Exercices corrigés : la fonction exponentielle (math TS, secondaire 5)

a) $a=3$, $b=1$, $h=0$, $k=-6$ : asymptote $y=-6$. Le domaine est $\mathbb{R}$. Comme $a>0$, la puissance est positive et la fonction reste strictement au-dessus de $-6$ : image $]-6\,;+\infty[$, crochet ouvert. Zéro : $3\cdot 2^{x}=6$ donne $2^{x}=2$, donc $x=1$. Vérification : $f(1)=6-6=0$.

b) $a=-4$, $b=1$, $h=1$, $k=36$ : asymptote $y=36$. Comme $a<0$, la fonction reste strictement SOUS l'asymptote : image $]-\infty\,;36[$. Zéro : $4\cdot 3^{x-1}=36$ donne $3^{x-1}=9$, donc $x-1=2$ et $x=3$. Vérification : $g(3)=-4\times 9+36=0$.

c) Non. Le terme $5\cdot 2^{x}$ est strictement positif pour tout $x$, et on lui ajoute $3$ : la fonction vaut donc toujours plus que $3$, et elle ne peut pas s'annuler. Son image est $]3\,;+\infty[$. Aucun calcul n'est nécessaire, seulement la lecture des deux signes.

d) Il faut que $a$ et $k$ soient de SIGNES CONTRAIRES. En effet, $a\,c^{b(x-h)}$ a le signe de $a$ et prend toutes les valeurs de ce signe, sans jamais atteindre zéro ; pour que la somme avec $k$ puisse s'annuler, il faut que $k$ compense, donc qu'il soit de l'autre signe. Si $k=0$, la fonction ne s'annule jamais non plus, ce qui était le cas de toutes les exponentielles de l'an dernier. Ce critère se vérifie en deux secondes et évite de chercher un zéro qui n'existe pas.

a) $5\cdot 2^{x-3}=5\cdot 2^{x}\cdot 2^{-3}=\dfrac{5}{8}\cdot 2^{x}=0{,}625\cdot 2^{x}$. Vérification en $x=3$ : la forme de départ donne $5\cdot 2^{0}=5$, la nouvelle donne $0{,}625\times 8=5$.

b) $2\cdot 3^{x+2}=2\cdot 3^{x}\cdot 3^{2}=18\cdot 3^{x}$, donc $g(x)=18\cdot 3^{x}-7$. Le $-7$ reste dehors, il ne participe pas à l'absorption. Vérification en $x=0$ : $2\times 9-7=11$, et $18-7=11$.

c) $2^{3x}=\left(2^{3}\right)^{x}=8^{x}$, donc $p(x)=4\cdot 8^{x}$. Le paramètre $b$ est donc lui aussi absorbable, cette fois dans la BASE : changer $b$ revient à changer de base, et c'est pour cette raison que les énoncés fixent souvent $b=1$. Vérification en $x=2$ : $4\cdot 2^{6}=256$, et $4\times 64=256$.

d) Parce que $k$ s'AJOUTE à la puissance au lieu de la multiplier. Les lois des exposants transforment un produit de puissances en somme d'exposants, mais elles ne disent rien d'une somme de puissances : $c^{x}+k$ ne se réécrit pas $c^{x+\text{quelque chose}}$. Contre-exemple : $2^{x}+1$ vaut $2$ en $x=0$ et $3$ en $x=1$, ce qu'aucune fonction $A\cdot 2^{x}$ ne fait, puisqu'elle serait multipliée par $2$ à chaque pas. Le paramètre $k$ est donc le SEUL qui ne s'absorbe pas, et c'est pourquoi il est la vraie nouveauté de l'année.

a) $k=2$. On retranche : $5-2=3$ et $14-2=12$, donc $a\,c^{0}=3$ et $a\,c^{2}=12$. La première donne $a=3$, et la seconde $3c^{2}=12$, donc $c^{2}=4$ et $c=2$... attention, vérifions : $3\cdot 2^{2}=12$, exact. La règle est $y=3\cdot 2^{x}+2$. Contrôle sur les deux points : $3+2=5$ et $12+2=14$.

