Math TS, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la similitude et l'isométrie des triangles

Cette fiche de révision accompagne le premier chapitre de géométrie du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : les conditions minimales d'isométrie et de similitude des triangles.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Trois mesures bien choisies verrouillent un triangle : tout le chapitre consiste à savoir lesquelles, et ce que la conclusion autorise, une égalité ou une proportion.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
5Aire et volume des solidesSecondaire 3
6Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3

L'essentiel

Les six cas, et la position de l'angle

• ISOMÉTRIE, trois cas : côté-côté-côté, côté-angle-côté, angle-côté-angle. Chacun demande exactement trois renseignements, et il n'en existe pas d'autre.
• SIMILITUDE, trois cas : angle-angle, côté-angle-côté avec un rapport commun, côté-côté-côté avec un rapport commun.
• L'ANGLE DOIT ÊTRE COMPRIS entre les deux côtés donnés. Deux côtés et un angle placé ailleurs ne concluent RIEN : la figure montre deux triangles qui partagent pourtant ces trois mesures.
• ANGLE-ANGLE SUFFIT pour la similitude, le troisième angle se déduisant des deux autres. Il n'existe donc aucun cas d'isométrie sans au moins un côté.
• DEUX DROITES PARALLÈLES fabriquent une similitude par angle-angle : angle commun et angles correspondants. C'est la configuration la plus fréquente en évaluation.

Deux côtés et un angle NON compris : les triangles

ABC

ABC'

ont tous deux un côté de

8

, un côté de

6

et un angle de

40

degrés en

A

, et pourtant ils ne sont pas isométriques.

Ce que la conclusion autorise

• L'ORDRE DES LETTRES est une information : « $ABC$ semblable à $DEF$ » dit que $A$ correspond à $D$ , $B$ à $E$ et $C$ à $F$ . Une proportion écrite dans un autre ordre compare des côtés qui ne se correspondent pas.
• UNE SIMILITUDE DONNE DES PROPORTIONS : $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{AC}{DF}$ . Une proportion à une inconnue est une équation, que l'on résout par produit croisé.
• LE RAPPORT SE DIT DANS UN SENS. De $ABC$ vers $DEF$ ou l'inverse : les deux nombres sont inverses l'un de l'autre, et un rapport est toujours strictement positif.
• LONGUEURS PAR $k$ , AIRES PAR $k^{2}$ , volumes par $k^{3}$ . Un périmètre, une hauteur et une médiane sont des longueurs, donc ils suivent $k$ .
• DEUX SIMILITUDES À LA SUITE se composent en MULTIPLIANT leurs rapports. Deux agrandissements de $2$ et de $1{,}5$ donnent $3$ , jamais $3{,}5$ .

La configuration qui prépare le chapitre suivant

• Dans un triangle rectangle, la HAUTEUR issue de l'angle droit fabrique TROIS triangles semblables : le grand et les deux petits, tous appariés par le cas angle-angle.
• Avec $ABC$ rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur : $ABC$ est semblable à $HBA$ , et $ABC$ est semblable à $HAC$ .
• Les proportions qui en sortent donnent d'un coup $AH$ , $BH$ et $CH$ , et l'égalité $AH^{2}=BH\times CH$ .
• L'AIRE DONNE UN SECOND CHEMIN : elle vaut $\dfrac{AB\times AC}{2}$ comme $\dfrac{BC\times AH}{2}$ , ce qui livre la hauteur en une ligne.
• Au chapitre suivant, ces égalités portent un nom, ce sont les RELATIONS MÉTRIQUES, et l'on n'a plus à refaire la similitude à chaque fois.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à partir de deux côtés et un angle

toute la question, et une conclusion fausse présentée comme certaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

$AB=8$ , $BC=6$ et un angle de $40$ degrés en $A$ : les triangles sont isométriques

Ce qu'il faut écrire

On ne peut pas conclure : l'angle n'est pas COMPRIS entre les deux côtés

Pourquoi : Avec ces trois mesures, l'angle $C$ peut valoir environ $59$ degrés ou environ $121$ degrés, ce qui donne deux triangles bien différents, de troisième côté $9{,}22$ cm ou $3{,}04$ cm. Le cas s'appelle côté-ANGLE-côté parce que l'angle ferme la figure ; placé ailleurs, il laisse le côté opposé pivoter. La réponse attendue est « on ne peut pas conclure », et non « ils ne sont pas isométriques ».

