Math TS, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction partie entière

Q: Pourquoi la partie entière d'un nombre négatif descend-elle ?

Parce que la définition demande le plus grand entier inférieur ou égal au nombre. Pour moins deux virgule trois, les entiers qui conviennent sont moins trois, moins quatre, et ainsi de suite ; le plus grand d'entre eux est moins trois. L'habitude d'enlever les décimales donne la bonne réponse pour les positifs et la mauvaise pour tous les négatifs, ce qui en fait une règle à abandonner.

Q: Comment reconnaître les deux paramètres sur un graphique ?

La hauteur d'une contremarche donne la valeur absolue du facteur de devant, et la longueur d'une marche donne l'inverse de la valeur absolue du paramètre du crochet. Le côté où se trouvent les points pleins donne le signe de ce dernier, à gauche s'il est positif. Le sens de variation fixe enfin le signe du facteur de devant.

Q: Pourquoi la solution d'une équation est-elle un intervalle ?

Parce que la fonction est constante sur tout un palier : une infinité d'abscisses y donnent la même image. Résoudre revient donc à retrouver le palier, et la réponse est son intervalle, fermé d'un côté et ouvert de l'autre. Donner un seul nombre revient à oublier la quasi-totalité des solutions.

Q: Quand une équation en escalier n'a-t-elle aucune solution ?

Quand, après avoir isolé le crochet, la valeur qu'il devrait prendre n'est pas un entier. Une partie entière ne vaut jamais trois et demi, donc l'équation qui l'exige n'a aucune solution. Cela se voit aussi sur l'image de la fonction, qui ne contient que les multiples du facteur de devant.

Q: Comment écrire un tarif facturé à l'unité entamée ?

Avec un paramètre négatif dans le crochet, ce qui revient à écrire moins la partie entière de l'opposé. Cette écriture compte correctement les unités commencées, y compris quand la quantité est un nombre entier, alors que l'astuce consistant à ajouter un à la partie entière facture une unité de trop dans ce cas précis.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction partie entière, ou fonction en escalier, du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire, dans sa forme à deux paramètres.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le paramètre de devant donne la hauteur des marches, celui du crochet leur longueur, et son signe décide du côté fermé : c'est lui qui distingue l'unité révolue de l'unité entamée.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les fonctions définies par parties Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
3Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
4Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
5Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
6Les fonctions définies par parties

L'essentiel

La définition, et les deux paramètres

• $[x]$ est le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL à $x$ . La partie entière DESCEND : elle n'arrondit pas et elle ne tronque pas, donc $[-2{,}3]=-3$ .
• La forme du chapitre est $f(x)=a[bx]$ . Le domaine est $\mathbb{R}$ et l'image est l'ensemble des MULTIPLES de $a$ , donc un ensemble de valeurs isolées.
• LE PARAMÈTRE DE DEVANT donne la hauteur des contremarches, $|a|$ . LE PARAMÈTRE DU CROCHET donne la longueur des marches, $\dfrac{1}{|b|}$ .
• LE SIGNE DE $b$ décide du côté fermé : à gauche si $b>0$ , comme la fonction de base ; à droite si $b<0$ .
• SENS DE VARIATION : croissante si $a$ et $b$ sont de même signe, décroissante sinon.

La fonction de base

[x]

: chaque palier est fermé à gauche et ouvert à droite, et la courbe ne prend que des valeurs entières.

Lire une règle, résoudre une équation

• TROUVER LA RÈGLE sur un graphique, dans cet ordre : hauteur d'une contremarche, ce qui donne $|a|$ ; longueur d'une marche, ce qui donne $|b|$ par $\dfrac{1}{\text{longueur}}$ ; côté fermé, ce qui donne le signe de $b$ ; sens de variation, ce qui fixe le signe de $a$ .
• RÉSOUDRE $a[bx]=c$ : on ISOLE le crochet d'abord, puis on traduit $[A]=n$ par $n\le A<n+1$ . L'ordre compte : traduire avant d'isoler donne un intervalle faux.
• LA SOLUTION EST UN INTERVALLE, fermé à gauche et ouvert à droite quand $b>0$ . Donner un seul nombre est une réponse incomplète.
• AUCUNE SOLUTION si le crochet doit valoir un nombre non entier : $2[x]=7$ demanderait $[x]=3{,}5$ . On le dit, et l'on dit pourquoi.
• INÉQUATIONS, deux traductions qui ne sont pas symétriques : $[A]\ge n$ équivaut à $A\ge n$ , borne FERMÉE ; $[A]\le n$ équivaut à $A<n+1$ , borne OUVERTE.

