Math secondaire 3 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : Figures et solides semblables : k, k², k³ (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur la similitude, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : la puissance de k qu'on oublie, le sens de la division, et le passage obligé par k pour aller d'une grandeur à une autre.

La similitude de secondaire 3 devient en secondaire 4 la similitude des triangles et ses démonstrations : un élève qui distingue déjà k, k au carré et k au cube n'a plus qu'à apprendre à rédiger.

Le fil du chapitre

Le rapport de similitude k multiplie les LONGUEURS ; les aires suivent avec k au carré et les volumes avec k au cube, et l'erreur de tout le chapitre est d'appliquer k à une aire ou à un volume.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Aire et volume des solides Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Semblables : mêmes angles ET même rapport partout

• Deux figures sont SEMBLABLES si l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : mêmes angles, tous les côtés correspondants dans le même rapport $k$ .
• Tester : ranger les dimensions dans le même ordre et former les rapports ; UN rapport différent suffit à casser la similitude.
• Triangles : mêmes angles suffit. Quadrilatères et solides : angles ET rapports. Carrés, cercles, boules : toujours semblables entre eux.
• ISOMÉTRIQUES : semblables avec $k=1$ , mêmes mesures. De la petite figure à la grande on MULTIPLIE par $k$ , dans l'autre sens on DIVISE.

A et B sont semblables :

\dfrac{9}{6}=\dfrac{6}{4}=1{,}5

. A et C ne le sont pas :

\dfrac{8}{6}\neq\dfrac{5}{4}

, malgré les quatre angles droits de chacun.

k pour les longueurs, k² pour les aires, k³ pour les volumes

• Longueurs, périmètres, hauteurs, rayons, apothèmes : $\times k$ .
• Aires, latérales ou totales : $\times k^{2}$ , parce qu'un carreau agrandi l'est dans les deux directions du plan.
• Volumes : $\times k^{3}$ , une fois par direction de l'espace.
• Remonter vers $k$ : racine CARRÉE du rapport des aires, racine CUBIQUE du rapport des volumes. D'une grandeur à l'autre, on passe TOUJOURS par $k$ .

Le cube d'arête

6

est le cube d'arête

2

agrandi avec

k=3

: son aire est

9

fois plus grande et il contient

27

petits cubes, trois en largeur, trois en profondeur, trois en hauteur.

Doubler une longueur quadruple l'aire et octuple le volume. Pour doubler un volume, il suffit d'un $k=\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26$ .

L'échelle : un k entre le dessin et le réel

• Échelle $1:n$ : $k=n$ du dessin au réel. Longueurs $\times n$ , aires $\times n^{2}$ , volumes $\times n^{3}$ .
• Du réel au dessin : diviser par $n$ . Convertir les unités AVANT : $3{,}2$ km $=320\,000$ cm.
• Un plan au $1:200$ multiplie les aires par $40\,000$ , une maquette au $1:50$ les volumes par $125\,000$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Déclarer deux rectangles semblables sur leurs angles

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Deux rectangles ont quatre angles droits, ils sont toujours semblables. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut aussi le même rapport des côtés : $4\times 6$ et $5\times 8$ ont $\dfrac{5}{4}\neq\dfrac{8}{6}$ , ils ne sont pas semblables. »

Pourquoi : Les angles ne suffisent que pour les triangles. Pour tout le reste, on teste les rapports de tous les côtés correspondants.

2. Multiplier dans le mauvais sens

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $k=1{,}5$ de P vers Q, le côté de Q vaut $6{,}7$ , donc celui de P vaut $6{,}7\times 1{,}5=10{,}05$ . »

Ce qu'il faut écrire

« De la grande figure vers la petite, on DIVISE : $\dfrac{6{,}7}{1{,}5}\approx 4{,}47$ . Vérification : $4{,}47\times 1{,}5\approx 6{,}7$ . »

Pourquoi : Avant de calculer, demandez si la mesure cherchée est dans la grande ou dans la petite figure. Une réduction ne peut pas donner un côté plus long.

