Math TS, secondaire 4 à Montréal • Arithmétique

Fiche de révision : les logarithmes et le changement de base

Q: Qu'est-ce qu'un logarithme, en une phrase ?

C'est l'exposant qu'il faut donner à la base pour obtenir l'argument. Le logarithme en base deux de soixante-quatre vaut six, parce que deux puissance six donne soixante-quatre. Tout le chapitre découle de cette seule phrase, y compris les trois lois, qui sont les lois des exposants relues à l'envers.

Q: Comment calculer un logarithme en base 7 avec une calculatrice ?

Par le changement de base : divisez le logarithme népérien de l'argument par celui de la base, ou bien les deux logarithmes décimaux. Le résultat est le même à condition de ne pas mélanger les deux touches. Encadrez d'abord entre deux puissances de sept, pour vérifier que la valeur obtenue est plausible.

Q: Pourquoi le logarithme d'un nombre négatif n'existe-t-il pas ?

Parce qu'aucune puissance d'un nombre positif ne donne un résultat négatif. Chercher le logarithme en base deux de moins huit revient à chercher un exposant tel que deux puissance cet exposant vaille moins huit, ce qui est impossible. Attention : un logarithme négatif, lui, est parfaitement normal, il signale un argument compris entre zéro et un.

Q: Est-ce que le logarithme d'une somme se développe ?

Non, jamais. La somme de deux logarithmes est le logarithme du produit, pas de la somme. La raison est profonde : aucune loi des exposants ne simplifie une somme de puissances de même base, donc la démonstration qui donne la loi du produit n'a pas d'équivalent pour la somme. Vérifiez sur un exemple simple si vous hésitez.

Q: Comment savoir combien de chiffres a un très grand nombre ?

Prenez son logarithme décimal, gardez la partie entière et ajoutez un. Pour deux puissance cent, le logarithme vaut environ trente virgule cent trois, donc le nombre compte trente et un chiffres. La partie décimale sert aussi : elle donne le coefficient de la notation scientifique.

Cette fiche de révision accompagne la seconde moitié du chapitre d'arithmétique de la Technico-sciences de quatrième secondaire : la définition du logarithme, les trois lois, le changement de base et les conditions d'existence.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Un logarithme est un EXPOSANT : chaque loi des logarithmes est une loi des exposants relue à l'envers, et tout ce qui est interdit l'est parce qu'aucun exposant ne donnerait ce résultat.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les exposants, les radicaux et la valeur absolue Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Les exposants, les radicaux et la valeur absolue

L'essentiel

La définition, et tout ce qui en découle

• $\log_{b}a=c$ signifie $b^{c}=a$ . Le logarithme RÉPOND à la question « à quelle puissance faut-il élever $b$ pour obtenir $a$ ? ». La valeur d'un logarithme est donc un exposant.
• Trois identités gratuites, valables dans toute base : $\log_{b}1=0$ , $\log_{b}b=1$ et $\log_{b}b^{k}=k$ . Elles se retrouvent en une seconde par la définition, et elles servent à presque chaque question.
• L'argument est TOUJOURS strictement positif : aucune puissance d'une base positive ne vaut zéro ni un nombre négatif, donc $\log_{b}0$ et $\log_{b}(-8)$ n'existent pas. En revanche un logarithme NÉGATIF est normal : il signale un argument compris entre $0$ et $1$ .
• La base doit vérifier $b>0$ et $b\neq 1$ . Avec $b=1$ , l'équation $1^{c}=7$ n'aurait aucune solution et $1^{c}=1$ en aurait une infinité.

La courbe plonge sans fin le long de l'axe vertical sans jamais le toucher : c'est cela, «

\log_{2}0

n'existe pas », et rien n'existe à gauche non plus.

Les trois lois, et ce qu'elles ne disent pas

• $\log_{b}(MN)=\log_{b}M+\log_{b}N$ , $\log_{b}\dfrac{M}{N}=\log_{b}M-\log_{b}N$ et $\log_{b}(M^{k})=k\log_{b}M$ . Elles ne valent qu'entre logarithmes de MÊME BASE.
• Elles se démontrent en trois lignes : si $b^{x}=M$ et $b^{y}=N$ , alors $MN=b^{x+y}$ , donc $\log_{b}(MN)=x+y$ . C'est la loi du produit des exposants, relue à l'envers.
• Un coefficient monte en exposant de l'ARGUMENT : $2\log x=\log(x^{2})$ , et jamais $(\log x)^{2}$ . Inversement $\dfrac{1}{2}\log x=\log\sqrt{x}$ .
• Rien ne se développe sur une somme : $\log(M+N)$ ne se casse pas, parce qu'aucune loi des exposants ne simplifie $b^{x}+b^{y}$ . Ce n'est pas une interdiction arbitraire, c'est l'absence d'une loi en amont.

