Math TS, secondaire 4 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : les systèmes d'équations

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des systèmes d'équations du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : comparaison, substitution et réduction, plus la reconnaissance des trois cas de figure.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Les trois méthodes donnent la même réponse, donc on ne les choisit pas au hasard : on les choisit sur la FORME du système, et c'est le nombre de variables déjà isolées qui décide.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les équations et les inéquations Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Trois méthodes, et la forme qui les choisit

• COMPARAISON : la même variable est isolée dans les DEUX équations, on égale les deux expressions. C'est la traduction directe de « le point commun a le même $x$ et le même $y$ », que montre la figure.
• SUBSTITUTION : UNE variable est isolée, on remplace son expression dans l'AUTRE équation. Le mot « autre » est la totalité de la méthode.
• RÉDUCTION : AUCUNE variable n'est isolée, on rend opposés les coefficients d'une variable puis on additionne. On multiplie l'équation ENTIÈRE, second membre compris.
• On isole toujours la variable dont le coefficient vaut $1$ ou $-1$ : c'est ce qui évite les fractions, et c'est souvent possible même quand rien n'est isolé au départ.

Le point commun est le seul endroit où les deux droites ont à la fois le même

x

et le même

y

: c'est exactement ce qu'écrit la méthode de comparaison.

Trois cas de figure, et rien d'autre

• UNE solution si les droites sont sécantes ; AUCUNE si elles sont parallèles distinctes ; une INFINITÉ si elles sont confondues. Il n'y a pas de quatrième possibilité.
• Algébriquement, si les variables disparaissent toutes, il reste soit une égalité FAUSSE, du type $0=-3$ , et il n'y a aucune solution, soit une égalité VRAIE, $0=0$ , et il y en a une infinité.
• Même pente ne suffit pas à conclure à l'absence de solution : il faut comparer AUSSI les ordonnées à l'origine. $2x-6y=8$ et $x-3y=4$ ont la même pente et une infinité de solutions.
• Le critère pratique : si les membres de GAUCHE sont proportionnels et les membres de DROITE ne le sont pas, aucune solution. Si les deux le sont dans le même rapport, une infinité.

Sécantes, parallèles distinctes, confondues : les trois seules positions possibles de deux droites, et donc les trois seuls nombres de solutions.

Poser un problème, et le rendre vérifiable

• NOMMER les deux inconnues avec leur UNITÉ avant toute équation : « soit $f$ le montant fixe en dollars et $t$ le tarif horaire en dollars par heure ».
• Écrire UNE équation par condition de l'énoncé. Deux équations qui portent sur la même grandeur ne sont qu'une seule information, et le système est alors insoluble.
• Chasser les fractions et les décimales AVANT de choisir une méthode : on multiplie chaque équation par le dénominateur commun de ses coefficients, ou par une puissance de dix.
• Une solution mathématique peut être rejetée par le CONTEXTE : un temps négatif, un nombre de pièces décimal, une longueur négative. Le rejet se rédige, il ne se sous-entend pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Substituer dans la mauvaise équation

toute la question, et une fausse impression d'infinité de solutions

Ce qu'il ne faut pas écrire

De $y=2x-7$ , on remplace $y$ dans cette même équation : $2x-7=2x-7$

Ce qu'il faut écrire

On remplace dans l'AUTRE équation, celle qui apporte une information nouvelle

Pourquoi : Remplacer dans l'équation d'où l'expression vient donne $0=0$ , une identité vraie qui n'apprend rien sur $x$ . La copie conclut alors à une infinité de solutions, alors que le système en a une seule. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle produit une réponse qui a l'air d'un résultat.

2. Multiplier une équation pour la réduction

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$3x+5y=-9$ multipliée par $2$ donne $6x+10y=-9$

Ce qu'il faut écrire

$6x+10y=-18$ : on multiplie l'équation ENTIÈRE, second membre compris

Pourquoi : Une équation est une égalité : pour la préserver, il faut multiplier les DEUX membres. Oublier le second membre fabrique une équation différente, dont la solution n'a plus rien à voir. Le contrôle est immédiat : la solution trouvée ne vérifiera aucune des deux équations de départ.