3. Appliquer k à une aire

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $k=\dfrac{5}{3}$ , aire de départ $18$ cm $^{2}$ , donc aire agrandie $18\times\dfrac{5}{3}=30$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Aire agrandie $=18\times k^{2}=18\times\dfrac{25}{9}=50$ cm $^{2}$ : une aire suit $k^{2}$ . »

La pizza de

40

cm a un diamètre

\dfrac{4}{3}

fois plus grand que celle de

30

cm, mais son aire n'est que

\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\approx 1{,}78

fois plus grande, pas

2

fois : l'affiche « deux fois plus grande » compte en

k

, la garniture compte en

k^{2}

Pourquoi : Un carreau agrandi l'est en largeur ET en hauteur : chaque carreau devient $k^{2}$ carreaux. La figure des pizzas le montre à l'échelle.

4. Passer directement des volumes aux aires

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Volumes dans le rapport $27$ , donc aires dans le rapport $\sqrt{27}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $k^{3}=27$ donne $k=3$ , puis $k^{2}=9$ : les aires sont dans le rapport $9$ . »

Pourquoi : Il n'y a pas de raccourci d'une grandeur à l'autre qui se retienne : on passe par $k$ , racine cubique puis carré.

5. Prendre deux figures de même aire pour isométriques

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un rectangle $2\times 8$ et un carré $4\times 4$ ont la même aire $16$ , ils sont isométriques. »

Ce qu'il faut écrire

« Isométriques exige les mêmes côtés et les mêmes angles : ces deux figures ne sont ni isométriques ni semblables, $\dfrac{4}{2}\neq\dfrac{4}{8}$ . »

Pourquoi : L'aire est un seul nombre, il ne décrit pas une forme. Isométriques implique même aire, jamais l'inverse.

6. Appliquer l'échelle telle quelle à une surface

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Plan au $1:200$ , aire sur le plan $108$ cm $^{2}$ , donc aire réelle $108\times 200=21\,600$ cm $^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Aire réelle $=108\times 200^{2}=4\,320\,000$ cm $^{2}=432$ m $^{2}$ : l'échelle s'élève au carré pour une aire. »

Pourquoi : $21\,600$ cm $^{2}$ , c'est $2{,}16$ m $^{2}$ , l'aire d'une table : l'ordre de grandeur refuse la réponse pour une cour d'école.

7. Croire que doubler le rayon double le volume

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour une boule deux fois plus volumineuse, il faut un rayon deux fois plus grand. »

Ce qu'il faut écrire

« Doubler le rayon multiplie le volume par $8$ . Pour doubler le volume, $k=\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26$ : le rayon augmente de $26\,\%$ . »

Pourquoi : Le rayon est au cube dans le volume ; la racine cubique remonte du rapport des volumes au rapport des longueurs.

Quelle méthode choisir

Quelle puissance de k ? Décider sur la grandeur

Nommez la grandeur demandée, puis choisissez la puissance. Si vous connaissez une aire ou un volume et cherchez $k$ , prenez la racine correspondante.

Si longueur, périmètre, hauteur, rayon, diagonale, apothème → $\times k$

Exemple : côté $6\to 10$ avec $k=\dfrac{5}{3}$
Si aire, latérale ou totale, surface à peindre, étiquette → $\times k^{2}$

Exemple : $18\to 50$ cm $^{2}$ avec $k=\dfrac{5}{3}$
Si volume, capacité, masse d'un même matériau → $\times k^{3}$

Exemple : $125\to 1000$ cm $^{3}$ avec $k=2$
Si on connaît le rapport des aires, on cherche $k$ → racine CARRÉE

Exemple : $\dfrac{45}{20}=\dfrac{9}{4}$ , $k=\dfrac{3}{2}$
Si on connaît le rapport des volumes, on cherche $k$ → racine CUBIQUE

Exemple : $\dfrac{216}{64}=\dfrac{27}{8}$ , $k=\dfrac{3}{2}$
Si on va de la grande figure vers la petite → diviser au lieu de multiplier, ou utiliser $\dfrac{1}{k}$

Exemple : $\dfrac{6{,}7}{1{,}5}\approx 4{,}47$

Avec $k>1$ : $k<k^{2}<k^{3}$ . Le plus petit des trois rapports est toujours celui des longueurs, le plus grand celui des volumes ; un résultat qui viole cet ordre est faux.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une mesure manquante par similitude, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux figures ou deux solides semblables, avec une aire ou un volume connu de chaque côté, et demande une longueur ou l'autre grandeur.

