Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : les opérations sur les fonctions

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des opérations sur les fonctions du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : somme, différence, produit, quotient, composition et décomposition.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

La règle du résultat est la partie facile, c'est son DOMAINE qui coûte des points. Le domaine d'une opération n'est jamais plus grand que celui des deux fonctions de départ, et il est souvent plus petit.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les paramètres des fonctions Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
3Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
4La factorisationSecondaire 4 TS
5La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
6La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
7Les paramètres des fonctions

L'essentiel

Les quatre opérations, et le domaine qui rétrécit

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , et de même pour la différence, le produit et le quotient : tout se fait POINT PAR POINT, à la même abscisse.
• Le domaine du résultat est inclus dans l'INTERSECTION des deux domaines : pour combiner deux ordonnées, il faut que les deux existent.
• Pour un quotient, on retire EN PLUS les zéros du dénominateur. Échanger numérateur et dénominateur change donc le domaine : $\dfrac{f}{g}$ et $\dfrac{g}{f}$ n'ont pas le même.
• Une simplification n'efface jamais une valeur interdite : $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=x+3$ POUR $x\neq 3$ , et la courbe garde un trou.

La composition, un montage en série

• $(f\circ g)(x)=f\!\left(g(x)\right)$ se lit de DROITE à GAUCHE : $g$ travaille d'abord, sa sortie entre dans $f$ .
• On remplace la variable de $f$ par l'expression ENTIÈRE de $g$ , entre parenthèses. Sans elles, la règle est fausse partout.
• Elle n'est PAS commutative : un seul nombre suffit à le prouver, et l'ordre s'interprète comme un montage, percer puis tarauder n'est pas tarauder puis percer.
• Elle n'est pas non plus un produit : le rond n'est pas un point. $(f\circ g)(2)$ et $(f\cdot g)(2)$ n'ont aucune raison de coïncider.

Le schéma dit l'ordre mieux que la notation : la fonction écrite à droite du rond est celle qui travaille en premier.

Les deux conditions du domaine d'une composée

• PREMIÈRE condition : $g(x)$ doit exister, donc $x$ appartient au domaine de $g$ .
• SECONDE condition : la valeur $g(x)$ doit appartenir au domaine de $f$ . C'est celle qu'on oublie, et elle perce parfois un trou au milieu d'un intervalle.
• Le domaine peut être VIDE : si l'image de $g$ ne rencontre jamais le domaine de $f$ , la composée n'existe pour aucun $x$ .
• DÉCOMPOSER, c'est l'opération inverse : on lit de l'intérieur vers l'extérieur, et ce qui est sous le radical, dans la parenthèse ou dans l'exposant est la fonction intérieure. La décomposition n'est jamais unique.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre la composition pour un produit

toute la question, et souvent tout un exercice

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(f\circ g)(x)=f(x)\times g(x)$

Ce qu'il faut écrire

$(f\circ g)(x)=f\!\left(g(x)\right)$

Pourquoi : Contre-exemple avec $f(x)=2x-3$ et $g(x)=x^{2}+1$ : le produit en $x=2$ vaut $1\times 5=5$ , la composée vaut $f(5)=7$ . Le rond signifie « évaluée en », il ne remplace aucun signe d'opération.

2. Oublier les parenthèses en substituant

toute la question, la règle étant fausse d'une constante partout

Ce qu'il ne faut pas écrire

Avec $f(x)=2x-3$ et $g(x)=x^{2}+1$ : $(f\circ g)(x)=2x^{2}+1-3$

Ce qu'il faut écrire

$2\left(x^{2}+1\right)-3=2x^{2}-1$

Pourquoi : Le coefficient $2$ multiplie l'expression ENTIÈRE de $g$ , pas seulement son premier terme. Contrôle en $x=0$ : la bonne composée vaut $f(1)=-1$ , la fausse vaut $-2$ . Un seul nombre suffit à détecter l'oubli.