3. Interpréter une identité obtenue en fin de calcul

toute la question, et l'interprétation est exactement inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

On aboutit à $0=0$ , donc le système n'a pas de solution

Ce qu'il faut écrire

$0=0$ est VRAI : le système a une INFINITÉ de solutions, tous les couples d'une même droite

Pourquoi : C'est $0=k$ avec $k$ non nul, une égalité FAUSSE, qui signale l'absence de solution. Les deux lignes se ressemblent à l'oeil et disent le contraire l'une de l'autre : on relit donc toujours le nombre qui reste à droite. Et une infinité de solutions se rédige en donnant l'équation de la droite commune, pas par le seul mot « infinité ».

4. Conclure à partir de la pente seule

1 à 2 points, et une conclusion fausse une fois sur deux

Ce qu'il ne faut pas écrire

Les deux droites ont la même pente, donc le système n'a aucune solution

Ce qu'il faut écrire

Même pente et même ordonnée à l'origine donnent une INFINITÉ de solutions

Pourquoi : Contre-exemple : $2x-6y=8$ et $x-3y=4$ sont deux écritures de la même droite, la première étant le double de la seconde. La pente ne distingue pas « parallèles distinctes » de « confondues » : il faut regarder aussi les seconds membres, ou l'ordonnée à l'origine.

5. Vérifier la solution trouvée

0 point perdu directement, mais une erreur sur deux passe au travers

Ce qu'il ne faut pas écrire

On trouve $x$ par comparaison, on calcule $y$ avec la première équation, puis on vérifie dans la première

Ce qu'il faut écrire

On vérifie dans l'équation qu'on n'a PAS utilisée pour calculer $y$

Pourquoi : Vérifier dans l'équation qui a servi à calculer $y$ est une tautologie : le couple la vérifiera toujours, même si $x$ est faux. Seule l'autre équation apporte une information indépendante. C'est la vérification la moins chère du chapitre et la plus souvent mal faite.

6. Soustraire deux équations

toute la question, pour un signe

Ce qu'il ne faut pas écrire

$5x+3y=14$ moins $5x-2y=-1$ donne $5y=13$

Ce qu'il faut écrire

$5y=14-(-1)=15$ , donc $y=3$

Pourquoi : La soustraction porte sur les DEUX membres, et soustraire $-1$ revient à ajouter $1$ . L'erreur ne se voit pas dans la forme du résultat, qui reste un nombre plausible. Contrôle : avec $y=3$ , la première équation donne $5x=5$ , donc $x=1$ , et la seconde vérifie $5-6=-1$ .

7. Écrire deux équations qui disent la même chose

toute la mise en équation, donc tout le problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $40$ supports d'acier et d'aluminium pesant $68$ kg : $a+b=40$ et $a+b=68$

Ce qu'il faut écrire

$a+b=40$ compte des PIÈCES, $2a+1{,}2b=68$ pèse des KILOGRAMMES

Pourquoi : Chaque condition de l'énoncé porte sur une grandeur différente, et c'est cette différence qui rend le système soluble. Deux équations sur la même grandeur sont soit identiques, soit contradictoires. Nommer les unités dès la première ligne empêche cette confusion.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme du système

Un système de deux équations du premier degré, fractions et décimales déjà chassées

Le nombre de variables déjà isolées décide seul de la méthode : deux appellent la comparaison, une la substitution, aucune la réduction.

Si La MÊME variable est isolée dans les deux équations → Comparaison : on égale les deux expressions

Exemple : $y=3x-4$ et $y=-2x+11$ donnent $5x=15$ , donc $(3\,;5)$
Si UNE seule variable est isolée → Substitution dans l'AUTRE équation

Exemple : $x=3y+2$ et $2x-5y=9$ donnent $y=5$ , puis $x=17$
Si Aucune n'est isolée, mais l'une s'isole sans fraction → On l'isole, puis substitution