2. Conclure à partir des angles

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les trois angles sont égaux deux à deux, donc les triangles sont isométriques

Ce qu'il faut écrire

Ils sont SEMBLABLES : il manque une longueur

Pourquoi : Un triangle et son agrandissement ont exactement les mêmes angles : les angles décrivent la FORME, pas la TAILLE. Une seule longueur suffirait à conclure à l'isométrie, mais tant qu'aucune n'est donnée, le rapport reste inconnu. C'est d'ailleurs pourquoi le cas angle-angle figure dans la liste des similitudes et dans aucune autre.

3. Passer aux aires

toute la question, et un devis de matériau divisé par deux

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le rapport vaut $2$ , donc l'aire est doublée

Ce qu'il faut écrire

L'aire est multipliée par $k^{2}=4$

Le rapport des longueurs vaut

1{,}5

, celui des aires

2{,}25

24\times 2{,}25=54

, et non

24\times 1{,}5

Pourquoi : Une aire est le produit de DEUX longueurs, chacune multipliée par $k$ : $\dfrac{(k\,b)(k\,h)}{2}=k^{2}\dfrac{b\,h}{2}$ . Un carré de $3$ cm de côté a une aire de $9$ cm carrés, celui de $6$ cm en a $36$ , quatre fois plus. Inversement, un rapport d'aires de $\dfrac{45}{80}$ donne $k=\sqrt{0{,}5625}=0{,}75$ , et non $0{,}5625$ .

4. Écrire une proportion

toute la question, et un résultat agrandi au lieu d'être réduit

Ce qu'il ne faut pas écrire

$RST$ semblable à $NMP$ , donc $\dfrac{RS}{MN}=\dfrac{ST}{NP}$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{RS}{NM}=\dfrac{ST}{MP}=\dfrac{RT}{NP}$

Pourquoi : On lit les lettres DANS L'ORDRE de l'énoncé de similitude : le premier côté de $RST$ est $RS$ , celui de $NMP$ est $NM$ , et ainsi de suite. Mélanger l'ordre apparie des côtés qui ne se correspondent pas. Le contrôle de vraisemblance rattrape l'erreur : si le rapport annonce une réduction, la longueur cherchée doit être plus petite.

5. Enchaîner deux similitudes

toute la question, et une échelle fausse de près de $20$ pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

Un agrandissement de rapport $2$ suivi d'un agrandissement de rapport $1{,}5$ donne $3{,}5$

Ce qu'il faut écrire

Il donne $2\times 1{,}5=3$

Pourquoi : Un rapport est un FACTEUR, pas un ajout : chaque étape multiplie toutes les longueurs par son propre nombre. C'est la même logique que deux hausses successives de pourcentage, qui se multiplient. Contrôle : un segment de $5$ cm devient $10$ cm, puis $15$ cm, et $15=5\times 3$ .

6. Déduire l'isométrie de l'aire

1 à 2 points, et une justification refusée

Ce qu'il ne faut pas écrire

Ces deux triangles ont la même aire, donc ils sont isométriques

Ce qu'il faut écrire

Faux : bases $12$ et $4$ , ou $6$ et $8$ , donnent la même aire et deux formes différentes

Pourquoi : L'aire est UNE mesure, et il en faut trois bien choisies pour verrouiller un triangle. L'implication ne marche que dans un sens : deux triangles isométriques ont bien la même aire, mais la réciproque est fausse. Le même piège existe avec le périmètre.

7. Mélanger les unités dans une proportion

toute la question, et un résultat cent fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{20\ \text{cm}}{50\ \text{cm}}=\dfrac{3\ \text{m}}{d}$ donne $d=7{,}5$ cm

Ce qu'il faut écrire

On convertit d'abord : $\dfrac{20}{50}=\dfrac{300}{d}$ donne $d=750$ cm, soit $7{,}5$ m

Pourquoi : Une proportion compare des nombres, donc toutes les longueurs doivent être dans la MÊME unité avant d'écrire l'égalité. On convertit en premier, on calcule ensuite, et l'on reconvertit à la fin si l'énoncé demande des mètres. Un contrôle d'ordre de grandeur suffit à repérer la faute : un camion visé à $7{,}5$ centimètres n'a aucun sens.

