Exercices corrigés : la similitude et l'isométrie des triangles (math TS, secondaire 4)

Isométriques, par le cas CÔTÉ-CÔTÉ-CÔTÉ. Les trois côtés se correspondent deux à deux : $AB=DE$, $BC=EF$ et $AC=DF$. Trois longueurs verrouillent complètement un triangle, ce qui n'est vrai d'aucune autre figure : un quadrilatère de côtés donnés se déforme encore, et c'est pourquoi on triangule les charpentes.

Isométriques, par le cas CÔTÉ-ANGLE-CÔTÉ. L'angle $B$ est compris entre $AB$ et $BC$, et l'angle $E$ entre $DE$ et $EF$ : la correspondance est respectée. Une fois les deux côtés et l'angle entre eux fixés, le troisième côté est imposé, donc le triangle est unique.

Isométriques, par le cas ANGLE-CÔTÉ-ANGLE. Le côté $AB$ est compris entre les angles $A$ et $B$, et $DE$ entre $D$ et $E$. Remarquez qu'on connaît alors le troisième angle gratuitement, $180-35-70=75$ degrés : deux angles en donnent toujours trois.

On NE PEUT PAS conclure. Les données sont deux côtés et un angle NON compris entre eux : l'angle $A$ n'est pas entre $AB$ et $BC$, il est à l'extrémité. Ce n'est aucun des trois cas, et ici DEUX triangles différents satisfont bel et bien ces trois mesures : avec $AB=8$, $BC=6$ et un angle de $40$ degrés en $A$, l'angle $C$ peut valoir environ $59$ degrés ou environ $121$ degrés, ce qui donne un troisième côté de $9{,}22$ cm ou de $3{,}04$ cm. La réponse attendue est « on ne peut pas conclure », et non « ils ne sont pas isométriques » : ils pourraient l'être.

Parce que l'angle compris FERME la figure. Avec $AB$, l'angle en $B$ et $BC$, le troisième sommet est déterminé, donc le triangle aussi. Si l'angle est placé ailleurs, le côté opposé peut pivoter et se refermer de deux façons différentes, ce qui laisse deux triangles possibles. C'est exactement ce qui se passe en d), et c'est la raison pour laquelle le cas s'appelle côté-ANGLE-côté et non côté-côté-angle.

Semblables, par le cas ANGLE-ANGLE. Le troisième angle de $ABC$ vaut $180-50-60=70$ degrés, et celui de $DEF$ vaut $180-60-70=50$ degrés : les deux triangles ont donc les mêmes trois angles, $50$, $60$ et $70$. Deux angles suffisent toujours, puisque le troisième s'en déduit. Le rapport $k$, lui, ne peut pas être calculé : aucune longueur n'est donnée.

Semblables, par le cas CÔTÉ-ANGLE-CÔTÉ. Les deux rapports encadrant l'angle sont égaux : $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{6}{4}=1{,}5$ et $\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{9}{6}=1{,}5$. L'angle compris est le même, $50$ degrés. Donc $k=1{,}5$ pour passer de $ABC$ à $DEF$ : le second est une fois et demie plus grand.

NON semblables. On range les côtés du plus petit au plus grand et l'on compare les trois rapports : $\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33$, $\dfrac{8}{4}=2$ et $\dfrac{10}{5}=2$. Deux rapports sur trois sont égaux, ce qui ne suffit pas : il faut les TROIS. Ici le premier triangle est rectangle, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$, alors que le second ne l'est pas, $7^{2}+8^{2}=113\neq 100$. Leurs formes diffèrent bel et bien.

Semblables, par le cas CÔTÉ-CÔTÉ-CÔTÉ. Les trois rapports valent $\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$. Donc $k=\dfrac{2}{3}$ pour passer de $ABC$ à $DEF$ : le second est une réduction du premier.

