Exercice 0.1 : Développer et réduire un polynôme : dix calculs directs

Pour chaque expression, développez s'il le faut, réduisez en regroupant les termes semblables, puis donnez les nombres demandés : un coefficient, le terme constant, un exposant ou le degré de la forme réduite.

Une seule méthode pour les dix lignes : distribuer d'abord, en faisant voyager le signe avec chaque terme (un moins devant une parenthèse change TOUS les signes), multiplier les coefficients et ADDITIONNER les exposants d'une même variable, puis réunir seulement les termes semblables, mêmes variables et mêmes exposants. On ordonne le résultat selon les puissances décroissantes avant de lire un coefficient.

a) $5y^{2}-3y+8-2y^{2}-6y-1$ : le coefficient de $y$ et le terme constant.
b) $(3x^{2}-5x+2)-(x^{2}-4x-6)$ : le coefficient de $x$ et le terme constant.
c) $(-5a^{3}b^{2})(2ab^{4})$ : le coefficient et le degré.
d) $(-3x^{2}y)^{3}$ : le coefficient et l'exposant de $x$ .
e) $-2a(3a^{2}-4a+5)$ : le coefficient de $a^{2}$ et celui de $a$ .
f) $(3x+2)(x+5)$ : le coefficient de $x$ et le terme constant.
g) $(4x-3)(2x-5)$ : le coefficient de $x$ et le terme constant.
h) $(x-2)(x^{2}+3x-5)$ : le coefficient de $x^{2}$ et celui de $x$ .
i) $\dfrac{-14x^{5}+21x^{3}-7x^{2}}{-7x^{2}}$ : le coefficient de $x$ et le terme constant.
j) $(2x+1)(x-3)-(x+2)(x-5)$ : le coefficient de $x$ et le terme constant.

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a)

Coefficient de

y

Terme constant

b)

Coefficient de

x

Terme constant

c)

Coefficient

Degré

d)

Coefficient

Exposant de

x

e)

Coefficient de

a^{2}

Coefficient de

a

f)

Coefficient de

x

Terme constant

g)

Coefficient de

x

Terme constant

h)

Coefficient de

x^{2}

Coefficient de

x

i)

Coefficient de

x

Terme constant

j)

Coefficient de

x

Terme constant

Voir la correction

Réponses

a) $3y^{2}-9y+7$ ; $-9$ et $7$
b) $2x^{2}-x+8$ ; $-1$ et $8$
c) $-10a^{4}b^{6}$ ; $-10$ et degré $10$
d) $-27x^{6}y^{3}$ ; $-27$ et $6$
e) $-6a^{3}+8a^{2}-10a$ ; $8$ et $-10$
f) $3x^{2}+17x+10$ ; $17$ et $10$
g) $8x^{2}-26x+15$ ; $-26$ et $15$
h) $x^{3}+x^{2}-11x+10$ ; $1$ et $-11$
i) $2x^{3}-3x+1$ ; $-3$ et $1$
j) $x^{2}-2x+7$ ; $-2$ et $7$

Le geste qui décide de tout : distinguer les deux opérations. ADDITIONNER ne réunit que des termes semblables et n'additionne que leurs coefficients ; MULTIPLIER s'applique à tout, multiplie les coefficients et additionne les exposants. Presque toutes les erreurs de cette liste viennent d'un signe qui ne voyage pas avec son terme.

a)

Termes semblables : $5y^{2}-2y^{2}=3y^{2}$ ; $-3y-6y=-9y$ ; $8-1=7$ . Forme réduite : $3y^{2}-9y+7$ . Coefficient de $y$ : $-9$ ; terme constant : $7$ .

b)

Le moins change les trois signes : $-(x^{2}-4x-6)=-x^{2}+4x+6$ . Puis $3x^{2}-x^{2}=2x^{2}$ ; $-5x+4x=-x$ ; $2+6=8$ . Forme réduite : $2x^{2}-x+8$ . Coefficient de $x$ : $-1$ , qu'on n'écrit pas mais qui existe ; terme constant : $8$ . Piège : ne changer que le premier signe, ce qui donne $2x^{2}-9x-4$ .

c)

Coefficients : $-5\times 2=-10$ . Exposants : $a^{3+1}=a^{4}$ et $b^{2+4}=b^{6}$ . Produit : $-10a^{4}b^{6}$ , de degré $4+6=10$ . Piège : multiplier les exposants, $a^{3}b^{8}$ .

d)

Tout ce qui est dans la parenthèse passe au cube : $(-3)^{3}=-27$ , $(x^{2})^{3}=x^{6}$ , $y^{3}$ . Résultat : $-27x^{6}y^{3}$ . Coefficient : $-27$ ; exposant de $x$ : $2\times 3=6$ . Pièges : $-9$ au lieu de $-27$ , et $x^{5}$ en additionnant $2+3$ au lieu de multiplier.

e)

$-2a\times 3a^{2}=-6a^{3}$ ; $-2a\times(-4a)=+8a^{2}$ ; $-2a\times 5=-10a$ . Résultat : $-6a^{3}+8a^{2}-10a$ . Coefficient de $a^{2}$ : $8$ ; de $a$ : $-10$ . Le moins du monôme change le signe de chaque terme.

f)

Quatre produits : $3x\times x=3x^{2}$ , $3x\times 5=15x$ , $2\times x=2x$ , $2\times 5=10$ . Réduction : $3x^{2}+17x+10$ . Coefficient de $x$ : $17$ ; terme constant : $10$ .

g)

$4x\times 2x=8x^{2}$ , $4x\times(-5)=-20x$ , $-3\times 2x=-6x$ , $(-3)\times(-5)=+15$ . Réduction : $8x^{2}-26x+15$ . Coefficient de $x$ : $-26$ ; terme constant : $+15$ , deux négatifs donnant un positif.

h)

Six produits : $x\times(x^{2}+3x-5)=x^{3}+3x^{2}-5x$ et $-2\times(x^{2}+3x-5)=-2x^{2}-6x+10$ . Réduction : $x^{3}+x^{2}-11x+10$ . Coefficient de $x^{2}$ : $3-2=1$ ; de $x$ : $-5-6=-11$ .

i)

Chaque terme se divise : $\dfrac{-14x^{5}}{-7x^{2}}=2x^{3}$ ; $\dfrac{21x^{3}}{-7x^{2}}=-3x$ ; $\dfrac{-7x^{2}}{-7x^{2}}=1$ . Quotient : $2x^{3}-3x+1$ . Coefficient de $x$ : $-3$ ; terme constant : $1$ . Piège : écrire $0$ pour le dernier terme, qui divisé par lui-même vaut $1$ .

j)

Premier produit : $(2x+1)(x-3)=2x^{2}-6x+x-3=2x^{2}-5x-3$ . Second : $(x+2)(x-5)=x^{2}-5x+2x-10=x^{2}-3x-10$ . On soustrait le second EN ENTIER : $2x^{2}-5x-3-x^{2}+3x+10=x^{2}-2x+7$ . Coefficient de $x$ : $-2$ ; terme constant : $7$ . Piège : ne changer que le signe de $x^{2}$ , ce qui donne $x^{2}-8x-13$ .

