Exercices corrigés : la fonction exponentielle (math TS, secondaire 4)

a) $f(0)=3\cdot 2^{0}=3\cdot 1=3$ : toute base élevée à l'exposant zéro donne $1$, donc l'image de zéro est le paramètre $a$ lui-même. $f(2)=3\cdot 4=12$. $f(-1)=3\cdot 2^{-1}=3\cdot\dfrac{1}{2}=1{,}5$. Retenez ce dernier calcul : un exposant NÉGATIF ne rend pas un résultat négatif, il rend un inverse. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se voit sur la courbe, qui reste au-dessus de l'axe même très loin à gauche.

b) Le domaine est $\mathbb{R}$ : on peut mettre n'importe quel réel à l'exposant, il n'y a ni division ni radical. L'image de $f$ est $]0\,;+\infty[$, car $2^{x}$ est toujours strictement positif et le facteur $3$ l'est aussi. L'asymptote est $y=0$, l'axe des abscisses. Pour $h$, le domaine ne change pas, l'asymptote non plus, et seule l'image bascule : $]-\infty\,;0[$. Dans TOUT ce chapitre l'asymptote est l'axe des abscisses, parce que la forme du programme n'a pas de terme additif à la fin.

c) Un zéro serait une abscisse où $a\,c^{x}=0$. Or une puissance de base strictement positive est strictement positive, quel que soit l'exposant : $c^{x}>0$ toujours. Le produit $a\,c^{x}$ a donc constamment le signe de $a$, et il ne s'annule jamais. Géométriquement, la courbe s'approche de l'axe des abscisses aussi près qu'on veut sans jamais l'atteindre : $f(-10)=3\cdot 2^{-10}\approx 0{,}0029$, tout petit mais non nul.

d) Le paramètre $a$ est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, c'est-à-dire l'image de zéro. Le calcul le montre en une ligne : $f(0)=a\,c^{0}=a\cdot 1=a$. Sur la figure, la courbe pleine coupe l'axe vertical à $3$ et la pointillée à $-3$, exactement les deux valeurs de $a$. Ce repère est gratuit et il faut le prendre en premier dans tout exercice de recherche de règle.

e) $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\dfrac{3\cdot 2^{x+1}}{3\cdot 2^{x}}=2^{x+1-x}=2$. Le quotient vaut la BASE, et il ne dépend pas de $x$. Autrement dit : quand l'abscisse avance d'une unité, l'image est MULTIPLIÉE par $2$. C'est la signature de l'exponentielle, et c'est ce qui la sépare de la fonction affine, où l'image est AUGMENTÉE d'une constante. Toute la reconnaissance d'un modèle dans une table repose sur ce quotient.

a) $2^{3x}=(2^{3})^{x}=8^{x}$, donc $C=8$. La règle employée est $c^{bx}=(c^{b})^{x}$ : l'exposant $3x$ se lit comme « $3$ multiplié par $x$ », et une puissance de puissance multiplie les exposants. Vérification à $x=2$ : à gauche $2^{6}=64$, à droite $8^{2}=64$.

b) $4^{x/2}=(4^{1/2})^{x}=2^{x}$, donc $C=2$. Un paramètre $b$ FRACTIONNAIRE ralentit la croissance au lieu de l'accélérer, puisqu'il prend une racine de la base. Vérification à $x=6$ : $4^{3}=64$ et $2^{6}=64$.

c) Quand $x$ augmente de $1$, l'exposant augmente de $\dfrac{1}{4}$, donc l'image est multipliée par $2^{1/4}=\sqrt[4]{2}\approx 1{,}19$. Quand $x$ augmente de $4$, l'exposant augmente de $1$ et l'image est multipliée par $2$ tout rond. Contrôle numérique : $h(0)=100$, $h(4)=100\cdot 2=200$, et $100\times 1{,}19^{4}\approx 200$ également. C'est la lecture utile dans un problème : le $4$ du dénominateur est la PÉRIODE de doublement.

d) La base équivalente est $3^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}58$. Elle est comprise entre $0$ et $1$, donc la fonction est DÉCROISSANTE. Le signe moins de l'exposant suffisait à conclure : il renverse le sens de variation sans rien changer d'autre. Contrôle : $k(0)=5$ et $k(2)=5\cdot 3^{-1}\approx 1{,}67$, l'image a bien diminué.

