Exercices corrigés : les logarithmes et le changement de base (math TS, secondaire 4)

a) On lit la définition de droite à gauche : la valeur du logarithme est l'EXPOSANT. $\log_{3}81=4$ devient $3^{4}=81$. $\log_{5}\dfrac{1}{25}=-2$ devient $5^{-2}=\dfrac{1}{25}$, et l'on retrouve au passage qu'un logarithme négatif signale un argument compris entre $0$ et $1$. $\log_{12}144=2$ devient $12^{2}=144$. Le geste à automatiser est celui-ci : la base reste la base, le résultat du logarithme monte en exposant, et l'argument passe de l'autre côté du signe égal.

b) Le chemin inverse. $2^{6}=64$ donne $\log_{2}64=6$. $7^{0}=1$ donne $\log_{7}1=0$, et c'est un résultat général : le logarithme de $1$ vaut $0$ dans TOUTE base, puisque toute base à la puissance zéro vaut $1$. $4^{-3}=\dfrac{1}{64}$ donne $\log_{4}\dfrac{1}{64}=-3$. Écrire $\log_{64}4=\dfrac{1}{3}$ n'est pas la réponse demandée, même si c'est vrai : on ne confond pas la base et l'argument.

c) $\log_{2}64=6$ car $2^{6}=64$. $\log_{9}3=\dfrac{1}{2}$ car $9^{1/2}=\sqrt{9}=3$ : un logarithme vaut très bien une fraction, et c'est le cas chaque fois que l'argument est une racine de la base. $\log_{8}2=\dfrac{1}{3}$ car $8^{1/3}=2$. $\log_{5}5^{7}=7$, immédiatement, par la définition : c'est l'identité $\log_{b}b^{k}=k$, la plus rentable du chapitre. Enfin $\log_{4}\dfrac{1}{16}=-2$ car $4^{-2}=\dfrac{1}{16}$.

d) Si la base valait $1$, l'équation $1^{c}=7$ n'aurait AUCUNE solution, puisque $1$ élevé à n'importe quelle puissance vaut toujours $1$ : $\log_{1}7$ n'existerait pas. Pire, $\log_{1}1$ aurait une infinité de réponses, tout exposant convenant. Un logarithme doit donner un résultat et un seul, donc la base $1$ est exclue. La même exigence écarte les bases négatives, pour lesquelles $b^{c}$ change de signe d'un exposant à l'autre.

a) Somme et différence de logarithmes de MÊME BASE : on multiplie et on divise les arguments. $\log_{3}5+\log_{3}18-\log_{3}10=\log_{3}\dfrac{5\times 18}{10}=\log_{3}9$. Et $\log_{3}9=2$, puisque $3^{2}=9$ : la réponse est un entier, ce qui n'arrive que parce que les arguments se simplifient. Ne jamais additionner les arguments : $\log_{3}5+\log_{3}18$ n'est pas $\log_{3}23$, et un contrôle décimal le montre en trois secondes.

b) Le coefficient $2$ remonte d'abord en exposant : $2\log_{7}3=\log_{7}3^{2}=\log_{7}9$. Puis la somme devient un produit : $\log_{7}9+\log_{7}4=\log_{7}36$. L'ordre compte. Écrire d'abord $\log_{7}(3\times 4)=\log_{7}12$ puis doubler donne $2\log_{7}12=\log_{7}144$, un résultat faux : le coefficient ne portait que sur le PREMIER logarithme.

c) On commence par ce qui se calcule : $\log_{2}64=6$, donc $\dfrac{1}{3}\log_{2}64=\dfrac{6}{3}=2$. On peut alors écrire $2=\log_{2}4$, puisque $2^{2}=4$, et la différence devient $\log_{2}4-\log_{2}5=\log_{2}\dfrac{4}{5}$. Le raccourci à connaître : un coefficient $\dfrac{1}{3}$ devant un logarithme est une racine CUBIQUE de l'argument, ici $\sqrt[3]{64}=4$, ce qui donne le même résultat en une ligne.

d) On casse le quotient, puis le produit, puis les puissances. $\log_{5}\left(\dfrac{25x^{3}}{\sqrt{y}}\right)=\log_{5}25+\log_{5}x^{3}-\log_{5}\sqrt{y}=2+3\log_{5}x-\dfrac{1}{2}\log_{5}y$. Deux points rapportent : $\log_{5}25=2$ se CALCULE, il ne reste pas en l'état ; et une racine carrée est une puissance $\dfrac{1}{2}$, donc elle sort en coefficient $\dfrac{1}{2}$.