Contrôle : la forme de départ et la forme réduite donnent le même nombre pour $x=2$ (ou $a=2$ , $y=2$ ), et pour une seconde valeur comme $x=-1$ . Un seul écart prouve une erreur ; on évite $x=0$ , qui efface tous les termes en $x$ .

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Exercice 0.2 : Mettre en évidence le plus grand facteur commun : dix calculs directs

Pour chaque polynôme, mettez en évidence le plus grand facteur commun sur votre feuille, puis retrouvez votre factorisation parmi les trois proposées.

Une seule méthode pour les dix lignes : chercher le PGCD des coefficients, puis chaque variable présente dans TOUS les termes avec son plus petit exposant ; ce produit est le facteur commun. On divise ensuite chaque terme par ce facteur pour remplir la parenthèse, qui garde autant de termes que le polynôme de départ, et l'on vérifie en redistribuant.

a) $10x^{2}+15x$
b) $14y-21$
c) $4x^{4}+10x^{3}-6x^{2}$
d) $6a^{2}b-15ab^{2}$
e) $10m^{2}n^{3}-5m^{3}n^{2}+15m^{2}n^{2}$
f) $12y^{3}+4y$
g) $-6x^{3}+9x^{2}-15x$ , en mettant en évidence un facteur négatif
h) $18x^{3}-24x^{2}+30x$
i) $2x^{4}-6x^{3}+4x^{2}-10x$
j) $-10x^{3}y+15x^{2}y^{2}-5x^{2}y$ , en mettant en évidence un facteur négatif

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/10

a)

Factorisation

b)

Factorisation

c)

Factorisation

d)

Factorisation

e)

Factorisation

f)

Factorisation

g)

Factorisation

h)

Factorisation

i)

Factorisation

j)

Factorisation

Voir la correction

Réponses

a) $5x(2x+3)$
b) $7(2y-3)$
c) $2x^{2}(2x^{2}+5x-3)$
d) $3ab(2a-5b)$
e) $5m^{2}n^{2}(2n-m+3)$
f) $4y(3y^{2}+1)$
g) $-3x(2x^{2}-3x+5)$
h) $6x(3x^{2}-4x+5)$
i) $2x(x^{3}-3x^{2}+2x-5)$
j) $-5x^{2}y(2x-3y+1)$

Le geste qui décide de tout : construire le facteur commun en deux temps, le NOMBRE (le PGCD des coefficients, pas le plus petit coefficient) puis les LETTRES (chaque variable commune à tous les termes, avec son plus petit exposant). Le reste n'est qu'une division terme par terme, et une parenthèse qui perd un terme est fausse à coup sûr.

a)

PGCD de $10$ et $15$ : $5$ ; $x$ est dans les deux termes, exposant minimal $1$ . Facteur : $5x$ . $\dfrac{10x^{2}}{5x}=2x$ et $\dfrac{15x}{5x}=3$ . Donc $10x^{2}+15x=5x(2x+3)$ .

b)

PGCD de $14$ et $21$ : $7$ ; $y$ n'est pas dans le terme $-21$ , il ne se met pas en évidence. $14y-21=7(2y-3)$ .

c)

PGCD de $4$ , $10$ et $6$ : $2$ ; exposants de $x$ : $4$ , $3$ , $2$ , le plus petit est $2$ . Facteur : $2x^{2}$ . $4x^{4}+10x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(2x^{2}+5x-3)$ . Piège : s'arrêter à $2x$ , qui laisse un $x$ commun dans la parenthèse.

d)

PGCD de $6$ et $15$ : $3$ ; $a$ avec l'exposant $1$ , $b$ avec l'exposant $1$ . Facteur : $3ab$ . $\dfrac{6a^{2}b}{3ab}=2a$ et $\dfrac{-15ab^{2}}{3ab}=-5b$ . Donc $6a^{2}b-15ab^{2}=3ab(2a-5b)$ .

e)

PGCD de $10$ , $5$ et $15$ : $5$ ; exposants de $m$ : $2$ , $3$ , $2$ , donc $m^{2}$ ; exposants de $n$ : $3$ , $2$ , $2$ , donc $n^{2}$ . Facteur : $5m^{2}n^{2}$ . Quotients : $2n$ , $-m$ et $3$ . Donc $10m^{2}n^{3}-5m^{3}n^{2}+15m^{2}n^{2}=5m^{2}n^{2}(2n-m+3)$ .

f)

PGCD de $12$ et $4$ : $4$ ; $y$ avec l'exposant $1$ . Facteur : $4y$ , qui est exactement le second terme. $\dfrac{12y^{3}}{4y}=3y^{2}$ et $\dfrac{4y}{4y}=1$ . Donc $12y^{3}+4y=4y(3y^{2}+1)$ . Piège : écrire $4y(3y^{2})$ , la parenthèse à un seul terme ; le terme égal au facteur laisse un $1$ .

g)

Facteur $-3x$ : le PGCD $3$ , le signe moins, et $x$ à l'exposant $1$ . Chaque terme change de signe en entrant dans la parenthèse : $\dfrac{-6x^{3}}{-3x}=2x^{2}$ , $\dfrac{9x^{2}}{-3x}=-3x$ , $\dfrac{-15x}{-3x}=5$ . Donc $-6x^{3}+9x^{2}-15x=-3x(2x^{2}-3x+5)$ . Piège : ne changer que le premier signe.

h)

Le plus petit coefficient est $18$ , mais $18$ ne divise pas $24$ : le PGCD de $18$ , $24$ et $30$ est $6$ . Avec $x$ à l'exposant $1$ , le facteur est $6x$ , et $18x^{3}-24x^{2}+30x=6x(3x^{2}-4x+5)$ . Piège : s'arrêter à $3x$ ou à $2x$ , des facteurs communs, mais pas les plus grands ; la parenthèse $6x^{2}-8x+10$ a encore un $2$ commun.

