Exercices corrigés : la fonction réciproque (math TS, secondaire 5)

a) On échange les deux colonnes : $f^{-1}(1)=0$, $f^{-1}(3)=1$, $f^{-1}(5)=2$ et $f^{-1}(7)=3$. Rien à calculer, seulement à relire la table dans l'autre sens. La notation $f^{-1}$ ne signifie PAS $\dfrac{1}{f}$ : c'est un symbole de réciproque, et la confusion coûte toute une question quand elle s'installe.

b) $f^{-1}(5)=2$ et $f^{-1}(1)=0$, par lecture directe de la table échangée. Ensuite $f\!\left(f^{-1}(5)\right)=f(2)=5$ : on retombe sur le nombre de départ, ce qui est la définition même de la réciproque. Ce contrôle en deux étapes vaut pour toutes les questions du chapitre.

c) Les valeurs de $f$ montent de $2$ à chaque pas de $1$ en $x$, et $f(0)=1$ : la règle est $f(x)=2x+1$. Pour la réciproque, on échange les rôles puis on isole : de $y=2x+1$ on tire $x=\dfrac{y-1}{2}$, donc $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$. Vérification : $f^{-1}(7)=\dfrac{6}{2}=3$, conforme à la table.

d) Le point $(2\,;5)$ appartient à $f$ et le point $(5\,;2)$ à $f^{-1}$. Le milieu du segment qui les joint est $\left(\dfrac{2+5}{2}\,;\dfrac{5+2}{2}\right)=(3{,}5\,;3{,}5)$, un point de la droite $y=x$, et le segment lui est perpendiculaire puisque sa pente vaut $\dfrac{2-5}{5-2}=-1$. Les deux conditions ensemble, milieu sur la droite et perpendicularité, sont exactement la définition de la symétrie axiale. C'est la démonstration attendue, et elle tient en deux lignes.

a) De $y=3x-12$, on échange : $x=3y-12$, donc $3y=x+12$ et $y=\dfrac{x+12}{3}$. La réciproque est $f^{-1}(x)=\dfrac{x+12}{3}$. Vérification : $f(5)=3$ et $f^{-1}(3)=\dfrac{15}{3}=5$, on retombe bien sur $5$.

b) De $y=\dfrac{2}{x-5}+1$, on échange : $x=\dfrac{2}{y-5}+1$. On isole : $x-1=\dfrac{2}{y-5}$, donc $y-5=\dfrac{2}{x-1}$ et $y=\dfrac{2}{x-1}+5$. La réciproque d'une fonction rationnelle est une fonction rationnelle, et l'on remarque que $h$ et $k$ ont échangé leurs places : $h=5$ et $k=1$ deviennent $h=1$ et $k=5$. C'est une régularité de la famille, et un contrôle rapide.

c) De $y=\sqrt{x+4}-2$, on échange : $x=\sqrt{y+4}-2$, donc $x+2=\sqrt{y+4}$. On élève au carré, ce qui EXIGE que le membre de gauche soit positif ou nul : $x+2\ge 0$, donc $x\ge -2$. Alors $(x+2)^{2}=y+4$ et $y=(x+2)^{2}-4$. La réciproque est une demi-parabole, restreinte à $x\ge -2$ : sans cette restriction, on décrirait la parabole entière, qui n'est pas une fonction réciproque. La condition vient de l'IMAGE de $p$, qui est $[-2\,;+\infty[$.

d) De $y=2\cdot 3^{x}+7$, on échange : $x=2\cdot 3^{y}+7$, donc $3^{y}=\dfrac{x-7}{2}$ et, en passant au logarithme de base $3$, $y=\log_{3}\!\left(\dfrac{x-7}{2}\right)$. Le domaine impose $\dfrac{x-7}{2}>0$, donc $x>7$ : c'est exactement l'image de $q$, qui est $]7\,;+\infty[$. Exponentielle et logarithme forment un couple réciproque, et la translation verticale de l'une devient une translation horizontale de l'autre.

a) La courbe est une parabole de sommet $(1\,;-1)$. La droite $y=3$ la coupe en $x=-1$ et $x=3$, puisque $(x-1)^{2}=4$ donne $x-1=\pm 2$. Deux antécédents différents ont donc la même image, et en échangeant les coordonnées on obtiendrait deux ordonnées pour l'abscisse $3$ : ce n'est pas une fonction. Il suffit d'UNE horizontale à deux intersections pour conclure.

