?

On garde la valeur exacte avec le radical, par exemple racine de 74, et on ne l'arrondit qu'à la toute fin si l'énoncé demande un arrondi. Le radical redonne exactement 74 quand on l'élève au carré, ce qui permet d'enchaîner un second calcul sans accumuler d'erreur. Pour situer le nombre, on l'encadre entre deux entiers : 64 et 81 encadrent 74, donc la racine est entre 8 et 9.

Cette fiche ne refait pas le cours sur Pythagore, vous l'avez dans vos notes en une ligne. Elle traite ce qui décide de la note : le côté qu'on prend pour l'hypoténuse, l'opération qu'on choisit, et la rédaction de la réciproque que le correcteur attend.

Pythagore est le théorème le plus utilisé de tout le secondaire, des relations métriques de SN4 à la trigonométrie de SN5 : un élève qui repère l'hypoténuse sans hésiter a déjà la moitié du chemin.

Le fil du chapitre

L'HYPOTÉNUSE est le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long : c'est elle qu'on isole dans la relation, et c'est elle qu'on teste dans la réciproque.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Nombres réels, racines et ensembles Fiche

L'essentiel

L'hypoténuse : en face de l'angle droit, et la plus longue

• Dans un triangle RECTANGLE : $\text{hypoténuse}^{2}=\text{cathète}^{2}+\text{cathète}^{2}$ .
• L'hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l'angle droit, celui qui ne le touche pas. Son orientation sur la feuille ne compte pas : elle peut être horizontale.
• Elle est toujours le plus LONG côté, et plus courte que la somme des deux cathètes. Deux contrôles gratuits sur toute réponse.
• Le théorème ne vaut que pour un triangle rectangle. Devant une autre figure, on cherche ou on construit le triangle rectangle caché.

Trois triangles rectangles, trois orientations : l'hypoténuse est chaque fois le côté qui ne touche pas l'angle droit, même quand elle est horizontale, en bas, dans le troisième.

Le correcteur attend qu'on nomme l'hypoténuse avant de calculer : « $BC$ est l'hypoténuse, donc $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ ». Cette ligne vaut un point à elle seule.

Deux calculs, une racine

• Chercher l'hypoténuse : ADDITIONNER les carrés. $6^{2}+8^{2}=100$ , hypoténuse $10$ .
• Chercher une cathète : SOUSTRAIRE le carré de l'autre cathète de celui de l'hypoténuse. $13^{2}-5^{2}=144$ , cathète $12$ .
• Terminer par une racine carrée, solution positive. Si elle ne tombe pas juste, garder la valeur EXACTE avec le radical : $\sqrt{74}$ , et $(\sqrt{74})^{2}=74$ exactement.
• Triplets à connaître : $3$ - $4$ - $5$ , $5$ - $12$ - $13$ , $8$ - $15$ - $17$ , et leurs multiples.

La réciproque et les figures cachées

• RÉCIPROQUE : si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle, angle droit opposé au plus grand côté. Sinon il ne l'est pas.
• Quadrillage : les cathètes sont les différences de coordonnées ; un carré efface le signe.
• Triangle isocèle : la hauteur tombe au MILIEU de la base ; on travaille dans le demi-triangle avec la demi-base.
• Solides : Pythagore deux fois, une dans la base, une en se relevant. Diagonale d'un pavé $a\times b\times c$ : $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir l'hypoténuse parce qu'elle est penchée

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans $GHI$ rectangle en $I$ , l'hypoténuse est $GI$ , le côté penché. »

Ce qu'il faut écrire

« L'hypoténuse est $GH$ , le côté opposé à l'angle droit $I$ , même s'il est horizontal. $GH^{2}=GI^{2}+HI^{2}$ . »

Pourquoi : L'hypoténuse se repère par l'angle droit, jamais par l'orientation du dessin. Elle est aussi le plus long côté : un contrôle immédiat.

2. Additionner quand on cherche une cathète

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Hypoténuse $13$ , cathète $5$ : $13^{2}+5^{2}=194$ , l'autre cathète vaut $\sqrt{194}\approx 13{,}9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $b^{2}=13^{2}-5^{2}=144$ , donc $b=12$ . Une cathète est toujours plus courte que l'hypoténuse. »

Pourquoi : Une « cathète » de $13{,}9$ plus longue que l'hypoténuse $13$ est impossible avant même de vérifier le calcul. L'hypoténuse reste seule de son côté de l'égalité.