b) $k=-3$. On retranche : $5+3=8$ et $61+3=64$, donc $a=8$ et $8c^{3}=64$, soit $c^{3}=8$ et $c=2$. La règle est $y=8\cdot 2^{x}-3$. Contrôle : $8\times 8-3=61$.

c) $k=50$. On retranche : $10-50=-40$ et $30-50=-20$, donc $a=-40$ et $-40c=-20$, soit $c=0{,}5$. La règle est $y=-40\cdot 0{,}5^{x}+50$. Le $a$ négatif était prévisible : les deux points sont SOUS l'asymptote. Et $c<1$ ne signifie pas que la fonction décroît : ici elle CROÎT vers $50$, parce que $a$ est négatif. Les deux signes se combinent, et c'est l'erreur de lecture la plus fréquente.

d) Non. La règle $a\,c^{x}+k$ compte TROIS inconnues, donc il faut trois renseignements indépendants. Deux points laissent une infinité de solutions : par exemple, $(0\,;5)$ et $(2\,;14)$ sont compatibles avec $y=3\cdot 2^{x}+2$, mais aussi avec $y=4\cdot c^{x}+1$ pour un $c$ bien choisi, puisque $4c^{2}=13$ donne $c=\sqrt{3{,}25}$. Sans l'asymptote, la question n'a pas de réponse unique, et le dire vaut les points.

a) $3\cdot 2^{x}-6=42$ donne $3\cdot 2^{x}=48$, donc $2^{x}=16$ et $x=4$. Vérification : $3\times 16-6=42$. Isoler la puissance AVANT toute autre opération est ce qui rend l'équation immédiate ; appliquer un logarithme dès la première ligne obligerait à traiter une somme, ce qui ne se fait pas.

b) $3\cdot 2^{x}-6=-9$ donne $3\cdot 2^{x}=-3$, donc $2^{x}=-1$ : impossible, une puissance de base positive est strictement positive. Aucune solution. On pouvait le voir directement sur l'image, $]-6\,;+\infty[$, qui ne contient pas $-9$.

c) $3\cdot 2^{x}-6\ge 18$ donne $3\cdot 2^{x}\ge 24$, donc $2^{x}\ge 8$. Comme la base $2$ est supérieure à $1$, la fonction $2^{x}$ est croissante et l'inégalité se transmet aux exposants : $x\ge 3$. La solution est $[3\,;+\infty[$. Vérification : $f(3)=24-6=18$, la borne est atteinte, et $f(4)=42>18$.

d) $3\cdot 2^{x}-6<-6$ donne $3\cdot 2^{x}<0$, impossible : aucune solution. L'image $]-6\,;+\infty[$ le dit autrement, et mieux : la valeur $-6$ est l'asymptote, la courbe s'en approche indéfiniment par au-dessus sans jamais l'atteindre ni la franchir. Une inéquation dont le second membre est l'asymptote a donc toujours pour réponse, selon le sens, l'ensemble vide ou $\mathbb{R}$ tout entier.

a) De $y=3\cdot 2^{x}-6$, on isole la puissance : $2^{x}=\dfrac{y+6}{3}$, puis on passe au logarithme de base $2$ : $x=\log_{2}\!\left(\dfrac{y+6}{3}\right)$. En échangeant les noms, $f^{-1}(x)=\log_{2}\!\left(\dfrac{x+6}{3}\right)$. Le domaine exige $\dfrac{x+6}{3}>0$, donc $x>-6$ : c'est exactement l'image de $f$.

b) L'asymptote de $f^{-1}$ est la VERTICALE $x=-6$, alors que celle de $f$ était l'HORIZONTALE $y=-6$. La réflexion par rapport à la droite $y=x$ échange les deux directions, donc elle transforme l'asymptote horizontale en asymptote verticale, à la même valeur. C'est un contrôle gratuit sur toute réciproque d'exponentielle.

