Math TS, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction exponentielle

Cette fiche de révision accompagne la troisième famille de fonctions du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : la fonction exponentielle, la première dont la variable se trouve à l'exposant.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le paramètre de l'exposant ne fait que changer la base, et l'asymptote ne bouge jamais : c'est cette double règle qui règle tout le chapitre, du sens de variation à la lecture d'une table.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les exposants, les radicaux et la valeur absolue Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Les exposants, les radicaux et la valeur absolue

L'essentiel

La forme du chapitre, et les deux choses qui ne bougent pas

• La forme est $f(x)=a\,c^{bx}$ , avec $a\neq 0$ , $c>0$ et $c\neq 1$ . Le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier : ni division, ni radical, donc aucune valeur interdite.
• L'ASYMPTOTE EST TOUJOURS $y=0$ , l'axe des abscisses. La forme du programme n'a pas de terme additif à la fin, donc rien ne déplace l'asymptote, et la courbe n'a AUCUN zéro.
• LE PARAMÈTRE DE DEVANT est l'ordonnée à l'origine, puisque $f(0)=a\,c^{0}=a$ . Il décide du signe de toutes les images : l'image est $]0\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;0[$ si $a<0$ .
• LA BASE décide du sens de variation, et elle seule : $c>1$ donne une fonction croissante, $0<c<1$ une fonction décroissante.
• Deux courbes de même $a$ passent toutes deux par $(0\,;a)$ et ne se coupent nulle part ailleurs : le classement de leurs images s'inverse de part et d'autre de ce point.

Les deux courbes passent par

(0\,;3)

, leur seul point commun, et s'approchent de l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre, chacune d'un côté.

Le paramètre de l'exposant, un changement de base déguisé

• La loi $c^{bx}=(c^{b})^{x}$ dit tout : le paramètre $b$ remplace la base $c$ par la base $c^{b}$ . Il n'ajoute aucune fonction à la famille.
• $2^{3x}=8^{x}$ et $4^{x/2}=2^{x}$ : un paramètre entier accélère, un paramètre fractionnaire ralentit, un paramètre négatif renverse le sens de variation.
• Dans un problème, on GARDE pourtant l'écriture $a\cdot 2^{t/5}$ plutôt que $a\cdot (1{,}149)^{t}$ : le $5$ du dénominateur est la période de doublement, il a un sens physique, et le correcteur le cherche.
• Même chose avec un signe moins : $a\cdot 2^{-t/12}$ se lit « la moitié toutes les $12$ unités ». C'est la demi-vie.
• Un exposant NÉGATIF donne un INVERSE, jamais un nombre négatif : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ .

Trouver la règle, lire une table, retourner la fonction

• DEUX RENSEIGNEMENTS SUFFISENT : la règle n'a que deux inconnues. Si un point a pour abscisse zéro, il donne $a$ ; sinon on DIVISE les deux équations l'une par l'autre, ce qui élimine $a$ en une ligne.
• La base tirée d'une équation est toujours POSITIVE : de $c^{2}=9$ on garde $c=3$ et l'on rejette $-3$ , qu'aucune exponentielle n'accepte comme base.
• DANS UNE TABLE : différence constante, c'est affine ; QUOTIENT constant, c'est exponentiel. Le seul fait d'augmenter ne prouve rien.
• Si le pas des abscisses vaut $p$ , le quotient constant trouvé vaut $c^{p}$ et non $c$ : on écrit alors $a\,c^{x/p}$ , ou l'on prend la racine $p$ -ième pour revenir à la base par unité.
• LA RÉCIPROQUE est le logarithme : de $y=a\,c^{x}$ on tire $y=\log_{c}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$ . Domaine et image s'échangent, l'asymptote horizontale devient verticale, et aucune restriction n'est nécessaire, l'exponentielle étant monotone.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Calculer une image à exposant négatif

1 à 2 points, et toute la moitié gauche de la courbe dessinée sous l'axe

Ce qu'il ne faut pas écrire

$f(x)=3\cdot 2^{x}$ donne $f(-1)=-1{,}5$

Ce qu'il faut écrire

$f(-1)=3\cdot\dfrac{1}{2}=1{,}5$ , un nombre positif

Pourquoi : Un exposant négatif demande l'INVERSE de la puissance, pas son opposé : $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}$ . Une puissance de base positive reste positive, quel que soit l'exposant, et c'est précisément pour cela que la courbe ne descend jamais sous son asymptote. Contrôle en cinq secondes : $2^{-1}$ doit être plus petit que $2^{0}=1$ , donc compris entre $0$ et $1$ .

