Exercices corrigés : les calculs algébriques et les expressions rationnelles (math TS, secondaire 4)

a) Trois termes par trois termes donnent neuf produits. $2x^{2}(x^{2}+4x-5)=2x^{4}+8x^{3}-10x^{2}$, puis $-3x(x^{2}+4x-5)=-3x^{3}-12x^{2}+15x$, puis $1(x^{2}+4x-5)=x^{2}+4x-5$. On additionne colonne par colonne : $2x^{4}+(8-3)x^{3}+(-10-12+1)x^{2}+(15+4)x-5=2x^{4}+5x^{3}-21x^{2}+19x-5$. Contrôle numérique en $x=1$ : le produit de départ vaut $(2-3+1)(1+4-5)=0\times 0=0$, et le développement donne $2+5-21+19-5=0$. Deux zéros, l'accord est vérifié.

b) On reconnaît la différence de carrés AVANT de développer quoi que ce soit : $(a+2b)(a-2b)=a^{2}-4b^{2}$. Il reste $(a^{2}-4b^{2})(a^{2}+4b^{2})$, encore une différence de carrés, qui donne $\left(a^{2}\right)^{2}-\left(4b^{2}\right)^{2}=a^{4}-16b^{4}$. Développer dans l'ordre d'écriture prendrait quatre fois plus de temps et produirait des termes qui finissent tous par s'annuler. Le bon réflexe est de chercher les paires conjuguées d'abord.

c) La figure donne la formule : $(A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB+2AC+2BC$, les trois carrés sur la diagonale et les six rectangles égaux deux à deux. Avec $A=3x$, $B=-y$ et $C=2$ : $A^{2}=9x^{2}$, $B^{2}=y^{2}$, $C^{2}=4$, $2AB=-6xy$, $2AC=12x$ et $2BC=-4y$. Donc $(3x-y+2)^{2}=9x^{2}+y^{2}+4-6xy+12x-4y$. Le signe moins du terme $-y$ voyage avec lui : il n'affecte pas $B^{2}$, qui est positif, mais il change les signes de $2AB$ et de $2BC$.

d) Comme en b), on regroupe les conjugués : $(x+3)(x-3)=x^{2}-9$ et $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$. Il reste $(x^{2}-9)(x^{2}-4)=x^{4}-4x^{2}-9x^{2}+36=x^{4}-13x^{2}+36$. Le polynôme obtenu n'a que des puissances paires, ce qui était prévisible : les quatre racines $3$, $-3$, $2$ et $-2$ sont symétriques deux à deux, donc le polynôme est pair.

e) On développe en deux temps. D'abord $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$. Puis on multiplie par $(x+c)$ : $x^{3}+(a+b)x^{2}+abx+cx^{2}+c(a+b)x+abc$, soit $x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+ac+bc)x+abc$. Le terme constant est bien $abc$, obtenu en prenant le terme constant dans CHAQUE parenthèse, et le coefficient de $x^{2}$ est $a+b+c$, obtenu en prenant $x$ dans deux parenthèses et la constante dans la troisième. Ce sont les relations entre coefficients et racines, et elles donnent une vérification instantanée de tout développement : la somme des racines se lit sur le coefficient de $x^{2}$.

a) On cherche par quoi multiplier $x$ pour obtenir $3x^{2}$ : c'est $3x$. On écrit $3x(x+4)=3x^{2}+12x$, on soustrait, et il reste $-x-4$. On recommence : $-1$ multiplié par $x+4$ donne $-x-4$, on soustrait, il reste $0$. Donc le quotient est $3x-1$ et le reste est nul. Vérification par le produit : $(x+4)(3x-1)=3x^{2}-x+12x-4=3x^{2}+11x-4$. Cette vérification prend dix secondes et doit être faite à chaque division.

