Exercices corrigés : la fonction partie entière (math TS, secondaire 4)

$[2{,}7]=2$, le plus grand entier qui ne dépasse pas $2{,}7$. $[-1{,}5]=-2$ : les entiers inférieurs ou égaux à $-1{,}5$ sont $-2$, $-3$, et le plus grand est $-2$. $[3]=3$, un entier est sa propre partie entière. $[-0{,}2]=-1$, pour la même raison que le deuxième : $0$ est plus grand que $-0{,}2$, donc il est exclu.

Le domaine est $\mathbb{R}$ : tout nombre a une partie entière. L'image est $\mathbb{Z}$, l'ensemble des entiers : la fonction ne prend jamais de valeur décimale. C'est la première propriété à retenir, et elle explique la forme de la courbe, faite de paliers horizontaux à des hauteurs entières.

Chaque marche s'étend sur une unité, de $n$ inclus à $n+1$ exclu : la longueur d'une marche est $1$. D'une marche à la suivante, la hauteur augmente de $1$ : la contremarche vaut $1$. Ces deux nombres sont ce que les paramètres viendront modifier au prochain exercice.

Parce que la partie entière descend, elle n'arrondit pas et elle ne tronque pas. L'entier $-1$ est PLUS GRAND que $-1{,}5$, donc il ne peut pas être la partie entière. Cette erreur est la plus fréquente du chapitre : on croit « enlever la virgule », ce qui marche pour les positifs et échoue pour tous les négatifs. Sur la figure, la marche qui contient $-1{,}5$ est bien à la hauteur $-2$.

La marche à la hauteur $2$ s'étend de $2$ inclus à $3$ exclu : $f(x)=2$ pour tout $x\in[2\,;3[$. La réponse est un INTERVALLE et non un nombre, et c'est le point qui distingue ce chapitre de tous les autres : une équation y a une infinité de solutions, rangées dans un intervalle.

Le crochet est nu, donc $b=1$ et la marche mesure $1$. Le facteur $3$ multiplie toutes les images, donc la contremarche vaut $3$. On calcule : $f(2{,}7)=3\times 2=6$ et $f(-0{,}5)=3\times(-1)=-3$. On prend la partie entière AVANT de multiplier : $3\times(-0{,}5)=-1{,}5$ puis $[-1{,}5]=-2$ donnerait $-2$, un résultat faux, parce que ce n'est pas la fonction demandée.

Ici $b=4$, donc la marche mesure $\dfrac{1}{4}=0{,}25$, et $a=1$, donc la contremarche vaut $1$. On calcule : $g(1{,}3)=[5{,}2]=5$ et $g(0{,}6)=[2{,}4]=2$. Un paramètre plus grand que $1$ dans le crochet RESSERRE les marches : la fonction change de palier quatre fois plus souvent.

$h(5)=-2[2{,}5]=-2\times 2=-4$. $h(-1)=-2[-0{,}5]=-2\times(-1)=2$. La fonction est DÉCROISSANTE : quand $x$ augmente, le crochet augmente, et le facteur négatif retourne tout. La figure le montre : les marches descendent de gauche à droite, chacune de $2$ unités.

$k(2{,}3)=2[-2{,}3]=2\times(-3)=-6$ et $k(-1{,}2)=2[1{,}2]=2\times 1=2$. Le signe moins dans le crochet RETOURNE l'axe : les marches sont fermées à DROITE et ouvertes à gauche. C'est la seule façon, dans la forme du programme, de compter des unités ENTAMÉES plutôt que des unités révolues, et l'exercice 6 y revient.

La règle générale : la hauteur d'une contremarche est $|a|$ ; la longueur d'une marche est $\dfrac{1}{|b|}$ ; le SIGNE de $b$ décide du côté fermé, à gauche si $b>0$, à droite si $b<0$ ; et le sens de variation est donné par le PRODUIT des deux signes, croissante si $a$ et $b$ sont de même signe, décroissante sinon. Quatre renseignements, deux paramètres : c'est tout le chapitre.

