Math TS, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction quadratique de sommet à l'origine

Q: Pourquoi une parabole de sommet à l'origine n'a-t-elle qu'un seul zéro ?

Parce que l'équation obtenue en cherchant les zéros se réduit à x au carré égale zéro, qui n'a qu'une solution, zéro. La courbe touche l'axe des abscisses en son sommet sans le traverser. Deux zéros supposeraient un sommet situé sous l'axe pour une parabole ouverte vers le haut, ce qui n'arrive pas dans ce chapitre.

Q: Est-ce qu'un grand coefficient rend la parabole plus ouverte ?

Non, c'est l'inverse : plus la valeur absolue du coefficient est grande, plus la parabole est étroite. À la même abscisse, un grand coefficient donne une ordonnée plus grande, donc la courbe monte plus vite et se resserre autour de son axe. Le signe, lui, ne change que le sens d'ouverture, pas l'étroitesse.

Q: Combien de points faut-il pour trouver la règle ?

Un seul suffit, à condition qu'il ne soit pas l'origine, puisque le sommet est déjà connu. On divise l'ordonnée par le carré de l'abscisse. Attention, deux points d'abscisses opposées ne donnent qu'une seule information, car la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Q: Pourquoi faut-il restreindre le domaine pour obtenir la réciproque ?

Parce que deux abscisses opposées ont la même image : la valeur neuf, par exemple, a pour antécédents trois et moins trois. La relation réciproque associerait donc deux valeurs à un même nombre, ce qu'une fonction ne fait jamais. En ne gardant que les abscisses positives, chaque image retrouve un seul antécédent.

Q: Comment reconnaître un modèle quadratique dans une table de valeurs ?

Divisez chaque ordonnée par le carré de son abscisse : le quotient doit être constant, et c'est alors le coefficient cherché. Un test plus rapide existe : si vous multipliez l'abscisse par trois, l'ordonnée doit être multipliée par neuf. Si elle n'est multipliée que par trois, le modèle est linéaire.

Cette fiche de révision accompagne la première famille de fonctions du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : la parabole dont le sommet est à l'origine, ses propriétés et sa réciproque.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Quand le sommet est à l'origine, UN seul nombre décrit toute la parabole : son signe dit de quel côté elle s'ouvre, sa valeur absolue dit à quel point elle est étroite, et un seul point suffit à le trouver.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
5Les calculs algébriques et les expressions rationnelles
6La factorisation

L'essentiel

Un seul nombre, deux rôles séparés

• La forme du chapitre est $f(x)=ax^{2}$ , avec $a\neq 0$ . Le sommet est $(0\,;0)$ et l'axe de symétrie est la droite $x=0$ , pour TOUTES les fonctions du chapitre.
• Le SIGNE de $a$ donne le sens d'ouverture : positif vers le haut, avec un minimum ; négatif vers le bas, avec un maximum. Dans les deux cas l'extremum vaut $0$ et il est atteint en $x=0$ .
• La VALEUR ABSOLUE de $a$ donne l'étroitesse : plus $|a|$ est grand, plus la parabole est ÉTROITE. Les deux rôles sont indépendants, et la figure les montre côte à côte.
• $f(-x)=f(x)$ : les images de deux abscisses opposées sont ÉGALES, jamais opposées.

Les trois paraboles ont le même sommet ; seul

|a|

les distingue, et c'est le PLUS PETIT qui donne la plus ouverte, contre l'intuition.

Les propriétés, toutes lisibles sur le signe de $a$

• DOMAINE : l'ensemble des réels, toujours. IMAGE : $[0\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;0]$ si $a<0$ .
• UN SEUL ZÉRO, et c'est $x=0$ : la parabole TOUCHE l'axe des abscisses sans le traverser, donc elle ne change jamais de signe.
• VARIATION : décroissante puis croissante si $a>0$ , croissante puis décroissante si $a<0$ . Le retournement a toujours lieu en $x=0$ , et le $0$ appartient aux deux intervalles.
• TROUVER LA RÈGLE : un seul point suffit, par $a=\dfrac{y}{x^{2}}$ , à condition qu'il ne soit pas l'origine. On divise par le CARRÉ de l'abscisse, jamais par l'abscisse.