Compter : unité révolue ou unité entamée

• $[x]$ compte les unités RÉVOLUES : les minutes écoulées, les pièces entières, les passes pleines.
• $-[-x]$ compte les unités ENTAMÉES : la minute commencée qui est facturée, la passe de finition, le carton qu'il faut ouvrir.
• JAMAIS $[x]+1$ pour l'unité entamée : la formule ajoute une unité de trop quand $x$ est un ENTIER, et c'est précisément le cas qu'un correcteur va tester.
• Dans la forme du chapitre, l'unité entamée s'écrit avec un paramètre NÉGATIF dans le crochet : une facturation à $18$ dollars l'heure entamée est $C(t)=-18[-t]$ .
• Un escalier modélise un coût qui avance par paliers : ce n'est pas la quantité qui compte, c'est le nombre de paliers franchis.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer la partie entière d'un nombre négatif

1 à 2 points par calcul, et tout un problème de facturation faussé

Ce qu'il ne faut pas écrire

$[-2{,}3]=-2$ , puisqu'on enlève les décimales

Ce qu'il faut écrire

$[-2{,}3]=-3$ : la partie entière descend au palier du dessous

Pourquoi : La définition demande le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL à $x$ , et $-2$ est plus GRAND que $-2{,}3$ : il est donc exclu. La règle « enlever les décimales » donne la bonne réponse pour les positifs et la mauvaise pour tous les négatifs, ce qui en fait la pire des habitudes. Contrôle en cinq secondes : le résultat doit toujours être inférieur ou égal au nombre de départ.

2. Lire les deux paramètres

toute la question, et un escalier tourné d'un quart de tour

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans $4[2x]$ , le $2$ donne la hauteur des marches

Ce qu'il faut écrire

Le $2$ donne leur LONGUEUR, $\dfrac{1}{2}$ ; la hauteur est $4$

La courbe de

4[2x]

: des marches de

0{,}5

de long et des contremarches de

4

de haut, fermées à gauche puisque le paramètre du crochet est positif.

Pourquoi : Le paramètre du crochet agit sur les ABSCISSES : il resserre ou étire les paliers. Celui de devant multiplie les IMAGES : il change la hauteur des contremarches. Le contrôle est immédiat : avec $4[2x]$ , la fonction change de palier tous les $0{,}5$ et saute de $4$ en $4$ , ce qu'on vérifie sur deux valeurs, $f(0)=0$ et $f(0{,}5)=4$ .

3. Donner la solution d'une équation en escalier

la moitié de la question, et une incompréhension du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

$[x]=4$ donne $x=4$

Ce qu'il faut écrire

$x\in[4\,;5[$ : toute la marche convient

Pourquoi : La fonction est constante sur tout un palier, donc une infinité d'abscisses donnent la même image. La réponse attendue est l'INTERVALLE du palier, fermé à gauche et ouvert à droite : $4$ convient puisque $[4]=4$ , et $5$ ne convient pas puisque $[5]=5$ . C'est la seule famille de fonctions du programme où une équation a une infinité de solutions.

4. Isoler ou traduire en premier

toute la question, et un intervalle trois fois trop court

Ce qu'il ne faut pas écrire

$3[x]=12$ donne $12\le 3x<13$ , donc $[4\,;4{,}33[$

Ce qu'il faut écrire

On isole d'abord : $[x]=4$ , donc $[4\,;5[$

Pourquoi : L'encadrement $n\le A<n+1$ traduit le CROCHET, pas la fonction entière : il ne s'applique qu'une fois le crochet seul d'un côté. Le contrôle est immédiat : avec $x=4{,}8$ , on a $3[4{,}8]=3\times 4=12$ , donc $4{,}8$ est bien solution, alors que l'intervalle faux l'excluait.