3. Donner le domaine d'une somme comme une réunion

1 à 2 points, et un tracé qui déborde à gauche

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{x-4}+(x-5)$ est définie sur $\mathbb{R}$ , puisque $x-5$ l'est

Ce qu'il faut écrire

Domaine $[4\,;+\infty[$ , l'intersection des deux

Pourquoi : Pour additionner deux ordonnées, il faut que les DEUX existent. En $x=0$ , le radical n'a aucune valeur, donc la somme non plus. L'intersection est toujours la règle, la réunion ne l'est jamais.

4. Ne poser qu'une condition sur le domaine d'une composée

2 points, et une valeur interdite invisible au milieu du domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $\dfrac{1}{\sqrt{x-4}-3}$ , le domaine est $[4\,;+\infty[$

Ce qu'il faut écrire

$[4\,;13[\ \cup\ ]13\,;+\infty[$

La première condition ferme la droite à gauche, en

4

. La seconde y perce un trou, en

13

, au beau milieu de ce qui restait.

Pourquoi : Il faut que $g(x)$ existe, et AUSSI que $g(x)$ appartienne au domaine de $f$ . Ici $\sqrt{x-4}=3$ pour $x=13$ , ce qui annule le dénominateur. Le trou est au milieu de l'intervalle, invisible si l'on ne pose pas la seconde condition.

5. Inverser l'ordre d'une composée sur un relevé

toute la question, avec un résultat qui semble plausible

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(g\circ f)(1)$ : on lit $g(1)$ , puis on applique $f$

Ce qu'il faut écrire

On lit $f(1)$ , puis on applique $g$

Pourquoi : La fonction écrite à droite du rond travaille en premier. Le remède est d'écrire la valeur INTERMÉDIAIRE : « $f(1)=3$ , puis $g(3)=2$ ». Cette ligne prend trois secondes, prouve la méthode au correcteur et empêche l'inversion.

6. Croire qu'une simplification élargit le domaine

1 à 2 points, et un point de la courbe placé à tort

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$ est définie partout puisqu'elle vaut $x+3$

Ce qu'il faut écrire

$x=3$ reste exclu

Pourquoi : Le domaine se lit sur l'expression de DÉPART. La courbe est la droite $y=x+3$ percée d'un trou au point $(3\,;6)$ : ce n'est pas une asymptote, c'est un point manquant, et rien ne le signale si l'on oublie la condition.

7. Oublier qu'un domaine de composée peut être vide

1 point, et une recherche inutile

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{-1-x^{2}}$ est définie pour les $x$ qui rendent le radicande positif, il y en a sûrement »

Ce qu'il faut écrire

Le radicande vaut au plus $-1$ : le domaine est VIDE

Pourquoi : L'image de $-1-x^{2}$ est $]-\infty\,;-1]$ , et le domaine de la racine carrée est $[0\,;+\infty[$ : les deux ne se rencontrent jamais. C'est exactement ce que dit la seconde condition, et elle se vérifie en comparant une image à un domaine, sans calcul.

Quelle méthode choisir

Quel domaine, selon l'opération

Deux fonctions $f$ et $g$ , de domaines connus

Si SOMME, DIFFÉRENCE ou PRODUIT → L'intersection des deux domaines, sans autre exclusion

Exemple : $\sqrt{x-4}+(x-5)$ : domaine $[4\,;+\infty[$
Si QUOTIENT $\dfrac{f}{g}$ → L'intersection, PRIVÉE des zéros de $g$

Exemple : $\dfrac{\sqrt{x-4}}{x-5}$ : $[4\,;5[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$
Si COMPOSÉE $f\circ g$ → Les $x$ du domaine de $g$ tels que $g(x)$ appartient au domaine de $f$

Exemple : $\dfrac{1}{\sqrt{x-4}-3}$ : $[4\,;13[\ \cup\ ]13\,;+\infty[$
Si L'image de $g$ ne rencontre PAS le domaine de $f$ → Domaine vide : la composée n'existe pour aucun $x$

