Exercices corrigés : les exposants, les radicaux et la valeur absolue (math TS, secondaire 4)

$|-7|=7$ : la distance de $-7$ à zéro vaut $7$, et le signe moins disparaît. $|4-9|=|-5|=5$ et $|9-4|=|5|=5$ : les deux valent $5$, ce qui est la propriété $|a-b|=|b-a|$ en action, parce que la distance de $4$ à $9$ ne dépend pas du sens du trajet. Le dernier calcul est le piège de la question : $|-3|-|-5|=3-5=-2$. Une valeur absolue n'est jamais négative, mais une DIFFÉRENCE de deux valeurs absolues peut très bien l'être. L'erreur qui coûte le point est de répondre $2$, comme si la barre s'étendait à tout le calcul.

Le geste est toujours le même : on regarde le SIGNE de ce qui est entre les barres, on recopie tel quel si c'est positif, on change tous les signes si c'est négatif. Comme $\pi\approx 3{,}1416$, la différence $3-\pi$ est négative, donc $|3-\pi|=\pi-3\approx 0{,}142$. Comme $\sqrt{5}\approx 2{,}236<3$, la différence $\sqrt{5}-3$ est négative, donc $|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}\approx 0{,}764$. En revanche $\sqrt{2}\approx 1{,}414<2$, donc $2-\sqrt{2}$ est POSITIF et l'écriture ne change pas : $|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\approx 0{,}586$. Retourner une différence par réflexe est l'erreur la plus fréquente du chapitre : on ne l'inverse jamais sans avoir comparé les deux nombres.

Si $x<2$, alors $x-2<0$, donc $|x-2|=-(x-2)=2-x$. Pour la seconde, $2-x>0$, donc la valeur absolue ne change rien : $|2-x|=2-x$. Les deux écritures donnent le même résultat, et c'est normal, puisque $|x-2|$ et $|2-x|$ mesurent la même distance. Retenez la forme de la réponse, $2-x$ avec $x<2$ : elle est bien POSITIVE, comme doit l'être une distance. Un contrôle gratuit consiste à tester une valeur, par exemple $x=-1$, qui donne $|-1-2|=3$ et $2-(-1)=3$.

$|x-5|=3$ se lit « la distance de $x$ à $5$ vaut $3$ ». On part de $5$ et on avance de $3$ dans les deux sens : $x=2$ ou $x=8$. $|x+2|\le 4$ s'écrit d'abord $|x-(-2)|\le 4$, c'est-à-dire « la distance de $x$ à $-2$ est au plus $4$ », ce qui donne le segment centré en $-2$ et de rayon $4$, donc $x\in[-6\,;2]$. Lire le centre en $2$ à cause du signe plus donne l'intervalle $[-2\,;6]$, faux d'un bout à l'autre. La règle tient en une ligne : le centre est le nombre qu'il faut RETRANCHER pour retrouver l'écriture $|x-c|$.

L'exposant extérieur se distribue sur CHAQUE facteur, le nombre compris : $(2a^{3}b^{-2})^{4}=2^{4}\,a^{3\times 4}\,b^{-2\times 4}=16a^{12}b^{-8}=\dfrac{16a^{12}}{b^{8}}$. Deux erreurs classiques se logent ici. La première est d'oublier d'élever le $2$ et d'écrire $2a^{12}b^{-8}$ : le coefficient est un facteur comme les autres. La seconde est d'écrire $16^{4}$ en pensant que $2^{4}$ se cumule avec autre chose. Le passage à l'exposant positif se fait en déplaçant le facteur de l'autre côté de la barre de fraction, jamais en changeant son signe.

On traite d'abord les nombres, puis chaque lettre séparément : $\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{x^{4}}{x^{-1}}=x^{4-(-1)}=x^{5}$ et $\dfrac{y^{-3}}{y^{2}}=y^{-3-2}=y^{-5}$. Le résultat s'écrit $\dfrac{3x^{5}}{5y^{5}}$. La soustraction d'un exposant négatif est le point sensible : $4-(-1)=5$, et non $3$. Un contrôle numérique règle la question en dix secondes : avec $x=2$ et $y=1$, la fraction de départ vaut $\dfrac{15\times 16}{25\times 0{,}5}=19{,}2$, et la réponse donne $\dfrac{3\times 32}{5}=19{,}2$.