1 Écrire le rapport connu, aires ou volumes, dans le sens petite vers grande.
2 Remonter vers $k$ par la racine correspondante, en le justifiant : « les aires sont dans le rapport $k^{2}$ ».
3 Appliquer $k$ , $k^{2}$ ou $k^{3}$ à la grandeur demandée, dans le bon sens.
4 Vérifier l'ordre $k<k^{2}<k^{3}$ et l'ordre de grandeur du résultat.

Phrase de conclusion

« Aires totales $150$ et $600$ cm $^{2}$ , donc $k^{2}=4$ et $k=2$ . Les volumes sont dans le rapport $k^{3}=8$ : le grand solide a un volume de $125\times 8=1000$ cm $^{3}$ . »

Le piège : Multiplier le volume par $4$ , le rapport des aires : c'est le passage direct d'une grandeur à l'autre sans passer par $k$ , et il donne $500$ au lieu de $1000$ .

Barème : 1 point pour $k$ , 1 pour la bonne puissance, 1 pour la valeur et son unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'ordre $k<k^{2}<k^{3}$

Pour un agrandissement, le rapport des aires doit dépasser $k$ et le rapport des volumes dépasser celui des aires. Un rapport de volumes plus petit que $k$ est faux.

$k=3$ : aires $\times 9$ , volumes $\times 27$ . Un volume « $\times 3$ » est un $k$ déguisé.
Le sens de la division

Une réduction donne des mesures plus petites, un agrandissement des mesures plus grandes. Comparez le résultat à la donnée.

$6{,}7$ cm dans la grande figure, $k=1{,}5$ : le côté de la petite doit être plus court que $6{,}7$ ; $10{,}05$ est impossible.
Tous les rapports, pas un seul

Avant de déclarer deux solides semblables, formez le rapport de CHAQUE dimension. Il suffit d'un rapport différent pour que la similitude tombe.

$10\times 15\times 20$ et $16\times 24\times 30$ : $1{,}6$ , $1{,}6$ , $1{,}5$ . Pas semblables, à cause de la troisième dimension.
L'ordre de grandeur d'une échelle

Convertissez le résultat dans une unité parlante et comparez à l'objet réel : une cour d'école fait des centaines de m $^{2}$ , un immeuble des centaines de m $^{3}$ .

Un plan au $1:200$ qui donne $2{,}16$ m $^{2}$ pour une cour signale que l'échelle n'a pas été mise au carré.

L'exercice type décortiqué

Le voilier au 1:20

Un modèle réduit de voilier est construit à l'échelle $1:20$ . Le vrai voilier mesure $9$ m de long, sa grand-voile a une aire de $28$ m $^{2}$ et sa coque déplace $3{,}2$ m $^{3}$ d'eau.

Calculer la longueur du modèle, l'aire de sa voile en cm $^{2}$ et le volume de sa coque en cm $^{3}$ , puis comparer avec un modèle au $1:10$ .

Étape 1

$k=20$ du modèle au réel. Longueur du modèle : $\dfrac{9}{20}=0{,}45$ m $=45$ cm.

Pourquoi

Une longueur se divise par $k$ pour aller du réel au modèle. On convertit en cm à la fin, l'unité attendue pour un objet qui tient sur une table.

Étape 2

Aire de la voile : $\dfrac{28}{20^{2}}=\dfrac{28}{400}=0{,}07$ m $^{2}=700$ cm $^{2}$ .

Pourquoi

Une aire se divise par $k^{2}=400$ . Puis $1$ m $^{2}=10\,000$ cm $^{2}$ . Diviser par $20$ seulement donnerait $1{,}4$ m $^{2}$ , une voile plus grande que le modèle entier.

Étape 3

Volume de la coque : $\dfrac{3{,}2}{20^{3}}=\dfrac{3{,}2}{8000}=0{,}0004$ m $^{3}=400$ cm $^{3}$ .

Pourquoi

Un volume se divise par $k^{3}=8000$ , et $1$ m $^{3}=10^{6}$ cm $^{3}$ . Quatre cents centimètres cubes, moins qu'une canette : l'ordre de grandeur est crédible pour une coque de $45$ cm.

