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Math TS, secondaire 4 à Montréal • Arithmétique

Fiche de révision : les exposants, les radicaux et la valeur absolue

Cette fiche de révision accompagne le premier chapitre du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire, celui qui fournit l'outillage de toute l'année : la valeur absolue, les lois des exposants, les exposants fractionnaires et les opérations sur les radicaux.

Elle ne redit pas le cours, que vous avez déjà. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les trois contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Un indice PAIR ne rend jamais un nombre négatif : dès qu'une racine paire annule une puissance paire, c'est une valeur absolue qui sort, et non le nombre de départ.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
  2. 2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3

L'essentiel

La valeur absolue est une distance, pas un effaceur de signe

  • • ∣a∣|a| est la distance de aa à zéro, et ∣a−b∣|a-b| la distance entre aa et bb. Une distance ne dépend pas du sens du trajet, donc ∣a−b∣=∣b−a∣|a-b|=|b-a| TOUJOURS.
  • • Pour enlever les barres, on regarde le SIGNE de ce qu'elles contiennent : on recopie si c'est positif, on change tous les signes si c'est négatif. Avec x<2x<2, on a donc ∣x−2∣=2−x|x-2|=2-x.
  • • ∣A∣=k|A|=k avec k>0k>0 donne DEUX équations. ∣A∣<k|A|<k donne un seul intervalle, −k<A<k-k<A<k. ∣A∣>k|A|>k donne deux morceaux séparés. Et ∣A∣|A| ne vaut jamais un nombre négatif.
-7049distance 7distance 5
La barre mesure un écart : ∣−7∣=7|-7|=7 et ∣4−9∣=∣9−4∣=5|4-9|=|9-4|=5, le même nombre dans les deux sens.

Un radical est un exposant fractionnaire

  • • amn=am/n\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n} : l'INDICE passe au dénominateur de l'exposant, la puissance sous le radical passe au numérateur. Tout le chapitre se ramène à cette seule écriture.
  • • Les cinq lois valent alors pour les exposants fractionnaires comme pour les entiers : aman=am+na^{m}a^{n}=a^{m+n}, aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, (am)n=amn(a^{m})^{n}=a^{mn}, (ab)n=anbn(ab)^{n}=a^{n}b^{n} et (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}.
  • • Un exposant négatif fabrique un INVERSE, jamais un opposé : a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}, et le résultat garde le signe de la base. Traverser la barre de fraction change le signe de l'exposant, et rien d'autre.
  • • Pour calculer de tête, on écrit d'abord la base comme une puissance de son plus petit facteur : 323/5=(25)3/5=23=832^{3/5}=(2^{5})^{3/5}=2^{3}=8. Et l'on prend TOUJOURS la racine avant la puissance.

C'est l'indice qui décide de tout

  • • Indice IMPAIR : la racine existe pour tout réel et le signe traverse. −83=−2\sqrt[3]{-8}=-2, −325=−2\sqrt[5]{-32}=-2.
  • • Indice PAIR : la base doit être positive ou nulle, et le résultat est positif. (−6)2=6\sqrt{(-6)^{2}}=6, pas −6-6.
  • • D'où la règle générale, qui est le fil de tout le chapitre : a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=|a|, et plus largement, si l'exposant qui RESTE après simplification est impair sous un indice pair, il faut une valeur absolue. Ainsi x6=∣x∣3\sqrt{x^{6}}=|x|^{3}, mais x4=x2\sqrt{x^{4}}=x^{2}, déjà positif.
  • • On n'additionne que des radicaux SEMBLABLES, de même indice et de même radicande, après avoir extrait les carrés parfaits. La multiplication et la division, elles, se font toujours : 6×15=90=310\sqrt{6}\times\sqrt{15}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Simplifier x2\sqrt{x^{2}} sans connaître le signe de xx

toute la question, et souvent la suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2=x\sqrt{x^{2}}=x

Ce qu'il faut écrire

x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x|

-4-3-2-11234-5-4-3-2-11234y = |x|y = x, pointillé
À droite de zéro les deux courbes sont confondues ; à gauche l'une monte et l'autre descend, et c'est exactement l'écart que la valeur absolue corrige.

Pourquoi : Une racine carrée ne rend jamais de négatif. Avec x=−3x=-3, le membre de gauche vaut 9=3\sqrt{9}=3 et le membre de droite vaut −3-3 : l'égalité est fausse pour tout xx négatif, donc pour la moitié des réels. La forme correcte, ∣x∣|x|, est vraie partout.