Changement de base, et encadrement

• Une calculatrice n'offre que $\log$ en base dix et $\ln$ en base $e$ . Pour toute autre base : $\log_{b}a=\dfrac{\log a}{\log b}=\dfrac{\ln a}{\ln b}$ . On choisit l'une ou l'autre, jamais une de chaque.
• Conséquence utile : $\log_{b}a=\dfrac{1}{\log_{a}b}$ , puisque les deux quotients sont inverses l'un de l'autre.
• ENCADRER AVANT DE CALCULER : on encadre l'argument entre deux puissances consécutives de la base, et le logarithme est entre les deux exposants. $32<50<64$ donne $5<\log_{2}50<6$ , en cinq secondes et sans calculatrice.
• À argument fixé et supérieur à $1$ , plus la base est GRANDE, plus le logarithme est PETIT : une grande base avance par grands pas, il en faut moins.
• Le logarithme décimal compte les chiffres : un entier $N$ en a $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$ . Sa partie entière donne la puissance de dix, sa partie décimale donne le coefficient de la notation scientifique.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Simplifier un quotient de deux logarithmes

toute la question, et la suivante si elle réutilise la valeur

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{\log 8}{\log 2}=\log 4$ , puisqu'on divise $8$ par $2$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{\log 8}{\log 2}=\log_{2}8=3$ ; c'est $\log 8-\log 2$ qui vaut $\log 4$

Pourquoi : La barre de fraction entre deux logarithmes est un CHANGEMENT DE BASE, le signe moins est la loi du quotient. Les deux résultats n'ont rien à voir : $3$ d'un côté, $\log 4\approx 0{,}602$ de l'autre. C'est l'erreur numéro un du chapitre, et elle se détecte en calculant les deux nombres.

2. Chercher le logarithme d'un nombre négatif

toute la question, et un domaine faux dans toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{2}(-8)=-3$ , puisque $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$

Ce qu'il faut écrire

$\log_{2}(-8)$ n'existe pas ; c'est $\log_{2}\dfrac{1}{8}$ qui vaut $-3$

Pourquoi : L'affirmation confond l'OPPOSÉ, $-8$ , et l'INVERSE, $\dfrac{1}{8}$ . Aucune puissance de $2$ n'est négative, donc aucun exposant ne convient. Retenez la distinction : un logarithme négatif est normal, un ARGUMENT négatif ne l'est jamais.

3. Faire monter un coefficient

1 à 2 points, et souvent une équation entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

$(\log x)^{2}=2\log x$

Ce qu'il faut écrire

$2\log x=\log\left(x^{2}\right)$ , et $(\log x)^{2}$ ne se simplifie pas

Pourquoi : Le coefficient monte en exposant de l'ARGUMENT, pas du logarithme entier. Contre-exemple avec $x=1000$ : $(\log 1000)^{2}=3^{2}=9$ , alors que $2\log 1000=6$ . Attention au choix du contre-exemple : avec $x=100$ les deux membres valent $4$ , et cette valeur ne réfute rien.

4. Développer le logarithme d'une somme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log_{5}(25+5)=\log_{5}25+\log_{5}5$

Ce qu'il faut écrire

$\log_{5}25+\log_{5}5=\log_{5}(25\times 5)=\log_{5}125=3$

Pourquoi : La somme de deux logarithmes est le logarithme du PRODUIT, jamais de la somme. Le contrôle était immédiat ici : $\log_{5}25=2$ et $\log_{5}5=1$ se calculent de tête, leur somme vaut $3$ , alors que $\log_{5}30\approx 2{,}113$ . Deux nombres différents, donc l'affirmation est fausse.

5. Condenser une somme de logarithmes sans écrire le domaine

1 point, et toutes les racines étrangères des équations logarithmiques

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log(x-1)+\log(x+2)=\log\left[(x-1)(x+2)\right]$ , les deux écritures étant équivalentes

Ce qu'il faut écrire

Elles coïncident sur $]1\,;+\infty[$ seulement ; la forme condensée vit AUSSI sur $]-\infty\,;-2[$

Pourquoi : Une somme n'existe que si CHAQUE terme existe, donc $x>1$ . Un produit n'a besoin que d'être positif, ce qui arrive aussi quand les deux facteurs sont négatifs : $x=-5$ donne $\log 18$ , parfaitement défini, alors que $\log(-6)$ ne l'est pas. Condenser ÉLARGIT le domaine, et c'est de là que viennent les racines étrangères.