Étape 4

Contrôle de l'ordre : diviseurs $20$ , $400$ , $8000$ , soit $k<k^{2}<k^{3}$ .

Pourquoi

Les trois diviseurs croissent avec la dimension de la grandeur. Si le volume avait été divisé par $400$ , l'ordre aurait été violé.

Étape 5

Modèle au $1:10$ : deux fois plus long que le $1:20$ , donc voile $4$ fois plus grande ( $2800$ cm $^{2}$ ) et coque $8$ fois plus volumineuse ( $3200$ cm $^{3}$ ).

Pourquoi

Entre les deux modèles, $k=2$ : les aires suivent $4$ et les volumes $8$ . Un modèle « deux fois plus grand » demande huit fois plus de matière.

Conclusion rédigée

Modèle au $1:20$ : $45$ cm de long, voile de $700$ cm $^{2}$ , coque de $400$ cm $^{3}$ ; le modèle au $1:10$ est deux fois plus long, sa voile quatre fois plus grande et sa coque huit fois plus volumineuse.

L'erreur classique sur cet exercice : Diviser les trois grandeurs par $20$ : la voile ferait $1{,}4$ m $^{2}$ et la coque $0{,}16$ m $^{3}$ , des valeurs absurdes pour un objet de $45$ cm, ce que l'ordre de grandeur signale aussitôt.

À savoir par cœur

• Semblables : mêmes angles ET tous les rapports égaux. Triangles : angles suffisent. Isométriques : $k=1$ .
• Petite vers grande : $\times k$ . Grande vers petite : $\div k$ . L'autre sens, c'est $\dfrac{1}{k}$ .
• Longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ . Toujours $k<k^{2}<k^{3}$ si $k>1$ .
• Rapport des aires connu : racine carrée. Rapport des volumes connu : racine cubique. Puis $k$ pour tout le reste.
• Même aire n'implique pas isométriques. Semblables et même volume : $k=1$ .
• Échelle $1:n$ : longueurs $\times n$ , aires $\times n^{2}$ , volumes $\times n^{3}$ . Convertir les unités d'abord.
• Doubler une longueur : aire $\times 4$ , volume $\times 8$ . Doubler un volume : $k\approx 1{,}26$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si deux figures sont semblables ?

Deux figures sont semblables si elles ont les mêmes angles et si tous leurs côtés correspondants sont dans le même rapport, le rapport de similitude k. On range les dimensions dans le même ordre et on forme les rapports : un seul rapport différent suffit pour que les figures ne soient pas semblables. Pour des triangles, les mêmes angles suffisent ; pour des rectangles, des boîtes ou des cylindres, il faut vérifier les rapports.

Pourquoi l'aire est multipliée par k au carré et le volume par k au cube ?

Parce qu'une aire compte des carreaux et qu'un carreau agrandi avec un rapport k devient k fois plus large et k fois plus haut, donc k fois k fois plus grand. Un volume compte des cubes, agrandis dans trois directions, d'où k au cube. Avec k égal à 3, l'aire est multipliée par 9 et le volume par 27 : un cube d'arête 6 contient 27 cubes d'arête 2.

Comment trouver k quand on connaît deux aires ou deux volumes ?

On forme le rapport des deux aires et on prend sa racine carrée, ou le rapport des deux volumes et on prend sa racine cubique. Par exemple, des aires de 20 et 45 donnent un rapport de 9 sur 4, donc k vaut 3 sur 2 ; des volumes de 64 et 216 donnent 27 sur 8, donc k vaut encore 3 sur 2. Une fois k connu, on l'applique aux longueurs, k au carré aux aires, k au cube aux volumes.

Comment utiliser l'échelle d'un plan pour calculer une aire réelle ?

L'échelle 1 pour 200 signifie que les longueurs réelles sont 200 fois plus grandes que sur le plan. Une aire, elle, est multipliée par 200 au carré, soit 40 000. Une cour qui mesure 108 centimètres carrés sur le plan fait donc 4 320 000 centimètres carrés en réalité, c'est-à-dire 432 mètres carrés. On vérifie l'ordre de grandeur : une cour d'école fait bien quelques centaines de mètres carrés.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Figures et solides semblables : k, k², k³

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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