L'exposant $-3$ retourne la fraction avant de se distribuer, et c'est la façon la plus sûre de ne pas se tromper de signe : $\left(\dfrac{3m^{-2}}{n^{3}}\right)^{-3}=\left(\dfrac{n^{3}}{3m^{-2}}\right)^{3}=\left(\dfrac{m^{2}n^{3}}{3}\right)^{3}=\dfrac{m^{6}n^{9}}{27}$. La distribution directe donne le même résultat, à condition de lire $\dfrac{1}{n^{3}}$ comme $n^{-3}$ : $3^{-3}(m^{-2})^{-3}(n^{-3})^{-3}=\dfrac{m^{6}n^{9}}{27}$. L'erreur du chapitre est de laisser $n$ en bas et d'écrire $\dfrac{m^{6}}{27n^{9}}$, comme si l'exposant extérieur ne concernait pas le $n^{3}$ du dénominateur. Contrôle avec $m=1$ et $n=2$ : l'expression de départ vaut $\left(\dfrac{3}{8}\right)^{-3}=\left(\dfrac{8}{3}\right)^{3}=\dfrac{512}{27}\approx 18{,}96$, et la réponse donne le même nombre.

On développe le cube du numérateur : $(4p^{2}q)^{3}=64p^{6}q^{3}$. On multiplie par $p^{-5}$, donc $64p^{6-5}q^{3}=64pq^{3}$. On divise enfin par $8p^{4}q^{2}$ : le nombre donne $\dfrac{64}{8}=8$, la lettre $p$ donne $p^{1-4}=p^{-3}$ et la lettre $q$ donne $q^{3-2}=q$. La réponse est $\dfrac{8q}{p^{3}}$. L'ordre des opérations compte : élever au cube AVANT de multiplier, sinon le $p^{-5}$ se retrouve à l'intérieur de la parenthèse et tout est décalé.

La loi du quotient donne $\dfrac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}$. Mais un nombre divisé par lui-même vaut $1$. Les deux lectures du même calcul imposent donc $a^{0}=1$ : ce n'est pas une convention arbitraire, c'est ce qu'il FAUT poser pour que la loi du quotient continue de fonctionner. La condition $a\neq 0$ vient de la division elle-même : si $a=0$, l'écriture $\dfrac{0^{n}}{0^{n}}$ est une division par zéro, et le raisonnement s'effondre. C'est pourquoi $0^{0}$ n'est pas défini.

$\sqrt[5]{a^{3}}=a^{3/5}$ : l'indice $5$ va au dénominateur, la puissance $3$ au numérateur. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\dfrac{1}{x^{2/3}}=x^{-2/3}$ : passer au numérateur change le SIGNE de l'exposant, pas sa valeur. $\sqrt[4]{b^{6}}=b^{6/4}=b^{3/2}$, et la simplification de la fraction d'exposants est attendue : laisser $b^{6/4}$ n'est pas faux mais coûte le demi-point de forme. Attention, cette dernière simplification suppose $b\ge 0$, puisque l'indice de départ est pair ; c'est exactement la question d).

$7^{2/3}=\sqrt[3]{7^{2}}=\sqrt[3]{49}$, et l'on peut aussi écrire $\left(\sqrt[3]{7}\right)^{2}$ : les deux formes sont correctes, la première est plus commode à calculer. $m^{-1/2}=\dfrac{1}{m^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{m}}$ : le signe moins descend l'expression sous la barre, il ne fabrique aucun signe moins devant le radical. $(xy)^{3/4}=\sqrt[4]{(xy)^{3}}=\sqrt[4]{x^{3}y^{3}}$, la parenthèse valant pour le produit entier.

On décompose la base en puissance de son plus petit facteur. $32=2^{5}$, donc $32^{3/5}=(2^{5})^{3/5}=2^{3}=8$ : l'indice $5$ et la puissance $5$ s'annulent, et c'est tout l'intérêt de la méthode. $81=3^{4}$, donc $81^{-3/4}=(3^{4})^{-3/4}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}$. Enfin $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3}$ : l'exposant négatif retourne d'abord la fraction, soit $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3}$, puis on prend la racine cubique de chaque terme, $\dfrac{3}{2}$, et on élève au carré, $\dfrac{9}{4}$. Prendre le carré avant la racine donne le même résultat mais avec des nombres à quatre chiffres : la racine D'ABORD, toujours.

L'indice décide. Avec un indice IMPAIR, tout réel a une racine et une seule, parce qu'un cube conserve le signe : $(-2)^{3}=-8$, donc $\sqrt[3]{-8}=-2$ et $(-8)^{1/3}=-2$. Avec un indice PAIR, aucune puissance paire d'un réel n'est négative, donc aucun réel élevé à la puissance $6$ ne peut donner $-8$ : $(-8)^{1/6}$ n'existe pas dans les réels. La règle à retenir pour toute la série : un indice pair exige une base positive ou nulle, un indice impair accepte tout.