5. Placer la borne d'une inéquation

1 point, et une valeur impossible livrée au correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

$5[2x]\le -10$ donne $x\le -0{,}5$

Ce qu'il faut écrire

$]-\infty\,;-0{,}5[$ : la borne sort de l'ensemble

Pourquoi : On isole : $[2x]\le -2$ , ce qui équivaut à $2x<-1$ , et non à $2x\le -2$ . Vérification à la borne : $x=-0{,}5$ donne $[2\times(-0{,}5)]=[-1]=-1$ et $5\times(-1)=-5$ , qui n'est pas inférieur ou égal à $-10$ . Les deux traductions ne sont pas symétriques, et c'est exactement là que se perdent les points.

6. Écrire un comptage d'unités entamées

toute la question dès que la durée est un nombre entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

Une communication de $x$ minutes facturée à la minute entamée coûte $[x]+1$ minutes

Ce qu'il faut écrire

Elle en coûte $-[-x]$

Pourquoi : Pour une communication de exactement $5$ minutes, la formule fausse facturerait $6$ minutes. L'écriture $-[-x]$ donne $5$ , et elle donne aussi $3$ pour $2{,}3$ minutes : elle est correcte dans les deux cas. Le signe moins dans le crochet retourne l'axe et déplace le point fermé à droite du palier, ce qui est exactement le comptage voulu.

7. Sortir le crochet d'un produit

toute la question, et une règle inventée

Ce qu'il ne faut pas écrire

$[2x]=2[x]$

Ce qu'il faut écrire

Faux : en $x=0{,}5$ , la gauche vaut $1$ et la droite vaut $0$

Pourquoi : La partie entière n'est ni distributive ni multiplicative : elle ne sort pas d'un produit et elle ne se sépare pas sur une somme. Un seul contre-exemple suffit à le montrer, et il faut savoir l'écrire en évaluation. Ce qui est vrai, en revanche, c'est que le paramètre du crochet change la longueur des marches : c'est là qu'il agit.

Quelle méthode choisir

Que faire, selon ce que l'énoncé demande

Une fonction en escalier $f(x)=a[bx]$ , donnée par sa règle, par un graphique ou par une situation

Si On demande une IMAGE → Calculer le contenu du crochet, prendre sa partie entière EN DESCENDANT, puis multiplier

Exemple : $3[-0{,}5]=3\times(-1)=-3$ , et non $[3\times(-0{,}5)]$
Si On demande la MARCHE ou la CONTREMARCHE → Marche $\dfrac{1}{|b|}$ , contremarche $|a|$ : le crochet pour la longueur, le facteur pour la hauteur

Exemple : $[4x]$ : marche de $0{,}25$ , contremarche de $1$
Si On demande l'IMAGE de la fonction → L'ensemble des multiples de $a$ ; le paramètre du crochet n'y intervient pas

Exemple : $3[x]$ prend les multiples de $3$ : la valeur $7$ n'est jamais atteinte
Si On lit un GRAPHIQUE → Contremarche, puis longueur de marche, puis côté fermé, puis sens de variation

Exemple : Contremarche $4$ , marche $0{,}5$ , fermé à gauche : $f(x)=4[2x]$
Si On RÉSOUT une équation → Isoler le crochet, traduire par $n\le bx<n+1$ , conclure par un INTERVALLE

Exemple : $3[x]=12$ donne $[x]=4$ , donc $[4\,;5[$
Si On RÉSOUT une inéquation → $[A]\ge n$ devient $A\ge n$ , borne fermée ; $[A]\le n$ devient $A<n+1$ , borne ouverte

Exemple : $5[2x]\le -10$ donne $]-\infty\,;-0{,}5[$
Si Le contexte compte des unités ENTAMÉES → Écrire $-[-x]$ , ou un paramètre NÉGATIF dans le crochet, jamais $[x]+1$

