Exercices corrigés : les expressions algébriques : du monôme au polynôme (math, secondaire 3)

a) $5x^{2}y$ : coefficient $5$, degré $2+1=3$. $-3xy^{2}$ : coefficient $-3$ (le signe fait partie du coefficient), degré $1+2=3$. $7$ : coefficient $7$, degré $0$, c'est un terme constant. $-2x^{2}y$ : coefficient $-2$, degré $3$. $xy^{2}$ : coefficient $1$, qu'on n'écrit pas, degré $3$. $-4$ : coefficient $-4$, degré $0$. Le degré compte les variables, pas le coefficient : $7$ est de degré $0$ même s'il vaut $7$.

b) Termes semblables : $5x^{2}y$ et $-2x^{2}y$ donnent $3x^{2}y$ ; $-3xy^{2}$ et $xy^{2}$ donnent $-2xy^{2}$ ; $7$ et $-4$ donnent $3$. Donc $E=3x^{2}y-2xy^{2}+3$. Le polynôme réduit a TROIS termes, c'est un trinôme, et son degré est le plus grand des degrés de ses termes, soit $3$. On n'a additionné que des coefficients de termes de même nature : $x^{2}y$ et $xy^{2}$ ne sont pas semblables, même si les lettres sont les mêmes, parce que les exposants ne sont pas aux mêmes endroits.

c) Semblables à $x^{2}$ : $3x^{2}$, $-x^{2}$ et $\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}x^{2}$, dont le coefficient est $\dfrac{1}{2}$. Pas semblables : $3x$ (exposant $1$), $x^{2}y$ (une variable en plus) et $2x^{3}$ (exposant $3$). La règle est stricte : mêmes variables, mêmes exposants, rien d'autre ne compte. C'est cette règle qui interdit d'écrire $x^{2}+x=x^{3}$, une erreur qui coûte la question entière chaque fois qu'elle apparaît.

d) $\dfrac{3}{x}=3x^{-1}$ : l'exposant de $x$ est $-1$, or un monôme exige des exposants entiers POSITIFS ou nuls. $\sqrt{x}=x^{1/2}$ : l'exposant n'est pas entier. Aucune des deux expressions n'est donc un monôme, et une expression qui les contient n'est pas un polynôme. Cela a une conséquence pratique : les règles de ce chapitre (réduire, développer, diviser par un monôme) ne s'appliquent qu'aux polynômes ; devant $\dfrac{3}{x}$, il faudra d'autres outils, ceux des expressions rationnelles de secondaire 4.

a) On regroupe : $4a^{2}+2a^{2}=6a^{2}$ ; $-3a+7a=4a$ ; $5-9=-4$. Somme : $6a^{2}+4a-4$. Les parenthèses d'une addition ne servent à rien, on peut les enlever sans rien changer. Vérification avec $a=1$ : $(4-3+5)+(2+7-9)=6+0=6$, et $6+4-4=6$.

b) Le moins devant la seconde parenthèse s'applique aux TROIS termes : $-(2a^{2}+7a-9)=-2a^{2}-7a+9$. Puis $4a^{2}-2a^{2}=2a^{2}$ ; $-3a-7a=-10a$ ; $5+9=14$. Différence : $2a^{2}-10a+14$. L'erreur la plus fréquente est de ne changer que le premier signe, ce qui donne $2a^{2}+4a-4$ : deux termes faux sur trois. Vérification avec $a=1$ : $6-0=6$, et $2-10+14=6$.

c) On distribue chaque signe : $3x-2x+5-x-4+6-x$. Termes en $x$ : $3x-2x-x-x=-x$. Constantes : $5-4+6=7$. Résultat : $-x+7$, qu'on écrit aussi $7-x$. Le troisième signe moins est le piège : $-(x+4)=-x-4$, et le $4$ devient négatif alors qu'il était positif dans la parenthèse. Vérification avec $x=1$ : $3-(-3)-5+5=6$, et $7-1=6$.