i)

PGCD de $2$ , $6$ , $4$ et $10$ : $2$ ; $x$ est dans les quatre termes, exposant minimal $1$ . Facteur : $2x$ . $2x^{4}-6x^{3}+4x^{2}-10x=2x(x^{3}-3x^{2}+2x-5)$ . Quatre termes au départ, quatre dans la parenthèse.

j)

Facteur : $-5x^{2}y$ , avec le PGCD $5$ , le signe moins, $x^{2}$ (exposants $3$ , $2$ , $2$ ) et $y$ (exposants $1$ , $2$ , $1$ ). Quotients : $\dfrac{-10x^{3}y}{-5x^{2}y}=2x$ , $\dfrac{15x^{2}y^{2}}{-5x^{2}y}=-3y$ , $\dfrac{-5x^{2}y}{-5x^{2}y}=1$ . Donc $-10x^{3}y+15x^{2}y^{2}-5x^{2}y=-5x^{2}y(2x-3y+1)$ . Les deux pièges de la liste à la fois : le signe de chaque terme, et le $1$ du terme égal au facteur.

Contrôle : redistribuer le facteur sur la parenthèse redonne exactement le polynôme de départ, terme par terme ; et la parenthèse n'a plus aucun facteur commun, sinon la mise en évidence n'était pas la plus grande.

Exercice 1 : Monômes, polynômes et termes semblables : le vocabulaire

Un MONÔME est un produit d'un nombre, le coefficient, et de variables affectées d'exposants entiers positifs. Son DEGRÉ est la somme des exposants de ses variables. Deux monômes sont SEMBLABLES quand ils ont exactement les mêmes variables avec les mêmes exposants : seuls leurs coefficients peuvent différer.

On considère l'expression $E=5x^{2}y-3xy^{2}+7-2x^{2}y+xy^{2}-4$ .

a) Donnez le coefficient et le degré de chacun des six termes de $E$ .
b) Regroupez les termes semblables et réduisez $E$ . Quel est le degré du polynôme obtenu, et combien de termes a-t-il ?
c) Parmi $3x^{2}$ , $-x^{2}$ , $3x$ , $x^{2}y$ , $\dfrac{x^{2}}{2}$ et $2x^{3}$ , lesquels sont semblables à $x^{2}$ ?
d) Pourquoi $\dfrac{3}{x}$ et $\sqrt{x}$ ne sont pas des monômes ?

Voir la correction

Réponses

a) $5$ et $3$ ; $-3$ et $3$ ; $7$ et $0$ ; $-2$ et $3$ ; $1$ et $3$ ; $-4$ et $0$
b) $E=3x^{2}y-2xy^{2}+3$ , trinôme de degré $3$
c) $3x^{2}$ , $-x^{2}$ et $\dfrac{x^{2}}{2}$
d) Leurs exposants valent $-1$ et $\dfrac{1}{2}$ : ni entiers positifs, ni nuls

a)

$5x^{2}y$ : coefficient $5$ , degré $2+1=3$ . $-3xy^{2}$ : coefficient $-3$ (le signe fait partie du coefficient), degré $1+2=3$ . $7$ : coefficient $7$ , degré $0$ , c'est un terme constant. $-2x^{2}y$ : coefficient $-2$ , degré $3$ . $xy^{2}$ : coefficient $1$ , qu'on n'écrit pas, degré $3$ . $-4$ : coefficient $-4$ , degré $0$ . Le degré compte les variables, pas le coefficient : $7$ est de degré $0$ même s'il vaut $7$ .

b)

Termes semblables : $5x^{2}y$ et $-2x^{2}y$ donnent $3x^{2}y$ ; $-3xy^{2}$ et $xy^{2}$ donnent $-2xy^{2}$ ; $7$ et $-4$ donnent $3$ . Donc $E=3x^{2}y-2xy^{2}+3$ . Le polynôme réduit a TROIS termes, c'est un trinôme, et son degré est le plus grand des degrés de ses termes, soit $3$ . On n'a additionné que des coefficients de termes de même nature : $x^{2}y$ et $xy^{2}$ ne sont pas semblables, même si les lettres sont les mêmes, parce que les exposants ne sont pas aux mêmes endroits.

c)

Semblables à $x^{2}$ : $3x^{2}$ , $-x^{2}$ et $\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}x^{2}$ , dont le coefficient est $\dfrac{1}{2}$ . Pas semblables : $3x$ (exposant $1$ ), $x^{2}y$ (une variable en plus) et $2x^{3}$ (exposant $3$ ). La règle est stricte : mêmes variables, mêmes exposants, rien d'autre ne compte. C'est cette règle qui interdit d'écrire $x^{2}+x=x^{3}$ , une erreur qui coûte la question entière chaque fois qu'elle apparaît.

d)

$\dfrac{3}{x}=3x^{-1}$ : l'exposant de $x$ est $-1$ , or un monôme exige des exposants entiers POSITIFS ou nuls. $\sqrt{x}=x^{1/2}$ : l'exposant n'est pas entier. Aucune des deux expressions n'est donc un monôme, et une expression qui les contient n'est pas un polynôme. Cela a une conséquence pratique : les règles de ce chapitre (réduire, développer, diviser par un monôme) ne s'appliquent qu'aux polynômes ; devant $\dfrac{3}{x}$ , il faudra d'autres outils, ceux des expressions rationnelles de secondaire 4.

Exercice 2 : Additionner et soustraire des polynômes

Additionner deux polynômes, c'est regrouper les termes semblables. Soustraire, c'est additionner l'OPPOSÉ : le signe moins devant une parenthèse change le signe de CHAQUE terme qu'elle contient.

a) Calculez $(4a^{2}-3a+5)+(2a^{2}+7a-9)$ .
b) Calculez $(4a^{2}-3a+5)-(2a^{2}+7a-9)$ .
c) Simplifiez $3x-(2x-5)-(x+4)+(6-x)$ .
d) Trouvez le polynôme $P$ tel que $P+(x^{2}-4x+1)=3x^{2}+2x-7$ , puis vérifiez avec $x=2$ .

