Exercices corrigés : les opérations sur les fonctions (math TS, secondaire 5)

$(f+g)(x)=(2x-3)+(x^{2}+1)=x^{2}+2x-2$. $(f-g)(x)=(2x-3)-(x^{2}+1)=2x-3-x^{2}-1=-x^{2}+2x-4$. Attention au signe : la parenthèse du second se distribue en entier, le $+1$ devient $-1$. Les deux fonctions de départ sont des polynômes, définis sur $\mathbb{R}$, donc les deux résultats aussi. Vérification en $x=2$ : $f(2)=1$, $g(2)=5$, et $4+4-2=6=1+5$.

$(f\cdot g)(x)=(2x-3)(x^{2}+1)=2x^{3}+2x-3x^{2}-3=2x^{3}-3x^{2}+2x-3$. Domaine $\mathbb{R}$. Vérification en $x=2$ : $1\times 5=5$, et $16-12+4-3=5$.

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{2x-3}{x^{2}+1}$. Le dénominateur $x^{2}+1$ vaut au moins $1$ : il ne s'annule JAMAIS, donc aucune valeur n'est interdite et le domaine reste $\mathbb{R}$. C'est le cas agréable, et il faut le justifier plutôt que de l'affirmer.

$\left(\dfrac{g}{f}\right)(x)=\dfrac{x^{2}+1}{2x-3}$. Cette fois le dénominateur s'annule : $2x-3=0$ donne $x=\dfrac{3}{2}$, valeur à exclure. Le domaine est $\mathbb{R}$ privé de $\dfrac{3}{2}$. La différence avec c) tient à une seule chose : dans un quotient, ce sont les zéros du DÉNOMINATEUR qui comptent, donc échanger numérateur et dénominateur change le domaine. Écrire le même domaine pour $\dfrac{f}{g}$ et $\dfrac{g}{f}$ est l'erreur la plus fréquente de l'exercice.

$\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, mais SEULEMENT pour $x\neq 3$. Le domaine est $\mathbb{R}$ privé de $3$. La règle réduite, $x+3$, est définie partout ; le quotient, lui, ne l'est pas, et c'est le quotient qu'on étudie. Graphiquement, la droite $y=x+3$ est percée d'un trou au point $(3\,;6)$.

Domaine de $s$ : $x\ge 4$. Domaine de $t$ : $\mathbb{R}$. Pour $\dfrac{s}{t}$, on garde $[4\,;+\infty[$ et l'on retire les zéros de $t$, c'est-à-dire $5$ : le domaine est $[4\,;5[\ \cup\ ]5\,;+\infty[$. Pour $\dfrac{t}{s}$, on garde $[4\,;+\infty[$ et l'on retire les zéros de $s$, c'est-à-dire $4$ : le domaine est $]4\,;+\infty[$. Le même couple de fonctions donne donc deux domaines différents selon le sens du quotient.

Domaine de $u$ : $\mathbb{R}$ privé de $-2$. Domaine de $v$ : $\mathbb{R}$. Pour le produit comme pour la somme, on garde l'INTERSECTION des deux domaines, sans autre exclusion, puisqu'il n'y a pas de nouveau dénominateur : les deux domaines valent $\mathbb{R}$ privé de $-2$. Attention, $u\cdot v=\dfrac{x-1}{x+2}$ semble défini partout sauf en $-2$, et c'est bien le cas ; mais si le produit s'était simplifié, comme en a), la valeur interdite serait restée.

Non, jamais. Une opération se calcule point par point : pour évaluer $(f+g)(x)$, il faut que $f(x)$ ET $g(x)$ existent. Le domaine du résultat est donc toujours INCLUS dans l'intersection des deux domaines, et le quotient y retire encore les zéros du dénominateur. Il peut être plus petit, jamais plus grand, même quand la règle réduite semble définie partout. C'est la règle qui explique tous les cas précédents.

$(f\circ g)(x)=f\!\left(g(x)\right)=2\left(x^{2}+1\right)-3=2x^{2}+2-3=2x^{2}-1$. On remplace la VARIABLE de $f$ par l'expression entière de $g$, parenthèses comprises : oublier les parenthèses donnerait $2x^{2}+1-3$, c'est-à-dire une erreur de $2$ sur toute la règle.