Exemple : $3x+y=8$ donne $y=8-3x$ , puis $5x-2(8-3x)=17$ et $(3\,;-1)$
Si Aucune n'est isolée et les coefficients d'une variable sont égaux ou opposés → Réduction directe, sans aucune multiplication

Exemple : $4x+3y=18$ et $2x-3y=0$ s'additionnent en $6x=18$
Si Aucune n'est isolée et aucun coefficient ne se correspond → Réduction après multiplication, en visant le plus petit multiple commun

Exemple : $5x+2y=3$ et $3x-4y=-19$ : on double la première, et $13x=-13$
Si Les deux membres de gauche sont identiques ou proportionnels → On conclut sans calcul : aucune solution, ou une infinité

Exemple : $4x+9y=1$ et $4x+9y=7$ : aucune solution, visible à la lecture

Avant d'entrer dans l'arbre, on chasse les fractions et les décimales : multiplier une équation par un nombre NON NUL ne change pas l'ensemble-solution.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un problème à deux inconnues

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé donne deux conditions portant sur deux grandeurs inconnues

1 Nommer les deux inconnues AVEC leur unité, en une phrase complète.
2 Écrire une équation par condition, en disant de quelle grandeur elle parle.
3 Annoncer la méthode choisie et la raison, en une demi-ligne.
4 Résoudre, puis calculer la seconde inconnue.
5 Vérifier dans l'équation NON utilisée, puis répondre par une phrase, avec les unités.

Phrase de conclusion

« Soit $f$ le montant fixe en dollars et $t$ le tarif horaire en dollars par heure. Les deux factures donnent $f+3t=245$ et $f+7t=505$ . Les coefficients de $f$ sont identiques : par soustraction, $4t=260$ , donc $t=65$ et $f=50$ . Vérification : $50+7\times 65=505$ . L'atelier facture $50$ dollars de frais fixes et $65$ dollars l'heure. »

Le piège : Répondre par un couple de nombres nus, sans unité ni phrase. Le correcteur cherche la phrase de conclusion, et elle vaut un point entier.

Barème : 2 points pour la mise en équation, 2 points pour la résolution, 1 point pour la vérification et la phrase de conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier dans l'équation qu'on n'a pas utilisée

Après avoir calculé la seconde inconnue avec une équation, on reporte le couple dans l'AUTRE.

$(3\,;5)$ trouvé avec $y=3x-4$ se vérifie dans $y=-2x+11$ : $-6+11=5$ , juste.
Relire le nombre qui reste quand les variables disparaissent

$0=0$ signale une infinité, $0=k$ avec $k$ non nul signale l'absence. Les deux lignes se ressemblent.

$6x-4y=10$ et $-3x+2y=-5$ donnent $0=0$ : infinité, sur la droite $3x-2y=5$ .
Comparer les gauches ET les droites

Avant tout calcul, regarder si les membres de gauche sont proportionnels, puis si les seconds membres le sont dans le même rapport.

$2x+3y=7$ et $6x+9y=k$ : les gauches sont dans le rapport $3$ , donc il faut $k=21$ pour une infinité.
Contrôler la vraisemblance du résultat

Un prix moyen, un total, une proportion doivent tomber entre les valeurs extrêmes de l'énoncé.

$60$ dollars pour $40$ minutes fait $1{,}50$ dollar la minute, bien entre $1{,}20$ et $2{,}00$ : les deux durées trouvées sont plausibles.

L'exercice type décortiqué

Deux factures, un tarif à retrouver

Un atelier facture un montant fixe d'ouverture de dossier, puis un tarif horaire. Trois heures de travail ont coûté $245$ dollars et sept heures ont coûté $505$ dollars. Trouvez le montant fixe et le tarif horaire, puis dites à combien d'heures correspond une facture de $375$ dollars.

Étape 1

Soit $f$ le montant fixe en dollars et $t$ le tarif horaire en dollars par heure. Une facture de $h$ heures coûte $f+ht$ .

Pourquoi

Nommer les unités n'est pas de la décoration : c'est ce qui empêche d'additionner un montant et un tarif, et c'est un point du barème dans presque tous les corrigés officiels.

