Exercices corrigés : la fonction logarithmique (math TS, secondaire 4)

a) La table de $2^{x}$ donne $0{,}25$, $0{,}5$, $1$, $2$, $4$ et $8$. Le logarithme lit cette table à l'envers : il rend l'EXPOSANT. Donc $\log_{2}(0{,}25)=-2$, puisque $2^{-2}=0{,}25$ ; $\log_{2}(1)=0$, puisque $2^{0}=1$ ; et $\log_{2}(8)=3$. Aucun calcul nouveau n'est nécessaire, seulement une lecture dans l'autre sens.

b) Le domaine et l'image s'échangent par rapport à l'exponentielle. Le domaine de $f$ est $]0\,;+\infty[$, car l'image de $2^{x}$ était $]0\,;+\infty[$ ; l'image de $f$ est $\mathbb{R}$, car le domaine de $2^{x}$ était $\mathbb{R}$. L'asymptote fait le même voyage : l'asymptote HORIZONTALE $y=0$ devient l'asymptote VERTICALE $x=0$. Dans tout ce chapitre, l'asymptote est l'axe des ordonnées, parce que rien ne vient déplacer la variable à l'intérieur du logarithme.

c) Le zéro est $x=1$ : $\log_{2}(1)=0$. Il ne dépend pas de la base parce que $c^{0}=1$ pour TOUTE base admissible, donc $\log_{c}(1)=0$ toujours. Autrement dit, toutes les courbes logarithmiques de la forme $\log_{c}(x)$ passent par le point $(1\,;0)$, exactement comme toutes les exponentielles $c^{x}$ passaient par $(0\,;1)$. Les deux points se correspondent par l'échange des coordonnées.

d) $g(8)=-3$, puisque $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}=8$. $g(0{,}25)=2$, puisque $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=0{,}25$. La fonction est DÉCROISSANTE : quand $x$ augmente, l'exposant cherché diminue. La règle est la même qu'au chapitre précédent, lue à l'envers : une base supérieure à $1$ donne une fonction croissante, une base comprise entre $0$ et $1$ une fonction décroissante.

e) Parce qu'un logarithme est un exposant, et qu'une puissance de base positive est toujours positive. Chercher $\log_{2}(-8)$ reviendrait à chercher un exposant $y$ tel que $2^{y}=-8$, ce qu'aucun réel ne réalise : $2^{y}$ reste au-dessus de zéro pour tout $y$. C'est exactement la traduction, dans l'autre sens, du fait que la courbe de l'exponentielle ne descend jamais sous son asymptote. Zéro est exclu pour la même raison.

a) $\log_{2}(8x)=\log_{2}(8)+\log_{2}(x)=3+\log_{2}(x)$, donc $k=3$. La courbe de $f$ est celle de $\log_{2}(x)$ remontée de trois unités. Vérification en $x=2$ : à gauche $\log_{2}(16)=4$, à droite $3+1=4$.

b) $\log_{3}\!\left(\dfrac{x}{9}\right)=\log_{3}(x)-\log_{3}(9)=\log_{3}(x)-2$ : la constante vaut $-2$ et la courbe descend de deux unités. On peut aussi écrire $\dfrac{x}{9}=\dfrac{1}{9}x$, donc $b=\dfrac{1}{9}$ : un paramètre plus petit que $1$ donne une constante NÉGATIVE. Vérification en $x=9$ : $\log_{3}(1)=0$ et $2-2=0$.

c) Un logarithme s'annule quand son contenu vaut $1$. Pour $f$ : $8x=1$, donc $x=\dfrac{1}{8}=0{,}125$. Pour $g$ : $\dfrac{x}{9}=1$, donc $x=9$. Le paramètre $b$ DÉPLACE donc le zéro, qui passe de $1$ à $\dfrac{1}{b}$. C'est la conséquence visible de la translation verticale : en remontant la courbe, on rapproche son zéro de l'axe.

d) Il faut que le contenu du logarithme soit strictement positif : $-x>0$, donc $x<0$. Le domaine est $]-\infty\,;0[$, et la courbe vit entièrement à GAUCHE de l'axe des ordonnées. On calcule $h(-8)=\log_{2}(8)=3$ : l'abscisse est négative, l'image ne l'est pas. Le signe moins est à l'intérieur du logarithme, il ne sort jamais devant.