6. Comparer deux calibres de fil électrique

toute la question, et un contresens sur l'échelle elle-même

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le calibre $24$ est deux fois plus fin que le calibre $12$ , puisque $24$ est le double de $12$

Ce qu'il faut écrire

Le rapport des diamètres vaut $92^{12/39}\approx 4{,}02$ : le calibre $24$ est QUATRE fois plus fin

Les numéros sont régulièrement espacés mais les diamètres sont divisés par deux tous les six calibres : c'est pour cela qu'on soustrait les numéros au lieu de les diviser.

Pourquoi : Un numéro de calibre est un EXPOSANT déguisé : le diamètre vaut $0{,}127\times 92^{\,(36-n)/39}$ , donc le numéro est proportionnel au LOGARITHME du diamètre. On ne divise jamais deux numéros d'une échelle logarithmique, on les SOUSTRAIT pour obtenir un rapport. Six calibres de plus, c'est un diamètre divisé par deux, partout sur l'échelle.

7. Interpréter un logarithme nul

1 point, souvent au moment de rejeter une solution

Ce qu'il ne faut pas écrire

Si $\log_{b}a=0$ , alors $a=0$

Ce qu'il faut écrire

Si $\log_{b}a=0$ , alors $b^{0}=a$ , donc $a=1$

Pourquoi : L'affirmation confond le RÉSULTAT du logarithme et son ARGUMENT. Le logarithme de $1$ vaut zéro dans toute base ; c'est lorsque l'argument s'approche de ZÉRO que le logarithme plonge vers moins l'infini, comme le montre la courbe de l'essentiel.

Quelle méthode choisir

Par quelle route calculer $\log_{b}a$ ?

On doit donner la valeur de $\log_{b}a$ , exacte si possible

Les trois courbes passent toutes par le point

(1\,;0)

puis s'écartent : à argument égal, plus la base est grande, plus le logarithme est bas.

Si L'argument est une puissance ENTIÈRE de la base → Réponse exacte immédiate, par la définition

Exemple : $\log_{2}64=6$ car $2^{6}=64$ ; $\log_{4}\dfrac{1}{16}=-2$
Si L'argument est une RACINE de la base → Exposant fractionnaire : la réponse est une fraction

Exemple : $\log_{9}3=\dfrac{1}{2}$ car $9^{1/2}=3$ ; $\log_{8}2=\dfrac{1}{3}$
Si L'expression est une somme ou une différence de logarithmes de MÊME base → Condenser d'abord par les lois, puis reprendre en haut de l'arbre

Exemple : $\log_{3}5+\log_{3}18-\log_{3}10=\log_{3}9=2$
Si La base est $10$ ou $e$ → Touche $\log$ ou touche $\ln$ , directement

Exemple : $\log 4567\approx 3{,}660$ , entre $3$ et $4$ comme prévu
Si Aucune des précédentes → Encadrer, PUIS changement de base

Exemple : $\log_{7}200$ : entre $2$ et $3$ car $49<200<343$ , puis $\dfrac{\ln 200}{\ln 7}\approx 2{,}723$

L'encadrement n'est pas une étape facultative : c'est lui qui attrape une erreur de touche, un quotient inversé ou un $\ln$ mélangé à un $\log$ .

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger le calcul d'un logarithme en base quelconque

Quand l'utiliser : Dès que la base n'est ni $10$ ni $e$ et que l'argument n'est pas une puissance de la base

1 Encadrer : écrire les deux puissances de la base qui entourent l'argument, et en déduire les deux entiers qui encadrent le résultat.
2 Écrire la formule du changement de base AVEC les nombres, pas seulement le résultat.
3 Donner la valeur à la précision demandée, et vérifier qu'elle tombe dans l'encadrement.
4 Vérifier en remontant à la forme exponentielle, jamais en refaisant le même quotient.