c) De $y=-4\cdot 3^{x-1}+36$, on isole : $3^{x-1}=\dfrac{36-y}{4}$, donc $x-1=\log_{3}\!\left(\dfrac{36-y}{4}\right)$ et $g^{-1}(x)=\log_{3}\!\left(\dfrac{36-x}{4}\right)+1$. Le domaine exige $36-x>0$, donc $x<36$ : là encore, c'est l'image de $g$. Attention au signe : c'est $36-x$ et non $x-36$, parce que $a$ était négatif.

d) $f(1)=6-6=0$, et $f^{-1}(0)=\log_{2}\!\left(\dfrac{6}{3}\right)=\log_{2}2=1$. $f(4)=42$, et $f^{-1}(42)=\log_{2}\!\left(\dfrac{48}{3}\right)=\log_{2}16=4$. Les deux vérifications reviennent au point de départ : la réciproque est juste. Choisir des valeurs qui donnent des puissances entières de la base rend le contrôle faisable de tête.

a) C'est la seule courbe située SOUS l'asymptote, puisque $a=-3<0$. Son zéro : $3\cdot 2^{x}=4$ donne $2^{x}=\dfrac{4}{3}$, donc $x=\log_{2}\!\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{\ln(4/3)}{\ln 2}\approx 0{,}415$. Vérification : $-3\times 2^{0{,}415}+4\approx -4{,}00+4=0$.

b) Ce sont $y=2\cdot 2^{x}+4$ et $y=2\cdot 0{,}5^{x}+4$ : les deux ont $a=2$ et $k=4$, donc elles valent $2+4=6$ en $x=0$. Elles diffèrent par la BASE : $2>1$ donne une croissance, $0{,}5<1$ donne une décroissance. Les deux courbes sont d'ailleurs symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $0{,}5^{x}=2^{-x}$.

c) Les deux fonctions à $a=2$ restent au-dessus de l'asymptote : image $]4\,;+\infty[$. Celle à $a=-3$ reste en dessous : image $]-\infty\,;4[$. Dans les trois cas le crochet est OUVERT en $4$, l'asymptote n'étant jamais atteinte. La base ne joue aucun rôle dans l'image, seul le signe de $a$ compte.

d) Translater de $3$ vers la droite donne $y=2\cdot 2^{x-3}+4$. On absorbe : $2\cdot 2^{x-3}=2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-3}=\dfrac{2}{8}\cdot 2^{x}=0{,}25\cdot 2^{x}$, donc $y=0{,}25\cdot 2^{x}+4$. La translation horizontale a donc simplement DIVISÉ $a$ par $8$, et la courbe obtenue est indiscernable d'une simple compression verticale : c'est la particularité de cette famille, vue à l'exercice 2.

a) $f(0)=3-6=-3$, $f(1)=6-6=0$, $f(2)=12-6=6$, $f(3)=24-6=18$. Les valeurs ne doublent PAS : de $6$ à $18$, on triple. La présence de $k$ casse la régularité apparente, et c'est l'erreur que l'exercice débusque.

b) Les écarts $f(x)+6$ valent $3$, $6$, $12$ et $24$ : ils DOUBLENT à chaque pas. C'est la vraie structure de la fonction, puisque $f(x)+6=3\cdot 2^{x}$. La règle générale : dans une exponentielle à asymptote déplacée, c'est l'écart à l'asymptote qui suit la loi multiplicative, et c'est sur lui qu'il faut raisonner.

c) Une croissance de $6\%$ par an multiplie par $1{,}06$ chaque année : $P(t)=800\cdot 1{,}06^{t}$. Le doublement se produit quand $1{,}06^{t}=2$, donc $t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}06}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}05827}\approx 11{,}9$ ans. Remarque utile : ce temps ne dépend PAS de la valeur initiale, ce qui se voit sur le calcul, où le $800$ disparaît.

d) Une perte de $15\%$ multiplie par $0{,}85$ : $V(t)=40\,000\cdot 0{,}85^{t}$. On cherche $0{,}85^{t}<0{,}5$, donc $t>\dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85}\approx 4{,}27$ ans, le sens s'inversant parce que $\ln 0{,}85$ est NÉGATIF. En années entières, c'est donc au bout de $5$ ans. Vérification : $V(4)=40\,000\times 0{,}522=20\,880$ dollars, encore au-dessus de la moitié, et $V(5)=17\,748$ dollars, en dessous. Le renversement du sens en divisant par un logarithme négatif est le piège le plus coûteux de ce type de question.