b) Le polynôme n'a pas de terme en $x$ : on écrit donc $2x^{3}-5x^{2}+0x+9$. Premier quotient partiel : $2x^{2}$, qui donne $2x^{3}-6x^{2}$, reste $x^{2}+0x+9$. Deuxième : $x$, qui donne $x^{2}-3x$, reste $3x+9$. Troisième : $3$, qui donne $3x-9$, reste $18$. Donc $Q=2x^{2}+x+3$ et $R=18$. Sans le $0x$, la deuxième étape aurait fait descendre le $9$ à la place du terme en $x$, et le quotient aurait été de degré faux.

c) Le diviseur a un coefficient $2$ devant $x$, ce qui change la première question : par quoi multiplier $2x$ pour obtenir $8x^{3}$ ? Par $4x^{2}$. On obtient $8x^{3}-4x^{2}$, reste $4x^{2}+0x-1$. Puis $2x$ donne $4x^{2}-2x$, reste $2x-1$. Puis $1$ donne $2x-1$, reste $0$. Donc $Q=4x^{2}+2x+1$ et $R=0$. On retrouve la différence de cubes, $8x^{3}-1=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)$ : la division est une façon de factoriser quand on connaît un facteur.

d) Ici le diviseur est de degré $2$, ce qui ne change rien à la méthode. Par quoi multiplier $x^{2}$ pour obtenir $x^{4}$ ? Par $x^{2}$, qui donne $x^{4}-4x^{2}$, reste $-9x^{2}+36$. Puis $-9$ donne $-9x^{2}+36$, reste $0$. Donc $Q=x^{2}-9$ et $R=0$. C'est exactement le polynôme de l'exercice 1 d), $(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)$, dont on vient de retirer deux facteurs d'un coup.

e) Le reste est toujours de degré STRICTEMENT INFÉRIEUR à celui du diviseur, sinon on pourrait continuer à diviser. Un diviseur de degré $1$, comme $x-3$, impose donc un reste de degré $0$, c'est-à-dire un nombre. Un diviseur de degré $2$, comme $x^{2}-4$, autorise un reste de degré $1$, de la forme $ax+b$ : ici il se trouve être nul, mais rien ne l'obligeait. C'est le critère qui dit quand la division est TERMINÉE, et l'exercice 3 s'en sert.

a) L'égalité s'écrit $2x^{3}-5x^{2}+9=(x-3)\left(2x^{2}+x+3\right)+18$. En $x=5$ : le membre de gauche vaut $250-125+9=134$ ; le membre de droite vaut $2\times(50+5+3)+18=2\times 58+18=116+18=134$. En $x=0$ : à gauche $9$ ; à droite $(-3)\times 3+18=-9+18=9$. Les deux valeurs choisies ne sont pas au hasard : $x=0$ est toujours gratuit, il ne fait apparaître que les termes constants, et c'est la vérification la plus rapide qui existe.

b) On applique l'égalité dans l'autre sens : $A=(x-4)\left(3x^{2}+2x-1\right)+7$. On développe : $(x-4)(3x^{2}+2x-1)=3x^{3}+2x^{2}-x-12x^{2}-8x+4=3x^{3}-10x^{2}-9x+4$. On ajoute le reste : $A=3x^{3}-10x^{2}-9x+11$. Contrôle en $x=4$ : le facteur $(x-4)$ s'annule, donc $A(4)$ doit valoir exactement $R=7$. Or $A(4)=192-160-36+11=7$. C'est le meilleur contrôle possible, et il ne coûte qu'une substitution.

c) Les degrés s'additionnent dans un produit, donc $\deg A=\deg B+\deg Q$, soit $5=2+\deg Q$ et $\deg Q=3$. Le reste, lui, doit être de degré strictement inférieur à celui du diviseur, donc au plus $1$ : il est de la forme $ax+b$. Retenez la première égalité, elle permet d'annoncer le degré du quotient AVANT de poser la division, et donc de savoir combien d'étapes on aura à faire.