Voir la correction

Réponses

a) $6a^{2}+4a-4$
b) $2a^{2}-10a+14$
c) $-x+7$ , soit $7-x$
d) $P=2x^{2}+6x-8$ ; les deux membres valent $9$ pour $x=2$

a)

On regroupe : $4a^{2}+2a^{2}=6a^{2}$ ; $-3a+7a=4a$ ; $5-9=-4$ . Somme : $6a^{2}+4a-4$ . Les parenthèses d'une addition ne servent à rien, on peut les enlever sans rien changer. Vérification avec $a=1$ : $(4-3+5)+(2+7-9)=6+0=6$ , et $6+4-4=6$ .

b)

Le moins devant la seconde parenthèse s'applique aux TROIS termes : $-(2a^{2}+7a-9)=-2a^{2}-7a+9$ . Puis $4a^{2}-2a^{2}=2a^{2}$ ; $-3a-7a=-10a$ ; $5+9=14$ . Différence : $2a^{2}-10a+14$ . L'erreur la plus fréquente est de ne changer que le premier signe, ce qui donne $2a^{2}+4a-4$ : deux termes faux sur trois. Vérification avec $a=1$ : $6-0=6$ , et $2-10+14=6$ .

c)

On distribue chaque signe : $3x-2x+5-x-4+6-x$ . Termes en $x$ : $3x-2x-x-x=-x$ . Constantes : $5-4+6=7$ . Résultat : $-x+7$ , qu'on écrit aussi $7-x$ . Le troisième signe moins est le piège : $-(x+4)=-x-4$ , et le $4$ devient négatif alors qu'il était positif dans la parenthèse. Vérification avec $x=1$ : $3-(-3)-5+5=6$ , et $7-1=6$ .

d)

$P=(3x^{2}+2x-7)-(x^{2}-4x+1)=3x^{2}+2x-7-x^{2}+4x-1=2x^{2}+6x-8$ . Le $-4x$ devient $+4x$ et le $+1$ devient $-1$ . Vérification avec $x=2$ : $P(2)=8+12-8=12$ ; $x^{2}-4x+1=4-8+1=-3$ ; somme $12+(-3)=9$ ; et $3x^{2}+2x-7=12+4-7=9$ . Les deux membres coïncident. Ce test numérique ne prouve pas que $P$ est juste en général, mais un $P$ faux échoue presque toujours au premier test, ce qui en fait le meilleur contrôle possible en une minute.

Exercice 3 : Multiplier : le monôme, le binôme et l'aire du rectangle

Multiplier deux monômes : on multiplie les coefficients et on ADDITIONNE les exposants d'une même variable. Multiplier un polynôme par un autre : chaque terme du premier multiplie chaque terme du second. La figure montre $(x+2)(x+5)$ comme l'aire d'un rectangle découpé en quatre.

a) Calculez $(-3x^{2}y)(4xy^{3})$ et $(2a^{2})^{3}\times(-a)$ .
b) Développez $3x(2x^{2}-5x+4)$ .
c) Lisez sur la figure l'aire des quatre rectangles, puis développez et réduisez $(x+2)(x+5)$ .
d) Développez et réduisez $(2x-3)(x+4)$ et $(x-3)(x+3)$ . Que remarquez-vous pour le second ?

Voir la correction

Réponses

a) $-12x^{3}y^{4}$ ; $-8a^{7}$
b) $6x^{3}-15x^{2}+12x$
c) $x^{2}$ , $5x$ , $2x$ , $10$ , donc $x^{2}+7x+10$
d) $2x^{2}+5x-12$ ; $x^{2}-9$ , les termes du milieu s'annulent

a)

$(-3x^{2}y)(4xy^{3})=(-3\times 4)\,x^{2+1}\,y^{1+3}=-12x^{3}y^{4}$ . Les coefficients se multiplient ( $-12$ ), les exposants de $x$ s'additionnent ( $2+1$ ), ceux de $y$ aussi ( $1+3$ ). Pour $(2a^{2})^{3}\times(-a)$ : d'abord la puissance, $(2a^{2})^{3}=8a^{6}$ , puis le produit, $8a^{6}\times(-a)=-8a^{7}$ . Ici, contrairement à l'addition, on ne se demande jamais si les termes sont semblables : tout se multiplie avec tout.

b)

On distribue $3x$ sur chaque terme : $3x\times 2x^{2}=6x^{3}$ ; $3x\times(-5x)=-15x^{2}$ ; $3x\times 4=12x$ . Résultat : $6x^{3}-15x^{2}+12x$ . Trois termes de degrés différents, donc rien à réduire. Vérification avec $x=1$ : $3\times(2-5+4)=3$ , et $6-15+12=3$ .

c)

Le grand rectangle a pour côtés $x+5$ et $x+2$ . Les quatre morceaux : $x\times x=x^{2}$ , $x\times 5=5x$ , $2\times x=2x$ , $2\times 5=10$ . L'aire totale vaut donc $x^{2}+5x+2x+10=x^{2}+7x+10$ . Les deux rectangles du milieu, $5x$ et $2x$ , sont des termes SEMBLABLES et se réunissent en $7x$ ; $x^{2}$ et $10$ restent seuls. Développer, c'est lire une aire de deux façons : le grand rectangle d'un côté, la somme des quatre petits de l'autre.

d)

$(2x-3)(x+4)=2x^{2}+8x-3x-12=2x^{2}+5x-12$ . Le signe du $-3$ voyage avec lui : $-3\times x=-3x$ et $-3\times 4=-12$ . Puis $(x-3)(x+3)=x^{2}+3x-3x-9=x^{2}-9$ : les deux termes du milieu s'ANNULENT parce qu'ils sont opposés. Le produit d'une somme par une différence des mêmes deux termes ne garde que les carrés : c'est un résultat qu'on retrouvera en secondaire 4 sous le nom de différence de carrés, et ici on l'a simplement calculé. Vérification avec $x=4$ : $(1)(7)=7$ et $16-9=7$ .

Exercice 4 : Diviser un polynôme par un monôme

Diviser un polynôme par un monôme, c'est diviser CHAQUE terme par ce monôme : on divise les coefficients et on soustrait les exposants. La figure pose la question à l'envers de l'exercice précédent : on connaît l'aire et un côté, on cherche l'autre.

a) Sur la figure, l'aire totale vaut $6x^{2}+4x$ et la largeur $2x$ . Quelle est la longueur ? Vérifiez par une multiplication.
b) Calculez $\dfrac{15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}}{5a^{2}}$ .
c) Calculez $\dfrac{12x^{3}y^{2}-8x^{2}y^{3}}{-4x^{2}y}$ .
d) Peut-on simplifier $\dfrac{6x^{2}+4}{2x}$ en un polynôme ? Expliquez ce qui bloque.