Le rapport inverse, $\dfrac{3}{2}=1{,}5$. On remarque que les deux rapports sont INVERSES l'un de l'autre, et c'est pour cela qu'il faut toujours dire dans quel SENS on l'écrit. La phrase attendue est « $k=\dfrac{2}{3}$ de $ABC$ vers $DEF$ », jamais « $k=\dfrac{2}{3}$ » tout court. Un rapport plus grand que $1$ agrandit, un rapport compris entre $0$ et $1$ réduit.

Les côtés homologues sont $AB$ avec $DE$, et $BC$ avec $EF$. La proportion s'écrit $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$, soit $\dfrac{x}{6}=\dfrac{x+3}{10}$. Produit croisé : $10x=6(x+3)=6x+18$, donc $4x=18$ et $x=4{,}5$. Les côtés valent alors $4{,}5$ et $7{,}5$, et l'on vérifie : $\dfrac{6}{4{,}5}=\dfrac{4}{3}$ et $\dfrac{10}{7{,}5}=\dfrac{4}{3}$. Les deux rapports coïncident, donc la solution est juste.

Les droites parallèles donnent deux triangles semblables, $ADE$ et $ABC$, par le cas angle-angle : l'angle $A$ est commun et les angles en $D$ et en $B$ sont correspondants. On peut donc écrire $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$, soit $\dfrac{x}{8}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$. Donc $x=4$. Attention à ne pas mélanger les deux écritures possibles : celle-ci compare les deux MORCEAUX de chaque côté, l'autre compare un morceau au côté entier.

La proportion est $\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+4}{5}$. Produit croisé : $5x=3x+12$, donc $2x=12$ et $x=6$. Les côtés du premier triangle valent $6$ et $10$, ceux du second $3$ et $5$ : le rapport est bien $\dfrac{1}{2}$ dans les deux cas. Quand l'inconnue figure des DEUX côtés de la proportion, on la rassemble après le produit croisé, comme dans n'importe quelle équation du premier degré.

Avec $x=4$ : $AB=AD+DB=4+8=12$ et $AC=AE+EC=6+12=18$. Alors $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$. Les deux rapports sont égaux, ce qui confirme la réponse. C'est la seconde écriture annoncée en b), et elle donne le rapport $k$ de la similitude, ici $\dfrac{1}{3}$ du grand triangle vers le petit.

Parce que la proportion n'a de sens que si chaque fraction compare un côté du premier triangle au côté HOMOLOGUE du second. Écrire $\dfrac{AB}{EF}$ mélangerait deux côtés qui ne se correspondent pas et donnerait un nombre sans signification. L'ordre des lettres dans l'énoncé « $ABC$ est semblable à $DEF$ » est donc une information à lui seul : il dit que $A$ correspond à $D$, $B$ à $E$ et $C$ à $F$, et c'est ce qui rend la proportion mécanique.

L'angle $R$ correspond à l'angle $N$, l'angle $S$ à l'angle $M$, donc le troisième, $T$, correspond à $P$. La similitude s'écrit donc $RST$ semblable à $NMP$, dans cet ordre exactement. Écrire $RST$ semblable à $MNP$ serait une autre affirmation, et elle serait fausse.

On suit l'ordre, lettre par lettre : $\dfrac{RS}{NM}=\dfrac{ST}{MP}=\dfrac{RT}{NP}$. Chaque fraction compare un côté de $RST$ au côté du même rang dans $NMP$. Une fois cette ligne écrite, plus aucune erreur d'appariement n'est possible : tout le reste est du calcul.

On utilise les deux premiers rapports : $\dfrac{RS}{NM}=\dfrac{ST}{MP}$, soit $\dfrac{9}{6}=\dfrac{12}{MP}$. Produit croisé : $9\,MP=72$, donc $MP=8$. Contrôle de vraisemblance : le rapport $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ dit que $RST$ est une fois et demie plus grand, donc $MP$ doit être plus PETIT que $ST=12$. C'est le cas.

L'erreur est dans l'ordre des lettres : avec « $RST$ semblable à $MNP$ », le côté $ST$ serait apparié à $NP$ et non à $MP$, ce qui ne correspond pas aux égalités d'angles mesurées. Le calcul fait agrandir au lieu de réduire, et il donne $18$ au lieu de $8$. La vraie valeur est $MP=8$, et le contrôle de vraisemblance de la question c) aurait suffi à détecter l'erreur.