La réciproque, et la restriction qui la sauve

• On échange $x$ et $y$ , puis on isole : de $y=ax^{2}$ on tire $y=\pm\sqrt{\dfrac{x}{a}}$ . Le double signe est obligatoire, donc la relation obtenue n'est PAS une fonction.
• En restreignant $f$ à $[0\,;+\infty[$ , on ne garde que la moitié droite de la parabole et chaque image n'a plus qu'un antécédent : la réciproque devient la fonction $f^{-1}(x)=\sqrt{\dfrac{x}{a}}$ , avec le signe plus seulement.
• Domaine et image S'ÉCHANGENT : le domaine de la réciproque est l'image de $f$ , et inversement. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ .
• RECONNAÎTRE UN MODÈLE dans une table : le quotient $\dfrac{y}{x^{2}}$ doit être CONSTANT. Test plus rapide : si $x$ est multiplié par $k$ , alors $y$ doit l'être par $k^{2}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Interpréter la taille du coefficient

toute une question de lecture graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

Plus $a$ est grand, plus la parabole est ouverte

Ce qu'il faut écrire

Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est ÉTROITE

Pourquoi : Contre-exemple : en $x=2$ , la parabole $y=5x^{2}$ monte à $20$ alors que $y=0{,}1x^{2}$ ne monte qu'à $0{,}4$ . La première est donc bien plus serrée autour de son axe. La figure de l'essentiel le montre d'un coup d'oeil, et c'est la valeur ABSOLUE qui compte : un $a$ négatif retourne la parabole sans changer son ouverture.

2. Compter les zéros

1 à 2 points, et une étude de signe fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

La parabole $y=ax^{2}$ coupe l'axe des abscisses en deux points

Ce qu'il faut écrire

Elle n'a qu'UN zéro, $x=0$ : elle touche l'axe sans le traverser

Pourquoi : L'équation $ax^{2}=0$ donne $x^{2}=0$ , donc $x=0$ , une racine double. Deux points communs supposeraient un sommet SOUS l'axe pour une parabole ouverte vers le haut, ce qui sort du chapitre. Conséquence directe : la fonction ne change jamais de signe, puisqu'elle ne traverse jamais l'axe.

3. Trouver le paramètre à partir d'un point

toute la question, et toutes celles qui réutilisent la règle

Ce qu'il ne faut pas écrire

La parabole passe par $(3\,;45)$ , donc $a=\dfrac{45}{3}=15$

Ce qu'il faut écrire

$a=\dfrac{45}{3^{2}}=\dfrac{45}{9}=5$

Pourquoi : On divise par le CARRÉ de l'abscisse, parce que c'est $x^{2}$ , et non $x$ , qui multiplie $a$ . Le contrôle est immédiat : avec $a=15$ , la parabole passerait par $(3\,;135)$ et non par $(3\,;45)$ . Une substitution de vérification suffit à trancher, et elle prend cinq secondes.

4. Donner la réciproque

1 point, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

La réciproque de $f(x)=x^{2}$ est $g(x)=\sqrt{x}$

Ce qu'il faut écrire

C'est la réciproque de $f$ RESTREINTE à $[0\,;+\infty[$

La moitié droite de la parabole et sa réciproque se répondent par symétrie autour de

y=x

: les points

(1{,}5\,;9)

(9\,;1{,}5)

se correspondent.

Pourquoi : Sans restriction, $f(-3)=9$ et $f(3)=9$ : la valeur $9$ a deux antécédents, et la réciproque devrait leur associer $-3$ ET $3$ , ce qu'aucune fonction ne fait. La relation obtenue est la parabole COUCHÉE, qu'une droite verticale coupe en deux points. La restriction n'est pas un détail de rédaction, c'est ce qui rend l'objet fonctionnel.

5. Comparer les images de deux abscisses opposées

1 point, et une table de valeurs fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $f(x)=2x^{2}$ , les images $f(-3)$ et $f(3)$ sont opposées

Ce qu'il faut écrire

Elles sont ÉGALES : $f(-3)=f(3)=18$

Pourquoi : C'est $x$ qui change de signe, pas son carré : $(-3)^{2}=3^{2}=9$ . La propriété $f(-x)=f(x)$ est la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées, et c'est elle qui fait que deux points d'abscisses opposées ne valent qu'UNE information quand on cherche le paramètre.