Les paliers se trouvent aux hauteurs $-12$, $-8$, $-4$, $0$, $4$, $8$ et $12$ : d'un palier au suivant, la hauteur augmente de $4$. La contremarche vaut donc $4$, et comme la fonction monte, $a=4$. Si elle avait descendu, on aurait pris $a=-4$ : la hauteur donne la valeur absolue, le sens donne le signe.

Chaque palier s'étend sur une demi-unité : de $0$ à $0{,}5$, puis de $0{,}5$ à $1$, et ainsi de suite. La longueur d'une marche vaut $0{,}5$, or cette longueur est $\dfrac{1}{|b|}$, donc $|b|=\dfrac{1}{0{,}5}=2$. Un paramètre plus grand que $1$ dans le crochet resserre les marches, ce qui est bien le cas ici.

Les points pleins sont à GAUCHE de chaque palier et les points creux à droite : les marches sont fermées à gauche, comme celles de la fonction de base. Cela impose $b>0$, donc $b=2$. Un paramètre négatif aurait retourné l'axe et mis les points pleins à droite.

La règle est $f(x)=4[2x]$. Vérification : $f(1{,}2)=4[2{,}4]=4\times 2=8$, et le graphique montre bien le palier à la hauteur $8$ sur $[1\,;1{,}5[$, qui contient $1{,}2$. Deuxième contrôle, sur un point limite : $f(0{,}5)=4[1]=4$, et $0{,}5$ est bien le début du palier à $4$, point plein.

$f(2)=4[4]=4\times 4=16$. La règle vaut partout, même au-delà de la fenêtre : le graphique ne montre qu'une portion d'un escalier infini dans les deux sens. Contrôle de cohérence : le palier précédent, sur $[1{,}5\,;2[$, était à $12$, et l'on gagne bien une contremarche de $4$ en franchissant $x=2$.

Le crochet prend toutes les valeurs entières, donc $3[x]$ prend tous les TRIPLES d'entiers : l'image est $\{\ldots,-6,-3,0,3,6,9,\ldots\}$, les multiples de $3$. La valeur $7$ n'y est pas, $7$ n'étant pas un multiple de $3$ : aucune abscisse ne donne $7$. On le vérifie en résolvant $3[x]=7$, qui demanderait $[x]=\dfrac{7}{3}$, un nombre non entier, donc impossible.

Le facteur de devant vaut $1$, donc l'image est $\mathbb{Z}$ tout entier. La valeur $-5$ y est : il suffit de résoudre $[4x]=-5$, soit $-5\le 4x<-4$, donc $x\in\left[-1{,}25\,;-1\right[$. Le paramètre du crochet n'a rien changé à l'image, seulement à la largeur des paliers.

L'image est l'ensemble des multiples de $2$, c'est-à-dire les entiers PAIRS, positifs et négatifs. Le signe moins ne change rien à l'image, puisque l'opposé d'un multiple de $2$ est encore un multiple de $2$ : il ne fait que renverser l'ordre des paliers. La valeur $3$ n'y est pas, $3$ étant impair.

L'image est l'ensemble des multiples de $0{,}5$, c'est-à-dire $\{\ldots,-1,-0{,}5,0,0{,}5,1,\ldots\}$. Un paramètre décimal donne donc des valeurs décimales, mais toujours isolées. La valeur $2{,}5$ y est, atteinte pour $[x]=5$, donc pour $x\in[5\,;6[$.

L'image de $a[bx]$ est l'ensemble des MULTIPLES de $a$, autrement dit $\{a\,n\ \text{avec}\ n\ \text{entier}\}$. Le paramètre $b$ n'y figure pas : il agit sur les abscisses, pas sur les ordonnées, donc il change la largeur des paliers et l'endroit où ils commencent, jamais les valeurs prises. C'est la même séparation qu'au chapitre de la racine carrée, où un paramètre décidait du domaine et l'autre de l'image.

$[x]=4$ signifie $4\le x<5$, donc l'ensemble-solution est $[4\,;5[$. La borne de gauche est FERMÉE et celle de droite OUVERTE, dans cet ordre, parce que la marche commence à $4$ et s'arrête juste avant $5$. Écrire $]4\,;5]$ serait faux de deux façons : $4$ serait exclu à tort et $5$ inclus à tort, alors que $[5]=5$ et non $4$.