Voir la correction

Réponses

a) Longueur $3x+2$ , car $2x(3x+2)=6x^{2}+4x$
b) $3a^{2}-2a+1$
c) $-3xy+2y^{2}$
d) Non : $3x+\dfrac{2}{x}$ n'est pas un polynôme, $\dfrac{4}{2x}$ ne se simplifie pas en monôme

a)

Chaque morceau se divise par la largeur : $\dfrac{6x^{2}}{2x}=3x$ et $\dfrac{4x}{2x}=2$ . La longueur vaut donc $3x+2$ , et la figure le confirme : le grand rectangle a pour longueur $3x$ et le petit $2$ . Vérification : $2x(3x+2)=6x^{2}+4x$ , on retrouve l'aire. La division est l'opération inverse de la distribution, et la figure est la même dans les deux sens.

b)

Terme par terme : $\dfrac{15a^{4}}{5a^{2}}=3a^{2}$ ; $\dfrac{-10a^{3}}{5a^{2}}=-2a$ ; $\dfrac{5a^{2}}{5a^{2}}=1$ . Résultat : $3a^{2}-2a+1$ . Le troisième terme est le piège : $\dfrac{5a^{2}}{5a^{2}}$ vaut $1$ , pas $0$ , et un élève sur quatre l'oublie et répond $3a^{2}-2a$ . Vérification avec $a=1$ : $\dfrac{15-10+5}{5}=2$ , et $3-2+1=2$ ; la réponse fausse donnerait $1$ .

c)

$\dfrac{12x^{3}y^{2}}{-4x^{2}y}=-3xy$ et $\dfrac{-8x^{2}y^{3}}{-4x^{2}y}=2y^{2}$ : le $x^{2}$ disparaît complètement ( $x^{2-2}=x^{0}=1$ ) et il reste $y^{3-1}=y^{2}$ . Résultat : $-3xy+2y^{2}$ . Deux signes à surveiller : le premier terme devient négatif parce qu'on divise un positif par un négatif ; le second devient positif parce qu'on divise un négatif par un négatif. Vérification avec $x=y=1$ : $\dfrac{12-8}{-4}=-1$ , et $-3+2=-1$ .

d)

$\dfrac{6x^{2}}{2x}=3x$ se divise bien, mais $\dfrac{4}{2x}=\dfrac{2}{x}$ ne donne pas un monôme : l'exposant de $x$ serait $-1$ . Le résultat $3x+\dfrac{2}{x}$ n'est donc PAS un polynôme. La division d'un polynôme par un monôme ne « tombe juste » que si chaque terme du numérateur contient le monôme en facteur : c'est le cas quand le monôme est un diviseur commun de tous les termes, ce qui est exactement la mise en évidence de l'exercice suivant. Erreur classique à ne pas commettre : simplifier les $x$ « en croix » pour écrire $3x+2$ , ce qui revient à diviser $4$ par $2$ seulement et à oublier le $x$ .

Exercice 5 : La mise en évidence simple

Mettre en évidence, c'est écrire un polynôme comme le PRODUIT d'un monôme par un polynôme : on cherche le plus grand facteur commun à tous les termes, le PGCD des coefficients et chaque variable commune avec son PLUS PETIT exposant. C'est la division de l'exercice 4, écrite comme une égalité.

a) Mettez en évidence : $6x^{2}+4x$ ; $15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}$ ; $12x^{3}y^{2}-8x^{2}y^{3}$ .
b) Mettez en évidence le facteur commun de $9m^{3}n-6m^{2}n^{2}+3m^{2}n$ et vérifiez en redistribuant.
c) Mettez en évidence un facteur NÉGATIF dans $-4t^{2}+8t-12$ .
d) Un élève écrit $8x^{2}-4x=4x(2x)$ . Où est l'erreur, et comment la détecter en cinq secondes ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/6

a)

6x^{2}+4x

15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}

12x^{3}y^{2}-8x^{2}y^{3}

b)

Forme factorisée

c)

Forme factorisée

d)

Forme correcte

Voir la correction

Réponses

a) $2x(3x+2)$ ; $5a^{2}(3a^{2}-2a+1)$ ; $4x^{2}y^{2}(3x-2y)$
b) $3m^{2}n(3m-2n+1)$
c) $-4(t^{2}-2t+3)$
d) Le $-4x$ a disparu : $8x^{2}-4x=4x(2x-1)$

a)

$6x^{2}+4x=2x(3x+2)$ : le PGCD de $6$ et $4$ est $2$ , et $x$ apparaît avec l'exposant minimal $1$ . C'est l'aire de l'exercice 4 écrite comme un produit. $15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}=5a^{2}(3a^{2}-2a+1)$ : le $1$ final est obligatoire, il correspond au terme $5a^{2}$ divisé par lui-même. $12x^{3}y^{2}-8x^{2}y^{3}=4x^{2}y^{2}(3x-2y)$ : PGCD $4$ , exposant minimal $2$ pour $x$ , exposant minimal $2$ pour $y$ . On remarque que le facteur commun est plus gros ici que le diviseur $-4x^{2}y$ de l'exercice 4 : on y avait divisé par un diviseur commun, pas par le plus grand.

b)

Coefficients $9$ , $6$ , $3$ : PGCD $3$ . Variable $m$ : exposants $3$ , $2$ , $2$ , le plus petit est $2$ . Variable $n$ : exposants $1$ , $2$ , $1$ , le plus petit est $1$ . Facteur commun : $3m^{2}n$ . Reste : $\dfrac{9m^{3}n}{3m^{2}n}=3m$ , $\dfrac{-6m^{2}n^{2}}{3m^{2}n}=-2n$ , $\dfrac{3m^{2}n}{3m^{2}n}=1$ . Donc $9m^{3}n-6m^{2}n^{2}+3m^{2}n=3m^{2}n(3m-2n+1)$ . Vérification en redistribuant : $3m^{2}n\times 3m=9m^{3}n$ , $3m^{2}n\times(-2n)=-6m^{2}n^{2}$ , $3m^{2}n\times 1=3m^{2}n$ . Les trois termes reviennent.

c)