2. Calculer une différence de valeurs absolues

1 point, et la confiance du correcteur sur le reste de la copie

Ce qu'il ne faut pas écrire

∣−3∣−∣−5∣=2|-3|-|-5|=2, une valeur absolue étant positive

Ce qu'il faut écrire

∣−3∣−∣−5∣=3−5=−2|-3|-|-5|=3-5=-2

Pourquoi : La barre ne couvre que ce qui est entre elle et sa jumelle. Chaque valeur absolue est bien positive, 33 et 55, mais leur DIFFÉRENCE ne l'est pas. Le résultat positif n'est garanti que pour ∣a∣|a|, jamais pour un calcul fait avec des valeurs absolues.

3. Écrire sans valeur absolue une différence de deux nombres irrationnels

1 point, et la question suivante si elle réutilise le résultat

Ce qu'il ne faut pas écrire

∣2−2∣=2−2|2-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-2, on retourne par réflexe

Ce qu'il faut écrire

2≈1,41<2\sqrt{2}\approx 1{,}41<2, donc 2−22-\sqrt{2} est POSITIF et ∣2−2∣=2−2|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}

Pourquoi : On ne retourne une différence que si elle est négative, et cela se DÉCIDE par une comparaison, pas par habitude. Comparez toujours les deux nombres d'abord : ∣3−π∣=π−3|3-\pi|=\pi-3 parce que π>3\pi>3, mais ∣2−2∣=2−2|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2} parce que 2<2\sqrt{2}<2. Deux écritures voisines, deux traitements opposés.

4. Simplifier une racine d'une somme de carrés

toute la question, et tout Pythagore avec elle

Ce qu'il ne faut pas écrire

a2+b2=a+b\sqrt{a^{2}+b^{2}}=a+b

Ce qu'il faut écrire

a2+b2\sqrt{a^{2}+b^{2}} ne se simplifie pas ; c'est a2b2\sqrt{a^{2}b^{2}} qui vaut ∣ab∣|ab|

Pourquoi : Avec a=3a=3 et b=4b=4, la gauche vaut 25=5\sqrt{25}=5 et la droite vaut 77. La racine se distribue sur un PRODUIT et sur un QUOTIENT, jamais sur une somme. C'est la même faute qui, en géométrie, fait écrire que l'hypoténuse est la somme des deux côtés.

5. Interpréter un exposant négatif

1 à 2 points, et toute une simplification littérale

Ce qu'il ne faut pas écrire

1a−3=−a3\dfrac{1}{a^{-3}}=-a^{3}, ou encore « x−2x^{-2} est négatif »

Ce qu'il faut écrire

1a−3=a3\dfrac{1}{a^{-3}}=a^{3}, et x−2=1x2>0x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}>0 pour tout x≠0x\neq 0

Pourquoi : Un exposant négatif fabrique un INVERSE, pas un opposé. Avec a=2a=2 : 12−3=10,125=8\dfrac{1}{2^{-3}}=\dfrac{1}{0{,}125}=8, et non −8-8. Le signe du résultat est celui de la base, et 3−23^{-2} comme (−3)−2(-3)^{-2} valent tous deux 19\dfrac{1}{9}.

6. Résoudre ∣2x+1∣≥5|2x+1|\ge 5

toute la question : l'ensemble donné est exactement le complémentaire du bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

−5≤2x+1≤5-5\le 2x+1\le 5, donc −3≤x≤2-3\le x\le 2

Ce qu'il faut écrire

2x+1≥52x+1\ge 5 OU 2x+1≤−52x+1\le -5, donc x≥2x\ge 2 ou x≤−3x\le -3

Pourquoi : Une distance PLUS GRANDE que 55 décrit ce qui est loin de zéro, donc deux morceaux séparés, pas un bloc central. L'erreur produit l'ensemble complémentaire, ce qui est la pire réponse possible : chaque nombre proposé est faux. Contrôle : x=3x=3 donne ∣7∣=7≥5|7|=7\ge 5, il doit donc être DANS la solution.

7. Calculer (827)2/3\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3} de tête

0,5 point, et surtout deux minutes perdues en examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

On élève 88 et 2727 au carré, puis on cherche la racine cubique de 64729\dfrac{64}{729}

Ce qu'il faut écrire

Racine cubique d'abord, 23\dfrac{2}{3}, puis carré, 49\dfrac{4}{9}

Pourquoi : Le résultat est le même, mais le chemin ne l'est pas : la racine d'abord travaille sur des nombres à un chiffre, la puissance d'abord sur des nombres à trois chiffres dont il faut ensuite reconnaître le cube. En examen sans calculatrice, le second chemin échoue une fois sur deux.