d) Parce que le reste annoncé, $x^{2}+1$, est de degré $2$, exactement le degré du diviseur $x^{2}-1$. La division n'est donc pas terminée : on peut encore diviser $x^{2}$ par $x^{2}$. La règle est absolue, $\deg R<\deg B$, et elle ne dépend d'aucun calcul : il suffit de comparer deux degrés pour savoir qu'une copie s'est arrêtée trop tôt. C'est l'erreur la plus fréquente sur la division par un binôme de degré deux.

e) Le dividende vaut $A=(x^{2}-1)(x^{2}+3)+x^{2}+1=x^{4}+2x^{2}-3+x^{2}+1=x^{4}+3x^{2}-2$. On reprend la division : $x^{4}$ divisé par $x^{2}$ donne $x^{2}$, qui produit $x^{4}-x^{2}$, reste $4x^{2}-2$ ; puis $4$ produit $4x^{2}-4$, reste $2$. Le vrai quotient est donc $Q=x^{2}+4$ et le vrai reste $R=2$, de degré $0$, bien inférieur à $2$. La copie s'était arrêtée avec une étape de retard, et l'on voit que le quotient qu'elle annonçait, $x^{2}+3$, était trop petit d'exactement $1$.

a) On factorise les deux étages : $x^{2}-25=(x-5)(x+5)$ et $x^{2}+2x-35=(x+7)(x-5)$, par produit-somme, $7\times(-5)=-35$ et $7+(-5)=2$. Les valeurs interdites sont les zéros du dénominateur de départ, donc $x=-7$ et $x=5$. Le facteur $(x-5)$ se simplifie et il reste $\dfrac{x+5}{x+7}$, pour tout $x$ différent de $-7$ ET de $5$. Ce sont les deux trous de la figure : la simplification les rend invisibles dans l'écriture, elle ne les supprime pas.

b) Au numérateur, mise en évidence simple : $3x^{2}-12x=3x(x-4)$. Au dénominateur, trinôme carré parfait : $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$. La seule valeur interdite est $x=4$. Après simplification d'un facteur $(x-4)$, il reste $\dfrac{3x}{x-4}$. Attention à ne pas simplifier les DEUX facteurs du carré : il n'y a qu'un $(x-4)$ au numérateur, donc il en reste un au dénominateur.

c) Les deux trinômes ont $2$ comme coefficient dominant. Numérateur : $2x^{2}+x-6=(2x-3)(x+2)$, ce qu'on vérifie en développant. Dénominateur : $2x^{2}-7x+6=(2x-3)(x-2)$. Les valeurs interdites sont les zéros du dénominateur, donc $x=\dfrac{3}{2}$ et $x=2$. Après simplification, il reste $\dfrac{x+2}{x-2}$.

d) Numérateur : $x^{3}-9x=x(x^{2}-9)=x(x-3)(x+3)$, en deux temps, mise en évidence puis différence de carrés. Dénominateur : $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. La seule valeur interdite est $x=-3$. Après simplification, il reste $\dfrac{x(x-3)}{x+3}$. Oublier la mise en évidence du $x$ au départ empêche de voir la différence de carrés, et la fraction paraît alors irréductible.

e) Parce qu'une simplification ne change pas la fonction, elle change seulement son écriture. En c), l'expression de départ n'a aucun sens en $x=\dfrac{3}{2}$, puisque le dénominateur $2x^{2}-7x+6$ s'y annule, et le numérateur aussi : on tombe sur $\dfrac{0}{0}$. L'expression simplifiée, $\dfrac{x+2}{x-2}$, vaut pourtant $\dfrac{3{,}5}{-0{,}5}=-7$ en $x=\dfrac{3}{2}$. Les deux écritures diffèrent donc en ce point, et c'est celle de DÉPART qui fait foi. La règle pratique : on écrit les valeurs interdites en premier, avant même de factoriser.