e) $\log_{2}\left(\dfrac{x^{5}}{32y}\right)=\log_{2}x^{5}-\log_{2}(32y)=5\log_{2}x-\left(\log_{2}32+\log_{2}y\right)=5\log_{2}x-5-\log_{2}y$. La parenthèse est le piège de la question : le dénominateur contient un PRODUIT, donc les deux morceaux passent en négatif. Oublier la parenthèse donne $5\log_{2}x-5+\log_{2}y$, et le signe du dernier terme est faux.

a) On encadre $50$ entre deux puissances de $2$ : $2^{5}=32$ et $2^{6}=64$, donc $32<50<64$. Comme la fonction est croissante, les logarithmes se rangent dans le même ordre : $5<\log_{2}50<6$. La valeur exacte vaut environ $5{,}644$, bien dans l'encadrement. Ce geste prend cinq secondes et il vaut toujours la peine : une calculatrice mal utilisée, avec la touche log au lieu de la division par $\ln 2$, rendrait $1{,}699$, et l'encadrement le signalerait aussitôt.

b) Pour $\log_{3}200$ : $3^{4}=81$ et $3^{5}=243$, donc $81<200<243$ et $4<\log_{3}200<5$. La valeur vaut environ $4{,}823$. Pour $\log_{10}4567$, les puissances de dix se lisent au nombre de chiffres : $1000<4567<10\,000$, donc $3<\log_{10}4567<4$, et la valeur vaut environ $3{,}660$. Retenez ce cas particulier, il sert à l'exercice 7 : le logarithme décimal d'un nombre à $n$ chiffres est compris entre $n-1$ et $n$.

c) $\log_{10}10=1$, exactement, par définition. $\log_{5}10$ est compris entre $1$ et $2$, puisque $5^{1}=5<10<25=5^{2}$. $\log_{2}10$ est compris entre $3$ et $4$, puisque $2^{3}=8<10<16=2^{4}$. L'ordre croissant est donc $\log_{10}10<\log_{5}10<\log_{2}10$, et les valeurs le confirment : $1$, puis environ $1{,}431$, puis environ $3{,}322$. Aucun calcul n'a été nécessaire, seulement trois encadrements.

d) La règle : pour un même argument supérieur à $1$, PLUS LA BASE EST GRANDE, PLUS LE LOGARITHME EST PETIT. La justification vient de la définition. $\log_{b}10$ est l'exposant qu'il faut donner à $b$ pour atteindre $10$ ; si $b$ est grand, chaque multiplication fait un grand pas et il en faut peu, donc l'exposant est petit. Avec $b=2$, on avance par doublements et il en faut plus de trois ; avec $b=10$, un seul pas suffit. Attention, la règle s'inverse pour un argument compris entre $0$ et $1$, où tous les logarithmes sont négatifs.

a) Encadrement d'abord : $7^{2}=49$ et $7^{3}=343$, donc la réponse est entre $2$ et $3$. Le calcul donne $\log_{7}200=\dfrac{\ln 200}{\ln 7}=\dfrac{5{,}29832}{1{,}94591}\approx 2{,}723$. Le choix entre $\log$ et $\ln$ est sans importance, le quotient est le même : $\dfrac{2{,}30103}{0{,}84510}$ donne aussi $2{,}723$. Ce qui compte, c'est de ne PAS mélanger les deux, un $\ln$ en haut et un $\log$ en bas donnant $6{,}269$, une valeur hors de l'encadrement.

b) L'argument est compris entre $0$ et $1$, donc le résultat sera NÉGATIF : c'est l'encadrement de cette question, et il vaut la moitié des points. On calcule $\log_{5}0{,}3=\dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 5}=\dfrac{-1{,}20397}{1{,}60944}\approx -0{,}748$. Le signe vient du numérateur seul, le dénominateur étant positif dès que la base dépasse $1$. Une réponse positive ici est fausse à coup sûr.

c) $3^{4}=81$ et $3^{5}=243$, donc la réponse est entre $4$ et $5$. Le calcul donne $\log_{3}100=\dfrac{\ln 100}{\ln 3}=\dfrac{4{,}60517}{1{,}09861}\approx 4{,}192$. On retrouve un résultat cohérent avec l'exercice 3, où $\log_{3}200\approx 4{,}823$ : doubler l'argument ajoute $\log_{3}2\approx 0{,}631$, et $4{,}192+0{,}631=4{,}823$.