$(g\circ f)(x)=g\!\left(f(x)\right)=(2x-3)^{2}+1=4x^{2}-12x+9+1=4x^{2}-12x+10$. Ici c'est l'expression de $f$ qui entre dans le carré, et le développement du carré d'une différence doit être complet, double produit compris.

$(f\circ g)(2)=2\times 4-1=7$, ou par étapes, $g(2)=5$ puis $f(5)=7$. $(g\circ f)(2)=4\times 4-24+10=2$, ou par étapes, $f(2)=1$ puis $g(1)=2$. Les deux résultats diffèrent : la composition n'est PAS commutative, et un seul nombre suffit à le prouver. Le calcul par étapes est plus sûr que la règle réduite, et c'est celui qu'il faut faire en vérification.

On résout $2x^{2}-1=4x^{2}-12x+10$, donc $0=2x^{2}-12x+11$. Discriminant : $144-88=56$, donc $x=\dfrac{12\pm\sqrt{56}}{4}=\dfrac{12\pm 2\sqrt{14}}{4}=\dfrac{6\pm\sqrt{14}}{2}$, soit environ $4{,}871$ et $1{,}129$. Il existe donc deux abscisses où les deux montages donnent la même sortie, et elles n'ont rien de remarquable : les deux composées sont deux paraboles distinctes qui se croisent en deux points, comme deux courbes ordinaires.

$(f\circ g)(x)=f\!\left(\sqrt{x-4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x-4}-3}$. On remplace la variable de $f$ par l'expression de $g$, y compris dans le dénominateur.

Première condition, $g(x)$ doit exister : $x-4\ge 0$, donc $x\ge 4$. Seconde condition, $g(x)$ doit appartenir au domaine de $f$, c'est-à-dire être différent de $3$ : $\sqrt{x-4}\neq 3$, donc $x-4\neq 9$ et $x\neq 13$. Le domaine est $[4\,;13[\ \cup\ ]13\,;+\infty[$. Vérification en $x=13$ : le dénominateur vaut $3-3=0$, la composée n'existe effectivement pas.

$(g\circ f)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-3}-4}$. Conditions : $x\neq 3$ pour que $f(x)$ existe, et $\dfrac{1}{x-3}\ge 4$ pour que le radicande soit positif. Cette inéquation rationnelle se résout par un seul quotient : $\dfrac{1}{x-3}-4=\dfrac{1-4(x-3)}{x-3}=\dfrac{13-4x}{x-3}\ge 0$, dont le tableau de signes donne $3<x\le\dfrac{13}{4}$. Le domaine est $\left]3\,;\dfrac{13}{4}\right]$, un intervalle minuscule, et c'est le genre de résultat qu'on ne devine pas : il se calcule.

Prenons $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=-1-x^{2}$. Alors $(f\circ g)(x)=\sqrt{-1-x^{2}}$, et le radicande vaut au plus $-1$ pour tout réel : il n'est jamais positif. Le domaine est donc VIDE, et la composée n'existe pour aucun $x$. Cela arrive chaque fois que l'image de $g$ ne rencontre pas le domaine de $f$, et c'est la traduction exacte de la seconde condition.

L'intérieur est ce qui se trouve sous le radical : $g(x)=3x+5$, et l'extérieur est la racine carrée, $f(u)=\sqrt{u}$. Vérification : $f\!\left(g(x)\right)=\sqrt{3x+5}$.

L'intérieur est la parenthèse, $g(x)=2x-1$, l'extérieur le cube, $f(u)=u^{3}$. Vérification en $x=2$ : $g(2)=3$ et $3^{3}=27$, ce qui est bien $(4-1)^{3}$.

L'intérieur est le dénominateur entier, $g(x)=x^{2}+1$, et l'extérieur $f(u)=\dfrac{4}{u}$. Prendre $g(x)=x^{2}$ et $f(u)=\dfrac{4}{u+1}$ fonctionne aussi : une décomposition n'est jamais unique, et une réponse différente de la mienne peut être juste, à condition qu'elle se vérifie par composition.

