Exercices corrigés : la fonction quadratique de sommet à l'origine (math TS, secondaire 4)

a) On calcule : $f(-3)=18$, $f(-2)=8$, $f(-1)=2$, $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=8$, $f(3)=18$. La table est SYMÉTRIQUE : $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$, puisque le carré efface le signe. Le sommet est donc le point $(0\,;0)$ et l'axe de symétrie est la droite d'équation $x=0$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées. Toutes les paraboles de ce chapitre ont le même sommet et le même axe : c'est ce qui rend le paramètre unique.

b) $g(-3)=-4{,}5$, $g(-2)=-2$, $g(-1)=-0{,}5$, $g(0)=0$, $g(1)=-0{,}5$, $g(2)=-2$, $g(3)=-4{,}5$. Même symétrie, même sommet, même axe. La seule différence est que TOUTES les valeurs sont négatives ou nulles : la parabole s'ouvre vers le bas. L'erreur à éviter est d'écrire $g(-2)=2$ : le carré donne $4$, et c'est le facteur $-\dfrac{1}{2}$ qui produit le signe moins.

c) Le SIGNE de $a$ décide du sens d'ouverture : positif, la parabole s'ouvre vers le HAUT et le sommet est un minimum ; négatif, elle s'ouvre vers le BAS et le sommet est un maximum. La VALEUR ABSOLUE de $a$ décide de l'ouverture : plus $|a|$ est GRAND, plus la parabole est ÉTROITE, parce que la même abscisse produit une ordonnée plus grande. Les deux rôles sont indépendants, et les confondre est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

d) On remplace : $12=a\times 2^{2}=4a$, donc $a=3$ et la règle est $f(x)=3x^{2}$. Vérification : $3\times 4=12$. Un point suffit, parce que le sommet est déjà connu, à l'origine : c'est toute la différence avec une parabole de sommet quelconque, qui demande trois points.

e) UN seul point suffit, à condition qu'il ne soit pas l'origine. Si le point donné est $(0\,;0)$, l'équation devient $0=a\times 0$, vraie pour TOUTE valeur de $a$ : elle n'apprend rien, puisque toutes les paraboles du chapitre passent déjà par l'origine. Il faut donc un point d'abscisse non nulle, et un seul suffit alors.

a) $45=a\times 3^{2}=9a$, donc $a=5$ et $f(x)=5x^{2}$. Vérification : $5\times 9=45$. Le dénominateur est le CARRÉ de l'abscisse, jamais l'abscisse elle-même : diviser $45$ par $3$ donnerait $15$, et la parabole $15x^{2}$ passerait par $(3\,;135)$.

b) $-8=a\times(-4)^{2}=16a$, donc $a=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$ et $f(x)=-0{,}5x^{2}$. L'abscisse est négative mais son CARRÉ est positif : c'est l'ordonnée négative, et elle seule, qui rend $a$ négatif. Vérification : $-0{,}5\times 16=-8$.

c) $3=a\times 0{,}5^{2}=0{,}25a$, donc $a=\dfrac{3}{0{,}25}=12$ et $f(x)=12x^{2}$. Diviser par un nombre plus petit que $1$ AUGMENTE le résultat, ce qui surprend souvent : une parabole qui monte déjà à $3$ en $x=0{,}5$ est forcément très étroite. Vérification : $12\times 0{,}25=3$.

d) Oui, exactement la même. Avec $(2\,;7)$ : $a=\dfrac{7}{4}=1{,}75$. Avec $(-2\,;7)$ : $a=\dfrac{7}{(-2)^{2}}=\dfrac{7}{4}=1{,}75$. C'est la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées : deux points d'abscisses opposées portent toujours la même information. Un tel couple ne vaut donc qu'UN point, et il ne permettrait pas de déterminer une parabole de sommet quelconque.

e) Avec $(1\,;4)$ : $a=\dfrac{4}{1}=4$. Avec $(2\,;8)$ : $a=\dfrac{8}{4}=2$. Les deux valeurs diffèrent, donc aucune parabole de la forme $y=ax^{2}$ ne passe par les deux points : c'est impossible. On peut le dire autrement : dans un modèle en $ax^{2}$, doubler $x$ QUADRUPLE $y$, or ici $y$ n'a fait que doubler. Cette relation entre les deux points est un test plus rapide que le calcul de $a$.