On traduit directement sur le contenu du crochet : $3\le 2x<4$. On divise tout par $2$, un nombre positif, donc le sens ne change pas : $1{,}5\le x<2$, soit $[1{,}5\,;2[$. L'intervalle est deux fois plus court que celui de la question a), ce qui est normal : le paramètre $2$ resserre les marches de moitié. Vérification : $[2\times 1{,}7]=[3{,}4]=3$.

On isole d'abord le crochet : $[x]=\dfrac{12}{3}=4$, et l'on retombe sur la question a). L'ensemble-solution est $[4\,;5[$. L'ordre des gestes compte : traduire avant d'isoler donnerait $12\le 3x<13$, donc $[4\,;4{,}33[$, un intervalle faux et trop court.

On isole : $[x]=\dfrac{7}{2}=3{,}5$. Or une partie entière est un ENTIER : aucune abscisse ne peut donner $3{,}5$. L'équation n'a donc AUCUNE solution. C'est la question qu'il faut savoir reconnaître : elle se règle en une ligne, et la réponse attendue nomme la raison, pas seulement le vide.

On isole : $[0{,}5x]=\dfrac{6}{-2}=-3$. On traduit : $-3\le 0{,}5x<-2$. On multiplie par $2$, un nombre positif, donc le sens se conserve : $-6\le x<-4$, soit $[-6\,;-4[$. Vérification avec $x=-5$ : $[0{,}5\times(-5)]=[-2{,}5]=-3$, et $-2\times(-3)=6$. C'est juste. Le piège serait de diviser par $-2$ APRÈS avoir traduit, ce qui obligerait à renverser les inégalités.

$[-2{,}3]=-3$, $[-0{,}6]=-1$, $[4{,}99]=4$ et $[-5]=-5$. Les trois premières descendent au palier inférieur ; la quatrième ne bouge pas, un entier étant sa propre partie entière. Ce dernier cas est celui qui décide de tout dans la suite de l'exercice.

Trois minutes. Deux minutes sont révolues, et la troisième est commencée, donc facturée entièrement. Le calcul $[2{,}3]=2$ donne les minutes RÉVOLUES et ne répond pas à la question ; il manque celle qui est en cours.

On essaie : $-[-2{,}3]=-(-3)=3$, ce qui est bien le nombre de minutes entamées. Autre essai : $-[-0{,}6]=-(-1)=1$, une seule minute entamée, correct. Et sur un entier : $-[-5]=-(-5)=5$, cinq unités entamées et non six, ce qui est bien ce qu'on attend d'une communication de exactement cinq minutes. L'écriture $-[-x]$ donne donc le compte juste dans tous les cas.

Le coût est $18$ dollars par heure entamée, donc $C(t)=-18[-t]$, c'est-à-dire $a=-18$ et $b=-1$ dans la forme du chapitre. On calcule : $C(3{,}2)=-18[-3{,}2]=-18\times(-4)=72$ dollars, quatre heures facturées. Et $C(4)=-18[-4]=-18\times(-4)=72$ dollars également : une intervention de quatre heures pile coûte le même prix, ce qui est bien le comportement attendu. Les marches sont fermées à droite, puisque $b<0$.

Parce que $[x]+1$ ajoute une unité de trop quand $x$ est ENTIER. Pour une communication de exactement $5$ minutes, cette formule facturerait $6$ minutes, ce qu'aucun fournisseur n'oserait. L'écriture $-[-x]$ traite correctement les deux cas, le décimal et l'entier, parce que le retournement de l'axe déplace le point fermé de la gauche vers la droite du palier. C'est exactement ce que le paramètre négatif du crochet fait dans la forme $a[bx]$.

$[x]\ge 3$ signifie que la partie entière vaut $3$, $4$, $5$, et ainsi de suite. La plus petite abscisse qui convient est $3$ lui-même, puisque $[3]=3$. L'ensemble-solution est donc $[3\,;+\infty[$, borne FERMÉE. On retient la traduction : $[A]\ge n$ équivaut simplement à $A\ge n$.