d) $7^{2{,}723}\approx 200{,}08$, à comparer à $200$. L'écart de huit centièmes vient de l'arrondi au millième de l'exposant, pas d'une erreur : c'est la vérification attendue, et elle se rédige en une ligne. Vérifier un logarithme, c'est toujours remonter à la forme exponentielle, jamais recalculer le même quotient une seconde fois avec la même touche.

e) Par le changement de base, $\log_{b}a=\dfrac{\ln a}{\ln b}$ et $\log_{a}b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$. Les deux quotients sont inverses l'un de l'autre, donc $\log_{b}a\times\log_{a}b=1$, c'est-à-dire $\log_{b}a=\dfrac{1}{\log_{a}b}$. Vérification : $\log_{200}7=\dfrac{1{,}94591}{5{,}29832}\approx 0{,}367$, et $\dfrac{1}{2{,}723}\approx 0{,}367$. Cette identité sert surtout à repérer une erreur de sens : si la réponse et son inverse sont toutes deux plausibles, l'encadrement tranche.

a) $\log_{2}0$ demande un exposant $c$ tel que $2^{c}=0$. Or $2^{c}$ se rapproche de zéro quand $c$ descend, $2^{-10}\approx 0{,}001$, $2^{-20}\approx 0{,}000001$, mais ne l'atteint JAMAIS : aucun exposant ne convient. C'est ce que montre la courbe, qui plonge sans fin le long de l'axe vertical. $\log_{2}(-8)$ demande $2^{c}=-8$, et une puissance de $2$ est toujours positive : aucun exposant ne convient non plus. Répondre $-3$ parce que $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ est l'erreur classique, qui confond l'opposé et l'inverse.

b) $\log_{3}(x-4)$ existe si $x-4>0$, donc sur $]4\,;+\infty[$. $\log(2x+6)$ existe si $2x+6>0$, donc $x>-3$ et le domaine est $]-3\,;+\infty[$. $\log_{5}(x^{2})$ existe si $x^{2}>0$, ce qui est vrai pour tout $x$ SAUF zéro : le domaine est l'ensemble des réels privé de $0$. Enfin $\ln(9-x^{2})$ existe si $9-x^{2}>0$, c'est-à-dire $x^{2}<9$, donc $]-3\,;3[$. Ce dernier est le seul qui soit borné, et le seul où l'inéquation demande un tableau de signes.

c) Une SOMME n'existe que si chacun de ses termes existe : il faut $x-1>0$ ET $x+2>0$, donc $x>1$ et $x>-2$ simultanément, ce qui donne $]1\,;+\infty[$. Pour $\log\left[(x-1)(x+2)\right]$, il suffit que le PRODUIT soit positif, ce qui arrive aussi quand les deux facteurs sont négatifs : le tableau de signes donne $x<-2$ ou $x>1$, soit $]-\infty\,;-2[\,\cup\,]1\,;+\infty[$. Un exemple suffit à s'en convaincre : $x=-5$ donne $\log[(-6)(-3)]=\log 18$, qui existe, alors que $\log(-6)$ n'existe pas.

d) Non, elles ne sont pas égales : elles coïncident sur $]1\,;+\infty[$, mais la forme condensée vit AUSSI sur $]-\infty\,;-2[$, où la somme n'a aucun sens. Condenser une somme de logarithmes ÉLARGIT donc le domaine, et c'est exactement de là que viennent les racines étrangères qu'on rencontrera en résolvant des équations logarithmiques. La conséquence pratique : on écrit le domaine AVANT de condenser, et toute solution trouvée hors de ce domaine est rejetée, même si elle vérifie l'équation condensée.

a) Les deux traductions sont $b^{x}=M$ et $b^{y}=N$. On multiplie membre à membre : $MN=b^{x}\times b^{y}=b^{x+y}$, par la loi du produit des exposants. Or dire $MN=b^{x+y}$, c'est dire $\log_{b}(MN)=x+y$, par définition du logarithme. En remplaçant $x$ et $y$ par ce qu'ils valent, on obtient $\log_{b}(MN)=\log_{b}M+\log_{b}N$. Toute la démonstration tient dans le passage $b^{x}b^{y}=b^{x+y}$ : le logarithme transforme un produit en somme parce que les exposants, eux, s'additionnent.

b) Même départ, $b^{x}=M$ et $b^{y}=N$, mais on divise : $\dfrac{M}{N}=\dfrac{b^{x}}{b^{y}}=b^{x-y}$. Donc $\log_{b}\dfrac{M}{N}=x-y=\log_{b}M-\log_{b}N$. Notez que $N\neq 0$ est automatique, l'énoncé imposant $N>0$ pour que $\log_{b}N$ existe : la condition d'existence des logarithmes garantit à elle seule celle de la division.