e) Une fois la constante sortie, il ne reste RIEN du paramètre $b$ dans la forme de la courbe : $a\log_{c}(bx)$ est toujours la courbe de $a\log_{c}(x)$, translatée verticalement de $a\log_{c}(b)$. Son SIGNE, lui, décide du côté : $b>0$ met la courbe à droite de l'axe des ordonnées, $b<0$ la met à gauche, et le domaine suit. On retrouve le partage du chapitre de la racine carrée, où le paramètre sous le radical décidait du côté et celui de devant du haut ou du bas.

a) On substitue : $a\log_{2}(8)=6$. Or $\log_{2}(8)=3$, donc $3a=6$ et $a=2$. La règle est $f(x)=2\log_{2}(x)$. Le calcul du logarithme se fait AVANT la division : chercher $a=\dfrac{6}{8}$ serait l'erreur symétrique de celle du chapitre de la racine carrée, où l'on divisait par l'abscisse au lieu de sa racine.

b) On substitue : $\log_{c}(81)=4$, ce qui se traduit par $c^{4}=81$. Donc $c=3$, la base étant strictement positive : $-3$ est rejeté, et il le serait même si sa puissance quatrième valait $81$. La règle est $g(x)=\log_{3}(x)$. Traduire le logarithme en puissance est le geste central : c'est la définition même.

c) Le zéro est l'abscisse où le contenu vaut $1$ : $b\times 0{,}25=1$, donc $b=4$. On utilise ensuite le point : $h(1)=a\log_{2}(4)=2a=6$, donc $a=3$. La règle est $h(x)=3\log_{2}(4x)$. Remarquez que le paramètre $b$ ne se lit PAS sur l'ordonnée à l'origine, qui n'existe pas ici, mais sur le zéro : c'est le repère gratuit de ce chapitre, comme l'ordonnée à l'origine l'était au chapitre de l'exponentielle.

d) Vérification sur le zéro : $h(0{,}25)=3\log_{2}(1)=0$, c'est juste. On calcule ensuite $h(2)=3\log_{2}(8)=3\times 3=9$. Deuxième contrôle, par la forme translatée : $h(x)=3\left(\log_{2}(4)+\log_{2}(x)\right)=6+3\log_{2}(x)$, et en $x=2$ cela donne $6+3=9$. Les deux écritures concordent.

e) Parce que le zéro isole $b$ tout seul : il ne fait intervenir ni $a$ ni la base, puisque tout logarithme de $1$ vaut zéro, quel que soit son coefficient. En partant de l'autre point, on aurait une équation à deux inconnues, $a$ et $b$, impossible à trancher seule. C'est la même stratégie qu'ailleurs : on commence toujours par le renseignement qui ne dépend que d'un paramètre.

a) Elles passent toutes par $(1\,;0)$. La raison : $\log_{c}(1)=0$ pour toute base admissible, puisque $c^{0}=1$. Le point commun des fonctions logarithmiques est donc sur l'axe des abscisses, alors que celui des exponentielles $c^{x}$ était sur l'axe des ordonnées, en $(0\,;1)$. Les deux points sont échangés, comme toute la paire de chapitres.

b) La courbe C descend : sa base est comprise entre $0$ et $1$, c'est $\dfrac{1}{2}$. Les deux autres montent. Entre elles, celle qui monte le plus vite a la PLUS PETITE base : $\log_{2}(8)=3$ alors que $\log(8)\approx 0{,}90$. La courbe A est donc de base $2$ et la courbe B de base $10$. La règle se retient à l'envers de l'exponentielle, et c'est logique : plus la base est grande, plus il faut monter haut en $x$ pour gagner une unité d'exposant.

c) $\log_{2}(100)\approx 6{,}64$, $\log(100)=2$ exactement, et $\log_{1/2}(100)\approx -6{,}64$. Le classement est donc $\log_{1/2}(100)<\log(100)<\log_{2}(100)$. Remarquez la symétrie : les bases $2$ et $\dfrac{1}{2}$ donnent des images OPPOSÉES, parce que $\log_{1/2}(x)=-\log_{2}(x)$, les deux bases étant inverses l'une de l'autre.