a) Le domaine est l'ensemble des réels pour les DEUX : un carré se calcule pour tout $x$, et rien n'est interdit. Les images diffèrent. Pour $f$, le facteur $3$ est positif, donc $3x^{2}\ge 0$ : l'image est $[0\,;+\infty[$. Pour $g$, le facteur $-2$ est négatif, donc $-2x^{2}\le 0$ : l'image est $]-\infty\,;0]$. Le crochet est FERMÉ en $0$ dans les deux cas, la valeur $0$ étant atteinte en $x=0$.

b) Un seul zéro chacune, et c'est $x=0$. On le résout : $3x^{2}=0$ donne $x^{2}=0$, donc $x=0$, une racine double. Répondre « deux zéros » est l'erreur du chapitre : une parabole de sommet à l'origine TOUCHE l'axe des abscisses au lieu de le traverser, donc elle n'a qu'un point commun avec lui. C'est aussi ce que montre la figure.

c) $f$ est POSITIVE sur tout son domaine, et nulle seulement en $0$ : on écrit « $f(x)>0$ pour $x\neq 0$, et $f(0)=0$ ». $g$ est NÉGATIVE partout sauf en $0$, où elle s'annule. Aucune des deux ne change de signe, ce qui est la conséquence directe du zéro unique : sans traversée de l'axe, pas de changement de signe.

d) Pour $f$ : décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$. Pour $g$ : l'inverse, croissante sur $]-\infty\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;+\infty[$. Le point de retournement est le sommet dans les deux cas, et le $0$ appartient aux DEUX intervalles, ce qui est la convention attendue : on écrit des crochets fermés.

e) $f$ a un MINIMUM, qui vaut $0$ et qui est atteint en $x=0$. $g$ a un MAXIMUM, qui vaut aussi $0$ et qui est atteint en $x=0$. C'est le signe de $a$ qui décide, et c'est la seule chose à retenir : $a>0$ donne un minimum, $a<0$ donne un maximum. Attention à ne pas confondre l'extremum, qui est une ORDONNÉE, avec le point où il est atteint, qui est une abscisse.

a) Les trois points marqués ont tous pour abscisse $2$, et leurs ordonnées valent $12$, $4$ et $1$. Or $3\times 2^{2}=12$, $1\times 2^{2}=4$ et $0{,}25\times 2^{2}=1$. La courbe A est donc $y=3x^{2}$, la B est $y=x^{2}$ et la C est $y=0{,}25x^{2}$. Lire UNE valeur sur chaque courbe suffit à l'identifier : c'est exactement la méthode de l'exercice 2, appliquée trois fois.

b) La plus ouverte est la C, $y=0{,}25x^{2}$, celle dont $|a|$ est le plus PETIT. Le raisonnement tient en une phrase : pour une même abscisse, un $a$ petit donne une ordonnée petite, donc la courbe monte lentement et s'écarte peu de l'axe des abscisses. L'intuition inverse, « grand coefficient, grande ouverture », est l'erreur la plus fréquente, et la figure la corrige d'un coup d'oeil.

c) Elles se rencontrent à l'ORIGINE, et nulle part ailleurs. Deux d'entre elles se rencontrent là où $a_{1}x^{2}=a_{2}x^{2}$, c'est-à-dire $(a_{1}-a_{2})x^{2}=0$ : comme les coefficients sont différents, il reste $x^{2}=0$ et donc $x=0$. Toutes les paraboles du chapitre passent par l'origine et par elle seule en commun.

d) La courbe de $y=-x^{2}$ est la SYMÉTRIQUE de la courbe B par rapport à l'axe des abscisses : pour chaque $x$, les deux ordonnées sont opposées. Changer le signe de $a$ retourne donc la parabole sans modifier son ouverture, puisque $|a|$ n'a pas changé. C'est la séparation des deux rôles, vue à l'exercice 1.

e) On compare les VALEURS ABSOLUES : $|5|=5$, $|-3|=3$ et $|0{,}1|=0{,}1$. De la plus étroite à la plus ouverte : $y=5x^{2}$, puis $y=-3x^{2}$, puis $y=0{,}1x^{2}$. Le signe négatif de la deuxième ne la rend ni plus étroite ni plus ouverte : il la retourne seulement, et la question ne portait pas sur le sens d'ouverture.