a) On factorise les quatre morceaux : $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$, $3x+9=3(x+3)$, $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ et $x^{2}+2x=x(x+2)$. Les valeurs interdites viennent des deux dénominateurs : $x=-3$, $x=0$ et $x=-2$. Le produit s'écrit $\dfrac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{3(x+3)\,x\,(x+2)}$, et l'on barre $(x+2)$ et $(x+3)$. Il reste $\dfrac{(x-2)(x-3)}{3x}$. Développer le numérateur n'est pas demandé et n'apporte rien : la forme factorisée est la forme utile.

b) On factorise : $4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1)$, différence de carrés, et $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$. Valeurs interdites : $x=2$ et $x=3$ pour le premier dénominateur, $x=3$ encore pour le dénominateur du diviseur, et surtout $x=-\dfrac{1}{2}$, qui annule le NUMÉRATEUR du diviseur et rend la division impossible. On retourne, on obtient $\dfrac{(2x-1)(2x+1)}{(x-2)(x-3)}\times\dfrac{x-3}{2x+1}$, on barre $(2x+1)$ et $(x-3)$, et il reste $\dfrac{2x-1}{x-2}$.

c) Factorisation : $x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)$, $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ et $x^{2}-2x=x(x-2)$. Les valeurs interdites sont $x=2$ et $x=-2$ du premier dénominateur, $x=-5$ du numérateur du diviseur, puis $x=0$ et $x=2$ de son dénominateur : au total $-5$, $-2$, $0$ et $2$. Après retournement, $\dfrac{(x+2)(x+5)}{(x-2)(x+2)}\times\dfrac{x(x-2)}{x+5}$, tout se barre sauf $x$. Le résultat est donc simplement $x$, ce qui est spectaculaire et trompeur : la fonction n'est PAS la fonction identité, elle est l'identité privée de quatre points.

d) En $x=3$ : la première fraction vaut $\dfrac{9+21+10}{9-4}=\dfrac{40}{5}=8$. Le diviseur vaut $\dfrac{3+5}{9-6}=\dfrac{8}{3}$. La division donne $8\div\dfrac{8}{3}=8\times \dfrac{3}{8}=3$. On retrouve bien $x=3$, donc la simplification est juste. Une vérification numérique de ce genre devrait accompagner chaque simplification d'expression rationnelle : elle coûte une minute et elle attrape presque toutes les erreurs de signe.

e) Parce que retourner une fraction fait passer son numérateur en bas, et qu'on perd alors la trace de la condition qui l'accompagnait. En b), le facteur $2x+1$ est au numérateur du diviseur : diviser par une fraction NULLE est impossible, donc $x=-\dfrac{1}{2}$ est interdit. Une fois la fraction retournée et le facteur simplifié, plus rien dans l'écriture ne rappelle cette condition, et la copie qui a retourné d'abord l'oublie systématiquement. La règle : on écrit toutes les valeurs interdites sur la ligne qui suit l'énoncé, avant le premier calcul.

a) Les deux dénominateurs n'ont aucun facteur commun, donc le dénominateur commun est leur produit, $(x-2)(x+1)$. On multiplie chaque numérateur par ce qui manque : $\dfrac{3(x+1)+5(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{3x+3+5x-10}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{8x-7}{(x-2)(x+1)}$. Valeurs interdites $x=2$ et $x=-1$. On laisse le dénominateur FACTORISÉ : c'est la forme qui permet de relire les valeurs interdites d'un coup d'oeil.

b) Il faut factoriser avant de choisir : $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$, donc le second dénominateur, $x+3$, est DÉJÀ un facteur du premier. Le dénominateur commun est $(x-3)(x+3)$, et non le produit $(x^{2}-9)(x+3)$. On obtient $\dfrac{x-2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-2x+6}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{6-x}{(x-3)(x+3)}$. Le signe moins porte sur TOUTE la parenthèse $2(x-3)$ : écrire $x-2x-6$ est l'erreur la plus fréquente de la question.