d) $\log_{2}(0{,}1)\approx -3{,}32$, $\log(0{,}1)=-1$ et $\log_{1/2}(0{,}1)\approx 3{,}32$. Le classement s'est RENVERSÉ : c'est maintenant la courbe C qui est la plus haute et la courbe A la plus basse. Le pivot est le point commun $(1\,;0)$ : à gauche de $x=1$ tous les logarithmes de base supérieure à $1$ sont négatifs, et l'ordre s'inverse.

e) Non. Deux courbes $\log_{c_{1}}(x)$ et $\log_{c_{2}}(x)$ vérifieraient, par le changement de base, $\dfrac{\ln x}{\ln c_{1}}=\dfrac{\ln x}{\ln c_{2}}$, ce qui impose $\ln x=0$, donc $x=1$. L'unique point commun est celui de la question a). Le raisonnement est le miroir de celui du chapitre précédent, où deux exponentielles de même paramètre de devant ne se croisaient qu'en $x=0$.

a) On échange les variables dans $y=\log_{3}(x)$, ce qui donne $x=\log_{3}(y)$, puis on traduit par la définition du logarithme : $y=3^{x}$. La réciproque est donc l'exponentielle de base $3$. Son domaine est $\mathbb{R}$ et son image $]0\,;+\infty[$ : exactement l'image et le domaine de $f$, échangés. On calcule $f^{-1}(5)=3^{5}=243$, ce qui se relit dans l'autre sens : $\log_{3}(243)=5$.

b) $f(9)=2$, puis $f^{-1}(2)=3^{2}=9$ : on revient au point de départ. Dans l'autre ordre, $f^{-1}(2)=9$ puis $f(9)=2$, même conclusion. Ces calculs montrent que les deux fonctions se DÉFONT l'une l'autre : composer l'une avec l'autre redonne la variable de départ, $\log_{3}(3^{x})=x$ et $3^{\log_{3}(x)}=x$. C'est la définition même de deux fonctions réciproques, et c'est ce qui rend les équations exponentielles solubles.

c) On échange : $x=2\log_{2}(y)$. On isole le logarithme, $\log_{2}(y)=\dfrac{x}{2}$, puis on traduit : $y=2^{x/2}$. La réciproque est $g^{-1}(x)=2^{x/2}$. Remarquez où atterrit le coefficient $2$ : il passe au DÉNOMINATEUR de l'exposant, et l'on retrouve la forme $a\,c^{bx}$ du chapitre précédent, avec $b=\dfrac{1}{2}$.

d) $g(4)=2\log_{2}(4)=2\times 2=4$, et $g^{-1}(4)=2^{4/2}=2^{2}=4$ : le point $(4\,;4)$ est sur les deux courbes, ce qui est normal, il est sur la droite $y=x$. Deuxième contrôle, plus convaincant : $g(8)=2\times 3=6$, donc $g^{-1}(6)$ doit valoir $8$, et $g^{-1}(6)=2^{6/2}=2^{3}=8$. C'est juste. Vérifier sur un point qui n'est PAS sur la droite $y=x$ est la seule vérification qui prouve quelque chose.

e) L'asymptote VERTICALE $x=0$ de $f$ devient l'asymptote HORIZONTALE $y=0$ de $f^{-1}$ : la symétrie par rapport à $y=x$ échange les deux axes, donc les deux sortes d'asymptotes. Aucune restriction n'est nécessaire parce que la fonction logarithmique est monotone sur tout son domaine : deux abscisses différentes n'ont jamais la même image. C'est la différence avec la quadratique, qu'il fallait restreindre aux abscisses positives pour que sa réciproque existe.

a) Il faut $3x>0$, donc $x>0$ : le domaine est $]0\,;+\infty[$. L'asymptote est $x=0$, l'axe des ordonnées. Le zéro s'obtient en posant le contenu égal à $1$ : $3x=1$, donc $x=\dfrac{1}{3}$. Le coefficient de devant vaut $1>0$ et la base vaut $2>1$ : la fonction est CROISSANTE.

b) Il faut $-x>0$, donc $x<0$ : le domaine est $]-\infty\,;0[$, et la courbe vit à gauche de l'axe des ordonnées. L'asymptote reste $x=0$. Le zéro : $-x=1$, donc $x=-1$. Le sens de variation est DÉCROISSANT, ce qui surprend : la base $10$ est pourtant supérieure à $1$. L'explication est que le contenu, lui, diminue quand $x$ augmente. Contrôle numérique : $g(-10)=1$ et $g(-100)=2$, donc plus l'abscisse est petite, plus l'image est grande.