Rien n'est semblable au départ, il faut donc tout ramener au même radicande en extrayant les carrés parfaits. $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}$ et $\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$. L'expression devient $3\times 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-2\times 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}+5\sqrt{3}-6\sqrt{3}=5\sqrt{3}$. Le coefficient devant le radical se traite comme un coefficient de $x$ : on additionne les coefficients, on garde $\sqrt{3}$ tel quel. Contrôle décimal : $5\sqrt{3}\approx 8{,}66$, et l'expression de départ vaut $10{,}392+8{,}660-10{,}392\approx 8{,}66$.

$\sqrt{6}\times\sqrt{15}=\sqrt{90}$, et $90=9\times 10$, donc le résultat est $3\sqrt{10}$. Laisser $\sqrt{90}$ n'est pas une réponse simplifiée : on cherche toujours le plus grand carré parfait qui divise le radicande. Pour la division, l'indice est le même, donc $\dfrac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\dfrac{128}{2}}=\sqrt[3]{64}=4$. Regrouper SOUS le radical avant de calculer est le bon réflexe : $\sqrt[3]{128}$ tout seul vaut environ $5{,}04$, un nombre avec lequel on ne fait rien.

Rationaliser, c'est faire disparaître le radical du DÉNOMINATEUR. Avec un radical seul, on multiplie en haut et en bas par ce radical : $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. Avec une SOMME au dénominateur, on multiplie par le conjugué, ce qui déclenche une différence de carrés : $\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}=\dfrac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1$. Le conjugué de $\sqrt{5}-1$ est $\sqrt{5}+1$ : on change le signe du MILIEU, jamais les deux.

C'est l'identité $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, avec $a=2\sqrt{3}$ et $b=\sqrt{5}$. On obtient $a^{2}=4\times 3=12$, $b^{2}=5$ et $2ab=2\times 2\sqrt{3}\times\sqrt{5}=4\sqrt{15}$. Donc $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}=12-4\sqrt{15}+5=17-4\sqrt{15}$. Le terme du milieu est celui qu'on oublie : répondre $17$ au lieu de $17-4\sqrt{15}\approx 1{,}51$, c'est se tromper d'un facteur onze. Le contrôle décimal le signale aussitôt, puisque $2\sqrt{3}\approx 3{,}464$ et $\sqrt{5}\approx 2{,}236$, dont la différence vaut $1{,}228$, et $1{,}228^{2}\approx 1{,}51$.

Décimalement, $\sqrt{12}\approx 3{,}464$ et $\sqrt{3}\approx 1{,}732$, dont la somme vaut environ $5{,}196$, alors que $\sqrt{15}\approx 3{,}873$. Les deux nombres ne coïncident pas, donc l'égalité est fausse. La racine ne se distribue PAS sur une somme, jamais. Le bon chemin est celui de la question a) : $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, donc $\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\approx 5{,}196$, ce qui recolle au décimal. Cette vérification numérique prend dix secondes et devrait se faire sur chaque simplification douteuse.

$\sqrt{(-6)^{2}}=\sqrt{36}=6$ : le carré efface le signe et la racine carrée, qui ne rend jamais de négatif, ne le rétablit pas. En revanche $\sqrt[3]{(-6)^{3}}=\sqrt[3]{-216}=-6$ : l'indice est impair, donc le signe traverse. De même $\sqrt[4]{(-2)^{4}}=\sqrt[4]{16}=2$, mais $\sqrt[5]{(-2)^{5}}=\sqrt[5]{-32}=-2$. La règle se voit d'un coup d'oeil : indice PAIR, le résultat est $|a|$ ; indice IMPAIR, le résultat est $a$.

$\sqrt{x^{2}}=|x|$, et c'est la réponse attendue, pas $x$. $\sqrt{x^{4}}=|x^{2}|=x^{2}$ : ici la valeur absolue est inutile parce qu'un carré est déjà positif, et l'écrire serait lourd sans être faux. $\sqrt{x^{6}}=|x^{3}|=|x|^{3}$ : le cube, lui, garde le signe, donc la valeur absolue est indispensable. Enfin $\sqrt[3]{x^{3}}=x$, sans valeur absolue, l'indice étant impair. La règle opérationnelle : après simplification, si l'exposant restant est IMPAIR et l'indice PAIR, il faut une valeur absolue.

On reconnaît d'abord le trinôme carré parfait : $9x^{2}-6x+1=(3x-1)^{2}$, puisque $(3x)^{2}=9x^{2}$, $1^{2}=1$ et $2\times 3x\times 1=6x$. Donc $\sqrt{9x^{2}-6x+1}=\sqrt{(3x-1)^{2}}=|3x-1|$. Pour $x=0$ : $|3\times 0-1|=|-1|=1$. Pour $x=2$ : $|3\times 2-1|=|5|=5$. Répondre $3x-1$ donne $-1$ en $x=0$, une racine carrée négative, ce qui est impossible : c'est le contrôle qui signale l'erreur sans même connaître la règle.