Quelle méthode choisir

Que conclure, selon les données

Deux triangles, et trois renseignements sur chacun

Si Trois CÔTÉS égaux deux à deux → Isométriques, cas côté-côté-côté

Exemple : $7$ , $9$ , $5$ contre $7$ , $9$ , $5$
Si Deux côtés égaux et l'angle COMPRIS entre eux → Isométriques, cas côté-angle-côté

Exemple : $6$ , angle de $40$ degrés, $8$ dans les deux triangles
Si Deux angles égaux et le côté COMPRIS entre eux → Isométriques, cas angle-côté-angle

Exemple : $35$ degrés, $10$ cm, $70$ degrés
Si Deux côtés et un angle NON compris → On ne conclut RIEN : deux triangles peuvent convenir

Exemple : $8$ , $6$ et $40$ degrés en bout de côté
Si Deux ANGLES égaux deux à deux → Semblables, cas angle-angle ; le rapport reste inconnu sans longueur

Exemple : $50$ et $60$ degrés contre $60$ et $70$ degrés
Si Deux côtés PROPORTIONNELS et l'angle compris entre eux → Semblables, cas côté-angle-côté ; le rapport est celui des deux côtés

Exemple : $4$ et $6$ contre $6$ et $9$ , même angle : $k=1{,}5$
Si Trois côtés PROPORTIONNELS → Semblables, cas côté-côté-côté ; vérifier les TROIS rapports

Exemple : $6$ , $9$ , $12$ contre $4$ , $6$ , $8$ : $k=\dfrac{2}{3}$
Si Deux droites PARALLÈLES coupent un triangle → Semblables par angle-angle : angle commun et angles correspondants

Exemple : $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$

Les démonstrations du parallélogramme, de la droite des milieux et de la configuration en papillon ne sont pas au devis de la TS 4 : il compte deux entrées, les conditions minimales d'isométrie et celles de similitude.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une justification de similitude qui rapporte les points

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande de MONTRER que deux triangles sont semblables

1 Nommer les deux triangles et annoncer le cas visé.
2 Écrire les égalités d'angles ou les rapports de côtés, une par ligne, avec leur raison.
3 Conclure par l'énoncé de similitude, en respectant l'ORDRE des sommets homologues.
4 Écrire la proportion qui en découle, dans ce même ordre.
5 Résoudre par produit croisé, puis contrôler la vraisemblance du résultat.

Phrase de conclusion

« Les triangles $ABC$ et $HBA$ ont l'angle $B$ en commun, et les angles $A$ et $H$ sont droits. Par le cas angle-angle, $ABC$ est semblable à $HBA$ . Donc $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{CA}{AH}$ , soit $\dfrac{10}{6}=\dfrac{8}{AH}$ , d'où $AH=4{,}8$ cm. »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler le sens du rapport

Avant de conclure, regarder si le résultat devait grandir ou rétrécir : un rapport supérieur à $1$ agrandit, un rapport entre $0$ et $1$ réduit.

Avec $k=1{,}5$ de $RST$ vers $NMP$ , la longueur cherchée dans $NMP$ doit être plus petite : $MP=8$ et non $18$ .
Vérifier les TROIS rapports

Pour le cas côté-côté-côté, calculer les trois quotients et les comparer. Deux sur trois ne concluent rien.

$3$ , $4$ , $5$ contre $7$ , $8$ , $10$ : $\dfrac{7}{3}\approx 2{,}33$ alors que les deux autres valent $2$ .
Recouper une longueur par un second chemin

Dans la configuration de la hauteur, calculer $AH$ par la similitude ET par l'aire : les deux doivent coïncider.

$\dfrac{10}{6}=\dfrac{8}{AH}$ donne $4{,}8$ , et $\dfrac{10\times AH}{2}=24$ aussi.
Additionner les morceaux

Quand un côté est coupé en deux, vérifier que la somme des morceaux redonne le côté entier.

$BH+CH=3{,}6+6{,}4=10$ , qui est bien $BC$ .

L'exercice type décortiqué

La plaque triangulaire lue sur un plan

Un plan d'atelier est à l'échelle $1:4$ . Une plaque triangulaire y est dessinée avec des côtés de $5$ , $6$ et $7$ centimètres, pour une aire de $14{,}7$ centimètres carrés. Donnez les dimensions réelles de la plaque, son aire réelle, puis sa masse si elle est découpée dans une tôle d'acier de $3$ millimètres d'épaisseur, de masse volumique $7{,}85$ grammes par centimètre cube.

Les trois cotes sont celles du PLAN. La pièce réelle a des côtés quatre fois plus longs, et une aire seize fois plus grande.

Étape 1

L'échelle $1:4$ signifie que le réel est $4$ fois le plan : $k=4$ du plan vers la pièce.

Pourquoi

On écrit le rapport ET son sens avant tout calcul. Une échelle lue à l'envers divise par quatre au lieu de multiplier, et rien dans le résultat ne le signale.