Quand le premier terme est négatif, on met souvent $-4$ en évidence pour que la parenthèse commence par un terme positif : $-4t^{2}+8t-12=-4(t^{2}-2t+3)$ . Chaque terme a changé de signe en passant dans la parenthèse : $\dfrac{8t}{-4}=-2t$ et $\dfrac{-12}{-4}=+3$ . Vérification avec $t=1$ : $-4+8-12=-8$ , et $-4(1-2+3)=-8$ . Oublier de changer le signe du dernier terme, en écrivant $-4(t^{2}-2t-3)$ , est l'erreur type ; le test $t=1$ la détecte aussitôt, puisque $-4(1-2-3)=16$ .

d)

$4x(2x)=8x^{2}$ : le terme $-4x$ a DISPARU. L'élève a divisé $-4x$ par $4x$ , obtenu $-1$ , et l'a oublié. La bonne réponse est $8x^{2}-4x=4x(2x-1)$ . La détection en cinq secondes : une mise en évidence a autant de termes dans la parenthèse que le polynôme de départ, ici deux ; une parenthèse à un seul terme est fausse à coup sûr. Deuxième contrôle : redistribuer, $4x(2x-1)=8x^{2}-4x$ . Un facteur qui vaut exactement un des termes laisse toujours un $1$ ou un $-1$ dans la parenthèse, jamais rien.

Exercice 6 : Périmètre et aire d'une figure cotée en x

La figure en L ci-dessous est cotée avec des expressions en $x$ , en centimètres. Son périmètre et son aire sont des polynômes en $x$ , et les calculer demande les deux règles du chapitre : additionner des termes semblables pour le périmètre, multiplier pour l'aire.

a) Trouvez les deux côtés manquants en fonction de $x$ .
b) Exprimez le périmètre sous forme réduite. Vérifiez pour $x=2$ en mesurant chaque côté.
c) Exprimez l'aire de deux façons différentes, puis réduisez. Les deux résultats coïncident-ils ?
d) Pour quelle valeur de $x$ le périmètre vaut-il $60$ cm ? Quelle est alors l'aire ?

Voir la correction

Réponses

a) Côté du bas $3x+1$ , côté gauche $3x$
b) $12x+2$ ; pour $x=2$ , $26$ cm
c) $5x^{2}+3x$ par les deux découpages
d) $x=\dfrac{29}{6}\approx 4{,}83$ cm, aire $\approx 131{,}3$ cm $^{2}$

a)

Le côté du haut, $x+1$ , et le côté horizontal intérieur, $2x$ , se complètent pour donner le côté du bas : $(x+1)+2x=3x+1$ , ce que la cote confirme. Le côté droit, $x$ , et le côté vertical intérieur, $2x$ , se complètent pour donner le côté gauche : $x+2x=3x$ . Les cotes de la figure sont donc cohérentes, et il n'y a en réalité aucun côté inconnu : la question sert à vérifier qu'on sait LIRE une figure en L, où chaque côté long est la somme de deux côtés courts en face.

b)

Périmètre : $(3x+1)+x+2x+2x+3x+(x+1)=12x+2$ . On a additionné les six côtés en regroupant les termes en $x$ ( $3+1+2+2+3+1=12$ ) et les constantes ( $1+1=2$ ). Vérification avec $x=2$ : les côtés mesurent $7$ , $2$ , $4$ , $4$ , $6$ , $3$ , total $26$ , et $12\times 2+2=26$ . Remarque : le périmètre d'un L vaut celui du rectangle qui l'enveloppe, $2(3x+1)+2(3x)=12x+2$ , parce que les deux côtés intérieurs remplacent exactement les deux morceaux manquants.

c)

Première façon, découpage en deux rectangles : le rectangle du bas, $(3x+1)\times x=3x^{2}+x$ , et le rectangle du haut, $(x+1)\times 2x=2x^{2}+2x$ . Aire : $5x^{2}+3x$ . Seconde façon, le rectangle enveloppant moins le coin manquant : $(3x+1)(3x)-(2x)(2x)=9x^{2}+3x-4x^{2}=5x^{2}+3x$ . Les deux coïncident, et c'est un contrôle puissant : deux découpages différents qui donnent la même expression réduite se valident mutuellement. Vérification avec $x=2$ : $20+6=26$ cm $^{2}$ , et directement $7\times 2+3\times 4=14+12=26$ .

d)

$12x+2=60$ donne $12x=58$ et $x=\dfrac{58}{12}=\dfrac{29}{6}\approx 4{,}83$ cm. L'aire vaut alors $5x^{2}+3x=5\times\dfrac{841}{36}+\dfrac{29}{2}=\dfrac{4205}{36}+\dfrac{522}{36}=\dfrac{4727}{36}\approx 131{,}3$ cm $^{2}$ . La valeur de $x$ n'est pas entière, ce qui arrive dans un vrai problème : on garde la fraction exacte jusqu'au bout et on n'arrondit qu'à la fin, sinon l'aire est fausse dès la deuxième décimale.

Exercice 7 : Évaluer, tester, et démasquer un faux développement

Évaluer une expression, c'est remplacer chaque variable par un nombre en respectant les priorités. Cette opération sert aussi de TEST : deux expressions égales donnent le même nombre pour toute valeur, donc une seule valeur qui les sépare prouve qu'elles sont différentes.

a) Évaluez $2x^{2}-3xy+y^{2}$ pour $x=-2$ et $y=3$ .
b) Évaluez $-x^{2}$ et $(-x)^{2}$ pour $x=5$ , puis pour $x=-5$ .
c) Trois élèves ont développé $(2x+3)^{2}$ : $4x^{2}+9$ , $4x^{2}+6x+9$ et $4x^{2}+12x+9$ . Testez avec $x=1$ et dites lequel a raison.
d) Pourquoi le test $x=0$ ne suffit-il pas à trancher entre les trois réponses de la question c) ? Quelle valeur de $x$ faut-il éviter dans un tel test ?