Exemple : $18$ dollars l'heure entamée : $C(t)=-18[-t]$

La forme canonique $a[b(x-h)]+k$ , avec ses deux translations, n'est pas au programme de la TS 4 : elle arrive en TS 5. Ici l'escalier passe toujours par l'origine d'un de ses paliers.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la résolution d'une équation en escalier

Quand l'utiliser : Dès que l'inconnue est dans un crochet de partie entière

1 Isoler le crochet en divisant par le facteur de devant.
2 Vérifier que le résultat est un ENTIER ; sinon, conclure immédiatement qu'il n'y a aucune solution.
3 Traduire l'égalité du crochet par l'encadrement $n\le bx<n+1$ .
4 Résoudre l'encadrement en conservant les deux bornes, l'une fermée, l'autre ouverte.
5 Conclure par un INTERVALLE, et vérifier avec une valeur prise à l'intérieur.

Phrase de conclusion

« $3[x]=12$ donne $[x]=4$ , un entier. Donc $4\le x<5$ , et l'ensemble-solution est $[4\,;5[$ . Vérification : $3[4{,}8]=3\times 4=12$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Comparer le résultat au nombre de départ

Une partie entière est toujours inférieure ou égale au nombre dont on la prend. Un résultat plus grand signale une erreur de sens.

$[-2{,}3]=-2$ est impossible : $-2$ est plus grand que $-2{,}3$ .
Tester deux abscisses du même palier

Deux valeurs prises dans le même intervalle doivent donner la MÊME image. Si elles diffèrent, la longueur de marche est fausse.

Avec $4[2x]$ , les abscisses $0{,}6$ et $0{,}9$ donnent toutes deux $4$ .
Vérifier la borne d'une inéquation

Substituer la borne trouvée dans l'inéquation de départ : elle doit la satisfaire si la borne est fermée, la violer si elle est ouverte.

$x=-0{,}5$ donne $5[2x]=-5$ , qui n'est pas inférieur ou égal à $-10$ : la borne est bien exclue.
Tester un cas entier dans un problème de comptage

Dans tout problème d'unités entamées, essayer une valeur ENTIÈRE : c'est le cas que la formule $[x]+1$ rate, et celui que le correcteur choisit.

Pour une intervention de $4$ heures pile, $-18[-4]=72$ dollars, et non $90$ .

L'exercice type décortiqué

Le conditionnement d'une commande

Un atelier expédie ses pièces dans des cartons de $18$ pièces. Une commande porte sur $250$ pièces. Combien de cartons faut-il, combien de pièces contient le dernier, et pour quels effectifs faut-il exactement $12$ cartons ?

Les paliers sont fermés à DROITE :

18

pièces tiennent dans un carton, mais

19

en demandent deux. C'est la signature d'un comptage d'unités entamées.

Étape 1

On divise : $\dfrac{250}{18}\approx 13{,}89$ . Les cartons PLEINS sont au nombre de $[13{,}89]=13$ .

Pourquoi

La partie entière compte les unités révolues, donc les cartons entièrement remplis. C'est la première moitié de la réponse, jamais la totalité.

Étape 2

Il faut un carton de plus pour le reste, donc $14$ cartons, ce qui s'écrit $-\left[\dfrac{-250}{18}\right]=-[-13{,}89]=14$ .

Pourquoi

Un carton entamé est un carton qu'il faut fournir. L'écriture avec le double signe moins est celle qui reste juste même quand la division tombe juste, contrairement à un plus un ajouté à la main.

Étape 3

Le dernier carton contient $250-13\times 18=250-234=16$ pièces.

Pourquoi

C'est le RESTE de la division. La question du reste et celle du nombre de cartons sont deux questions différentes, et l'énoncé pose souvent les deux dans la même phrase.

Étape 4

Pour exactement $12$ cartons : $-\left[\dfrac{-n}{18}\right]=12$ équivaut à $11<\dfrac{n}{18}\le 12$ , donc $198<n\le 216$ .