e) Parce que la loi $c^{bx}=(c^{b})^{x}$ s'applique quelle que soit la base positive et quel que soit $b$. Une fois la réduction faite, il ne reste du paramètre $b$ que son SIGNE, visible dans le sens de variation, et sa VALEUR ABSOLUE, cachée dans la nouvelle base. C'est le même phénomène qu'au chapitre de la racine carrée, où le paramètre sous le radical se rangeait dans le facteur de devant : un paramètre de plus dans l'écriture, pas une courbe de plus dans la famille. Dans les problèmes, on garde pourtant l'écriture avec $b$, parce que le dénominateur y porte un sens physique, une période de doublement ou une demi-vie.

a) L'abscisse zéro donne $a$ sans calcul : $a=12$. Il reste $12\,c^{2}=3$, donc $c^{2}=\dfrac{1}{4}$ et $c=\dfrac{1}{2}$. On garde la racine POSITIVE et elle seule : une base d'exponentielle est strictement positive par définition, donc $-\dfrac{1}{2}$ est rejeté. La règle est $f(x)=12\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$, ou $12\cdot 2^{-x}$. Vérification : $f(2)=12\cdot\dfrac{1}{4}=3$.

b) Aucun des deux points n'a pour abscisse zéro, donc on pose le système $a\,c=6$ et $a\,c^{3}=54$. On DIVISE la seconde équation par la première : $\dfrac{a\,c^{3}}{a\,c}=\dfrac{54}{6}$, soit $c^{2}=9$ et $c=3$. La division a éliminé $a$, c'est tout son intérêt. On remonte : $a\cdot 3=6$ donne $a=2$. La règle est $g(x)=2\cdot 3^{x}$, et l'on vérifie sur le SECOND point, celui qu'on n'a pas utilisé en dernier : $g(3)=2\cdot 27=54$.

c) La valeur de départ est $a=200$ et la période de doublement est $5$ ans, donc $P(t)=200\cdot 2^{t/5}$. Le $5$ est au DÉNOMINATEUR de l'exposant : quand $t$ augmente de $5$, l'exposant augmente de $1$ et la population double. Après $12$ ans : $P(12)=200\cdot 2^{2{,}4}\approx 200\times 5{,}278=1055{,}6$, soit environ $1056$ individus. Contrôle de vraisemblance : $12$ ans, c'est un peu plus de deux périodes, donc un peu plus de $200\times 4=800$.

d) Même structure, avec un signe moins : $D(t)=80\cdot 2^{-t/12}$. Après $30$ heures, $D(30)=80\cdot 2^{-2{,}5}\approx 80\times 0{,}1768=14{,}14$ mg. Contrôle : $30$ heures, c'est deux périodes et demie, donc entre $80/4=20$ et $80/8=10$ mg. L'écriture $80\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/12}$ est la même chose.

e) Parce que la règle a exactement deux inconnues, $a$ et $c$, et que chaque point fournit une équation. Deux équations, deux inconnues : le système est déterminé. On commence par la division parce que les deux équations ont le même facteur $a$ et que le quotient de deux puissances de même base soustrait les exposants : en une ligne, $a$ disparaît et il ne reste qu'une puissance de $c$. Additionner ou soustraire les deux équations, au contraire, ne simplifie rien, parce que les exponentielles ne s'additionnent pas terme à terme.

a) Elles passent toutes par $(0\,;4)$. La raison tient en une ligne : $a\,c^{0}=a\cdot 1=a$, quelle que soit la base. L'ordonnée à l'origine ne dépend donc PAS de la base, seulement de $a$, qui vaut $4$ pour les trois. C'est le point de pivot de la famille.

b) La courbe A monte le plus vite à droite : c'est la plus grande base, $2$. La courbe B monte aussi mais plus lentement : c'est $1{,}5$. La courbe C descend : sa base est comprise entre $0$ et $1$, c'est $0{,}5$. La règle générale : $c>1$ donne une fonction croissante, $0<c<1$ une fonction décroissante, et il n'y a pas d'autre cas, puisque $c=1$ donnerait une fonction constante, exclue de la définition.

c) $f(2)=4\cdot 2^{2}=16$, $g(2)=4\cdot 1{,}5^{2}=4\times 2{,}25=9$ et $h(2)=4\cdot 0{,}5^{2}=4\times 0{,}25=1$. Le classement est $h(2)<g(2)<f(2)$ : à DROITE de l'origine, plus la base est grande, plus l'image est grande.