c) Il faut $\dfrac{x}{2}>0$, donc $x>0$ : le domaine est $]0\,;+\infty[$ et l'asymptote $x=0$. Le zéro : $\dfrac{x}{2}=1$, donc $x=2$. Le coefficient de devant est NÉGATIF et la base est supérieure à $1$ : la fonction est DÉCROISSANTE. Contrôle : $h(2)=0$ et $h(8)=-3\log_{2}(4)=-6$.

d) Il faut $5x>0$, donc $x>0$, et l'asymptote est encore $x=0$. Le zéro : $5x=1$, donc $x=\dfrac{1}{5}=0{,}2$. Ici le coefficient de devant vaut $1>0$ mais la base $\dfrac{1}{3}$ est comprise entre $0$ et $1$ : la fonction est DÉCROISSANTE. Contrôle : $k(0{,}2)=0$ et $k(1{,}8)=\log_{1/3}(9)=-2$.

e) La règle générale tient en quatre lignes. DOMAINE : $bx>0$, donc $]0\,;+\infty[$ si $b>0$ et $]-\infty\,;0[$ si $b<0$. ASYMPTOTE : $x=0$ toujours, dans ce chapitre, parce que rien ne s'ajoute à la variable. ZÉRO : là où le contenu vaut $1$, c'est-à-dire $x=\dfrac{1}{b}$. SENS DE VARIATION : il dépend de TROIS signes, celui de $a$, la position de la base par rapport à $1$, et le signe de $b$. Un nombre pair de renversements donne une fonction croissante, un nombre impair une fonction décroissante. C'est la seule question du chapitre qu'on ne peut pas trancher d'un seul regard, et le contrôle par deux images reste le plus sûr.

a) La courbe coupe l'axe des abscisses en $x=1$, donc $f(1)=0$ : c'est le zéro, et il se lit sans calcul. En $x=4$, la courbe passe par $6$. Le calcul : $f(4)=3\log_{2}(4)=3\times 2=6$. Lecture et calcul concordent, ce qui valide l'échelle du graphique avant de s'en servir.

b) La droite horizontale $y=6$ coupe la courbe en $x=4$. Par le calcul : $3\log_{2}(x)=6$ donne $\log_{2}(x)=2$, donc $x=2^{2}=4$. La solution est unique. On le voit sur la figure : la courbe monte sans jamais redescendre, donc elle ne peut rencontrer une horizontale qu'une seule fois.

c) La courbe passe au-dessus de $y=6$ à DROITE du point d'intersection, donc l'ensemble-solution est $]4\,;+\infty[$. La borne est ouverte, l'inégalité étant stricte. Il n'y a rien à croiser avec le domaine ici, parce que la partie retenue est déjà comprise dedans ; mais si la fonction avait été décroissante, l'ensemble aurait été $]0\,;4[$, et la borne de gauche serait venue du DOMAINE, pas du calcul.

d) $3\log_{2}(x)=-3$ donne $\log_{2}(x)=-1$, donc $x=2^{-1}=0{,}5$. Cette solution est recevable parce que $0{,}5$ est strictement positif, donc dans le domaine. Une image négative ne signifie pas une abscisse négative : elle signifie seulement que l'abscisse est comprise entre $0$ et $1$. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre, et la figure la montre : toute la partie sous l'axe des abscisses se trouve à gauche de $x=1$, mais à droite de zéro.

e) Exactement UNE, quel que soit $k$. La fonction est strictement croissante sur tout son domaine et son image est $\mathbb{R}$ tout entier : elle atteint donc chaque valeur réelle, et elle ne l'atteint qu'une fois. C'est la traduction, du côté du logarithme, de ce qu'on savait de l'exponentielle, dont l'image était $]0\,;+\infty[$ : là, une équation $c^{x}=k$ n'avait de solution que pour $k>0$. Les rôles sont échangés, comme toujours entre deux réciproques.