Première décomposition : $g(x)=(x-2)^{2}+9$ et $f(u)=\sqrt{u}$. Seconde : $g(x)=x-2$ et $f(u)=\sqrt{u^{2}+9}$. La PREMIÈRE est la plus utile pour le minimum : la racine carrée est croissante, donc $M$ est minimale exactement là où l'intérieur l'est, c'est-à-dire en $x=2$, où l'intérieur vaut $9$ et $M$ vaut $3$. Raisonner sur la fonction intérieure, en s'appuyant sur la croissance de l'extérieure, évite tout calcul : c'est le vrai intérêt de la décomposition.

$(f+g)(2)=f(2)+g(2)=6+1=7$. $(f-g)(4)=f(4)-g(4)=0-3=-3$. $(f\cdot g)(1)=f(1)\times g(1)=3\times 2=6$. Chaque opération se fait à la MÊME abscisse : on lit deux ordonnées et on les combine, rien de plus.

$\left(\dfrac{g}{f}\right)(3)=\dfrac{g(3)}{f(3)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. En $x=4$, $f(4)=0$ : le dénominateur s'annule, donc le quotient n'existe pas en ce point. La valeur $4$ est exclue du domaine du quotient, exactement comme une valeur interdite d'une expression rationnelle.

$(g\circ f)(1)$ : d'abord $f(1)=3$, puis $g(3)=2$. Résultat $2$. $(f\circ g)(0)$ : d'abord $g(0)=4$, puis $f(4)=0$. Résultat $0$. On lit toujours l'intérieur en premier, et l'on écrit la valeur intermédiaire : c'est elle qui permet au correcteur de suivre, et à l'élève de ne pas inverser l'ordre.

$(f\circ f)(3)$ : $f(3)=4$, puis $f(4)=0$. Résultat $0$. Pour $(g\circ f)(6)$ : $f(6)=-2$, et il faudrait donc lire $g(-2)$, or la courbe de $g$ ne commence qu'en $x=0$. La valeur $-2$ n'appartient pas au domaine de $g$, donc $6$ n'appartient pas au domaine de $g\circ f$. C'est la seconde condition du domaine d'une composée, vue sur des données réelles.

$(f\circ g)(x)=(2x+1)^{2}-5$. L'équation devient $(2x+1)^{2}=9$, donc $2x+1=3$ ou $2x+1=-3$, c'est-à-dire $x=1$ ou $x=-2$. Vérification : $g(1)=3$ et $f(3)=4$ ; $g(-2)=-3$ et $f(-3)=4$. Les deux conviennent. Résoudre en deux temps, d'abord $g(x)=\pm 3$, donne la même chose plus vite que de développer.

$(g\circ f)(x)=2\left(x^{2}-5\right)+1=2x^{2}-9$. L'équation devient $2x^{2}=13$, donc $x^{2}=6{,}5$ et $x=\pm\sqrt{6{,}5}\approx\pm 2{,}550$. Vérification : $f(2{,}550)=1{,}5$ et $g(1{,}5)=4$.

$(2x+1)^{2}-5=-9$ donne $(2x+1)^{2}=-4$ : aucun carré réel n'est négatif, donc il n'y a AUCUNE solution. On pouvait le voir sans calcul : $f\circ g$ a pour minimum $-5$, atteint quand $2x+1=0$, donc elle ne descend jamais jusqu'à $-9$.

D'abord parce que $f\circ g$ et $g\circ f$ sont deux fonctions DIFFÉRENTES, l'une valant $(2x+1)^{2}-5$ et l'autre $2x^{2}-9$ : rien n'oblige deux fonctions différentes à prendre la valeur $4$ le même nombre de fois. Ici les deux en ont deux, mais des solutions sans rapport. Pour voir une vraie différence de comptage, il suffit de changer la cible : à $-9$, la première n'a aucune solution, la seconde en a deux, puisque $2x^{2}-9=-9$ donne $x=0$, une seule. Le bon réflexe est donc de comparer les IMAGES des deux composées avant de compter.