d) $f(-2)=4\cdot 2^{-2}=4\times\dfrac{1}{4}=1$, $g(-2)=4\cdot 1{,}5^{-2}=\dfrac{4}{2{,}25}\approx 1{,}78$ et $h(-2)=4\cdot 0{,}5^{-2}=4\times 4=16$. Le classement s'est RENVERSÉ : $f(-2)<g(-2)<h(-2)$. À gauche de l'origine, la plus grande base donne la plus petite image. C'est la conséquence directe du point de pivot : les courbes se croisent en $x=0$, donc l'ordre s'inverse de part et d'autre.

e) Non, jamais. Deux courbes de même $a$ et de bases différentes vérifieraient $a\,c_{1}^{x}=a\,c_{2}^{x}$, donc $\left(\dfrac{c_{1}}{c_{2}}\right)^{x}=1$ après division. Or une puissance de base différente de $1$ ne vaut $1$ que pour l'exposant zéro. L'unique point commun est donc $x=0$, celui de la question a). Retenez la forme du raisonnement : on divise les deux règles l'une par l'autre, exactement comme pour trouver une base à partir de deux points.

a) Table de $f$ : $f(-1)=0{,}5$, $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=4$, $f(3)=8$. La table de la réciproque est la MÊME, lue en échangeant les deux lignes : à $0{,}5$ correspond $-1$, à $1$ correspond $0$, à $2$ correspond $1$, à $4$ correspond $2$, à $8$ correspond $3$. On ne calcule rien de neuf, on retourne le tableau.

b) Le domaine et l'image s'échangent, toujours. Le domaine de $f$ était $\mathbb{R}$ et son image $]0\,;+\infty[$ ; donc le domaine de $f^{-1}$ est $]0\,;+\infty[$ et son image est $\mathbb{R}$. L'asymptote fait le même voyage : l'asymptote HORIZONTALE $y=0$ de $f$ devient l'asymptote VERTICALE $x=0$ de $f^{-1}$. Sur la figure, la seconde courbe plonge le long de l'axe vertical sans jamais le toucher.

c) On échange les variables dans $y=2^{x}$, ce qui donne $x=2^{y}$, puis on isole $y$ : par définition du logarithme, $y=\log_{2}(x)$. La règle est donc $f^{-1}(x)=\log_{2}(x)$. On calcule : $f^{-1}(8)=3$, puisque $2^{3}=8$, et $f^{-1}(1)=0$, puisque $2^{0}=1$. Le logarithme est l'EXPOSANT qu'on cherche, comme au chapitre d'arithmétique.

d) Même geste : $y=5\cdot 2^{x}$ devient $x=5\cdot 2^{y}$, donc $2^{y}=\dfrac{x}{5}$ et $y=\log_{2}\!\left(\dfrac{x}{5}\right)$. La vérification se fait sur le point donné : $g(3)=5\cdot 8=40$, donc la réciproque doit renvoyer $3$ quand on lui donne $40$. $g^{-1}(40)=\log_{2}\!\left(\dfrac{40}{5}\right)=\log_{2}(8)=3$. C'est juste. Le facteur $a$ ne disparaît pas : il devient une DIVISION à l'intérieur du logarithme.

e) Parce que l'exponentielle est monotone sur tout son domaine : strictement croissante si $c>1$, strictement décroissante si $0<c<1$. Deux abscisses différentes ne donnent donc jamais la même image, et en retournant la table on obtient bien une seule ordonnée par abscisse. La quadratique, elle, prenait la même valeur en $x$ et en $-x$ : il fallait la restreindre aux abscisses positives pour sauver sa réciproque. Ici, aucune restriction n'est nécessaire, et c'est ce qui fait du logarithme une fonction à part entière, celle du chapitre suivant.

a) La courbe coupe l'axe vertical à $2$, donc $f(0)=2$, ce qui confirme que l'ordonnée à l'origine est le paramètre $a$. En $x=2$, la courbe passe par $18$. Le calcul : $f(2)=2\cdot 3^{2}=2\times 9=18$. La lecture graphique et le calcul disent la même chose, et c'est le contrôle à faire systématiquement avant d'utiliser un graphique pour répondre.

b) On trace mentalement la droite horizontale $y=18$ : elle coupe la courbe en $x=2$. Par le calcul, $2\cdot 3^{x}=18$ donne $3^{x}=9$, donc $3^{x}=3^{2}$ et $x=2$, les bases étant égales. La solution est unique, et cela se voit sur la figure : une exponentielle étant strictement croissante, toute droite horizontale au-dessus de l'asymptote la coupe une fois et une seule.