3. Arrondir la racine trop tôt

2 points, et l'erreur grandit à chaque étape

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Hypoténuse $\sqrt{74}\approx 9$ ; dans le triangle suivant, $9^{2}+25=106$ , $\sqrt{106}\approx 10{,}3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On garde $\sqrt{74}$ : $(\sqrt{74})^{2}+5^{2}=74+25=99$ , donc $\sqrt{99}\approx 9{,}95$ . »

Pourquoi : Le radical redonne le nombre exact quand on l'élève au carré ; un arrondi introduit une erreur qui s'accumule. $\sqrt{74}$ est une réponse exacte, pas une réponse inachevée.

4. Tester la réciproque avec le mauvais côté

2 points, même si la conclusion tombe juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $7$ - $8$ - $11$ : $7^{2}+11^{2}=170\neq 8^{2}=64$ , pas rectangle. »

Ce qu'il faut écrire

« On isole le carré du PLUS GRAND côté : $11^{2}=121$ contre $7^{2}+8^{2}=113$ . $121\neq 113$ , pas rectangle. »

À gauche,

6

8

10

36+64=100=10^{2}

, l'angle en face du

10

est droit. À droite,

6

8

11

36+64=100<121

, l'angle en face du

11

est obtus. C'est le carré du plus grand côté qui décide.

Pourquoi : Un test qui met le plus grand côté dans la somme conclut « pas rectangle » pour TOUS les triangles, même $3$ - $4$ - $5$ : il ne teste rien.

5. Prendre la base entière dans un triangle isocèle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Côtés $13$ , $13$ , base $10$ : $h^{2}=13^{2}-10^{2}=69$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La hauteur coupe la base en son milieu : $h^{2}=13^{2}-5^{2}=144$ , $h=12$ . »

Pourquoi : Le triangle rectangle est le DEMI-triangle, dont la cathète horizontale est la demi-base. Le triplet $5$ - $12$ - $13$ réapparaît.

6. Prendre la hauteur totale entre deux poteaux

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Poteaux de $12$ m et $4$ m, distance $30$ m : câble $=\sqrt{30^{2}+12^{2}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La cathète verticale est la DIFFÉRENCE des hauteurs, $12-4=8$ : câble $=\sqrt{30^{2}+8^{2}}=\sqrt{964}\approx 31{,}05$ m. »

Pourquoi : Le câble ne descend que de $8$ m, il ne va pas jusqu'au sol. Le triangle rectangle a pour sommet le point du grand poteau à la hauteur du petit.

7. Appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Triangle de côtés $13$ , $13$ , $10$ : $13^{2}=13^{2}+10^{2}$ ? »

Ce qu'il faut écrire

« Ce triangle n'a pas d'angle droit ; on trace la hauteur pour créer deux triangles rectangles, puis on applique Pythagore à l'un d'eux. »

Pourquoi : Le théorème exige un angle droit. Devant une figure sans angle droit, le premier geste est de construire le triangle rectangle caché.

Quelle méthode choisir

Quelle opération ? Décider sur le côté cherché

Repérez l'angle droit, nommez l'hypoténuse, puis regardez quel côté manque.

Si l'hypoténuse manque → additionner les carrés des deux cathètes, puis racine

Exemple : $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$
Si une cathète manque → carré de l'hypoténuse MOINS carré de l'autre cathète, puis racine

Exemple : $\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$
Si on demande si le triangle est rectangle → réciproque : carré du PLUS GRAND côté contre somme des deux autres

Exemple : $29^{2}=841=20^{2}+21^{2}$ : rectangle
Si un segment sur un quadrillage → cathètes = différences des coordonnées, puis Pythagore

Exemple : $A(1\,;2)$ , $B(7\,;10)$ : $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$
Si un triangle isocèle ou équilatéral → tracer la hauteur, travailler avec la DEMI-base

Exemple : équilatéral de côté $a$ : $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Si une diagonale de boîte → Pythagore dans la base, puis en se relevant : $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Exemple : $40\times 30\times 20$ : $\sqrt{2900}\approx 53{,}85$
Si deux poteaux de hauteurs différentes → cathète verticale = DIFFÉRENCE des hauteurs

Exemple : $\sqrt{30^{2}+8^{2}}$

La racine ne tombe pas juste : garder le radical, $\sqrt{74}$ , et n'arrondir qu'à la toute fin si l'énoncé le demande.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer qu'un triangle est rectangle, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne trois longueurs et demande si le triangle est rectangle, ou de le justifier.