Oui, nécessairement. La somme des angles d'un triangle vaut $180$ degrés, donc le troisième angle est ce qui reste une fois les deux autres retirés : si deux angles sont égaux deux à deux, le troisième l'est aussi. C'est exactement ce qui fait du cas angle-angle un cas complet, et c'est pourquoi on ne parle jamais d'un cas « angle-angle-angle ».

Le triangle $A$ a pour côtés $6$, $8$ et $10$, donc un périmètre de $24$ cm. Le triangle $B$ a des côtés multipliés par $1{,}5$ : $9$, $12$ et $15$, donc un périmètre de $36$ cm. On remarque que $36=24\times 1{,}5$ : le périmètre, qui est une somme de longueurs, suit le même rapport que les longueurs. C'est vrai de toute mesure de longueur, y compris les hauteurs et les médianes.

Le triangle $A$ est rectangle, puisque $6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2}$ : son aire vaut $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm carrés. Pour $B$, premier chemin : $B$ est rectangle aussi, donc son aire vaut $\dfrac{9\times 12}{2}=54$ cm carrés. Second chemin : $24\times k^{2}=24\times 1{,}5^{2}=24\times 2{,}25=54$. Les deux donnent le même nombre, et le second marche même quand on ne connaît pas la forme du triangle.

Le rapport des aires vaut $\dfrac{45}{80}=0{,}5625$, et ce nombre est $k^{2}$. Donc $k=\sqrt{0{,}5625}=0{,}75$. On prend la racine POSITIVE, un rapport de similitude étant toujours positif. Contrôle : $0{,}75^{2}=0{,}5625$, et le triangle d'aire $45$ est bien le plus petit des deux.

Par $4$. Un périmètre qui double signifie $k=2$, donc l'aire est multipliée par $k^{2}=4$. C'est le résultat qui surprend le plus : un terrain deux fois plus « grand » en dimensions coûte quatre fois plus cher à gazonner. Le même raisonnement, poussé aux solides, donnerait $k^{3}$ pour les volumes.

Parce qu'une aire est le produit de DEUX longueurs. Chacune est multipliée par $k$, donc le produit l'est par $k\times k=k^{2}$. On le voit sur la formule : $\dfrac{(k\,b)\times(k\,h)}{2}=k^{2}\times\dfrac{b\,h}{2}$. Le raisonnement ne dépend pas de la forme de la figure, il ne dépend que du fait qu'une aire est une grandeur à deux dimensions.

Le rapport total est le PRODUIT des deux : $k=k_{1}\times k_{2}=2\times 1{,}5=3$. Le triangle final est donc trois fois plus grand que le triangle de départ. Additionner les rapports donnerait $3{,}5$, un nombre qui ne correspond à rien.

$DE=5\times 2=10$ cm, puis $GH=10\times 1{,}5=15$ cm. On vérifie avec le rapport total : $5\times 3=15$ cm. Les deux chemins donnent le même résultat, et c'est exactement ce que veut dire « composer deux similitudes ».

Par $k^{2}=3^{2}=9$. On peut aussi le voir étape par étape : l'aire est d'abord multipliée par $2^{2}=4$, puis par $1{,}5^{2}=2{,}25$, et $4\times 2{,}25=9$. Les deux comptes concordent, ce qui est un bon contrôle.

Le rapport en longueur est l'INVERSE, $\dfrac{1}{3}$, et le rapport des aires est $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}$. Passer de $GHI$ à $ABC$, c'est défaire les deux agrandissements : la réduction correspondante n'est pas « moins trois », c'est « un tiers ». Un rapport de similitude est toujours strictement positif.