2. Décrire ce que fait la courbe très loin à gauche

1 point, et une réponse fausse à toute question sur les zéros

Ce qu'il ne faut pas écrire

La courbe de $5\cdot 3^{x}$ finit par couper l'axe des abscisses

Ce qu'il faut écrire

Elle s'en approche indéfiniment sans jamais l'atteindre : aucun zéro

Agrandissement de la partie gauche : à

x=-4

la courbe est encore à

0{,}06

au-dessus de l'axe, et elle n'y touchera jamais.

Pourquoi : L'axe des abscisses est l'ASYMPTOTE de la courbe. $5\cdot 3^{-20}\approx 1{,}4\times 10^{-9}$ : minuscule, mais strictement positif, et il en va de même pour n'importe quel exposant. Sur un dessin, la courbe semble se coller à l'axe, ce qui n'est qu'une limite du crayon. La justification attendue est algébrique : une puissance de base positive est strictement positive.

3. Enchaîner des pourcentages de perte

toute la question, et un résultat qui peut dépasser $100$ pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

Perdre $18$ pour cent par mètre pendant $3$ mètres, c'est perdre $54$ pour cent

Ce qu'il faut écrire

Il reste $0{,}82^{3}\approx 55{,}1$ pour cent, donc on a perdu environ $44{,}9$ pour cent

Pourquoi : Les pertes successives se MULTIPLIENT, elles ne s'additionnent pas : c'est la définition même d'un modèle exponentiel. L'addition mènerait à l'absurde, puisque six mètres donneraient $108$ pour cent de perte. Le geste correct est d'écrire le facteur par unité, ici $0{,}82$ , puis de l'élever à la puissance du nombre d'unités.

4. Lire le quotient d'une table

toute la question, et un modèle qui triple les images réelles

Ce qu'il ne faut pas écrire

La table $x=0$ , $3$ , $6$ et $y=5$ , $10$ , $20$ a pour base $2$

Ce qu'il faut écrire

La base par unité est $2^{1/3}\approx 1{,}26$ , et la règle est $5\cdot 2^{x/3}$

Pourquoi : Le quotient $2$ correspond à un pas de $3$ en abscisse, pas à un pas de $1$ : il vaut donc $c^{3}$ et non $c$ . Le contrôle est immédiat : avec la base $2$ par unité, la règle $5\cdot 2^{x}$ donnerait $40$ en $x=3$ , alors que la table dit $10$ . On garde l'écriture $5\cdot 2^{x/3}$ , qui affiche la période de doublement.

5. Trouver la base à partir de deux points

toute la question, et une équation de degré 3 impossible à ce niveau

Ce qu'il ne faut pas écrire

$a\,c=6$ et $a\,c^{3}=54$ donnent $c^{3}-c=48$

Ce qu'il faut écrire

On DIVISE : $c^{2}=9$ , donc $c=3$ , puis $a=2$

Pourquoi : Soustraire les deux équations laisse les deux inconnues en place et fabrique une équation insoluble. La division, elle, supprime $a$ d'un coup, parce que le quotient de deux puissances de même base soustrait les exposants. C'est le geste standard du chapitre, et il se termine toujours par une vérification sur le point qu'on n'a pas utilisé en dernier.

6. Extraire la base d'une équation en $c$

1 point, et une règle refusée par la définition

Ce qu'il ne faut pas écrire

$12\,c^{2}=3$ donne $c=\pm\dfrac{1}{2}$

Ce qu'il faut écrire

$c=\dfrac{1}{2}$ seulement : une base d'exponentielle est strictement positive

Pourquoi : La définition impose $c>0$ et $c\neq 1$ , sans quoi la fonction n'existerait pas pour tous les réels : $(-2)^{1/2}$ n'a aucun sens. Le double signe vient de l'habitude prise au chapitre de la quadratique, où les deux racines étaient recevables. Ici, le candidat négatif se rejette EN L'ÉCRIVANT, avec sa raison : c'est une ligne qui rapporte.