Pourquoi

La solution est un INTERVALLE, et ses bornes sont inversées par rapport à celles d'une équation ordinaire : ouverte à gauche, fermée à droite, parce que le comptage entamé ferme les paliers à droite.

Étape 5

Contrôle aux deux bornes : $n=198$ donne exactement $11$ cartons, et $n=216$ en donne exactement $12$ .

Pourquoi

Tester les deux bornes est la vérification attendue : elle prouve que l'intervalle est le bon et que ses crochets sont dans le bon sens. Une commande de $199$ pièces exige bien un douzième carton, pour une seule pièce.

Conclusion rédigée

Il faut $14$ cartons, le dernier contient $16$ pièces, et l'on utilise exactement $12$ cartons pour toute commande de $199$ à $216$ pièces.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est de répondre $13$ cartons, en s'arrêtant à la partie entière : les $16$ pièces du reste resteraient à l'atelier. La seconde erreur est d'écrire $[13{,}89]+1$ , une formule qui ajoute un carton vide quand la commande est un multiple de $18$ .

À savoir par cœur

• $[x]$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : il descend toujours.
• $f(x)=a[bx]$ : domaine $\mathbb{R}$ , image formée des multiples de $a$ .
• Contremarche $|a|$ , marche $\dfrac{1}{|b|}$ : le facteur en hauteur, le crochet en longueur.
• Signe de $b$ : fermé à gauche si positif, à droite si négatif.
• Croissante si $a$ et $b$ sont de même signe, décroissante sinon.
• Équation : isoler le crochet, PUIS traduire par $n\le bx<n+1$ .
• La solution d'une équation est un INTERVALLE, pas un nombre.
• Aucune solution si le crochet doit valoir un non-entier.
• $[A]\ge n$ donne $A\ge n$ , borne fermée. $[A]\le n$ donne $A<n+1$ , borne ouverte.
• Unité entamée : $-[-x]$ , jamais $[x]+1$ .

Questions fréquentes

Pourquoi la partie entière d'un nombre négatif descend-elle ?

Parce que la définition demande le plus grand entier inférieur ou égal au nombre. Pour moins deux virgule trois, les entiers qui conviennent sont moins trois, moins quatre, et ainsi de suite ; le plus grand d'entre eux est moins trois. L'habitude d'enlever les décimales donne la bonne réponse pour les positifs et la mauvaise pour tous les négatifs, ce qui en fait une règle à abandonner.

Comment reconnaître les deux paramètres sur un graphique ?

La hauteur d'une contremarche donne la valeur absolue du facteur de devant, et la longueur d'une marche donne l'inverse de la valeur absolue du paramètre du crochet. Le côté où se trouvent les points pleins donne le signe de ce dernier, à gauche s'il est positif. Le sens de variation fixe enfin le signe du facteur de devant.

Pourquoi la solution d'une équation est-elle un intervalle ?

Parce que la fonction est constante sur tout un palier : une infinité d'abscisses y donnent la même image. Résoudre revient donc à retrouver le palier, et la réponse est son intervalle, fermé d'un côté et ouvert de l'autre. Donner un seul nombre revient à oublier la quasi-totalité des solutions.

Quand une équation en escalier n'a-t-elle aucune solution ?

Quand, après avoir isolé le crochet, la valeur qu'il devrait prendre n'est pas un entier. Une partie entière ne vaut jamais trois et demi, donc l'équation qui l'exige n'a aucune solution. Cela se voit aussi sur l'image de la fonction, qui ne contient que les multiples du facteur de devant.

Comment écrire un tarif facturé à l'unité entamée ?

Avec un paramètre négatif dans le crochet, ce qui revient à écrire moins la partie entière de l'opposé. Cette écriture compte correctement les unités commencées, y compris quand la quantité est un nombre entier, alors que l'astuce consistant à ajouter un à la partie entière facture une unité de trop dans ce cas précis.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction partie entière

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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La fonction partie entièreSecondaire 5 TS

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