a) On échange : $x=4y^{2}$. On isole : $y^{2}=\dfrac{x}{4}$, donc $y=\pm\sqrt{\dfrac{x}{4}}=\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$. Le double signe est obligatoire, c'est la règle vue au chapitre des équations : $y^{2}=k$ donne deux solutions opposées. C'est lui qui fait toute la question.

b) Parce qu'un même $x$ y correspond à DEUX valeurs de $y$. Par exemple $x=16$ donne $y=2$ et $y=-2$, puisque $4\times 2^{2}=16$ et $4\times(-2)^{2}=16$ également. Or une fonction associe à chaque valeur de départ UNE seule valeur d'arrivée : la relation obtenue n'est donc qu'une relation, pas une fonction. Graphiquement, la réciproque est la parabole COUCHÉE, et une droite verticale la coupe en deux points.

c) En ne gardant que les $x$ positifs ou nuls, on ne garde que la moitié droite de la parabole, et chaque image n'a plus qu'un seul antécédent. La réciproque est alors $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$, avec le signe PLUS seulement. Son domaine est $[0\,;+\infty[$, qui est l'image de $f$, et son image est $[0\,;+\infty[$, qui est le domaine restreint de $f$. Domaine et image s'ÉCHANGENT, toujours.

d) On part de $x=3$ : $f(3)=4\times 9=36$. On applique la réciproque à ce résultat : $\dfrac{1}{2}\sqrt{36}=\dfrac{1}{2}\times 6=3$. On retombe sur le nombre de départ, ce qui est la définition même d'une réciproque. Ce test en deux calculs vaut une vérification complète, et il se fait sur n'importe quelle valeur du domaine restreint.

e) On échange : $x=-2y^{2}$, donc $y^{2}=-\dfrac{x}{2}$ et, en gardant le signe plus, $g^{-1}(x)=\sqrt{-\dfrac{x}{2}}$. Le domaine est donné par $-\dfrac{x}{2}\ge 0$, c'est-à-dire $x\le 0$, soit $]-\infty\,;0]$ : c'est bien l'image de $g$, comme attendu. Vérification : $g(2)=-8$, et $\sqrt{-\dfrac{-8}{2}}=\sqrt{4}=2$. Le signe moins sous le radical n'est pas une faute : c'est $x$ qui est négatif, donc le radicande est positif.

a) On isole : $x^{2}=\dfrac{48}{3}=16$, donc $x=4$ ou $x=-4$. Les deux solutions sont opposées, ce qui est toujours le cas ici : la parabole étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une droite horizontale la coupe en deux points symétriques. Oublier la solution négative coûte la moitié des points, et c'est l'erreur la plus fréquente de l'exercice.

b) On isole : $x^{2}=\dfrac{-50}{-2}=25$, donc $x=5$ ou $x=-5$. Deux signes moins se simplifient au quotient, ce qui rend $x^{2}$ positif : l'équation a bien des solutions. Le contrôle est immédiat : $-2\times 25=-50$, juste.

c) On isole : $x^{2}=\dfrac{-20}{5}=-4$. Un carré ne peut pas être négatif, donc l'équation n'a AUCUNE solution réelle. On le rédige en une ligne, sans écrire de racine de nombre négatif. Géométriquement, la parabole $y=5x^{2}$ s'ouvre vers le haut et ne descend jamais sous l'axe : la droite $y=-20$ ne la rencontre pas.

d) On multiplie par $4$ : $x^{2}=36$, donc $x=6$ ou $x=-6$. Diviser par $\dfrac{1}{4}$ revient à multiplier par $4$, et c'est le geste que les copies ratent : diviser $9$ par $4$ donnerait $2{,}25$, puis $x=1{,}5$, une réponse qui ne vérifie rien. Contrôle : $\dfrac{1}{4}\times 36=9$.

e) On isole : $x^{2}\le 9$. Un carré est inférieur ou égal à $9$ exactement quand $x$ est compris entre les deux racines : $-3\le x\le 3$, soit $x\in[-3\,;3]$. Autrement dit, $x^{2}\le 9$ équivaut à $|x|\le 3$, et l'on retrouve la lecture en distance du chapitre d'arithmétique. Répondre $x\le 3$ seulement laisse passer tous les nombres très négatifs, dont le carré est énorme : c'est le piège de la question.