1 Repérer et NOMMER le plus grand côté : c'est le seul candidat au rôle d'hypoténuse.
2 Calculer son carré, sur une ligne à lui.
3 Calculer sur une autre ligne la somme des carrés des deux autres côtés.
4 Comparer les deux nombres, et l'écrire explicitement.
5 Conclure en citant la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore et en plaçant l'angle droit ; ou conclure « pas rectangle » si les nombres diffèrent.

Phrase de conclusion

« Le plus grand côté mesure $17$ . D'une part, $17^{2}=289$ . D'autre part, $8^{2}+15^{2}=64+225=289$ . Les deux résultats sont égaux, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de $17$ . »

Le piège : Écrire seulement « $289=289$ donc rectangle » : sans le nom du théorème ni la position de l'angle droit, la justification perd la moitié des points.

Barème : 1 point pour le plus grand côté nommé, 1 pour les deux calculs séparés, 1 pour la conclusion avec la réciproque et l'angle droit.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'hypoténuse est le plus long côté

Comparez votre résultat aux deux autres côtés : l'hypoténuse doit être plus longue que chaque cathète, et plus courte que leur somme.

$5$ , $12$ , $13$ : $13>12$ et $13<17$ . Une hypoténuse de $11$ avec une cathète de $12$ est fausse.
Élever la racine au carré

Le carré de la longueur trouvée doit redonner la somme ou la différence calculée.

$\sqrt{74}\approx 8{,}60$ : $8{,}60^{2}=73{,}96$ , proche de $74$ . Un $8{,}0$ donnerait $64$ .
Le triplet caché

Cherchez si les nombres sont un multiple de $3$ - $4$ - $5$ , $5$ - $12$ - $13$ ou $8$ - $15$ - $17$ : le calcul est alors immédiat et vérifiable.

$9$ - $12$ - $15$ est $3$ - $4$ - $5$ fois $3$ ; $6{,}5$ - $6$ - $2{,}5$ est $5$ - $12$ - $13$ divisé par $2$ .
Le dessin à l'échelle

Sur une figure sans angle droit apparent, dessinez le triangle rectangle que vous utilisez et marquez l'angle droit : s'il n'existe pas, Pythagore ne s'applique pas.

Dans le triangle isocèle, l'angle droit est au pied de la hauteur, pas au sommet.

L'exercice type décortiqué

Le hauban du mât

Un mât vertical de $6$ m est retenu par un hauban, un câble tendu depuis son sommet jusqu'à un ancrage au sol situé à $4{,}5$ m du pied du mât.

Calculer la longueur du hauban, puis vérifier avec un second hauban de $8{,}5$ m fixé à $6{,}2$ m du pied si le mât est bien vertical.

Le mât, le sol et le hauban forment un triangle rectangle au pied du mât : le hauban est l'hypoténuse, la seule longueur inconnue.

Étape 1

Le mât est vertical et le sol horizontal : angle droit au pied du mât. Le hauban est l'hypoténuse.

Pourquoi

Nommer l'hypoténuse avant tout calcul : c'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est lui qu'on cherche, donc on additionne.

Étape 2

$h^{2}=6^{2}+4{,}5^{2}=36+20{,}25=56{,}25$ , donc $h=\sqrt{56{,}25}=7{,}5$ m.

Pourquoi

Racine exacte : $56{,}25=7{,}5^{2}$ . C'est le triplet $3$ - $4$ - $5$ multiplié par $1{,}5$ : $4{,}5$ , $6$ , $7{,}5$ . Contrôle : $7{,}5>6$ et $7{,}5<10{,}5$ .

Étape 3

Second hauban : plus grand côté $8{,}5$ , $8{,}5^{2}=72{,}25$ ; autres côtés $6^{2}+6{,}2^{2}=36+38{,}44=74{,}44$ .