6. Résoudre $ax^{2}=k$

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$3x^{2}=48$ donne $x=4$

Ce qu'il faut écrire

$x^{2}=16$ donne $x=4$ OU $x=-4$

Pourquoi : Une droite horizontale coupe la parabole en DEUX points symétriques, donc l'équation a deux solutions opposées. Le double signe se perd à chaque examen. Cas particuliers à connaître : $k=0$ donne une seule solution, et $\dfrac{k}{a}<0$ n'en donne aucune, un carré n'étant jamais négatif.

7. Conclure sur l'extremum quand le coefficient est négatif

1 point, et une lecture de variation inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

Si $a<0$ , la fonction descend indéfiniment, donc elle n'a pas de maximum

Ce qu'il faut écrire

Elle a un MAXIMUM, qui vaut $0$ et qui est atteint en $x=0$

Pourquoi : Avec $a<0$ , on a $ax^{2}\le 0$ pour tout $x$ , et l'égalité est atteinte en $0$ : le sommet est donc le point le plus HAUT de la courbe. Descendre sans limite empêche d'avoir un minimum, pas d'avoir un maximum. Les deux notions se confondent d'autant plus facilement que l'extremum vaut zéro dans les deux cas.

Quelle méthode choisir

Que lire, selon ce que l'énoncé demande

Une fonction $f(x)=ax^{2}$ , donnée par sa règle, par un point ou par une table

Si On donne un POINT et l'on cherche la règle → $a=\dfrac{y}{x^{2}}$ , à condition que le point ne soit pas l'origine

Exemple : $(3\,;45)$ donne $a=\dfrac{45}{9}=5$
Si On donne la RÈGLE et l'on cherche image, variation ou extremum → Tout se lit sur le signe de $a$ : image, sens de variation, minimum ou maximum

Exemple : $g(x)=-2x^{2}$ : image $]-\infty\,;0]$ , maximum $0$ en $x=0$
Si On donne une TABLE et l'on demande si le modèle convient → Tester si $\dfrac{y}{x^{2}}$ est constant, ou si multiplier $x$ par $k$ multiplie $y$ par $k^{2}$

Exemple : $3$ , $12$ , $27$ , $48$ pour $x=1$ à $4$ : quotient constant $3$ , donc $y=3x^{2}$
Si On donne une VALEUR de la fonction et l'on cherche $x$ → Isoler $x^{2}$ , puis racine carrée AVEC le double signe

Exemple : $3x^{2}=48$ donne $x=\pm 4$
Si On demande la RÉCIPROQUE → Échanger, isoler, restreindre le domaine, et échanger domaine et image

Exemple : $f(x)=4x^{2}$ restreinte donne $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$

Aucune de ces branches ne demande la forme canonique ni le discriminant : ils arrivent en TS 5, quand le sommet cesse d'être à l'origine.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche d'une règle et ses propriétés

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé donne un point d'une parabole de sommet à l'origine

1 Écrire la forme du chapitre, $f(x)=ax^{2}$ , et dire pourquoi le sommet est connu.
2 Substituer les coordonnées du point et isoler $a$ , en divisant par le CARRÉ de l'abscisse.
3 Vérifier en recalculant l'ordonnée du point avec la règle trouvée.
4 Donner ensuite ce que l'énoncé demande, en nommant le signe de $a$ comme justification.

Phrase de conclusion

« Le sommet étant à l'origine, la règle est de la forme $f(x)=ax^{2}$ . Le point $(3\,;45)$ donne $45=9a$ , donc $a=5$ et $f(x)=5x^{2}$ . Vérification : $5\times 9=45$ . Comme $a>0$ , la parabole s'ouvre vers le haut, l'image est $[0\,;+\infty[$ et le minimum vaut $0$ en $x=0$ . »

Le piège : Annoncer l'image ou l'extremum sans citer le signe de $a$ : le correcteur attend la justification, pas seulement le résultat.