c) On part de $b^{x}=M$ et on élève les deux membres à la puissance $k$ : $M^{k}=\left(b^{x}\right)^{k}=b^{kx}$, par la loi de la puissance d'une puissance. Donc $\log_{b}(M^{k})=kx=k\log_{b}M$. Cette loi vaut pour TOUT réel $k$, entier, négatif ou fractionnaire, parce que la loi des exposants qui la porte vaut elle aussi pour tout réel : c'est ce qui permet de sortir une racine carrée en coefficient $\dfrac{1}{2}$, comme à l'exercice 2.

d) On pose $x=\log_{b}a$, donc $b^{x}=a$. On prend le logarithme en base $c$ des deux membres, ce qui est licite puisque les deux membres sont strictement positifs : $\log_{c}\left(b^{x}\right)=\log_{c}a$. La loi de la puissance, qu'on vient de démontrer en c), donne $x\log_{c}b=\log_{c}a$, d'où $x=\dfrac{\log_{c}a}{\log_{c}b}$. Le dénominateur n'est pas nul parce que $b\neq 1$, et l'on retrouve la formule de l'exercice 4 en prenant $c=10$ ou $c=e$.

e) Elle échoue dès la première ligne. En multipliant on obtient $b^{x}b^{y}=b^{x+y}$, une loi vraie ; en additionnant on obtient $M+N=b^{x}+b^{y}$, et AUCUNE loi des exposants ne simplifie une somme de puissances. Il n'existe pas d'exposant simple $z$ tel que $b^{x}+b^{y}=b^{z}$, donc rien ne permet de conclure. C'est la raison profonde pour laquelle $\log(M+N)$ ne se développe pas : ce n'est pas une règle arbitraire à retenir, c'est l'absence d'une loi en amont. Contre-exemple chiffré : $\log_{2}(4+4)=\log_{2}8=3$, alors que $\log_{2}4+\log_{2}4=4$.

a) $\log_{10}\left(2^{100}\right)=100\log_{10}2\approx 100\times 0{,}301030=30{,}1030$. La partie entière vaut $30$, donc $2^{100}$ compte $31$ chiffres. Le calcul direct est hors de portée d'une calculatrice ordinaire, qui affiche une erreur de dépassement : c'est justement l'intérêt de la méthode, qui remplace un nombre de trente et un chiffres par une multiplication à une décimale.

b) $\log_{10}\left(3^{200}\right)=200\log_{10}3\approx 200\times 0{,}477121=95{,}4242$. La partie entière vaut $95$, donc $3^{200}$ compte $96$ chiffres. Remarquez que l'exposant a doublé par rapport à a) alors que le nombre de chiffres a triplé : c'est le logarithme de la base qui fait la différence, $\log_{10}3$ étant une fois et demie plus grand que $\log_{10}2$.

c) $\log_{10}\left(2^{82\,589\,933}\right)=82\,589\,933\times 0{,}30102999\ldots\approx 24\,862\,047{,}2$. La partie entière vaut $24\,862\,047$, donc $2^{82\,589\,933}$ compte $24\,862\,048$ chiffres. Retrancher $1$ ne change rien, puisque $2^{n}$ ne se termine jamais par un zéro et n'est donc jamais une puissance de dix : le nombre premier compte lui aussi $24\,862\,048$ chiffres, ce qui représente environ six mille pages de texte.

d) Multiplier par $2$ ajoute $\log_{10}2\approx 0{,}30103$ au logarithme. Pour ajouter $1$ au logarithme, donc un chiffre, il faut $\dfrac{1}{\log_{10}2}=\log_{2}10\approx 3{,}322$ doublements. On retrouve exactement la valeur de l'exercice 3, et ce n'est pas un hasard : c'est la même quantité, lue une fois comme un inverse et une fois comme un changement de base. En pratique, trois doublements font $\times 8$ et quatre font $\times 16$, donc le chiffre supplémentaire tombe entre les deux.

e) La partie entière et la partie décimale du logarithme jouent des rôles différents : la partie entière donne la puissance de dix, la partie décimale donne le coefficient. Ici $2^{100}=10^{30{,}1030}=10^{0{,}1030}\times 10^{30}$, et $10^{0{,}1030}\approx 1{,}2677$. Donc $2^{100}\approx 1{,}27\times 10^{30}$, ce qui est l'affichage du logiciel. C'est le principe de la notation scientifique, et c'était celui des tables de logarithmes avant la calculatrice : on lisait la caractéristique et la mantisse séparément.