b) On restreint à la branche droite, $[1\,;+\infty[$, c'est-à-dire à partir du sommet. De $y=(x-1)^{2}-1$ on tire $(x-1)^{2}=y+1$, donc $x-1=\sqrt{y+1}$, en prenant la racine POSITIVE parce que $x\ge 1$. La réciproque est $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x+1}$, de domaine $[-1\,;+\infty[$, qui est bien l'image de $f$. Vérification : $f(4)=8$ et $f^{-1}(8)=1+3=4$.

c) L'autre restriction est la branche gauche, $]-\infty\,;1]$. Cette fois $x-1=-\sqrt{y+1}$, et la réciproque est $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x+1}$, de même domaine $[-1\,;+\infty[$ mais d'image $]-\infty\,;1]$. Les deux réciproques sont les deux moitiés de la parabole couchée, et le contexte du problème décide laquelle on garde : une longueur impose la branche positive, une profondeur la branche négative.

d) $y=x^{3}$ est strictement croissante : aucune horizontale ne la coupe deux fois, sa réciproque $y=\sqrt[3]{x}$ est une fonction sur $\mathbb{R}$. $y=\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur chacun de ses deux morceaux et ne prend jamais deux fois la même valeur, donc sa réciproque est une fonction, et c'est elle-même. $y=|x|$ échoue : la droite $y=2$ la coupe en $-2$ et $2$. La règle générale : une fonction strictement monotone sur tout son domaine passe le test.

a) $g\!\left(f(x)\right)=\dfrac{(4x-6)+6}{4}=\dfrac{4x}{4}=x$. Dans l'autre sens, $f\!\left(g(x)\right)=4\cdot\dfrac{x+6}{4}-6=x+6-6=x$. Les deux composées donnent $x$ pour tout réel, donc les deux fonctions sont bien réciproques. Il faut écrire les DEUX calculs : un seul ne suffit pas en toute rigueur, même s'il suffit presque toujours en pratique.

b) $u\!\left(u(x)\right)=\dfrac{3}{\dfrac{3}{x}}=3\times\dfrac{x}{3}=x$, pour tout $x\neq 0$. La fonction est donc sa PROPRE réciproque, ce qu'on appelle une involution. Graphiquement, sa courbe est symétrique par rapport à la droite $y=x$, et la réflexion la laisse inchangée. C'est vrai de toute fonction $\dfrac{c}{x}$, et c'est un cas que l'examen aime poser.

c) Non sur $\mathbb{R}$. Test en $x=-3$ : $v(-3)=9$, puis $w(9)=3$, et non $-3$. La composée $w\circ v$ ne redonne $x$ que pour $x\ge 0$ : sur les négatifs, elle rend la valeur absolue. Les deux fonctions sont réciproques sur $[0\,;+\infty[$ SEULEMENT, et préciser le domaine fait partie de la réponse.

d) Test en $x=0$ : $m(0)=1$, puis $n(1)=\dfrac{1}{2}+1=1{,}5$, et non $0$. Un seul nombre suffit à réfuter, et c'est la méthode la plus rapide. L'erreur de construction est visible : en isolant $y$ dans $x=2y+1$, on obtient $y=\dfrac{x-1}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}$, et non $\dfrac{x}{2}+1$. Inverser l'ordre des opérations sans inverser chacune est le piège classique : il faut retirer $1$ AVANT de diviser par $2$.

a) Domaine de $f$ : $x-3\ge 0$, donc $[3\,;+\infty[$. Image : la racine vaut au moins zéro, donc $f$ vaut au moins $2$, image $[2\,;+\infty[$. Pour $f^{-1}$, tout s'échange : domaine $[2\,;+\infty[$ et image $[3\,;+\infty[$. On le vérifie sur la règle, $f^{-1}(x)=(x-2)^{2}+3$ pour $x\ge 2$, dont la plus petite valeur est bien $3$.