a) $U(0)=24-24\cdot 0{,}5^{0}=24-24=0$ volt : le condensateur est déchargé au départ. L'asymptote est $U=24$ volts, la tension d'alimentation, et comme le terme retranché est strictement positif, la tension reste strictement inférieure à $24$. L'image est $[0\,;24[$, fermée en $0$ qui est atteint et ouverte en $24$ qui ne l'est pas.

b) $U(3)=24-24\cdot 0{,}5^{1}=24-12=12$ volts. $U(9)=24-24\cdot 0{,}5^{3}=24-3=21$ volts. Toutes les trois secondes, l'ÉCART à $24$ volts est divisé par deux : $24$, puis $12$, puis $6$, puis $3$. C'est la lecture correcte d'une charge, et elle donne une table mentale en une ligne.

c) On résout $24-24\cdot 0{,}5^{t/3}=20$, donc $24\cdot 0{,}5^{t/3}=4$ et $0{,}5^{t/3}=\dfrac{1}{6}$. En passant au logarithme, $\dfrac{t}{3}=\dfrac{\ln(1/6)}{\ln 0{,}5}=\log_{2}6\approx 2{,}585$, donc $t\approx 7{,}75$ secondes, soit $7{,}8$ secondes au dixième. Vérification : $U(7{,}75)\approx 20{,}0$ volts.

d) $99\%$ de $24$ volts font $23{,}76$ volts. On résout $24\cdot 0{,}5^{t/3}=0{,}24$, donc $0{,}5^{t/3}=0{,}01$ et $\dfrac{t}{3}=\log_{2}100\approx 6{,}644$, soit $t\approx 19{,}9$ secondes. Quant à $24$ volts exactement, la réponse est NON : il faudrait $24\cdot 0{,}5^{t/3}=0$, or une puissance de base positive ne s'annule jamais. La tension s'en approche autant qu'on veut sans jamais l'atteindre, et c'est précisément ce que signifie une asymptote. En pratique, l'électronicien considère la charge terminée après cinq constantes de temps, ce qui est exactement le raisonnement de la question.

a) $P(0)=600+101=701$ kilopascals. L'asymptote est $P=101$, et comme $600\cdot 0{,}9^{t}$ est strictement positif, la pression reste strictement au-dessus de $101$. L'image est $]101\,;701]$, fermée en $701$ qui est atteint à l'instant initial et ouverte en $101$.

b) $P(10)=600\times 0{,}9^{10}+101=600\times 0{,}348678+101=209{,}21+101=310{,}2$ kilopascals. La puissance dixième de $0{,}9$ vaut environ $0{,}349$, ce qui signifie qu'il reste un peu plus du tiers de la surpression initiale.

c) On résout $600\cdot 0{,}9^{t}+101=300$, donc $600\cdot 0{,}9^{t}=199$ et $0{,}9^{t}=\dfrac{199}{600}\approx 0{,}33167$. En passant au logarithme, $t=\dfrac{\ln 0{,}33167}{\ln 0{,}9}\approx\dfrac{-1{,}1037}{-0{,}10536}\approx 10{,}5$ heures. Les deux logarithmes sont négatifs, donc leur quotient est positif : c'est le contrôle de signe à faire systématiquement. Vérification : $P(10{,}5)\approx 299{,}0$ kilopascals, juste sous le seuil.

d) C'est faux. La surpression $600\cdot 0{,}9^{t}$ tend bien vers zéro, mais la pression TOTALE tend vers $101$ kilopascals, c'est-à-dire la pression atmosphérique. Physiquement, c'est évident : une fuite égalise la pression intérieure et la pression extérieure, elle ne fait pas le vide. Mathématiquement, c'est l'asymptote $y=k$ avec $k=101$. Le technicien confond la décroissance de l'ÉCART à l'asymptote avec celle de la valeur elle-même, ce qui est exactement le piège de l'exercice 7.