d) $P=(3x^{2}+2x-7)-(x^{2}-4x+1)=3x^{2}+2x-7-x^{2}+4x-1=2x^{2}+6x-8$. Le $-4x$ devient $+4x$ et le $+1$ devient $-1$. Vérification avec $x=2$ : $P(2)=8+12-8=12$ ; $x^{2}-4x+1=4-8+1=-3$ ; somme $12+(-3)=9$ ; et $3x^{2}+2x-7=12+4-7=9$. Les deux membres coïncident. Ce test numérique ne prouve pas que $P$ est juste en général, mais un $P$ faux échoue presque toujours au premier test, ce qui en fait le meilleur contrôle possible en une minute.

a) $(-3x^{2}y)(4xy^{3})=(-3\times 4)\,x^{2+1}\,y^{1+3}=-12x^{3}y^{4}$. Les coefficients se multiplient ($-12$), les exposants de $x$ s'additionnent ($2+1$), ceux de $y$ aussi ($1+3$). Pour $(2a^{2})^{3}\times(-a)$ : d'abord la puissance, $(2a^{2})^{3}=8a^{6}$, puis le produit, $8a^{6}\times(-a)=-8a^{7}$. Ici, contrairement à l'addition, on ne se demande jamais si les termes sont semblables : tout se multiplie avec tout.

b) On distribue $3x$ sur chaque terme : $3x\times 2x^{2}=6x^{3}$ ; $3x\times(-5x)=-15x^{2}$ ; $3x\times 4=12x$. Résultat : $6x^{3}-15x^{2}+12x$. Trois termes de degrés différents, donc rien à réduire. Vérification avec $x=1$ : $3\times(2-5+4)=3$, et $6-15+12=3$.

c) Le grand rectangle a pour côtés $x+5$ et $x+2$. Les quatre morceaux : $x\times x=x^{2}$, $x\times 5=5x$, $2\times x=2x$, $2\times 5=10$. L'aire totale vaut donc $x^{2}+5x+2x+10=x^{2}+7x+10$. Les deux rectangles du milieu, $5x$ et $2x$, sont des termes SEMBLABLES et se réunissent en $7x$ ; $x^{2}$ et $10$ restent seuls. Développer, c'est lire une aire de deux façons : le grand rectangle d'un côté, la somme des quatre petits de l'autre.

d) $(2x-3)(x+4)=2x^{2}+8x-3x-12=2x^{2}+5x-12$. Le signe du $-3$ voyage avec lui : $-3\times x=-3x$ et $-3\times 4=-12$. Puis $(x-3)(x+3)=x^{2}+3x-3x-9=x^{2}-9$ : les deux termes du milieu s'ANNULENT parce qu'ils sont opposés. Le produit d'une somme par une différence des mêmes deux termes ne garde que les carrés : c'est un résultat qu'on retrouvera en secondaire 4 sous le nom de différence de carrés, et ici on l'a simplement calculé. Vérification avec $x=4$ : $(1)(7)=7$ et $16-9=7$.

a) Chaque morceau se divise par la largeur : $\dfrac{6x^{2}}{2x}=3x$ et $\dfrac{4x}{2x}=2$. La longueur vaut donc $3x+2$, et la figure le confirme : le grand rectangle a pour longueur $3x$ et le petit $2$. Vérification : $2x(3x+2)=6x^{2}+4x$, on retrouve l'aire. La division est l'opération inverse de la distribution, et la figure est la même dans les deux sens.

b) Terme par terme : $\dfrac{15a^{4}}{5a^{2}}=3a^{2}$ ; $\dfrac{-10a^{3}}{5a^{2}}=-2a$ ; $\dfrac{5a^{2}}{5a^{2}}=1$. Résultat : $3a^{2}-2a+1$. Le troisième terme est le piège : $\dfrac{5a^{2}}{5a^{2}}$ vaut $1$, pas $0$, et un élève sur quatre l'oublie et répond $3a^{2}-2a$. Vérification avec $a=1$ : $\dfrac{15-10+5}{5}=2$, et $3-2+1=2$ ; la réponse fausse donnerait $1$.