Parce qu'un rapport est un FACTEUR, pas un ajout. Chaque étape multiplie toutes les longueurs par son propre nombre, donc deux étapes multiplient par l'un puis par l'autre. C'est la même logique qu'au chapitre de l'exponentielle, où des croissances successives se multipliaient, et qu'aux pourcentages : deux hausses de $50$ pour cent ne font pas une hausse de $100$ pour cent, mais de $125$ pour cent.

Le triangle est rectangle en $A$, donc Pythagore donne $BC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$ cm. Pour l'aire, le plus simple est de prendre les deux côtés de l'angle droit comme base et hauteur : $\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm carrés. C'est ce calcul qui servira de levier en c).

Les deux triangles partagent l'angle $B$. De plus, l'angle $A$ de $ABC$ et l'angle $H$ de $HBA$ sont tous deux droits. Deux angles égaux suffisent : c'est le cas angle-angle. L'ordre se lit sur les correspondances : $A$ correspond à $H$, $B$ à $B$, $C$ à $A$, donc $ABC$ est semblable à $HBA$. Les lettres se placent en suivant les angles, jamais au hasard.

La similitude donne $\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{CA}{AH}$. Le dernier et l'avant-dernier rapport suffisent : $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{CA}{AH}$, soit $\dfrac{10}{6}=\dfrac{8}{AH}$, donc $AH=\dfrac{48}{10}=4{,}8$ cm. Autre chemin, par l'aire : l'aire vaut aussi $\dfrac{BC\times AH}{2}$, donc $24=\dfrac{10\times AH}{2}=5\,AH$ et $AH=4{,}8$ cm. Les deux méthodes concordent, et la seconde est la plus rapide quand on connaît déjà l'aire.

Dans le triangle $HBA$, rectangle en $H$ : $BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{36-23{,}04}=\sqrt{12{,}96}=3{,}6$ cm. De même, dans $HAC$ : $CH=\sqrt{64-23{,}04}=\sqrt{40{,}96}=6{,}4$ cm. Contrôle : $3{,}6+6{,}4=10$ cm, ce qui est bien $BC$. Ce contrôle est gratuit et il attrape la plupart des erreurs de calcul.

$BH\times CH=3{,}6\times 6{,}4=23{,}04$, et $AH^{2}=4{,}8^{2}=23{,}04$. L'égalité tient. Elle n'a rien d'un hasard : elle vient de la similitude des deux petits triangles $HBA$ et $HAC$, qui donne $\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AH}{CH}$, donc le produit croisé. Au chapitre suivant, cette égalité porte un nom, c'est la première des RELATIONS MÉTRIQUES du triangle rectangle, et l'on n'aura plus à refaire la similitude à chaque fois.

Faux. Un triangle de base $12$ et de hauteur $4$ a une aire de $24$, tout comme un triangle de base $6$ et de hauteur $8$ : ils ont la même aire et des formes totalement différentes. L'aire est UNE mesure, et il en faut trois bien choisies pour verrouiller un triangle. L'énoncé correct : deux triangles isométriques ont la même aire, et la réciproque est fausse.

Faux. Trois angles égaux prouvent la SIMILITUDE, pas l'isométrie : un triangle et son agrandissement ont exactement les mêmes angles. Il manque une longueur, et une seule suffit. L'énoncé correct : angle-angle est un cas de similitude, et il n'existe aucun cas d'isométrie sans au moins un côté.

Faux. L'aire est multipliée par $k^{2}=4$, pas par $2$. Un carré de $3$ cm de côté a une aire de $9$ cm carrés ; celui de $6$ cm a une aire de $36$ cm carrés, quatre fois plus. Ce sont les LONGUEURS qui suivent $k$. L'énoncé correct : longueurs par $k$, aires par $k^{2}$, volumes par $k^{3}$.

Faux : encore faut-il que l'angle soit COMPRIS entre les deux côtés. Avec un angle placé ailleurs, on retrouve le problème du côté-côté-angle de l'exercice 1, et deux formes différentes peuvent convenir. L'énoncé correct : le cas s'appelle côté-ANGLE-côté, et l'angle doit être celui que forment les deux côtés proportionnels.