Voir la correction

Réponses

a) $35$
b) $-25$ et $25$ pour $x=5$ ; $-25$ et $25$ pour $x=-5$
c) $4x^{2}+12x+9$ , le seul qui donne $25$ en $x=1$
d) Parce qu'en $x=0$ les trois valent $9$ : il faut éviter $x=0$

a)

On remplace, en gardant les parenthèses autour des négatifs : $2(-2)^{2}-3(-2)(3)+3^{2}=2\times 4-(-18)+9=8+18+9=35$ . Le terme du milieu est le piège : $-3\times(-2)\times 3=+18$ , deux négatifs donnent un positif. Sans parenthèses, un élève écrit $2\times-2^{2}=-8$ et perd le résultat dès le premier terme.

b)

Pour $x=5$ : $-x^{2}=-25$ et $(-x)^{2}=(-5)^{2}=25$ . Pour $x=-5$ : $-x^{2}=-(-5)^{2}=-25$ et $(-x)^{2}=(5)^{2}=25$ . Dans les deux cas, $-x^{2}$ est négatif et $(-x)^{2}$ est positif : $-x^{2}$ est l'opposé d'un carré, toujours négatif ou nul, tandis que $(-x)^{2}$ est le carré d'un opposé, toujours positif ou nul. La parenthèse décide de l'ordre des opérations, et l'ordre change le signe.

c)

Pour $x=1$ : $(2+3)^{2}=25$ . Les trois réponses donnent $4+9=13$ , $4+6+9=19$ et $4+12+9=25$ . Seule la troisième coïncide : $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$ . En effet, $(2x+3)(2x+3)=4x^{2}+6x+6x+9$ , et les DEUX termes du milieu, $6x$ et $6x$ , s'additionnent en $12x$ . La première réponse oublie les termes du milieu, la seconde n'en compte qu'un : ce sont les deux erreurs qui reviennent dans toutes les copies, et un test à $x=1$ les élimine toutes deux en trente secondes.

d)

Pour $x=0$ , les trois réponses valent $9$ , et $(2\times 0+3)^{2}=9$ aussi : le test ne distingue rien, parce qu'en $x=0$ tous les termes contenant $x$ disparaissent, et les trois réponses ne diffèrent QUE par ces termes. Il faut donc éviter $x=0$ , et plus généralement toute valeur qui annule les termes sur lesquels les réponses diffèrent ; $x=1$ est le meilleur choix courant, et $x=2$ un second test si le premier laisse un doute. Un test numérique ne prouve jamais une égalité, mais un test bien choisi RÉFUTE une fausse égalité à coup sûr.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « $x^{2}+x^{3}=x^{5}$ , puisque les exposants s'additionnent. »
2) « $5x^{2}$ et $5x$ sont des termes semblables : ils ont le même coefficient et la même variable. »
3) « $-(3a-7)=-3a-7$ . »
4) « $\dfrac{8x^{3}+4x}{4x}=2x^{2}$ . »
5) « Pour vérifier un développement, il suffit de tester avec $x=0$ . »

Voir la correction

Réponses

1) Les exposants ne s'additionnent qu'en MULTIPLIANT : $x^{2}+x^{3}$ ne se réduit pas
2) Semblables veut dire mêmes exposants ; le coefficient ne compte pas
3) $-(3a-7)=-3a+7$
4) $\dfrac{8x^{3}+4x}{4x}=2x^{2}+1$
5) En $x=0$ les termes en $x$ disparaissent : tester en $x=1$ ou $x=2$

1)

FAUX. Les exposants ne s'additionnent que dans une MULTIPLICATION : $x^{2}\times x^{3}=x^{5}$ . Dans une addition, $x^{2}$ et $x^{3}$ ne sont pas semblables et la somme reste $x^{2}+x^{3}$ ; avec $x=2$ , $4+8=12$ alors que $2^{5}=32$ . Énoncé correct : on n'additionne que des termes semblables, et alors seuls les coefficients s'ajoutent.

2)

FAUX. Deux termes semblables ont les mêmes variables avec les MÊMES EXPOSANTS ; le coefficient n'a rien à voir. $5x^{2}$ et $5x$ diffèrent par l'exposant, donc $5x^{2}+5x$ ne se réduit pas. Énoncé correct : $5x^{2}$ et $-3x^{2}$ sont semblables, leur somme vaut $2x^{2}$ .

3)

FAUX. Le signe moins devant la parenthèse change le signe de CHAQUE terme : $-(3a-7)=-3a+7$ . Avec $a=1$ : $-(3-7)=4$ , et $-3+7=4$ , alors que $-3-7=-10$ . Énoncé correct : soustraire une parenthèse, c'est additionner l'opposé de chacun de ses termes.

4)

FAUX. On divise CHAQUE terme : $\dfrac{8x^{3}}{4x}=2x^{2}$ et $\dfrac{4x}{4x}=1$ , donc le quotient vaut $2x^{2}+1$ . Avec $x=1$ : $\dfrac{12}{4}=3$ , et $2+1=3$ ; la réponse fausse donne $2$ . Énoncé correct : un terme divisé par lui-même vaut $1$ , jamais $0$ , et il reste dans le résultat.

5)

FAUX. En $x=0$ , tous les termes qui contiennent $x$ s'annulent et les développements faux qui ne diffèrent du bon que par ces termes donnent le même nombre. $(x+1)^{2}$ et $x^{2}+1$ valent tous deux $1$ en $x=0$ , et pourtant ils diffèrent. Énoncé correct : tester avec une valeur qui n'annule rien, $x=1$ ou $x=2$ , et un seul écart suffit à réfuter.

Exercice 9 : Problème : l'écran et son cadre

Un écran rectangulaire mesure $L$ cm de largeur et $H$ cm de hauteur. Il est entouré d'un cadre de largeur uniforme $b$ cm, comme sur la figure. Le fabricant veut connaître l'aire du cadre seul, celle qu'il faut peindre.

a) Exprimez les dimensions extérieures du cadre, puis l'aire totale (écran et cadre) sous forme développée et réduite.
b) Déduisez l'aire du cadre seul, réduite. Combien de termes a-t-elle, et de quel degré en $b$ ?
c) Calculez l'aire du cadre pour $L=60$ , $H=35$ et $b=2$ . Vérifiez en découpant le cadre en quatre rectangles.
d) Le fabricant propose une formule rapide : « aire du cadre $=2b(L+H)$ ». Montrez avec les mêmes nombres qu'elle est fausse, et dites ce qu'elle oublie.