Phrase de conclusion

« Comme $7^{2}=49<200<343=7^{3}$ , on a $2<\log_{7}200<3$ . Le changement de base donne $\log_{7}200=\dfrac{\ln 200}{\ln 7}\approx 2{,}723$ , et $7^{2{,}723}\approx 200{,}08$ . »

Le piège : Mélanger $\ln$ au numérateur et $\log$ au dénominateur : le quotient donne alors $6{,}269$ , une valeur hors de l'encadrement, donc visiblement fausse.

Barème : 1 point pour l'encadrement, 1 point pour la formule écrite avec les nombres, 1 point pour la valeur, 1 point pour la vérification exponentielle.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Encadrer, toujours

Avant ou après le calcul, placer l'argument entre deux puissances consécutives de la base.

$\log_{3}200$ : $81<200<243$ , donc le résultat est entre $4$ et $5$ . Une réponse de $1{,}7$ ou de $12$ est fausse sans qu'on ait besoin de refaire le calcul.
Remonter à la forme exponentielle

Élever la base à la valeur trouvée : on doit retomber sur l'argument, à l'arrondi près.

$\log_{7}200\approx 2{,}723$ se vérifie par $7^{2{,}723}\approx 200{,}08$ , et l'écart vient de l'arrondi de l'exposant.
Le signe se lit sur l'argument

Argument supérieur à $1$ , logarithme positif ; argument entre $0$ et $1$ , logarithme négatif ; argument négatif ou nul, rien du tout.

$\log_{5}0{,}3$ doit sortir NÉGATIF : le résultat $-0{,}748$ est plausible, le résultat $0{,}748$ ne l'est pas.
Le domaine avant la solution

Dans toute écriture avec une inconnue sous un logarithme, écrire le domaine avant de condenser, et rejeter ensuite toute solution hors de ce domaine.

Pour $\log(x-1)+\log(x+2)$ , le domaine est $]1\,;+\infty[$ : une solution $x=-5$ trouvée sur la forme condensée est à rejeter.

L'exercice type décortiqué

Combien de chiffres compte $3^{200}$ , et par quel chiffre commence-t-il ?

Déterminez le nombre de chiffres de l'entier $3^{200}$ , puis le premier chiffre de son écriture décimale. On prendra $\log_{10}3\approx 0{,}4771213$ .

Étape 1

Un entier $N$ à $n$ chiffres vérifie $10^{\,n-1}\le N<10^{\,n}$ , donc $n-1\le\log_{10}N<n$ : le nombre de chiffres vaut $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$ .

Pourquoi

C'est la seule chose à savoir, et elle se retrouve par un exemple si on l'oublie : $1000$ a quatre chiffres et son logarithme vaut $3$ . Le logarithme décimal COMPTE les chiffres, il ne les calcule pas.

Étape 2

$\log_{10}\left(3^{200}\right)=200\log_{10}3\approx 200\times 0{,}4771213=95{,}42426$ .

Pourquoi

La loi de la puissance fait descendre l'exposant en coefficient, ce qui remplace un nombre de quatre-vingt-seize chiffres par une multiplication à une décimale. C'est exactement l'usage pour lequel les logarithmes ont été inventés.

Étape 3

La partie entière vaut $95$ , donc $3^{200}$ compte $96$ chiffres.

Pourquoi

On prend la partie ENTIÈRE, puis on ajoute $1$ . Répondre $95$ est l'erreur la plus fréquente : elle oublie que le premier chiffre compte, comme $1000$ a quatre chiffres pour un logarithme de $3$ .

Étape 4

La partie décimale vaut $0{,}42426$ , et $10^{0{,}42426}\approx 2{,}656$ . Donc $3^{200}\approx 2{,}656\times 10^{95}$ et le premier chiffre est $2$ .

Pourquoi

Partie entière et partie décimale jouent des rôles différents : l'entière donne la puissance de dix, la décimale donne le coefficient de la notation scientifique. C'est ainsi qu'on lisait les tables de logarithmes avant la calculatrice, la caractéristique et la mantisse.

Étape 5

Contrôle : $3^{200}=\left(3^{2}\right)^{100}=9^{100}$ , et $100\log_{10}9\approx 100\times 0{,}9542425=95{,}42425$ . Même résultat.

Pourquoi

Le contrôle est INDÉPENDANT : il passe par une autre écriture de la puissance, donc une autre valeur de logarithme, et il retombe sur le même nombre. Refaire le même produit avec la même touche ne vérifie rien.

Conclusion rédigée

$3^{200}$ compte $96$ chiffres et commence par $2$ : c'est environ $2{,}656\times 10^{95}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $95$ chiffres, en oubliant le $+1$ , ou pire, tenter le calcul direct à la calculatrice, qui affiche une erreur de dépassement et laisse la copie vide.