Exemple : $\sqrt{-1-x^{2}}$

Dans tous les cas, le domaine du résultat est inclus dans l'intersection des deux domaines de départ. Il ne peut jamais être plus grand, même quand la règle réduite semble définie partout.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger le domaine d'une composée

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'une composée contient un radical, un dénominateur ou un logarithme

1 Écrire le domaine de la fonction intérieure, et le justifier.
2 Écrire la condition portant sur $g(x)$ , c'est-à-dire ce que la fonction extérieure interdit.
3 Résoudre cette condition EN $x$ , et non en $g(x)$ .
4 Réunir les deux conditions et donner le domaine en intervalles, unions comprises.
5 Vérifier une valeur exclue en la remplaçant dans la composée.

Phrase de conclusion

« $g(x)=\sqrt{x-4}$ existe pour $x\ge 4$ . La fonction $f$ interdit $3$ , donc il faut $\sqrt{x-4}\neq 3$ , c'est-à-dire $x\neq 13$ . Le domaine est $[4\,;13[\ \cup\ ]13\,;+\infty[$ . Contrôle : en $x=13$ , le dénominateur vaut $3-3=0$ . »

Le piège : Résoudre la seconde condition en $g(x)$ et s'arrêter là, en écrivant « $g(x)\neq 3$ » comme réponse. Le domaine se donne toujours en $x$ , et c'est la traduction qui est évaluée.

Barème : 1 point pour le domaine de l'intérieure, 1 point pour la condition posée, 1 point pour sa résolution en $x$ , 1 point pour l'écriture en intervalles. Une réponse correcte sans les deux conditions écrites plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Recalculer par étapes

Toute composée se vérifie en repassant par la valeur intermédiaire, sans utiliser la règle réduite. Les deux chemins doivent concorder.

$(f\circ g)(2)$ avec la règle réduite $2x^{2}-1$ donne $7$ ; par étapes, $g(2)=5$ puis $f(5)=7$ .
Tester l'ordre avec un seul nombre

Si l'on hésite entre $f\circ g$ et $g\circ f$ , calculer les deux en un point simple tranche immédiatement.

En $x=2$ : $f\circ g$ donne $7$ , $g\circ f$ donne $2$ .
Vérifier chaque valeur exclue

Remplacer la valeur exclue dans l'expression de départ doit produire une division par zéro ou un radical négatif. Sinon, l'exclusion est une invention.

En $x=13$ , $\sqrt{13-4}-3=0$ : le dénominateur s'annule bien.
Comparer une image à un domaine

Avant tout calcul, regarder si l'image de la fonction intérieure rencontre le domaine de l'extérieure. C'est ce qui détecte un domaine vide.

L'image de $-1-x^{2}$ est $]-\infty\,;-1]$ , et la racine carrée demande $[0\,;+\infty[$ : aucune rencontre.

L'exercice type décortiqué

Une chaîne de deux appareils, règle et domaine

Un capteur transforme une température $T$ en tension selon $U(T)=0{,}04T+0{,}5$ , pour $T$ entre $-20$ et $120$ degrés Celsius. Un afficheur transforme la tension en un nombre selon $N(U)=250(U-0{,}5)$ . Donnez la règle et le domaine de la chaîne complète, puis la valeur affichée pour $35$ degrés.

La chaîne complète est une droite de pente

10

: un degré de plus fait monter l'affichage de dix unités. Les trois points marqués sont les deux bornes du domaine et la lecture à

35

degrés.

Étape 1

$N\!\left(U(T)\right)=250\left(0{,}04T+0{,}5-0{,}5\right)=250\times 0{,}04T=10T$ .

Pourquoi

On remplace la variable de $N$ par l'expression entière de $U$ . Les deux termes constants s'annulent, ce qui est le principe même d'un étalonnage : l'afficheur retire le décalage du capteur.

Étape 2

Première condition : $T$ entre $-20$ et $120$ , imposée par le capteur.

Pourquoi

C'est le domaine de la fonction intérieure, et il vient ici du matériel et non des mathématiques. Un domaine peut être imposé par le contexte, et il faut le dire.