Pourquoi

Pour vérifier un angle droit, c'est la RÉCIPROQUE : on isole le carré du plus grand côté et on le compare à la somme des deux autres.

Étape 4

$72{,}25\neq 74{,}44$ : le triangle n'est pas rectangle, le mât penche.

Pourquoi

Comme $72{,}25<74{,}44$ , l'angle au pied est aigu : le mât penche vers l'ancrage. La réciproque ne dit pas seulement oui ou non, l'inégalité dit dans quel sens.

Étape 5

Si le mât était vertical, le second hauban mesurerait $\sqrt{74{,}44}\approx 8{,}63$ m, pas $8{,}5$ .

Pourquoi

On revient au théorème direct pour chiffrer l'écart : $13$ cm de câble manquent, ce qui est le signe concret que quelque chose ne va pas dans l'installation.

Conclusion rédigée

Le premier hauban mesure $7{,}5$ m ; avec le second, $8{,}5^{2}\neq 6^{2}+6{,}2^{2}$ , donc le mât n'est pas vertical, il penche légèrement vers l'ancrage.

L'erreur classique sur cet exercice : Tester le second hauban avec $8{,}5^{2}+6^{2}$ contre $6{,}2^{2}$ : le plus grand côté n'est plus isolé, et le test conclut « pas rectangle » quel que soit le mât.

À savoir par cœur

• Triangle RECTANGLE : hypoténuse $^{2}$ $=$ cathète $^{2}$ $+$ cathète $^{2}$ . L'hypoténuse est en face de l'angle droit, la plus longue.
• Hypoténuse cherchée : additionner. Cathète cherchée : soustraire. Racine positive à la fin.
• Racine non exacte : garder $\sqrt{74}$ . $(\sqrt{74})^{2}=74$ .
• Réciproque : carré du PLUS GRAND côté contre somme des deux autres ; égalité, rectangle ; sinon, non. Nommer le théorème, placer l'angle droit.
• Triplets : $3$ - $4$ - $5$ , $5$ - $12$ - $13$ , $8$ - $15$ - $17$ , et leurs multiples.
• Quadrillage : différences de coordonnées. Isocèle : demi-base. Poteaux : différence des hauteurs. Boîte : $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ .
• Carré : diagonale $a\sqrt{2}$ . Équilatéral : hauteur $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ . Cube : diagonale $a\sqrt{3}$ .

Questions fréquentes

Comment reconnaître l'hypoténuse dans un triangle rectangle ?

C'est le côté opposé à l'angle droit, celui qui ne le touche pas. Son orientation ne compte pas : elle peut être horizontale ou verticale sur le dessin. C'est aussi toujours le plus long des trois côtés, ce qui donne un contrôle rapide sur toute réponse : une hypoténuse plus courte qu'une cathète est forcément fausse.

Quand faut-il additionner et quand faut-il soustraire avec Pythagore ?

On additionne les carrés des deux cathètes quand on cherche l'hypoténuse. On soustrait le carré de l'autre cathète du carré de l'hypoténuse quand on cherche une cathète. Dans les deux cas, on termine par une racine carrée et on garde la valeur positive. Si on additionne à tort, on obtient une cathète plus longue que l'hypoténuse, ce qui est impossible.

Comment démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque de Pythagore ?

On nomme le plus grand côté, on calcule son carré sur une ligne, puis la somme des carrés des deux autres côtés sur une autre ligne. Si les deux nombres sont égaux, le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore, et l'angle droit est en face du plus grand côté. Si les nombres diffèrent, il n'est pas rectangle. Il faut citer le théorème et placer l'angle droit pour avoir tous les points.

Que faire quand la racine carrée ne tombe pas juste ?

On garde la valeur exacte avec le radical, par exemple racine de 74, et on ne l'arrondit qu'à la toute fin si l'énoncé demande un arrondi. Le radical redonne exactement 74 quand on l'élève au carré, ce qui permet d'enchaîner un second calcul sans accumuler d'erreur. Pour situer le nombre, on l'encadre entre deux entiers : 64 et 81 encadrent 74, donc la racine est entre 8 et 9.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Théorème de Pythagore et réciproque

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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