a) Faux. $\log_{2}(0)$ n'existe pas. Il faudrait un exposant $y$ tel que $2^{y}=0$, ce qu'aucun réel ne donne, puisque l'exponentielle reste strictement positive. Zéro n'est pas dans le domaine, il en est la BORNE, et c'est même l'équation de l'asymptote. L'énoncé correct : $\log_{2}(1)=0$, et c'est $1$, pas $0$, qui annule un logarithme.

b) Faux. Le paramètre placé dans le logarithme se sort en ADDITION, pas en multiplication : $\log_{2}(8x)=\log_{2}(8)+\log_{2}(x)=3+\log_{2}(x)$. La confusion vient de la loi de la puissance, $\log_{c}(x^{8})=8\log_{c}(x)$, qui s'applique à un EXPOSANT et non à un facteur. Contrôle en $x=2$ : la gauche vaut $4$, la droite fausse vaudrait $8$.

c) Faux. L'image d'une fonction logarithmique est $\mathbb{R}$ tout entier : elle monte aussi haut qu'on veut, il suffit d'aller assez loin. $\log_{2}(x)$ atteint $30$ pour $x=2^{30}$, soit un peu plus d'un milliard. La croissance est LENTE, elle n'est pas bornée, et c'est une distinction qui vaut des points. La seule asymptote est verticale, $x=0$.

d) Faux. Un logarithme est négatif entre $0$ et $1$ : $\log_{2}(0{,}25)=-2$. Il est nul en $1$ et positif au-delà, quand la base est supérieure à $1$. Ce qui doit être positif, c'est le CONTENU du logarithme, pas sa valeur. Confondre les deux mène à rejeter des solutions parfaitement recevables.

e) Faux. La définition demande une base strictement positive et différente de $1$ : $\dfrac{1}{2}$ remplit les deux conditions. La fonction existe, elle est simplement DÉCROISSANTE, et elle vaut l'opposé du logarithme de base $2$, puisque les deux bases sont inverses l'une de l'autre. La seule base interdite au-dessus de zéro est $1$, qui ne donnerait aucune fonction utilisable.

a) $V(10)=12\,000\times (1{,}045)^{10}\approx 12\,000\times 1{,}5530\approx 18\,636$ dollars. Contrôle de vraisemblance : à intérêt simple, $4{,}5$ pour cent de $12\,000$ pendant dix ans donneraient $5400$ dollars d'intérêts, soit $17\,400$ dollars. Le résultat composé doit être un peu plus élevé, et il l'est : la différence de $1236$ dollars est l'intérêt gagné sur les intérêts.

b) On pose $12\,000\,(1{,}045)^{t}=20\,000$, donc $(1{,}045)^{t}=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667$. L'inconnue est à l'exposant : on passe au logarithme, $t=\dfrac{\ln(1{,}6667)}{\ln(1{,}045)}\approx\dfrac{0{,}5108}{0{,}04402}\approx 11{,}61$ année. On peut employer n'importe quelle base pour ce quotient, à condition d'employer LA MÊME en haut et en bas : c'est le changement de base du chapitre d'arithmétique.

c) Doubler, c'est atteindre $24\,000$ dollars, donc $(1{,}045)^{t}=2$ et $t=\dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}045)}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}04402}\approx 15{,}75$ année. Remarquez que le capital de départ a disparu du calcul : le temps de doublement ne dépend que du TAUX, pas de la somme placée. C'est la propriété la plus utile du modèle exponentiel.

d) La règle de 72 donne $\dfrac{72}{4{,}5}=16$ ans, contre $15{,}75$ ans par le calcul exact : l'écart est de trois mois sur seize ans, soit environ $1{,}6$ pour cent. C'est une excellente approximation mentale, et elle vient justement du logarithme, $\ln(1+r)\approx r$ pour un taux petit. Elle se dégrade quand le taux grossit, ce que la question suivante va montrer.

e) Non, et c'est contre-intuitif. Avec $9$ pour cent : $t=\dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}09)}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}08618}\approx 8{,}04$ années. La moitié de $15{,}75$ serait $7{,}87$ année, donc le temps obtenu est un peu PLUS long que la moitié. La raison tient au logarithme : c'est $\ln(1+r)$ qui intervient, et cette quantité croît moins vite que $r$. Doubler le taux n'accélère donc pas tout à fait deux fois le doublement, et l'écart s'accentue avec les gros taux.