b) Domaine de $g$ : $\mathbb{R}$, une exponentielle est définie partout. Image : $2^{x}$ est strictement positif, donc $5\cdot 2^{x}$ aussi, et $g$ est strictement supérieure à $-1$ : image $]-1\,;+\infty[$, crochet OUVERT. Pour $g^{-1}$ : domaine $]-1\,;+\infty[$ et image $\mathbb{R}$. C'est bien ce que donne la règle, $g^{-1}(x)=\log_{2}\!\left(\dfrac{x+1}{5}\right)$, définie exactement pour $x>-1$.

c) Domaine de $p$ : $\mathbb{R}$ privé de $6$, l'asymptote verticale. Image : $\mathbb{R}$ privé de $3$, l'asymptote horizontale, jamais atteinte. La réciproque échange les deux : son domaine est $\mathbb{R}$ privé de $3$ et son image $\mathbb{R}$ privé de $6$. Autrement dit, les deux asymptotes échangent elles aussi leurs rôles, ce qui confirme la remarque de l'exercice 2 sur $h$ et $k$.

d) Non. Le domaine de la réciproque est l'IMAGE de la fonction, c'est-à-dire $[1\,;7]$, et $8$ n'y appartient pas. La question se règle sans connaître ni la règle ni la forme de la fonction : il n'existe aucun $x$ du domaine tel que $f(x)=8$, donc $f^{-1}(8)$ n'a pas de sens. C'est exactement le genre de question qui rapporte des points pour deux lignes de raisonnement.

a) La restriction $[3\,;+\infty[$ part du sommet et garde la branche droite. Le sommet est $(3\,;1)$ et $a=2>0$, donc l'image est $[1\,;+\infty[$. La restriction est choisie exactement pour que $f$ soit strictement croissante et passe le test de la droite horizontale.

b) De $y=2(x-3)^{2}+1$, on isole : $2(x-3)^{2}=y-1$, donc $(x-3)^{2}=\dfrac{y-1}{2}$, puis $x-3=\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}$, racine POSITIVE puisque $x\ge 3$. Donc $x=3+\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}$, et en échangeant les noms, $f^{-1}(x)=3+\sqrt{\dfrac{x-1}{2}}$. Son domaine est $[1\,;+\infty[$, l'image de $f$, et son image $[3\,;+\infty[$, le domaine de $f$.

c) Le $3$ était le $h$ de $f$, un décalage HORIZONTAL ; il est devenu le $k$ de $f^{-1}$, un décalage VERTICAL. Le $1$ était le $k$ de $f$ ; il est devenu le $h$ de $f^{-1}$, sous le radical. C'est la traduction directe de la symétrie par rapport à $y=x$ : une réflexion sur cette droite échange les deux directions, donc elle échange $h$ et $k$. La règle vaut pour toutes les familles, et elle donne un contrôle gratuit sur n'importe quel calcul de réciproque.

d) $f(6)=2\times 9+1=19$. $f^{-1}(19)=3+\sqrt{\dfrac{18}{2}}=3+\sqrt{9}=3+3=6$. Et $f^{-1}\!\left(f(6)\right)=f^{-1}(19)=6$ : on retombe sur le point de départ, ce qui valide la règle trouvée. Cette double vérification est celle que le correcteur attend en fin de question, et elle prend dix secondes.

a) Le contexte impose $c\ge 10$, sinon le trou déborde de la tôle : le domaine est $[10\,;+\infty[$. L'aire minimale est $A(10)=100-25\pi\approx 21{,}46$ cm². La restriction n'est donc pas un choix mathématique mais une contrainte physique, et c'est elle qui rend la réciproque possible.

b) Non. La fonction $c\mapsto c^{2}-25\pi$ est une parabole : sur $\mathbb{R}$, les côtés $12$ et $-12$ donneraient la même aire, $144-25\pi$. Une horizontale la couperait donc deux fois, et la réciproque ne serait pas une fonction. La restriction $c\ge 10$ ne garde qu'une branche, strictement croissante, et le problème disparaît.

c) De $A=c^{2}-25\pi$, on tire $c^{2}=A+25\pi$, donc $c=\sqrt{A+25\pi}$, en gardant la racine positive puisque $c\ge 10$. La réciproque calcule le CÔTÉ à découper pour obtenir une aire de matière donnée, c'est-à-dire exactement la question que se pose l'atelier : on connaît la quantité de métal voulue, on cherche la dimension. Son domaine est $[100-25\pi\,;+\infty[$, l'image de $A$.