c) La courbe passe au-dessus de $y=18$ à DROITE du point d'intersection, donc l'ensemble-solution est $]2\,;+\infty[$. La borne est ouverte parce que l'inégalité est stricte. Attention au sens : ici la fonction est croissante, donc l'inégalité se conserve. Si la base était comprise entre $0$ et $1$, la courbe descendrait et l'ensemble-solution serait de l'autre côté.

d) Aucune. L'asymptote $y=0$ est l'axe des abscisses, et la courbe reste strictement au-dessus : $2\cdot 3^{x}>0$ pour tout réel $x$. Résoudre $f(x)=0$ reviendrait à chercher un exposant qui annule une puissance de $3$, ce qui n'existe pas. En évaluation, on écrit « pas de solution » et on justifie par le signe, jamais par « la courbe n'y arrive pas sur le dessin ».

e) $2\cdot 3^{x}=54$ donne $3^{x}=27=3^{3}$, donc $x=3$. Pour $f(x)=30$ : $3^{x}=15$, et $15$ n'est pas une puissance entière de $3$. On encadre : $3^{2}=9<15<27=3^{3}$, donc la solution est comprise entre $2$ et $3$. La calculatrice donnerait $x=\log_{3}(15)\approx 2{,}46$, ce qui est bien dans l'encadrement. L'encadrement sans calculatrice est exactement le geste travaillé au chapitre des logarithmes, et il sert ici de contrôle.

a) Les quotients successifs valent $\dfrac{10}{5}=2$, $\dfrac{20}{10}=2$ et $\dfrac{40}{20}=2$ : ils sont constants, donc le modèle est exponentiel. Mais ce $2$ correspond à un pas de $3$ en abscisse, pas de $1$ : il double tous les trois pas. On écrit donc $y=5\cdot 2^{x/3}$, c'est-à-dire $b=\dfrac{1}{3}$. Vérification sur la dernière colonne : $5\cdot 2^{9/3}=5\cdot 2^{3}=40$.

b) Non. Les quotients valent $\dfrac{12}{6}=2$, puis $\dfrac{18}{12}=1{,}5$ : ils ne sont pas constants. Ce sont les DIFFÉRENCES qui le sont, toutes égales à $6$. Le modèle est donc affine, $y=6x+6$, et l'on vérifie : à $x=3$, $6\times 3+6=24$. Le piège est de conclure « exponentiel » dès qu'on voit des images qui augmentent : la croissance seule ne dit rien, c'est la nature du pas qui décide.

c) Les quotients valent $\dfrac{27}{81}=\dfrac{1}{3}$, puis $\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ : constant, donc exponentiel, décroissant. Le pas est de $2$, et l'on divise par $3$ tous les deux pas, donc $y=81\cdot 3^{-x/2}$, c'est-à-dire $b=-\dfrac{1}{2}$. Le signe moins vient du sens de variation. Vérification : $81\cdot 3^{-6/2}=81\cdot 3^{-3}=\dfrac{81}{27}=3$.

d) Les quotients valent $\dfrac{8}{2}=4$ et $\dfrac{32}{8}=4$, avec un pas de $1$ : la base est $c=4$. Le paramètre $a$ est l'image de ZÉRO, qui ne figure pas dans la table. On remonte d'un pas en DIVISANT par la base : $a=\dfrac{2}{4}=0{,}5$. La règle est $y=0{,}5\cdot 4^{x}$, et l'on vérifie sur une colonne donnée : $0{,}5\cdot 4^{3}=0{,}5\times 64=32$.

e) Le test : quotients successifs constants, et les abscisses régulièrement espacées. Si le pas des abscisses vaut $p$, le quotient constant trouvé vaut $c^{p}$ et non $c$ : il faut soit en prendre la racine $p$-ième pour obtenir la base par unité, soit garder l'écriture $a\,c^{x/p}$, qui est la forme du programme et qui se lit mieux dans un problème. Deuxième vérification indispensable : si les abscisses ne sont PAS également espacées, comparer des quotients successifs n'a aucun sens, et il faut alors revenir au système de deux équations de l'exercice 3.