7. Comparer deux fonctions de même ordonnée à l'origine

1 à 2 points sur une question de comparaison ou de lecture graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

$4\cdot 2^{x}$ est toujours plus grande que $4\cdot 0{,}5^{x}$ , puisque sa base est plus grande

Ce qu'il faut écrire

Seulement à droite de $x=0$ : en $x=-2$ , elle vaut $1$ contre $16$

Pourquoi : Les deux courbes se croisent en $(0\,;4)$ , leur unique point commun, et le classement s'inverse en le franchissant. Une comparaison de bases ne vaut donc que sur un côté, et la réponse attendue nomme toujours l'intervalle. Le calcul de deux images, une de chaque côté, suffit à trancher et prend dix secondes.

Quelle méthode choisir

Que lire, selon ce que l'énoncé demande

Une fonction $f(x)=a\,c^{bx}$ , donnée par sa règle, par deux points, par une table ou par un contexte

Si On cherche le DOMAINE, l'IMAGE ou l'ASYMPTOTE → Domaine $\mathbb{R}$ toujours ; asymptote $y=0$ toujours ; image donnée par le seul signe de $a$

Exemple : $h(x)=-3\cdot 2^{x}$ : image $]-\infty\,;0[$ , asymptote $y=0$
Si On cherche le SENS DE VARIATION → Réduire à une seule base par $c^{bx}=(c^{b})^{x}$ , puis comparer cette base à $1$

Exemple : $5\cdot 3^{-x/2}$ a pour base $3^{-1/2}\approx 0{,}58$ : décroissante
Si On donne DEUX POINTS et l'on cherche la règle → Si une abscisse vaut zéro, elle donne $a$ ; sinon diviser les deux équations pour éliminer $a$

Exemple : $(1\,;6)$ et $(3\,;54)$ : $c^{2}=9$ , donc $c=3$ et $a=2$
Si On donne une TABLE → Tester les quotients successifs, puis regarder le PAS des abscisses avant de nommer la base

Exemple : $5$ , $10$ , $20$ pour $x=0$ , $3$ , $6$ : règle $5\cdot 2^{x/3}$
Si Le contexte donne une PÉRIODE, doublement ou demi-vie → Écrire directement $a\cdot 2^{\pm t/p}$ , le signe selon que la quantité monte ou descend

Exemple : $80$ mg divisés par deux toutes les $12$ h : $80\cdot 2^{-t/12}$
Si On demande la RÉCIPROQUE → Échanger les variables, isoler la puissance, passer au logarithme ; aucune restriction n'est nécessaire

Exemple : $g(x)=5\cdot 2^{x}$ donne $g^{-1}(x)=\log_{2}\!\left(\dfrac{x}{5}\right)$

La forme canonique $a\,c^{b(x-h)}+k$ , l'asymptote déplacée et le zéro qui en résulte ne sont pas au programme de la TS 4 : ils arrivent en TS 5. Ici l'asymptote est toujours l'axe des abscisses.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche d'une règle à partir de deux points

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne deux couples et demande la règle $a\,c^{x}$

1 Écrire la forme cherchée et poser les deux équations, une par point.
2 Si une abscisse vaut zéro, lire $a$ directement et passer à l'étape suivante.
3 Sinon, DIVISER la seconde équation par la première pour éliminer $a$ .
4 Résoudre la puissance obtenue en ne gardant que la base POSITIVE, et dire pourquoi.
5 Remonter à $a$ , écrire la règle, puis vérifier sur le point qui n'a pas servi en dernier.

Phrase de conclusion

« $a\,c=6$ et $a\,c^{3}=54$ . En divisant : $c^{2}=9$ , donc $c=3$ , la base étant strictement positive. Alors $a=2$ et $f(x)=2\cdot 3^{x}$ . Vérification : $f(3)=2\times 27=54$ . »

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier sur le point non utilisé

Une fois la règle écrite, y substituer le point qui n'a pas servi à la dernière étape et comparer.