Quelle méthode choisir

Faut-il une valeur absolue en sortant de la racine ?

On simplifie amn\sqrt[n]{a^{m}} et l'on ne connaît pas le signe de aa

|A| < k : un seul intervalle|A| = k : deux points|A| > k : deux morceaux
Les trois situations à ne pas confondre : le trait plein est la solution. Un « plus grand que » donne deux demi-droites, jamais un bloc central.

  • Si L'indice nn est IMPAIR → Aucune valeur absolue : le signe traverse

    Exemple : x33=x\sqrt[3]{x^{3}}=x, et −325=−2\sqrt[5]{-32}=-2

  • Si L'indice nn est PAIR et l'exposant qui RESTE après simplification est PAIR → Aucune valeur absolue : le résultat est déjà positif

    Exemple : x4=x2\sqrt{x^{4}}=x^{2}, et 16m84=2m2\sqrt[4]{16m^{8}}=2m^{2}

  • Si L'indice nn est PAIR et l'exposant qui RESTE est IMPAIR → Valeur absolue obligatoire

    Exemple : x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x|, et x6=∣x∣3\sqrt{x^{6}}=|x|^{3}

  • Si L'énoncé précise a>0a>0 ou le contexte l'impose (une longueur, une vitesse) → Aucune valeur absolue, mais on l'ÉCRIT dans la copie

    Exemple : v2=170dv^{2}=170d avec v≥0v\ge 0 donne v=170dv=\sqrt{170d}, la racine négative étant rejetée

Le test se fait sur l'exposant RESTANT, pas sur celui de l'énoncé : dans x6\sqrt{x^{6}}, c'est le 33 de ∣x∣3|x|^{3} qui décide, pas le 66.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation ou une inéquation à valeur absolue

Quand l'utiliser : Dès qu'une inconnue apparaît entre deux barres

  1. 1 Regarder le SECOND membre. S'il est négatif, conclure immédiatement : aucune solution. S'il est nul, une seule équation.
  2. 2 Écrire les deux cas, en toutes lettres, avec le connecteur juste : « ou » pour une égalité et pour un « plus grand que », « et » pour un « plus petit que ».
  3. 3 Résoudre chaque cas séparément, en ligne, sans mélanger les deux colonnes.
  4. 4 Réunir : une union pour deux morceaux séparés, un seul intervalle sinon. Donner la réponse en notation d'intervalle.
  5. 5 Vérifier avec un nombre de chaque morceau ET un nombre du milieu, qui doit être exclu.

Phrase de conclusion

« Puisque ∣A∣≥5|A|\ge 5, on a A≥5A\ge 5 ou A≤−5A\le -5. » Puis : « L'ensemble-solution est ]−∞ ;−3]∪[2 ;+∞[]-\infty\,;-3]\cup[2\,;+\infty[. »

Le piège : En retournant l'inégalité pour le second cas, il faut AUSSI retourner son sens : 2x+1≤−52x+1\le -5, et non 2x+1≥−52x+1\ge -5.

Barème : 1 point pour les deux cas posés, 1 point par résolution, 1 point pour l'union correctement écrite. Une copie qui n'écrit qu'un seul cas plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Résoudre ∣2x−7∣≥3|2x-7|\ge 3 et écrire l'ensemble-solution

Résolvez l'inéquation ∣2x−7∣≥3|2x-7|\ge 3 dans l'ensemble des réels, et donnez l'ensemble-solution en notation d'intervalle.

Étape 1

Le second membre vaut 33, qui est strictement positif : l'inéquation a des solutions et le cas « aucune solution » est écarté.

Pourquoi

Ce tri prend trois secondes et il évite de résoudre pour rien. Avec un second membre négatif, un « plus grand que » est vrai PARTOUT et un « plus petit que » n'a aucune solution : deux réponses immédiates que le calcul ne donnerait pas.

Étape 2

∣2x−7∣≥3|2x-7|\ge 3 équivaut à 2x−7≥32x-7\ge 3 OU 2x−7≤−32x-7\le -3.

Pourquoi

Un « plus grand que » décrit ce qui est LOIN de zéro, donc les deux extrémités de la droite. Le connecteur est « ou », et le second cas retourne l'inégalité ET son sens : oublier de retourner le sens est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Étape 3

Premier cas : 2x≥102x\ge 10, donc x≥5x\ge 5. Second cas : 2x≤42x\le 4, donc x≤2x\le 2.