Étape 2

Côtés réels : $5\times 4=20$ cm, $6\times 4=24$ cm et $7\times 4=28$ cm.

Pourquoi

Les longueurs suivent le rapport, toutes sans exception. Le périmètre suit donc lui aussi : $18$ cm sur le plan, $72$ cm en vrai.

Étape 3

Aire réelle : $14{,}7\times k^{2}=14{,}7\times 16=235{,}2$ centimètres carrés.

Pourquoi

C'est l'étape que les copies ratent : elles multiplient par $4$ et annoncent $58{,}8$ centimètres carrés, soit quatre fois trop peu de matière. Une aire est un produit de deux longueurs.

Étape 4

Volume de la plaque : $235{,}2\times 0{,}3=70{,}56$ centimètres cubes, l'épaisseur étant convertie en centimètres.

Pourquoi

L'épaisseur n'est PAS concernée par l'échelle du plan : c'est une donnée de fabrication, pas une longueur du dessin. La confondre avec une cote du plan multiplierait la masse par quatre.

Étape 5

Masse : $70{,}56\times 7{,}85\approx 553{,}9$ grammes, soit un peu plus d'un demi-kilogramme.

Pourquoi

Contrôle d'ordre de grandeur : une plaque d'acier de la taille d'une feuille de papier et de $3$ mm d'épaisseur pèse quelques centaines de grammes. Le résultat est plausible.

Conclusion rédigée

Côtés réels $20$ , $24$ et $28$ cm ; aire réelle $235{,}2$ centimètres carrés ; masse d'environ $554$ grammes.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de multiplier l'aire par $4$ au lieu de $16$ : la plaque serait annoncée à $58{,}8$ centimètres carrés, et la commande de tôle serait quatre fois trop faible.

À savoir par cœur

• Isométrie : CCC, CAC, ACA. Similitude : AA, CAC, CCC.
• L'angle doit être COMPRIS entre les deux côtés donnés.
• Deux côtés et un angle non compris ne concluent rien.
• Trois angles égaux : similitude, jamais isométrie.
• L'ordre des lettres désigne les sommets homologues.
• Proportion dans cet ordre, puis produit croisé.
• Le rapport se dit dans un sens ; l'autre sens en est l'inverse.
• Longueurs par $k$ , aires par $k^{2}$ , volumes par $k^{3}$ .
• Deux similitudes à la suite : on MULTIPLIE les rapports.
• La hauteur issue de l'angle droit donne trois triangles semblables.

Questions fréquentes

Quelle différence y a-t-il entre isométrie et similitude ?

Deux triangles isométriques ont exactement les mêmes mesures : on peut superposer l'un à l'autre. Deux triangles semblables ont seulement la même forme : mêmes angles, côtés proportionnels, mais pas forcément la même taille. L'isométrie est donc le cas particulier d'une similitude dont le rapport vaut un.

Pourquoi deux côtés et un angle ne suffisent-ils pas toujours ?

Parce que tout dépend de la position de l'angle. S'il est compris entre les deux côtés, il ferme la figure et le triangle est unique. S'il est placé à l'extrémité d'un des côtés, le troisième côté peut se refermer de deux façons, et deux triangles différents satisfont les mêmes trois mesures. La conclusion attendue est alors qu'on ne peut pas conclure.

Pourquoi les aires sont-elles multipliées par le carré du rapport ?

Parce qu'une aire est le produit de deux longueurs, et que chacune est multipliée par le rapport. Le produit l'est donc deux fois. C'est pour cela qu'un agrandissement au double consomme quatre fois plus de matière, et qu'un plan réduit au quart donne une aire seize fois plus petite. Le même raisonnement, appliqué aux volumes, donne le cube du rapport.

Comment savoir dans quel ordre écrire les lettres ?

On suit les égalités d'angles mesurées : le sommet du premier triangle s'écrit en face de celui du second qui porte le même angle. Une fois cet ordre posé, toutes les proportions se lisent mécaniquement, côté par côté, dans le même ordre. C'est l'information la plus dense de l'énoncé, et la plus souvent négligée.

À quoi sert la hauteur issue de l'angle droit ?

Elle découpe le triangle rectangle en deux triangles qui lui sont tous deux semblables, par le cas angle-angle. Les proportions qui en découlent donnent d'un coup la hauteur et les deux morceaux de l'hypoténuse, ainsi que l'égalité entre le carré de la hauteur et le produit des deux morceaux. Ce sont les relations métriques du chapitre suivant, démontrées avant d'être nommées.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La similitude et l'isométrie des triangles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

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