À savoir par cœur

• $\log_{b}a=c$ veut dire $b^{c}=a$ : un logarithme est un exposant.
• $\log_{b}1=0$ , $\log_{b}b=1$ , $\log_{b}b^{k}=k$ , dans toute base.
• Somme de logarithmes, logarithme du PRODUIT. Jamais de la somme.
• $2\log x=\log\left(x^{2}\right)$ , jamais $(\log x)^{2}$ .
• $\dfrac{\log 8}{\log 2}=\log_{2}8$ : la barre est un changement de base.
• $\log_{b}a=\dfrac{\ln a}{\ln b}$ , et $\log_{b}a=\dfrac{1}{\log_{a}b}$ .
• Argument strictement positif, toujours. Résultat négatif, c'est permis.
• Encadrer entre deux puissances de la base avant de croire sa calculatrice.
• Base plus grande, logarithme plus petit, pour un argument supérieur à $1$ .
• Nombre de chiffres de $N$ : $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$ .

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un logarithme, en une phrase ?

C'est l'exposant qu'il faut donner à la base pour obtenir l'argument. Le logarithme en base deux de soixante-quatre vaut six, parce que deux puissance six donne soixante-quatre. Tout le chapitre découle de cette seule phrase, y compris les trois lois, qui sont les lois des exposants relues à l'envers.

Comment calculer un logarithme en base 7 avec une calculatrice ?

Par le changement de base : divisez le logarithme népérien de l'argument par celui de la base, ou bien les deux logarithmes décimaux. Le résultat est le même à condition de ne pas mélanger les deux touches. Encadrez d'abord entre deux puissances de sept, pour vérifier que la valeur obtenue est plausible.

Pourquoi le logarithme d'un nombre négatif n'existe-t-il pas ?

Parce qu'aucune puissance d'un nombre positif ne donne un résultat négatif. Chercher le logarithme en base deux de moins huit revient à chercher un exposant tel que deux puissance cet exposant vaille moins huit, ce qui est impossible. Attention : un logarithme négatif, lui, est parfaitement normal, il signale un argument compris entre zéro et un.

Est-ce que le logarithme d'une somme se développe ?

Non, jamais. La somme de deux logarithmes est le logarithme du produit, pas de la somme. La raison est profonde : aucune loi des exposants ne simplifie une somme de puissances de même base, donc la démonstration qui donne la loi du produit n'a pas d'équivalent pour la somme. Vérifiez sur un exemple simple si vous hésitez.

Comment savoir combien de chiffres a un très grand nombre ?

Prenez son logarithme décimal, gardez la partie entière et ajoutez un. Pour deux puissance cent, le logarithme vaut environ trente virgule cent trois, donc le nombre compte trente et un chiffres. La partie décimale sert aussi : elle donne le coefficient de la notation scientifique.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les logarithmes et le changement de base

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Les exposants, les radicaux et la valeur absolue Fiche suivante Les calculs algébriques et les expressions rationnelles

Ce chapitre resservira dans

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Les équations et les inéquations La fonction logarithmique

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L'essentiel

La définition, et tout ce qui en découle

Les trois lois, et ce qu'elles ne disent pas

Changement de base, et encadrement

Les pièges qui coûtent des points

1. Simplifier un quotient de deux logarithmes

2. Chercher le logarithme d'un nombre négatif

3. Faire monter un coefficient

4. Développer le logarithme d'une somme

5. Condenser une somme de logarithmes sans écrire le domaine

6. Comparer deux calibres de fil électrique

7. Interpréter un logarithme nul

Quelle méthode choisir

Par quelle route calculer log⁡ba\log_{b}alogb​a ?

La rédaction attendue

Rédiger le calcul d'un logarithme en base quelconque

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Combien de chiffres compte 32003^{200}3200, et par quel chiffre commence-t-il ?

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un logarithme, en une phrase ?

Comment calculer un logarithme en base 7 avec une calculatrice ?

Pourquoi le logarithme d'un nombre négatif n'existe-t-il pas ?

Est-ce que le logarithme d'une somme se développe ?

Comment savoir combien de chiffres a un très grand nombre ?

Exercices corrigés : Les logarithmes et le changement de base

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Par quelle route calculer $\log_{b}a$ ?

Combien de chiffres compte $3^{200}$ , et par quel chiffre commence-t-il ?