a) On calcule les quotients : $\dfrac{3}{1}=3$, $\dfrac{12}{4}=3$, $\dfrac{27}{9}=3$ et $\dfrac{48}{16}=3$. Le quotient est constant et vaut $3$, donc le modèle convient et $y=3x^{2}$. Il faut diviser par le CARRÉ, pas par $x$ : les quotients $\dfrac{y}{x}$ valent ici $3$, $6$, $9$, $12$, qui ne sont pas constants et pourraient faire croire à tort que rien ne marche.

b) Quotients par le carré : $5$, $\dfrac{10}{4}=2{,}5$, $\dfrac{15}{9}\approx 1{,}67$ et $\dfrac{20}{16}=1{,}25$. Ils ne sont pas constants, donc le modèle quadratique ne convient pas. En revanche $\dfrac{y}{x}$ vaut $5$ à chaque ligne : c'est un modèle LINÉAIRE, $y=5x$. La table est bien régulière, mais d'une autre façon.

c) Quotients par le carré : $4$, $\dfrac{7}{4}=1{,}75$, $\dfrac{12}{9}\approx 1{,}33$, $\dfrac{19}{16}\approx 1{,}19$. Ils ne sont pas constants : le modèle $y=ax^{2}$ ne convient pas. Mais en retranchant $3$ à chaque ordonnée, on obtient $1$, $4$, $9$, $16$, c'est-à-dire exactement $x^{2}$. La table suit donc $y=x^{2}+3$ : c'est une quadratique, mais son sommet est en $(0\,;3)$ et non à l'origine, donc elle sort du chapitre.

d) Si $x$ triple, alors $y$ est multiplié par $3^{2}=9$ : $a(3x)^{2}=9ax^{2}=9y$. Le facteur ne dépend ni de $a$ ni de la valeur de départ, ce qui en fait un test très rapide sur une table : dans la table A, $x$ passe de $1$ à $3$ et $y$ passe de $3$ à $27$, soit bien neuf fois plus.

e) Avec $y=3x^{2}$ et $x=10$ : $y=3\times 100=300$. On peut aussi raisonner par facteur : de $x=1$ à $x=10$, l'abscisse est multipliée par $10$, donc l'ordonnée par $100$, et $3\times 100=300$. Les deux chemins se contrôlent l'un l'autre, et le second est utilisable même sans connaître $a$.

a) Faux : elle n'a qu'UN point commun avec l'axe, l'origine. L'équation $ax^{2}=0$ donne $x^{2}=0$, donc $x=0$, une racine double. La parabole TOUCHE l'axe sans le traverser. L'énoncé correct : une parabole de sommet à l'origine a exactement un zéro, et c'est $0$. Deux points communs supposeraient un sommet SOUS l'axe, donc un chapitre de TS 5.

b) Faux, c'est exactement l'inverse. Contre-exemple : en $x=2$, la parabole $y=5x^{2}$ monte à $20$ alors que $y=0{,}1x^{2}$ ne monte qu'à $0{,}4$. La première est donc bien plus serrée autour de son axe. L'énoncé correct : plus $|a|$ est GRAND, plus la parabole est ÉTROITE. Et c'est la valeur absolue qui compte, pas la valeur signée.

c) Faux, il manque la restriction. Contre-exemple : $f(-3)=9$ et $f(3)=9$, donc $9$ a deux antécédents et la réciproque devrait leur associer $-3$ ET $3$, ce qu'aucune fonction ne fait. L'énoncé correct : la réciproque de $f$ RESTREINTE à $[0\,;+\infty[$ est $g(x)=\sqrt{x}$. Sans la restriction, la réciproque n'est qu'une relation.

d) Faux : elles sont ÉGALES. $f(-3)=2\times 9=18$ et $f(3)=2\times 9=18$. L'affirmation confond la fonction et son argument : c'est $x$ qui change de signe, pas son carré. L'énoncé correct : $f(-x)=f(x)$ pour toute fonction $ax^{2}$, ce qui est la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

e) Faux : elle a un maximum, et il vaut $0$. Avec $a<0$, on a $ax^{2}\le 0$ pour tout $x$, et l'égalité est atteinte en $x=0$ : le sommet est donc le point le plus HAUT de la courbe. Il est vrai qu'elle descend indéfiniment, mais descendre sans limite empêche d'avoir un minimum, pas d'avoir un maximum. L'énoncé correct : $a<0$ donne un maximum, $a>0$ donne un minimum, et l'extremum vaut $0$ dans les deux cas.