d) $c=\sqrt{300+25\pi}=\sqrt{300+78{,}54}=\sqrt{378{,}54}\approx 19{,}5$ cm. En arrondissant au dixième par excès, on obtient $19{,}5$ cm, et un contrôle s'impose : $19{,}5^{2}-25\pi=380{,}25-78{,}54=301{,}7$ cm², un peu plus que demandé, ce qui est le bon sens de l'arrondi pour une découpe. Arrondir à $19{,}4$ donnerait $297{,}8$ cm², insuffisant. En atelier, l'arrondi se fait toujours du côté qui respecte la contrainte, et il faut le dire.

a) Le domaine est imposé par l'appareil : $[0\,;25]$ litres par seconde. La fonction $0{,}8Q^{2}$ est croissante sur cet intervalle, donc l'image va de $\Delta p(0)=0$ à $\Delta p(25)=0{,}8\times 625=500$ kilopascals : image $[0\,;500]$.

b) Parce que $0{,}8Q^{2}$ est une parabole : sur $\mathbb{R}$, les débits $10$ et $-10$ donneraient tous deux $80$ kPa, donc une même pression correspondrait à deux débits et la réciproque ne serait pas une fonction. La restriction aux débits positifs, qui est de toute façon physique, garde la branche croissante et rend la réciproque possible. C'est un cas où la contrainte du contexte et la contrainte mathématique coïncident.

c) De $\Delta p=0{,}8Q^{2}$, on tire $Q^{2}=\dfrac{\Delta p}{0{,}8}$, donc $Q=\sqrt{\dfrac{\Delta p}{0{,}8}}$, racine positive. Le domaine de la réciproque est l'image de $\Delta p$, soit $[0\,;500]$ kilopascals : au-delà, l'afficheur sortirait de la plage d'étalonnage et sa lecture n'aurait aucune valeur.

d) $Q=\sqrt{\dfrac{245}{0{,}8}}=\sqrt{306{,}25}=17{,}5$ litres par seconde, un résultat exact puisque $306{,}25=17{,}5^{2}$. Vérification par la fonction directe : $0{,}8\times 17{,}5^{2}=0{,}8\times 306{,}25=245$ kPa, conforme. Remarque utile pour la lecture : doubler le débit multiplie la pression par QUATRE, donc la précision de l'afficheur n'est pas la même en haut et en bas de l'échelle, et c'est ce que la forme de la courbe annonce.

a) Le domaine est celui de la molette, $[0\,;60]$. La fonction est affine croissante, donc l'image va de $F(0)=20$ à $F(60)=1{,}5\times 60+20=110$ : image $[20\,;110]$ kilonewtons. La presse ne peut donc rien produire en dessous de $20$ kN, même molette à zéro, ce qui est le genre de détail qu'un barème doit dire.

b) De $y=1{,}5r+20$, on isole : $1{,}5r=y-20$, donc $r=\dfrac{y-20}{1{,}5}$. La réciproque est $F^{-1}(x)=\dfrac{x-20}{1{,}5}$, et son domaine est l'image de $F$, soit $[20\,;110]$. Son image, elle, est $[0\,;60]$, la plage de la molette.

c) Pour $86$ kN : $r=\dfrac{86-20}{1{,}5}=\dfrac{66}{1{,}5}=44$. Vérification : $1{,}5\times 44+20=66+20=86$ kN, conforme. Pour $140$ kN : la valeur n'appartient pas au domaine de la réciproque, $[20\,;110]$. La formule donnerait $r=80$, mais la molette s'arrête à $60$ : la machine ne peut pas fournir $140$ kN. Répondre $80$ sans vérifier le domaine est l'erreur qui casse une presse, et sur une copie elle coûte toute la question.

d) Test avec $F=86$ : la formule proposée donne $\dfrac{86}{1{,}5}-20=57{,}33-20=37{,}33$, alors que le bon réglage est $44$. Un seul exemple suffit à réfuter. L'erreur est un ordre d'opérations : dans $F=1{,}5r+20$, on multiplie PUIS on ajoute, donc pour remonter il faut soustraire PUIS diviser. Le régleur a divisé avant de soustraire, ce qui revient à diviser aussi le $20$ par $1{,}5$. En pratique, sa presse frapperait trop faiblement et la pièce serait mal emboutie.