Barème : 1 point pour la forme posée, 1 point pour la valeur de $a$ , 1 point pour la vérification, 1 point par propriété justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Resubstituer le point donné

Recalculer l'ordonnée avec la règle trouvée : elle doit redonner exactement celle de l'énoncé.

Avec $a=15$ au lieu de $5$ , le point $(3\,;45)$ donnerait $135$ : l'erreur saute aux yeux.
Tester le facteur au carré

Dans une table, vérifier que doubler l'abscisse quadruple l'ordonnée. Trois fois plus, neuf fois plus.

$3$ , $12$ , $27$ , $48$ : de $x=1$ à $x=3$ , l'ordonnée passe de $3$ à $27$ , soit neuf fois plus.
Vérifier le signe du résultat

Avec $a>0$ , aucune image ne peut être négative ; avec $a<0$ , aucune ne peut être positive.

Une image $-8$ calculée pour $f(x)=2x^{2}$ signale une erreur de signe dans le carré.
Faire l'aller-retour de la réciproque

Appliquer $f$ puis la réciproque à un nombre du domaine : on doit retomber dessus.

$f(3)=36$ pour $f(x)=4x^{2}$ , et $\dfrac{1}{2}\sqrt{36}=3$ : la réciproque est juste.

L'exercice type décortiqué

Le miroir parabolique d'un projecteur

Le réflecteur d'un projecteur a une section parabolique, l'origine étant au fond du miroir. L'ouverture mesure $24$ cm de diamètre et la profondeur est de $9$ cm. Trouvez la règle, puis la profondeur du miroir à $6$ cm de son axe.

Le fond du miroir est le sommet, donc l'origine ; chaque bord est à

12

cm de l'axe, la moitié du diamètre, et c'est là que se joue l'erreur la plus fréquente.

Étape 1

Le sommet est au fond du miroir, donc à l'origine : la règle est de la forme $y=ax^{2}$ .

Pourquoi

C'est le choix du repère qui donne cette forme, et il faut le dire. Si l'origine avait été placée ailleurs, la règle comporterait un décalage et le chapitre ne suffirait plus.

Étape 2

Le diamètre valant $24$ cm, chaque bord est à $12$ cm de l'axe. Les bords sont donc les points $(12\,;9)$ et $(-12\,;9)$ .

Pourquoi

Le diamètre est la largeur TOTALE : prendre $24$ comme abscisse est l'erreur la plus fréquente du problème, et elle divise le paramètre par quatre. Les deux bords donnent la même information, par symétrie.

Étape 3

On substitue : $9=a\times 12^{2}=144a$ , donc $a=\dfrac{9}{144}=\dfrac{1}{16}$ et $y=\dfrac{x^{2}}{16}$ .

Pourquoi

On divise par le carré de l'abscisse. La fraction se simplifie ici en $\dfrac{1}{16}$ , une forme plus parlante que $0{,}0625$ pour la suite du calcul.

Étape 4

À $6$ cm de l'axe : $y=\dfrac{36}{16}=2{,}25$ cm.

Pourquoi

La réponse n'est PAS la moitié de $9$ : diviser l'abscisse par deux divise l'ordonnée par quatre. C'est le facteur au carré, et c'est ce qui rend un miroir beaucoup plus plat près de son axe qu'on ne l'imagine.

Étape 5

Contrôle : $\dfrac{144}{16}=9$ , l'ordonnée du bord est retrouvée. Et $2{,}25=\dfrac{9}{4}$ , soit le quart de la profondeur totale.

Pourquoi

Deux contrôles indépendants : l'un vérifie le paramètre par substitution, l'autre vérifie la réponse par le facteur au carré. Un seul aurait laissé passer une erreur de division.

Conclusion rédigée

La section suit $y=\dfrac{x^{2}}{16}$ , et la profondeur à $6$ cm de l'axe vaut $2{,}25$ cm.

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $24$ comme abscisse du bord, ce qui donne $a=\dfrac{9}{576}$ , soit quatre fois trop petit, et une profondeur de $0{,}56$ cm au lieu de $2{,}25$ cm.