$[x]<2$ veut dire $[x]\le 1$, la partie entière étant un entier. Les abscisses qui conviennent vont jusqu'à $2$ exclu, puisque $[2]=2$ ne convient pas mais que $[1{,}999]=1$ convient. L'ensemble-solution est $]-\infty\,;2[$, borne OUVERTE. La traduction est $[A]\le n$ équivaut à $A<n+1$.

On isole le crochet : $\left[\dfrac{x}{3}\right]\ge 3$. On traduit selon la première règle : $\dfrac{x}{3}\ge 3$, donc $x\ge 9$. L'ensemble-solution est $[9\,;+\infty[$. Vérification à la borne : $2\left[\dfrac{9}{3}\right]=2\times 3=6$, l'inégalité large est satisfaite, $9$ est bien dedans.

On isole : $[2x]\le\dfrac{-10}{5}=-2$. Attention, on divise par $5$, un nombre POSITIF, donc le sens ne bascule pas. On traduit selon la seconde règle : $2x<-2+1=-1$, donc $x<-0{,}5$. L'ensemble-solution est $]-\infty\,;-0{,}5[$. Vérification : $x=-0{,}5$ donne $[2\times(-0{,}5)]=[-1]=-1$, et $5\times(-1)=-5$, qui n'est PAS inférieur ou égal à $-10$ : la borne est bien exclue.

Parce que la partie entière ne change de valeur qu'aux entiers, et qu'elle est fermée à GAUCHE de chaque palier. Du côté $\ge$, la valeur cherchée est atteinte dès le début du palier, qui appartient à la courbe : la borne est fermée. Du côté $\le$, on s'arrête juste AVANT le début du palier suivant, qui, lui, ne convient plus : la borne est ouverte. Dessiner deux marches et pointer la borne est le contrôle le plus rapide, et il prend cinq secondes.

Faux. La partie entière est le plus grand entier INFÉRIEUR OU ÉGAL, donc elle descend : $[-2{,}3]=-3$. Enlever les décimales marche pour les nombres positifs et échoue pour tous les négatifs, ce qui en fait une règle inutilisable. L'énoncé correct : on descend au palier du dessous, toujours.

Faux. Le facteur $3$ multiplie toutes les images, donc la fonction ne prend que des MULTIPLES de $3$ : $\ldots,-3,0,3,6,\ldots$ La valeur $7$, par exemple, n'est jamais atteinte. L'énoncé correct : l'image de $a[bx]$ est l'ensemble des multiples de $a$.

Faux. Contre-exemple immédiat avec $x=0{,}5$ : à gauche $[1]=1$, à droite $2\times[0{,}5]=2\times 0=0$. La partie entière ne sort pas d'un produit, pas plus qu'elle ne se distribue sur une somme. L'énoncé correct : le paramètre du crochet change la LONGUEUR des marches, il ne se sort pas.

Faux. Une partie entière est un entier : elle ne vaut jamais $2{,}5$, et l'équation n'a AUCUNE solution. Le nombre $2{,}5$ est d'ailleurs une abscisse parfaitement ordinaire, où la fonction vaut $2$. L'énoncé correct : $[x]=2$ a pour ensemble-solution $[2\,;3[$.

Faux, c'est l'autre paramètre. Le facteur de DEVANT donne la hauteur des contremarches, $|a|$ ; celui du crochet donne la LONGUEUR des marches, $\dfrac{1}{|b|}$, et son signe décide du côté fermé. Confondre les deux mène à un escalier tourné de quatre-vingt-dix degrés, et à une règle fausse dans toute la question.

On divise : $\dfrac{12{,}4}{1{,}5}\approx 8{,}267$. Le nombre de passes PLEINES est la partie entière de ce quotient, soit $[8{,}267]=8$ passes. Elles enlèvent $8\times 1{,}5=12$ mm, et il reste $12{,}4-12=0{,}4$ mm. La partie entière compte ici des unités révolues, ce qui est exactement son rôle naturel.