$N\!\left(U(T)\right)=250\left(0{,}04T+0{,}5-0{,}5\right)=250\times 0{,}04T=10T$. La chaîne complète est donc simplement $N(T)=10T$ : l'afficheur retire exactement le décalage introduit par le capteur, et multiplie par $250$ la pente de $0{,}04$. C'est ainsi que sont calibrées les chaînes de mesure, et la composition le démontre en une ligne.

Pour $T=35$ : $N=10\times 35=350$. On peut aussi passer par la tension, $U=0{,}04\times 35+0{,}5=1{,}9$ volt, puis $N=250(1{,}9-0{,}5)=250\times 1{,}4=350$ : les deux chemins concordent, et le second est la vérification. Pour $T=-20$ : $N=-200$, avec une tension intermédiaire de $0{,}04\times(-20)+0{,}5=-0{,}3$ volt.

Le domaine est imposé par la garantie du capteur : $[-20\,;120]$ degrés Celsius. Comme $N(T)=10T$ est croissante, l'image est $[-200\,;1200]$. Le domaine d'une chaîne est celui du PREMIER appareil, restreint par ce que le second accepte ; ici l'afficheur accepte toutes les tensions, donc la restriction vient du seul capteur.

$N(35)=10\times 35$ ne s'applique pas ici : dans le montage inversé, c'est $N$ qui reçoit la température, donc $N(35)=250(35-0{,}5)=250\times 34{,}5=8625$, puis $U(8625)=0{,}04\times 8625+0{,}5=345{,}5$. Le nombre n'a aucun sens : on a entré des degrés Celsius dans un appareil qui attend des VOLTS, et l'on obtient une tension de $345$ volts pour une pièce à $35$ degrés. C'est exactement ce que dit la non-commutativité de la composition, et en atelier cela se voit à l'unité, avant même le calcul. Vérifier les unités à chaque branchement est le contrôle qui coûte cinq secondes et sauve un montage.

Les pièces conformes sont les produites moins les rebutées : $C(t)=P(t)-R(t)=120t-2t^{2}$. Le taux de conformité est le quotient des conformes par les produites : $\tau(t)=\dfrac{C(t)}{P(t)}=\dfrac{120t-2t^{2}}{120t}$. Une différence et un quotient, les deux opérations du chapitre, sur le même couple de fonctions.

On met $t$ en évidence au numérateur : $\tau(t)=\dfrac{t(120-2t)}{120t}=\dfrac{120-2t}{120}=1-\dfrac{t}{60}$. Le domaine exclut $t=0$, zéro du dénominateur, ET il se limite au contexte : un taux n'a de sens que s'il reste positif, donc $1-\dfrac{t}{60}>0$ et $t<60$. Le domaine utile est $]0\,;60[$. La valeur $t=0$ est exclue parce que le quotient y prend la forme $\dfrac{0}{0}$ : au démarrage, aucune pièce n'a été produite, donc le RAPPORT n'existe pas, même si la production, elle, démarre bien à zéro. C'est une exclusion de nature mathématique et non physique, et elle mérite une phrase.

$\tau(8)=1-\dfrac{8}{60}=\dfrac{52}{60}=\dfrac{13}{15}\approx 0{,}867$, soit environ $86{,}7\%$. $\tau(20)=1-\dfrac{20}{60}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$, soit environ $66{,}7\%$. Contrôle direct : à $20$ heures, $P=2400$ pièces et $R=800$, donc $1600$ conformes, et $\dfrac{1600}{2400}=\dfrac{2}{3}$.

On résout $1-\dfrac{t}{60}=0{,}75$, donc $\dfrac{t}{60}=0{,}25$ et $t=15$ heures. La ligne produit plus de rebuts que de conformes quand $R(t)>C(t)$, c'est-à-dire $2t^{2}>120t-2t^{2}$, soit $4t^{2}>120t$ et, en divisant par $4t$ qui est positif, $t>30$ heures. Autrement dit, le taux passe sous $50\%$ à partir de $30$ heures, ce que la règle confirme : $\tau(30)=1-0{,}5=0{,}5$. Aucun atelier ne laisse tourner une ligne jusque-là, et c'est bien le propos : le modèle sert à fixer l'heure d'arrêt.