a) Faux. Un exposant négatif donne un INVERSE, pas un opposé : $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$, un nombre positif. La confusion coûte cher, parce qu'elle fait dessiner la moitié gauche de la courbe sous l'axe. Contrôle en cinq secondes : une puissance de base positive est toujours positive, quel que soit l'exposant.

b) Faux. L'axe des abscisses est l'ASYMPTOTE de la courbe : elle s'en approche indéfiniment sans jamais l'atteindre. $f(-20)=5\cdot 3^{-20}\approx 1{,}4\times 10^{-9}$, un nombre minuscule mais strictement positif. Dire qu'une courbe « finit par » toucher son asymptote, c'est confondre ce qu'on voit sur un dessin et ce que dit le calcul. L'énoncé correct : la courbe n'a aucun zéro et reste strictement au-dessus de l'axe.

c) Faux. $4^{x/2}=(4^{1/2})^{x}=2^{x}$ : c'est l'exponentielle de base $2$, écrite autrement. Un paramètre à l'exposant ne change pas la nature de la fonction, il change la base. Vérification à $x=4$ : $4^{2}=16$ et $2^{4}=16$. L'énoncé correct : toute fonction $a\,c^{bx}$ est une exponentielle, de base $c^{b}$.

d) Faux. Une base comprise entre $0$ et $1$ rend la fonction DÉCROISSANTE, mais toujours positive quand $a>0$ : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$ vaut $0{,}5$, $0{,}25$, $0{,}125$, elle s'approche de zéro sans jamais y arriver ni le dépasser. Le signe des images ne dépend que de celui de $a$. L'énoncé correct : $0<c<1$ donne une fonction décroissante, de même signe que $a$.

e) Faux. La règle $a\,c^{x}$ n'a que DEUX inconnues, donc deux points suffisent, et l'on obtient la base en divisant les deux équations l'une par l'autre. La parabole en forme générale, elle, a trois coefficients, d'où les trois points. Dans ce chapitre, mieux encore : si l'un des points a pour abscisse zéro, il donne $a$ directement et il ne reste plus qu'une équation à une inconnue.

a) $p(0)=101{,}3\cdot 2^{0}=101{,}3$ kPa : le paramètre $a$ est bien la valeur au niveau de la mer, comme toujours l'ordonnée à l'origine. Le nombre $5{,}5$ est au DÉNOMINATEUR de l'exposant : c'est l'altitude qu'il faut gagner pour que l'exposant diminue de $1$, donc pour que la pression soit divisée par $2$. On l'appelle la demi-hauteur. Contrôle : $p(5{,}5)=101{,}3\cdot 2^{-1}=50{,}65$ kPa, la moitié exactement.

b) À $1$ km : $p(1)=101{,}3\cdot 2^{-1/5{,}5}=101{,}3\times 0{,}8816\approx 89{,}31$ kPa. Au sommet de l'Everest : $p(8{,}848)=101{,}3\cdot 2^{-8{,}848/5{,}5}=101{,}3\cdot 2^{-1{,}6087}\approx 101{,}3\times 0{,}3279\approx 33{,}22$ kPa. Contrôle de vraisemblance : $8{,}848$ km, c'est un peu plus d'une demi-hauteur et demie, donc la pression doit être un peu au-dessus du tiers de $101{,}3$. C'est le cas, et cela explique pourquoi l'on y respire à peine.

c) On pose $101{,}3\cdot 2^{-h/5{,}5}=50$, donc $2^{-h/5{,}5}=\dfrac{50}{101{,}3}\approx 0{,}4936$. On passe au logarithme : $-\dfrac{h}{5{,}5}=\log_{2}(0{,}4936)\approx -1{,}0186$, donc $h\approx 5{,}5\times 1{,}0186\approx 5{,}60$ km. Contrôle : la moitié de la pression serait atteinte à $5{,}5$ km ; $50$ kPa est un peu moins que la moitié de $101{,}3$, donc l'altitude doit être un peu plus grande que $5{,}5$ km. Elle l'est.

d) Non. La fonction est du type $a\,c^{h}$ avec $a>0$, donc elle reste strictement positive et l'axe des abscisses est son asymptote. Le modèle prévoit une pression qui devient aussi petite qu'on veut sans jamais être nulle : à $100$ km, il donne encore $p\approx 3\times 10^{-4}$ kPa. Physiquement, cela correspond assez bien au fait que l'atmosphère n'a pas de frontière nette, mais un modèle exponentiel ne doit pas être utilisé trop loin de la plage où il a été ajusté.