Il faut $9$ passes : les $8$ pleines, plus une passe de finition de $0{,}4$ mm. On ne peut pas laisser $0{,}4$ mm de matière sur la pièce, donc toute matière entamée coûte une passe entière de temps machine. On est passé du comptage RÉVOLU au comptage ENTAMÉ, et c'est la question suivante qui l'écrit.

Le nombre total de passes est le nombre d'unités ENTAMÉES de $1{,}5$ mm dans $e$, donc $N(e)=-\left[\dfrac{-e}{1{,}5}\right]$. Vérification sur le cas de l'énoncé : $-\left[\dfrac{-12{,}4}{1{,}5}\right]=-[-8{,}267]=-(-9)=9$. C'est bien la réponse de la question b). L'écriture $\left[\dfrac{e}{1{,}5}\right]+1$ serait fausse, et la question suivante montre pourquoi.

$\dfrac{15}{1{,}5}=10$ exactement, donc $N(15)=-[-10]=10$ passes, toutes pleines, sans finition. La formule fautive $\left[\dfrac{e}{1{,}5}\right]+1$ aurait donné $11$ passes, c'est-à-dire une passe à vide facturée au client. Quand la division tombe juste, il n'y a pas de reste, donc pas de passe supplémentaire : c'est précisément le cas que $-[-x]$ traite correctement.

Pour $12{,}4$ mm : $9\times 40=360$ secondes, soit $6$ minutes. Pour $15$ mm : $10\times 40=400$ secondes, soit $6$ minutes et $40$ secondes. Remarquez le paradoxe apparent : $2{,}6$ mm de matière en plus ne coûtent qu'une passe de plus, parce que le temps ne dépend pas de l'épaisseur enlevée mais du NOMBRE de passes. Une fonction en escalier modélise exactement ce genre de coût, qui avance par paliers.

On divise : $\dfrac{6}{0{,}85}\approx 7{,}059$. Le nombre de pièces est la partie entière de ce quotient, $[7{,}059]=7$ pièces. Elles utilisent $7\times 0{,}85=5{,}95$ mètre, donc la chute vaut $6-5{,}95=0{,}05$ mètre, soit $5$ centimètres. Ici la partie entière est bien le comptage RÉVOLU : une huitième pièce entamée ne serait pas utilisable.

$P(L)=\left[\dfrac{L}{0{,}85}\right]$, c'est-à-dire une fonction en escalier de paramètre $b=\dfrac{1}{0{,}85}$ et de contremarche $1$. Ses marches mesurent $0{,}85$ mètre, ce que la figure montre : la courbe monte d'une pièce chaque fois que la barre gagne $85$ centimètres, et pas avant.

Chaque barre donne $7$ pièces, donc il faut $\dfrac{100}{7}\approx 14{,}29$ barres. On ne commande pas une fraction de barre, et $14$ barres ne donneraient que $98$ pièces : il faut donc arrondir VERS LE HAUT, ce qui s'écrit $-\left[\dfrac{-100}{7}\right]=15$ barres. C'est le comptage entamé de l'exercice 6, appliqué aux barres et non plus aux minutes.

Le rendement est la matière utile divisée par la matière achetée : $\dfrac{5{,}95}{6}\approx 0{,}9917$, soit $99{,}17$ pour cent. C'est excellent, mais ce n'est pas gratuit : la chute vaut $5$ cm par barre, donc $75$ cm sur quinze barres. Une barre de longueur multiple de $0{,}85$ ne laisserait aucune chute, par exemple $5{,}95$ mètre ou $6{,}8$ mètres : le quotient tomberait juste et la partie entière n'enlèverait rien.

Avec des pièces de $0{,}75$ mètre : $\dfrac{6}{0{,}75}=8$ exactement, donc $8$ pièces et AUCUNE chute. Le rendement est de $100$ pour cent. La comparaison est instructive : une pièce plus courte de $10$ centimètres fait gagner une pièce par barre ET supprime la chute, parce que $6$ est un multiple de $0{,}75$ et ne l'est pas de $0{,}85$. En découpe, ce n'est pas la taille de la pièce qui décide du gaspillage, c'est le reste de la division.