Voir la correction

Réponses

a) $(L+2b)(H+2b)=LH+2bL+2bH+4b^{2}$
b) $2bL+2bH+4b^{2}$ , trois termes, degré $2$ en $b$
c) $396$ cm $^{2}$
d) $380$ cm $^{2}$ au lieu de $396$ : la formule oublie les quatre coins, $4b^{2}=16$

a)

Le cadre ajoute $b$ de chaque côté, donc la largeur extérieure est $L+2b$ et la hauteur extérieure $H+2b$ . Aire totale : $(L+2b)(H+2b)=LH+2bL+2bH+4b^{2}$ . Quatre termes, un par rectangle du découpage : l'écran ( $LH$ ), les deux bandes horizontales ( $2bL$ ), les deux bandes verticales ( $2bH$ ) et les quatre coins ( $4b^{2}$ ). Le piège est d'écrire $L+b$ et $H+b$ , en oubliant que le cadre est des DEUX côtés.

b)

Aire du cadre $=$ aire totale $-$ aire de l'écran $=LH+2bL+2bH+4b^{2}-LH=2bL+2bH+4b^{2}$ . Le terme $LH$ disparaît, ce qui est normal : l'écran ne fait pas partie du cadre. Trois termes ; en la variable $b$ , c'est un polynôme de degré $2$ , à cause des quatre coins. On peut le mettre en évidence : $2b(L+H+2b)$ .

c)

$2\times 2\times 60+2\times 2\times 35+4\times 4=240+140+16=396$ cm $^{2}$ . Par découpage : deux bandes horizontales de $60\times 2=120$ chacune, soit $240$ ; deux bandes verticales de $35\times 2=70$ chacune, soit $140$ ; quatre coins de $2\times 2=4$ , soit $16$ ; total $396$ . Contrôle par la différence : $(64)(39)-(60)(35)=2496-2100=396$ . Trois méthodes, un résultat.

d)

$2b(L+H)=2\times 2\times 95=380$ cm $^{2}$ , alors que la vraie aire vaut $396$ : il manque $16$ cm $^{2}$ , exactement les quatre coins, $4b^{2}=16$ . La formule rapide compte les quatre bandes en les faisant tourner autour de l'écran, mais les coins n'appartiennent à aucune bande ainsi mesurée. En termes algébriques, $2b(L+H)$ est la partie de degré $1$ en $b$ de l'expression exacte $2b(L+H)+4b^{2}$ ; elle est d'autant plus fausse que $b$ est grand : pour $b=5$ , il manquerait $100$ cm $^{2}$ .

Exercice 10 : Problème : la bordure de carreaux

On carrele un plancher carré de $n$ carreaux de côté, puis on l'entoure d'une bordure d'un carreau de large, dans une autre couleur. La figure montre le cas $n=4$ .

a) Comptez les carreaux de la bordure pour $n=4$ , puis pour $n=5$ .
b) Un élève trouve $4n+4$ carreaux de bordure, une autre trouve $(n+2)^{2}-n^{2}$ . Développez la seconde expression et montrez que les deux sont égales.
c) Une troisième méthode donne $4(n+1)$ . Expliquez par la figure d'où viennent chacune des trois expressions.
d) Le plancher complet, bordure comprise, compte $324$ carreaux. Trouvez $n$ , puis le nombre de carreaux de chaque couleur.

Voir la correction

Réponses

a) $20$ carreaux pour $n=4$ , $24$ pour $n=5$
b) $(n+2)^{2}-n^{2}=4n+4$ : les deux expressions sont égales
c) $4n+4$ : quatre côtés plus quatre coins ; $(n+2)^{2}-n^{2}$ : grand carré moins petit ; $4(n+1)$ : quatre bandes en L
d) $n=16$ ; $256$ carreaux au centre, $68$ en bordure

a)

Pour $n=4$ , le carré complet a $6$ carreaux de côté, soit $36$ carreaux, dont $16$ au centre : la bordure en compte $36-16=20$ . Pour $n=5$ : $7^{2}-5^{2}=49-25=24$ . On peut aussi compter directement sur la figure : $6+6$ pour les rangées du haut et du bas, plus $4+4$ pour les colonnes de gauche et de droite sans les coins déjà comptés, soit $20$ .

b)

$(n+2)^{2}-n^{2}=(n+2)(n+2)-n^{2}=n^{2}+4n+4-n^{2}=4n+4$ . Les deux expressions sont donc IDENTIQUES, ce qui n'a rien de surprenant : elles comptent les mêmes carreaux. Le développement de $(n+2)^{2}$ demande les deux termes du milieu, $2n+2n=4n$ ; un élève qui écrit $n^{2}+4$ obtient une bordure de $4$ carreaux quel que soit $n$ , ce que la figure réfute d'un coup d'œil. Vérification pour $n=4$ : $4\times 4+4=20$ .

c)

$4n+4$ : quatre côtés de $n$ carreaux (les carreaux de bordure qui touchent le carré central), plus les $4$ coins. $(n+2)^{2}-n^{2}$ : le grand carré moins le petit. $4(n+1)$ : on découpe la bordure en quatre bandes en L de $n+1$ carreaux chacune, chaque bande prenant un côté et UN coin. Trois découpages, trois expressions, et l'algèbre prouve qu'elles sont égales : $4(n+1)=4n+4$ . C'est le sens profond de la mise en évidence : $4n+4=4(n+1)$ n'est pas un calcul, c'est le passage d'un découpage à un autre.

d)

Le carré complet a $(n+2)^{2}=324$ carreaux, donc $n+2=\sqrt{324}=18$ et $n=16$ . Le centre compte $16^{2}=256$ carreaux, la bordure $4\times 16+4=68$ , et $256+68=324$ . On a utilisé la racine carrée d'un carré parfait, la seule solution positive ayant un sens ici : $n+2=-18$ est écarté, un nombre de carreaux ne peut pas être négatif.

4n+4

: quatre côtés de

n

carreaux (bleu) et les quatre coins (rouge).

(n+2)^{2}-n^{2}

: le grand carré de

n+2

de côté moins le carré central.

4(n+1)

: quatre bandes de

n+1

carreaux, chacune prend un côté et UN coin.

Exercices corrigés : les expressions algébriques : du monôme au polynôme (math, secondaire 3)

Rappel de cours

Calculs : les polynômes à développer et réduire

Exercice 0.1 : Développer et réduire un polynôme : dix calculs directs

Calculs : les mises en évidence à faire

Exercice 0.2 : Mettre en évidence le plus grand facteur commun : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Monômes, polynômes et termes semblables : le vocabulaire

Exercice 2 : Additionner et soustraire des polynômes

Exercice 3 : Multiplier : le monôme, le binôme et l'aire du rectangle

Exercice 4 : Diviser un polynôme par un monôme

Exercice 5 : La mise en évidence simple

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Périmètre et aire d'une figure cotée en x

Exercice 7 : Évaluer, tester, et démasquer un faux développement

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : l'écran et son cadre

Exercice 10 : Problème : la bordure de carreaux

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