$f(x)=2\cdot 3^{x}$ et le point $(3\,;54)$ : $2\times 27=54$ , la règle tient.
Contrôler le signe de toutes les images

Toutes les images ont le signe de $a$ , sans exception. Une image de signe contraire signale une erreur d'exposant.

Avec $a>0$ , trouver $f(-2)<0$ est impossible : c'est l'exposant négatif mal calculé.
Compter les périodes avant de calculer

Dans un problème à demi-vie ou à doublement, estimer le résultat en comptant les périodes entières, puis vérifier que la calculatrice reste dans l'intervalle.

$30$ heures pour une demi-vie de $12$ h, c'est deux périodes et demie : le résultat doit être entre $80/8=10$ et $80/4=20$ .
Revenir à la base par unité

Quand la règle porte un paramètre à l'exposant, recalculer le facteur par unité et vérifier qu'il correspond au taux annoncé.

$2^{-h/5{,}5}$ donne $2^{-1/5{,}5}\approx 0{,}882$ par kilomètre, soit environ $12$ pour cent de perte.

L'exercice type décortiqué

La caféine dans le sang

Une tasse de café apporte $200$ mg de caféine. L'organisme en élimine la moitié toutes les $5$ heures. Écrivez la règle donnant la quantité $C(t)$ restante après $t$ heures, calculez ce qu'il reste après $8$ heures, puis trouvez au bout de combien de temps il reste moins de $25$ mg.

Chaque tranche de

5

heures divise la quantité par deux :

200

100

50

25

mg. La courbe s'approche de zéro sans l'atteindre.

Étape 1

La quantité de départ est $a=200$ et la période est une DEMI-VIE de $5$ heures, donc $C(t)=200\cdot 2^{-t/5}$ .

Pourquoi

La période se met au DÉNOMINATEUR de l'exposant, et le signe moins traduit la diminution. Contrôle immédiat : $C(5)=200\cdot 2^{-1}=100$ mg, la moitié, comme annoncé.

Étape 2

Après $8$ heures : $C(8)=200\cdot 2^{-8/5}=200\cdot 2^{-1{,}6}\approx 200\times 0{,}3299\approx 65{,}98$ mg.

Pourquoi

On calcule l'exposant EN ENTIER avant d'élever, faute de quoi la calculatrice divise par $5$ le résultat au lieu de l'exposant. Estimation de contrôle : $8$ heures, c'est un peu plus d'une période et demie, donc un peu moins que $200/3$ .

Étape 3

On pose $200\cdot 2^{-t/5}=25$ , donc $2^{-t/5}=\dfrac{25}{200}=\dfrac{1}{8}=2^{-3}$ .

Pourquoi

Ramener les deux membres à la MÊME BASE évite complètement le logarithme quand le quotient est une puissance simple. C'est le réflexe à avoir avant de sortir la calculatrice.

Étape 4

Les bases étant égales, $-\dfrac{t}{5}=-3$ , donc $t=15$ heures. Il reste moins de $25$ mg APRÈS $15$ heures.

Pourquoi

La fonction étant décroissante, l'inégalité stricte demandée correspond à $t>15$ . On le dit, plutôt que de rendre la seule valeur $15$ : la question portait sur un moment à partir duquel, pas sur une égalité.

Étape 5

Écriture équivalente : $C(t)=200\times (0{,}871)^{t}$ , puisque $2^{-1/5}\approx 0{,}871$ .

Pourquoi

Ce nombre est le facteur par HEURE : environ $12{,}9$ pour cent de la caféine disparaît chaque heure. Les deux écritures décrivent la même fonction, et l'on choisit celle que la question réclame.

Conclusion rédigée

$C(t)=200\cdot 2^{-t/5}$ ; il reste environ $65{,}98$ mg après $8$ heures, et moins de $25$ mg après $15$ heures.

L'erreur classique sur cet exercice : L'erreur classique est d'écrire $C(t)=200\cdot 2^{-5t}$ , en mettant la période au numérateur : le modèle diviserait alors la caféine par $32$ en une seule heure.