Étape 2

Les deux factures donnent $f+3t=245$ et $f+7t=505$ .

Pourquoi

Une équation par condition, et chacune porte sur la même grandeur, des dollars, mais pour un nombre d'heures DIFFÉRENT. C'est cette différence qui rend le système soluble.

Étape 3

Les coefficients de $f$ sont identiques : on soustrait la première de la seconde. $4t=505-245=260$ , donc $t=65$ .

Pourquoi

La réduction s'impose ici sans aucune multiplication, et il faut le voir avant de se lancer. Le second membre se soustrait aussi : $505-245$ , et non $505$ .

Étape 4

On reporte : $f+3\times 65=245$ , donc $f=245-195=50$ .

Pourquoi

On reporte dans l'équation la plus simple, puis on vérifiera dans l'AUTRE. Reporter dans celle qui a servi à trouver $t$ ne prouverait rien.

Étape 5

Vérification : $50+7\times 65=50+455=505$ . Puis $50+65h=375$ donne $65h=325$ et $h=5$ heures.

Pourquoi

La vérification porte sur l'équation non utilisée, et le contrôle de vraisemblance ferme la question : $375$ est entre $245$ et $505$ , donc $h$ doit être entre $3$ et $7$ , ce qui est le cas.

Conclusion rédigée

L'atelier facture $50$ dollars de frais fixes et $65$ dollars l'heure ; une facture de $375$ dollars correspond à $5$ heures de travail.

L'erreur classique sur cet exercice : Soustraire $505-245$ et écrire $4t=250$ , ou pire, oublier que le montant fixe est le même sur les deux factures et poser deux inconnues par facture. Le système devient alors insoluble.

À savoir par cœur

• Deux variables isolées, comparaison ; une, substitution ; aucune, réduction.
• Substitution : dans l'AUTRE équation, toujours.
• Réduction : on multiplie l'équation ENTIÈRE, second membre compris.
• Soustraire $-1$ , c'est ajouter $1$ , y compris à droite.
• $0=0$ : une infinité. $0=k$ non nul : aucune.
• Même pente ne suffit pas : comparer aussi les ordonnées à l'origine.
• Chasser les fractions et les décimales en premier.
• Isoler la variable dont le coefficient vaut $1$ ou $-1$ .
• Nommer les inconnues AVEC leur unité.
• Vérifier dans l'équation qu'on n'a pas utilisée.

Questions fréquentes

Quelle méthode choisir pour résoudre un système d'équations ?

Regardez la forme du système. Si la même variable est isolée dans les deux équations, utilisez la comparaison. Si une seule l'est, utilisez la substitution dans l'autre équation. Si aucune ne l'est, utilisez la réduction, en visant la variable dont les coefficients sont déjà égaux ou opposés.

Que signifie zéro égale zéro à la fin d'un système ?

Que le système a une infinité de solutions : les deux équations décrivent la même droite. C'est l'inverse de zéro égale un nombre non nul, qui signale une égalité fausse et donc l'absence de solution. Les deux lignes se ressemblent, alors relisez toujours le nombre qui reste à droite.

Comment savoir si un système n'a aucune solution sans le résoudre ?

Comparez les membres de gauche : s'ils sont proportionnels, regardez le rapport des seconds membres. Si ce rapport est différent, il n'y a aucune solution ; s'il est le même, il y en a une infinité. Si les gauches ne sont pas proportionnelles, il y a exactement une solution.

Pourquoi faut-il vérifier dans l'autre équation ?

Parce que l'équation qui a servi à calculer la seconde inconnue sera vérifiée de toute façon, même si la première valeur est fausse. Seule l'équation restée inutilisée apporte une information indépendante. C'est le contrôle le moins cher du chapitre et le plus souvent mal fait.

Comment poser un problème à deux inconnues ?

Nommez d'abord les deux inconnues avec leur unité, en une phrase complète. Écrivez ensuite une équation par condition de l'énoncé, en vérifiant qu'elles ne portent pas sur la même grandeur. Deux équations qui comptent la même chose ne sont qu'une seule information, et le système devient insoluble.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les systèmes d'équations

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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