Faux, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. L'ordre des lettres DIT quels sommets se correspondent : $A$ avec $D$, $B$ avec $E$, $C$ avec $F$. Changer l'ordre change l'affirmation, et toutes les proportions écrites ensuite deviennent fausses. L'énoncé correct : l'ordre des lettres fait partie de l'information, au même titre que les mesures.

Les deux triangles sont semblables, donc les rapports « hauteur sur distance » sont égaux : $\dfrac{20}{50}=\dfrac{300}{d}$, toutes les longueurs étant en centimètres. Produit croisé : $20\,d=300\times 50=15\,000$, donc $d=750$ cm, soit $7{,}5$ mètres. Convertir AVANT de poser la proportion est indispensable : mélanger mètres et centimètres dans la même égalité donnerait un résultat cent fois trop grand ou trop petit.

On garde la même proportion en changeant l'inconnue : $\dfrac{L}{50}=\dfrac{300}{1500}$, donc $L=\dfrac{300\times 50}{1500}=10$ cm. Contrôle de vraisemblance : le camion est deux fois plus loin qu'en a), donc il paraît deux fois plus petit, et $10$ est bien la moitié de $20$.

Cette fois l'inconnue est la hauteur : $\dfrac{25}{50}=\dfrac{H}{1200}$, donc $H=\dfrac{25\times 1200}{50}=600$ cm, soit $6$ mètres. Le rapport $\dfrac{25}{50}$ vaut $0{,}5$ : l'objet mesure donc la moitié de sa distance, ce qui se vérifie, $6$ étant la moitié de $12$.

Parce que c'est elle qui fixe le rapport de similitude. Changer la distance oeil-règle change le petit triangle, donc le rapport, donc toutes les mesures qui en découlent. C'est pour cela qu'on tient le bras TENDU : la position est reproductible. Un bras à demi plié, à $35$ cm au lieu de $50$, donnerait une distance surestimée de $30$ pour cent environ.

Avec $21$ cm : $d=\dfrac{300\times 50}{21}\approx 714{,}3$ cm, soit $7{,}14$ mètres au lieu de $7{,}5$. L'écart est de $35{,}7$ cm sur $750$, c'est-à-dire $\dfrac{35{,}7}{750}\approx 4{,}8$ pour cent. Une erreur de lecture de $5$ pour cent produit donc une erreur de distance de presque $5$ pour cent : la méthode est robuste, mais elle ne vaut jamais mieux que la lecture, et l'on ne donne pas le résultat au centimètre près.

Les longueurs sont multipliées par le rapport : $12\times 5=60$ cm. C'est la définition même d'une similitude de rapport $5$, et cela vaut pour TOUTE longueur du dessin, y compris les diagonales et les épaisseurs de trait.

Les aires sont multipliées par le carré du rapport : $8\times 5^{2}=8\times 25=200$ centimètres carrés. C'est le point qui surprend l'utilisateur : une reproduction cinq fois plus grande consomme vingt-cinq fois plus d'encre, et non cinq fois plus.

Les deux bras sont dans le rapport de la similitude, puisque le point fixe, la pointe suiveuse et la pointe traçante sont ALIGNÉS. Le bras long doit donc mesurer $8\times 5=40$ cm. Sur la figure, c'est exactement ce que montrent les trois droites issues du point fixe : chaque sommet de la petite figure et son image sont sur la même droite.

Réduire au quart, c'est un rapport $k=0{,}25$. L'aire est alors multipliée par $k^{2}=0{,}0625$, donc $200\times 0{,}0625=12{,}5$ centimètres carrés. Autre façon de le dire : l'aire est divisée par $16$, et $\dfrac{200}{16}=12{,}5$. Les deux calculs concordent.

Il reste un angle de $35$ degrés. Une similitude conserve les ANGLES : c'est même ce qui la définit, avec la proportionnalité des longueurs. C'est pour cela qu'une reproduction reste reconnaissable, et c'est aussi la raison pour laquelle le cas angle-angle suffit à établir une similitude : la forme est entièrement décrite par ses angles.