La figure montre les deux courbes confondues à droite de l'origine et symétriques à gauche : $\sqrt{x^{2}}$ est la valeur absolue, qui renvoie la partie négative vers le haut, tandis que $y=x$ descend. L'égalité $\sqrt{x^{2}}=x$ n'est donc vraie que pour $x\ge 0$, c'est-à-dire sur $[0\,;+\infty[$. Pour $x<0$ on a au contraire $\sqrt{x^{2}}=-x$, un nombre positif. C'est la définition même de la valeur absolue, lue sur un graphique.

La distance de $2x-5$ à zéro vaut $7$, donc $2x-5=7$ ou $2x-5=-7$. Le premier cas donne $2x=12$, soit $x=6$ ; le second donne $2x=-2$, soit $x=-1$. Les deux se vérifient : $|2\times 6-5|=|7|=7$ et $|2\times(-1)-5|=|-7|=7$. L'erreur qui coûte la moitié des points est de n'écrire qu'un seul cas : une valeur absolue égale à un nombre strictement positif donne TOUJOURS deux équations, sauf si l'expression intérieure est contrainte par ailleurs.

Deux valeurs absolues égales signifient que les contenus sont égaux OU opposés. Premier cas : $3-x=2x+4$, donc $-1=3x$ et $x=-\dfrac{1}{3}$. Second cas : $3-x=-(2x+4)=-2x-4$, donc $3-x+2x=-4$, soit $x=-7$. Vérification du premier : $|3+\frac{1}{3}|=\frac{10}{3}$ et $|-\frac{2}{3}+4|=\frac{10}{3}$, égalité confirmée. Vérification du second : $|3+7|=10$ et $|-14+4|=10$. Le piège du second cas est le signe moins DEVANT LA PARENTHÈSE ENTIÈRE : écrire $3-x=-2x+4$ oublie de changer le signe du $4$ et donne une fausse solution.

« La distance de $x$ à $4$ est inférieure à $3$ » décrit un intervalle centré en $4$ et de rayon $3$ : $1<x<7$, c'est-à-dire $]1\,;7[$. Algébriquement, $|x-4|<3$ équivaut à $-3<x-4<3$, et l'on ajoute $4$ partout. Les bornes sont OUVERTES parce que l'inégalité est stricte : $x=1$ donne $|1-4|=3$, qui n'est pas strictement inférieur à $3$. Le contrôle est immédiat sur un exemple central, $x=4$, qui donne $0<3$.

« La distance de $2x+1$ à zéro est d'au moins $5$ » sépare la droite en deux morceaux. Premier morceau : $2x+1\ge 5$, donc $2x\ge 4$ et $x\ge 2$. Second morceau : $2x+1\le -5$, donc $2x\le -6$ et $x\le -3$. L'ensemble-solution est $]-\infty\,;-3]\cup[2\,;+\infty[$. L'erreur de signe classique consiste à écrire $2x+1\ge -5$ pour le second cas : en retournant l'inégalité il faut AUSSI retourner son sens, sinon on décrit tout sauf la bonne région. Vérification : $x=3$ donne $|7|=7\ge 5$, et $x=0$ donne $|1|=1<5$, donc $0$ est bien exclu.

Aucune solution. Une valeur absolue est une distance, donc un nombre positif ou nul, et elle ne peut jamais valoir $-3$. On l'écrit ainsi, en une ligne, sans rien développer : passer par les deux cas $x+2=-3$ et $x+2=3$ produit deux nombres, $-5$ et $1$, dont AUCUN n'est solution, et une copie qui les livre sans vérifier perd tout l'exercice. C'est la meilleure illustration de la règle : on vérifie toujours dans l'équation de DÉPART.

On convertit les trois morceaux : $\sqrt[3]{x^{4}}=x^{4/3}$, $\sqrt{x}=x^{1/2}$ et $\sqrt[6]{x^{5}}=x^{5/6}$. Le quotient devient $x^{4/3+1/2-5/6}$. On met les trois fractions sur le dénominateur commun $6$ : $\dfrac{8}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{6}{6}=1$. Le résultat est donc simplement $x$. Le contrôle numérique prend dix secondes si l'on choisit une valeur bien divisible, $x=64$ : $\sqrt[3]{64^{4}}=4^{4}=256$ et $\sqrt{64}=8$, donc le numérateur vaut $2048$ ; $\sqrt[6]{64^{5}}=2^{5}=32$ ; et le quotient $\dfrac{2048}{32}=64$, c'est-à-dire $x$. Choisir $x=2$ aurait donné des décimales illisibles : on prend toujours une puissance du bon indice pour tester.