À savoir par cœur

• $f(x)=ax^{2}$ : sommet $(0\,;0)$ , axe $x=0$ , toujours.
• Signe de $a$ : sens d'ouverture, minimum ou maximum.
• Valeur absolue de $a$ : étroitesse. Grand $|a|$ , courbe étroite.
• Un seul zéro, $x=0$ : la courbe touche l'axe sans le traverser.
• Image $[0\,;+\infty[$ si $a>0$ , $]-\infty\,;0]$ si $a<0$ .
• $f(-x)=f(x)$ : images égales, jamais opposées.
• $a=\dfrac{y}{x^{2}}$ : on divise par le CARRÉ de l'abscisse.
• $ax^{2}=k$ : deux solutions opposées, une seule, ou aucune.
• Réciproque : il faut restreindre le domaine à $[0\,;+\infty[$ .
• Table : $\dfrac{y}{x^{2}}$ constant, ou $x$ fois $k$ donne $y$ fois $k^{2}$ .

Questions fréquentes

Pourquoi une parabole de sommet à l'origine n'a-t-elle qu'un seul zéro ?

Parce que l'équation obtenue en cherchant les zéros se réduit à x au carré égale zéro, qui n'a qu'une solution, zéro. La courbe touche l'axe des abscisses en son sommet sans le traverser. Deux zéros supposeraient un sommet situé sous l'axe pour une parabole ouverte vers le haut, ce qui n'arrive pas dans ce chapitre.

Est-ce qu'un grand coefficient rend la parabole plus ouverte ?

Non, c'est l'inverse : plus la valeur absolue du coefficient est grande, plus la parabole est étroite. À la même abscisse, un grand coefficient donne une ordonnée plus grande, donc la courbe monte plus vite et se resserre autour de son axe. Le signe, lui, ne change que le sens d'ouverture, pas l'étroitesse.

Combien de points faut-il pour trouver la règle ?

Un seul suffit, à condition qu'il ne soit pas l'origine, puisque le sommet est déjà connu. On divise l'ordonnée par le carré de l'abscisse. Attention, deux points d'abscisses opposées ne donnent qu'une seule information, car la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Pourquoi faut-il restreindre le domaine pour obtenir la réciproque ?

Parce que deux abscisses opposées ont la même image : la valeur neuf, par exemple, a pour antécédents trois et moins trois. La relation réciproque associerait donc deux valeurs à un même nombre, ce qu'une fonction ne fait jamais. En ne gardant que les abscisses positives, chaque image retrouve un seul antécédent.

Comment reconnaître un modèle quadratique dans une table de valeurs ?

Divisez chaque ordonnée par le carré de son abscisse : le quotient doit être constant, et c'est alors le coefficient cherché. Un test plus rapide existe : si vous multipliez l'abscisse par trois, l'ordonnée doit être multipliée par neuf. Si elle n'est multipliée que par trois, le modèle est linéaire.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction quadratique de sommet à l'origine

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

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La fonction racine carrée de sommet à l'origine Les fonctions quadratiquesSecondaire 5 TS

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L'essentiel

Un seul nombre, deux rôles séparés

Les propriétés, toutes lisibles sur le signe de aaa

La réciproque, et la restriction qui la sauve

Les pièges qui coûtent des points

1. Interpréter la taille du coefficient

2. Compter les zéros

3. Trouver le paramètre à partir d'un point

4. Donner la réciproque

5. Comparer les images de deux abscisses opposées

6. Résoudre ax2=kax^{2}=kax2=k

7. Conclure sur l'extremum quand le coefficient est négatif

Quelle méthode choisir

Que lire, selon ce que l'énoncé demande

La rédaction attendue

Rédiger la recherche d'une règle et ses propriétés

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Le miroir parabolique d'un projecteur

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi une parabole de sommet à l'origine n'a-t-elle qu'un seul zéro ?

Est-ce qu'un grand coefficient rend la parabole plus ouverte ?

Combien de points faut-il pour trouver la règle ?

Pourquoi faut-il restreindre le domaine pour obtenir la réciproque ?

Comment reconnaître un modèle quadratique dans une table de valeurs ?

Exercices corrigés : La fonction quadratique de sommet à l'origine

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6. Résoudre $ax^{2}=k$