Pourquoi

On résout les deux cas en parallèle mais séparément, jamais en une chaîne d'inégalités : une chaîne 3≤2x−7≤−33\le 2x-7\le -3 n'a aucun sens, puisque 33 n'est pas inférieur à −3-3. Cette absurdité est d'ailleurs le signal qu'on s'est trompé de cas de figure.

Étape 4

L'ensemble-solution est ]−∞ ;2]∪[5 ;+∞[]-\infty\,;2]\cup[5\,;+\infty[.

Pourquoi

Deux morceaux séparés se réunissent par une UNION, et les crochets sont fermés parce que l'inégalité est large : x=5x=5 donne ∣3∣=3|3|=3, qui est bien supérieur ou égal à 33. Un crochet ouvert ici coûte un demi-point.

Étape 5

Contrôle : x=0x=0 donne ∣−7∣=7≥3|-7|=7\ge 3, accepté ; x=6x=6 donne ∣5∣=5≥3|5|=5\ge 3, accepté ; x=3,5x=3{,}5 donne ∣0∣=0<3|0|=0<3, rejeté.

Pourquoi

On teste un point de chaque morceau ET un point du milieu. Si le point du milieu passait, l'ensemble serait le complémentaire du bon, et c'est exactement l'erreur que ce contrôle attrape.

Conclusion rédigée

S= ]−∞ ;2]∪[5 ;+∞[S=\,]-\infty\,;2]\cup[5\,;+\infty[, c'est-à-dire tous les nombres dont la distance à 3,53{,}5 est d'au moins 1,51{,}5.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire −3≤2x−7≤3-3\le 2x-7\le 3, donc 2≤x≤52\le x\le 5 : c'est la solution de ∣2x−7∣≤3|2x-7|\le 3, exactement le complémentaire de la bonne réponse. Chaque nombre proposé est alors faux.

À savoir par cœur

  • • ∣a−b∣=∣b−a∣|a-b|=|b-a| : une distance ne dépend pas du sens.
  • • a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=|a|, jamais aa.
  • • a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} : un inverse, pas un opposé.
  • • amn=am/n\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n} : l'indice en bas, la puissance en haut.
  • • Racine d'abord, puissance ensuite.
  • • ∣A∣<k|A|<k donne un intervalle ; ∣A∣>k|A|>k donne deux morceaux.
  • • ∣A∣|A| n'égale jamais un nombre négatif.
  • • a2+b2≠a+b\sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq a+b : la racine ne se distribue pas sur une somme.
  • • Indice impair : le signe traverse. Indice pair : la base doit être positive.
  • • On n'additionne que des radicaux de même indice ET de même radicande.

Questions fréquentes

Pourquoi la racine carrée de x au carré donne-t-elle la valeur absolue de x ?

Parce qu'une racine carrée ne rend jamais un nombre négatif. Si x vaut moins trois, alors x au carré vaut neuf, et la racine de neuf vaut trois, pas moins trois. La seule écriture vraie pour tout x est la valeur absolue de x. La règle générale : sous un indice pair, si l'exposant qui reste après simplification est impair, il faut une valeur absolue.

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue en secondaire 4 TS ?

Regardez d'abord le signe du second membre, puis le sens de l'inégalité. Un plus petit que décrit ce qui est proche de zéro, donc un seul intervalle centré. Un plus grand que décrit ce qui est loin, donc deux morceaux séparés réunis par une union. Dans le second cas, n'oubliez pas de retourner le sens de l'inégalité en même temps que le signe.

Est-ce qu'un exposant négatif rend le résultat négatif ?

Non, jamais. Un exposant négatif fabrique un inverse : a puissance moins n vaut un sur a puissance n. Le signe du résultat est celui de la base. Ainsi trois puissance moins deux et moins trois puissance moins deux valent tous les deux un neuvième, un nombre positif.

Comment calculer une puissance fractionnaire sans calculatrice ?

Écrivez la base comme une puissance de son plus petit facteur, puis multipliez les exposants. Par exemple trente-deux puissance trois cinquièmes : trente-deux vaut deux puissance cinq, donc le résultat est deux puissance trois, soit huit. Prenez toujours la racine avant la puissance, les nombres restent petits.

Peut-on additionner deux racines carrées ?

Seulement si elles sont semblables, c'est-à-dire de même indice et de même nombre sous le radical. Commencez par extraire les carrés parfaits : racine de douze vaut deux racine de trois, donc racine de douze plus racine de trois vaut trois racine de trois. En revanche la racine d'une somme ne se sépare jamais.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les exposants, les radicaux et la valeur absolue

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Les logarithmes et le changement de baseLa fonction racine carrée de sommet à l'origineLa fonction exponentielle

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