c) $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ et $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$. Les facteurs distincts sont donc $(x-3)$, $(x+2)$ et $(x-2)$, et le dénominateur commun est leur produit, comme le montre la figure : le facteur $(x+2)$ est PARTAGÉ, il ne se compte qu'une fois. On complète chaque fraction : la première manque de $(x-2)$, la seconde de $(x-3)$. Cela donne $\dfrac{2(x-2)+3(x-3)}{(x-3)(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x-4+3x-9}{(x-3)(x+2)(x-2)}=\dfrac{5x-13}{(x-3)(x+2)(x-2)}$. Multiplier les deux dénominateurs aurait donné un $(x+2)^{2}$ inutile, et un numérateur de degré trois à simplifier ensuite.

d) L'entier $1$ compte comme une fraction de dénominateur $1$. Le dénominateur commun est $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$. On écrit $\dfrac{(x^{2}-4)-4(x-2)+x(x+2)}{x^{2}-4}$, puis on développe le numérateur : $x^{2}-4-4x+8+x^{2}+2x=2x^{2}-2x+4$. Le résultat est $\dfrac{2x^{2}-2x+4}{x^{2}-4}$, avec $x\neq 2$ et $x\neq -2$. On peut mettre $2$ en évidence au numérateur, $\dfrac{2(x^{2}-x+2)}{x^{2}-4}$, mais rien ne se simplifie, le trinôme $x^{2}-x+2$ n'ayant pas de racine réelle.

e) Écriture de départ en $x=4$ : $1-\dfrac{4}{6}+\dfrac{4}{2}=1-\dfrac{2}{3}+2=\dfrac{7}{3}\approx 2{,}333$. Écriture finale : $\dfrac{2\times 16-2\times 4+4}{16-4}=\dfrac{32-8+4}{12}=\dfrac{28}{12}=\dfrac{7}{3}$. Les deux coïncident. Choisir un $x$ simple et éloigné des valeurs interdites est la bonne habitude : $x=4$ ici, jamais $x=2$ ni $x=0$, qui feraient disparaître des termes et laisseraient passer une erreur.

a) Quatre dénominateurs apparaissent : $x^{2}-4$, qui s'annule en $x=2$ et $x=-2$, puis $x-3$, qui s'annule en $x=3$, et enfin $x$, qui s'annule en $x=0$. Les valeurs interdites sont donc $-2$, $0$, $2$ et $3$. On les écrit AVANT de calculer, parce que trois des quatre vont disparaître de l'écriture au cours de la simplification et deviendront alors invisibles.

b) $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$, par produit-somme, $-3\times 2=-6$ et $-3+2=-1$. Et $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$. La fraction devient $\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$, et le facteur $(x+2)$ se simplifie : il reste $\dfrac{x-3}{x-2}$. Le $x=-2$ vient de disparaître de l'écriture, ce qui illustre exactement l'avertissement de la question a).

c) Dénominateur commun de la parenthèse : $x(x-3)$. On obtient $\dfrac{x+2(x-3)}{x(x-3)}=\dfrac{3x-6}{x(x-3)}=\dfrac{3(x-2)}{x(x-3)}$, et la mise en évidence du $3$ est ce qui rend la suite possible. Le produit s'écrit alors $\dfrac{x-3}{x-2}\times\dfrac{3(x-2)}{x(x-3)}$ : le facteur $(x-2)$ se barre, le facteur $(x-3)$ aussi, et il reste $\dfrac{3}{x}$.

d) En $x=5$, écriture de départ : la première fraction vaut $\dfrac{25-5-6}{25-4}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$, et la parenthèse vaut $\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{9}{10}$. Le produit vaut $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$. Écriture simplifiée : $\dfrac{3}{5}$. Les deux coïncident, donc la chaîne de simplifications est juste.