Étape 3

Seconde condition : $U(T)$ doit appartenir au domaine de $N$ , qui est $\mathbb{R}$ . Aucune restriction supplémentaire.

Pourquoi

La seconde condition doit être POSÉE même quand elle ne retire rien : c'est elle que le barème cherche, et dans d'autres montages elle percerait un trou.

Étape 4

Domaine $[-20\,;120]$ , image $[-200\,;1200]$ .

Pourquoi

La chaîne $N(T)=10T$ est croissante, donc l'image se lit aux deux bornes du domaine. Une image se déduit du domaine dès que la fonction est monotone.

Étape 5

$N(35)=350$ . Contrôle par étapes : $U(35)=1{,}9$ volt, puis $250\times 1{,}4=350$ .

Pourquoi

Les deux chemins concordent, ce qui valide la règle réduite. Le calcul par étapes est aussi celui qui a un sens physique : la tension intermédiaire existe vraiment dans le câble.

Conclusion rédigée

La chaîne vaut $N(T)=10T$ , de domaine $[-20\,;120]$ degrés Celsius et d'image $[-200\,;1200]$ ; à $35$ degrés, l'afficheur indique $350$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Brancher les appareils dans l'autre sens et calculer $U\!\left(N(T)\right)$ , ce qui donnerait $345{,}5$ pour $35$ degrés. Le résultat est absurde, et l'unité le dit avant le calcul : on entrerait des degrés dans un appareil qui attend des volts.

À savoir par cœur

• Les opérations se font point par point, à la même abscisse.
• Domaine du résultat : dans l'INTERSECTION, jamais la réunion.
• Quotient : on retire en plus les zéros du dénominateur.
• Une simplification n'efface pas une valeur interdite.
• $(f\circ g)(x)=f\!\left(g(x)\right)$ : $g$ travaille d'abord.
• On substitue l'expression ENTIÈRE, entre parenthèses.
• La composition n'est ni commutative ni un produit.
• Composée : deux conditions, et la seconde peut vider le domaine.
• Décomposer, c'est lire de l'intérieur vers l'extérieur.
• Sur un relevé, écrire la valeur intermédiaire.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le produit et la composition de deux fonctions ?

Le produit multiplie les deux ordonnées obtenues à la même abscisse. La composition, elle, utilise la sortie de la première fonction comme entrée de la seconde : rien n'est multiplié. Le symbole en rond se lit « évaluée en », et un seul exemple numérique suffit à montrer que les deux résultats n'ont rien à voir.

Pourquoi le domaine d'une somme est-il une intersection et non une réunion ?

Parce qu'il faut pouvoir calculer les deux valeurs pour les additionner. Si l'une des deux fonctions n'existe pas en un point, la somme n'y existe pas non plus, même si l'autre est parfaitement définie. Le domaine du résultat ne peut donc pas être plus grand que le plus petit des deux domaines de départ.

Quelles conditions faut-il poser pour le domaine d'une composée ?

Deux. La première est que la fonction intérieure existe au point considéré. La seconde est que la valeur qu'elle produit soit acceptée par la fonction extérieure. C'est cette seconde condition qu'on oublie le plus souvent, et elle peut percer un trou au milieu d'un intervalle, voire rendre le domaine complètement vide.

La décomposition d'une fonction est-elle unique ?

Non. Une même fonction peut souvent s'écrire comme composée de plusieurs façons, et toutes sont justes si la vérification par composition redonne la fonction de départ. Certaines sont toutefois plus utiles que d'autres : celle qui isole une fonction extérieure croissante permet de raisonner sur le minimum ou le maximum sans aucun calcul.

Comment éviter d'inverser l'ordre dans une composée ?

En écrivant la valeur intermédiaire. On calcule d'abord la sortie de la fonction écrite à droite du rond, on la note, puis on la donne à l'autre fonction. Cette ligne supplémentaire prend quelques secondes, rend la méthode visible au correcteur et supprime la principale source d'erreur du chapitre.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les opérations sur les fonctions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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La fonction réciproque

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