a) Le diamètre vaut $24$ cm, donc chaque bord est à $12$ cm de l'axe, c'est-à-dire à une abscisse de $12$ ou de $-12$. La profondeur étant de $9$ cm et le fond étant à l'ordonnée $0$, les bords sont à l'ordonnée $9$. Les deux points sont donc $(12\,;9)$ et $(-12\,;9)$. L'erreur du chapitre est de prendre $24$ comme abscisse : le diamètre est la LARGEUR TOTALE, donc le double de l'abscisse d'un bord.

b) On remplace un des deux points dans $y=ax^{2}$ : $9=a\times 12^{2}=144a$, donc $a=\dfrac{9}{144}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$. La règle est $y=\dfrac{x^{2}}{16}$. Le second point donne la même valeur, $(-12)^{2}$ valant aussi $144$ : c'est la symétrie de l'exercice 2. Vérification : $\dfrac{144}{16}=9$.

c) On calcule $y$ pour $x=6$ : $y=\dfrac{36}{16}=2{,}25$ cm. La profondeur est donc de $2{,}25$ cm à mi-chemin de l'axe et du bord. Remarquez qu'elle n'est PAS la moitié de $9$ : diviser l'abscisse par deux divise l'ordonnée par QUATRE, et $\dfrac{9}{4}=2{,}25$. Le miroir est donc beaucoup plus plat près de son axe qu'on ne l'imagine.

d) On résout $\dfrac{x^{2}}{16}=4$, donc $x^{2}=64$ et $x=8$ ou $x=-8$. La profondeur de $4$ cm est atteinte à $8$ cm de l'axe, des deux côtés. Les deux réponses sont à donner : le miroir a deux flancs, et la question porte sur une distance à l'axe, donc $8$ cm suffit comme réponse physique, à condition de dire « de part et d'autre ».

e) La profondeur passe à $4{,}5$ cm pour la même abscisse de bord : $4{,}5=144a$, donc $a=\dfrac{4{,}5}{144}=\dfrac{1}{32}=0{,}03125$. Le paramètre est donc DIVISÉ PAR DEUX, comme la profondeur, ce qui est logique puisque $a$ est proportionnel à $y$ à abscisse fixée. Et comme $|a|$ diminue, la parabole devient plus OUVERTE : un miroir moins profond pour la même ouverture est un miroir plus évasé.

a) Avec $m=250$ : $E=\dfrac{1}{2}\times 250\times v^{2}=125v^{2}$. C'est bien une fonction quadratique de sommet à l'origine, de paramètre $a=125$, positive puisqu'une énergie l'est. À $2$ m/s : $E=125\times 4=500$ joules. À $6$ m/s : $E=125\times 36=4500$ joules. Le domaine physique est $v\ge 0$ : la branche négative de la parabole n'a pas de sens ici, et le dire rapporte le point de contexte.

b) Parce que la vitesse intervient au CARRÉ : $E(3v)=125\times(3v)^{2}=9\times 125v^{2}=9E(v)$. Le facteur $9$ est le carré du facteur $3$, et il ne dépend ni de la masse ni de la vitesse de départ. C'est la même propriété qu'à l'exercice 7, et c'est la raison pour laquelle un chariot lancé trois fois plus vite est neuf fois plus dangereux, pas trois fois.

c) On résout $125v^{2}=8000$, donc $v^{2}=\dfrac{8000}{125}=64$ et $v=8$ m/s, la racine négative étant rejetée par le contexte. Vérification : $125\times 64=8000$. Contrôle de vraisemblance : $8000$ est entre $4500$ et $12\,500$, l'énergie à $10$ m/s, donc $v$ doit être entre $6$ et $10$.

d) On résout l'inéquation $125v^{2}\le 5000$, donc $v^{2}\le 40$. Comme $v\ge 0$, on garde $v\le\sqrt{40}\approx 6{,}32$ m/s. Mathématiquement l'ensemble serait $[-\sqrt{40}\,;\sqrt{40}]$, mais la vitesse est positive : le contexte coupe la moitié de l'intervalle, et cette phrase fait partie de la réponse attendue.