À savoir par cœur

• $f(x)=a\,c^{bx}$ : domaine $\mathbb{R}$ , asymptote $y=0$ , aucun zéro.
• $f(0)=a$ : le paramètre de devant est l'ordonnée à l'origine.
• L'image vaut $]0\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;0[$ si $a<0$ .
• $c^{bx}=(c^{b})^{x}$ : le paramètre de l'exposant change la base, rien d'autre.
• Base $>1$ : croissante. Base entre $0$ et $1$ : décroissante.
• Exposant négatif : un INVERSE, jamais un nombre négatif.
• Deux points suffisent ; on divise les deux équations pour éliminer $a$ .
• La base est toujours positive : le candidat négatif se rejette par écrit.
• Table : quotient constant à pas régulier ; si le pas vaut $p$ , ce quotient est $c^{p}$ .
• Réciproque : $y=\log_{c}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)$ , domaine et image échangés.

Questions fréquentes

Pourquoi une fonction exponentielle n'a-t-elle jamais de zéro ?

Parce qu'une puissance dont la base est strictement positive est elle-même strictement positive, quel que soit l'exposant. Le produit de cette puissance par le paramètre de devant garde donc constamment le signe de ce paramètre, et il ne peut pas s'annuler. La courbe s'approche de l'axe des abscisses aussi près qu'on veut, mais l'axe reste une asymptote. Dans la séquence Technico-sciences de quatrième secondaire, aucun terme additif ne vient déplacer cette asymptote : cela arrive l'année suivante.

Comment reconnaître une exponentielle dans une table de valeurs ?

On calcule les quotients de deux images successives. S'ils sont constants et que les abscisses sont régulièrement espacées, le modèle est exponentiel. S'il y a plutôt une différence constante, le modèle est affine. Attention au pas des abscisses : s'il vaut trois, le quotient trouvé est la base élevée au cube, et non la base par unité.

Que fait le paramètre placé dans l'exposant ?

Il change la base, et c'est tout. La loi des exposants permet de l'écrire autrement, en élevant la base à cette puissance. Un paramètre entier accélère la croissance, un paramètre fractionnaire la ralentit, un paramètre négatif renverse le sens de variation. Dans un problème, on garde pourtant cette écriture, parce que le dénominateur de l'exposant est la période de doublement ou la demi-vie, une grandeur que la question demande souvent.

Combien de points faut-il pour trouver la règle ?

Deux suffisent, parce que la règle n'a que deux inconnues. Si l'un des deux a pour abscisse zéro, il donne immédiatement le paramètre de devant. Sinon, on divise les deux équations l'une par l'autre : ce paramètre disparaît et il ne reste qu'une puissance de la base. On garde alors la solution positive, la seule qu'une base d'exponentielle accepte.

Quelle est la réciproque d'une fonction exponentielle ?

C'est une fonction logarithmique, de même base. On échange les rôles des deux variables, on isole la puissance, puis on passe au logarithme. Le domaine et l'image s'échangent, et l'asymptote horizontale devient verticale. Contrairement à la fonction quadratique, aucune restriction du domaine n'est nécessaire, parce que l'exponentielle est monotone sur tout son domaine.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction exponentielle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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La fonction logarithmique Les fonctions exponentiellesSecondaire 5 TS

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L'essentiel

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Le paramètre de l'exposant, un changement de base déguisé

Trouver la règle, lire une table, retourner la fonction

Les pièges qui coûtent des points

1. Calculer une image à exposant négatif

2. Décrire ce que fait la courbe très loin à gauche

3. Enchaîner des pourcentages de perte

4. Lire le quotient d'une table

5. Trouver la base à partir de deux points

6. Extraire la base d'une équation en ccc

7. Comparer deux fonctions de même ordonnée à l'origine

Quelle méthode choisir

Que lire, selon ce que l'énoncé demande

La rédaction attendue

Rédiger la recherche d'une règle à partir de deux points

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La caféine dans le sang

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi une fonction exponentielle n'a-t-elle jamais de zéro ?

Comment reconnaître une exponentielle dans une table de valeurs ?

Que fait le paramètre placé dans l'exposant ?

Combien de points faut-il pour trouver la règle ?

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