c) $\dfrac{12x^{3}y^{2}}{-4x^{2}y}=-3xy$ et $\dfrac{-8x^{2}y^{3}}{-4x^{2}y}=2y^{2}$ : le $x^{2}$ disparaît complètement ($x^{2-2}=x^{0}=1$) et il reste $y^{3-1}=y^{2}$. Résultat : $-3xy+2y^{2}$. Deux signes à surveiller : le premier terme devient négatif parce qu'on divise un positif par un négatif ; le second devient positif parce qu'on divise un négatif par un négatif. Vérification avec $x=y=1$ : $\dfrac{12-8}{-4}=-1$, et $-3+2=-1$.

d) $\dfrac{6x^{2}}{2x}=3x$ se divise bien, mais $\dfrac{4}{2x}=\dfrac{2}{x}$ ne donne pas un monôme : l'exposant de $x$ serait $-1$. Le résultat $3x+\dfrac{2}{x}$ n'est donc PAS un polynôme. La division d'un polynôme par un monôme ne « tombe juste » que si chaque terme du numérateur contient le monôme en facteur : c'est le cas quand le monôme est un diviseur commun de tous les termes, ce qui est exactement la mise en évidence de l'exercice suivant. Erreur classique à ne pas commettre : simplifier les $x$ « en croix » pour écrire $3x+2$, ce qui revient à diviser $4$ par $2$ seulement et à oublier le $x$.

a) $6x^{2}+4x=2x(3x+2)$ : le PGCD de $6$ et $4$ est $2$, et $x$ apparaît avec l'exposant minimal $1$. C'est l'aire de l'exercice 4 écrite comme un produit. $15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}=5a^{2}(3a^{2}-2a+1)$ : le $1$ final est obligatoire, il correspond au terme $5a^{2}$ divisé par lui-même. $12x^{3}y^{2}-8x^{2}y^{3}=4x^{2}y^{2}(3x-2y)$ : PGCD $4$, exposant minimal $2$ pour $x$, exposant minimal $2$ pour $y$. On remarque que le facteur commun est plus gros ici que le diviseur $-4x^{2}y$ de l'exercice 4 : on y avait divisé par un diviseur commun, pas par le plus grand.

b) Coefficients $9$, $6$, $3$ : PGCD $3$. Variable $m$ : exposants $3$, $2$, $2$, le plus petit est $2$. Variable $n$ : exposants $1$, $2$, $1$, le plus petit est $1$. Facteur commun : $3m^{2}n$. Reste : $\dfrac{9m^{3}n}{3m^{2}n}=3m$, $\dfrac{-6m^{2}n^{2}}{3m^{2}n}=-2n$, $\dfrac{3m^{2}n}{3m^{2}n}=1$. Donc $9m^{3}n-6m^{2}n^{2}+3m^{2}n=3m^{2}n(3m-2n+1)$. Vérification en redistribuant : $3m^{2}n\times 3m=9m^{3}n$, $3m^{2}n\times(-2n)=-6m^{2}n^{2}$, $3m^{2}n\times 1=3m^{2}n$. Les trois termes reviennent.

c) Quand le premier terme est négatif, on met souvent $-4$ en évidence pour que la parenthèse commence par un terme positif : $-4t^{2}+8t-12=-4(t^{2}-2t+3)$. Chaque terme a changé de signe en passant dans la parenthèse : $\dfrac{8t}{-4}=-2t$ et $\dfrac{-12}{-4}=+3$. Vérification avec $t=1$ : $-4+8-12=-8$, et $-4(1-2+3)=-8$. Oublier de changer le signe du dernier terme, en écrivant $-4(t^{2}-2t-3)$, est l'erreur type ; le test $t=1$ la détecte aussitôt, puisque $-4(1-2-3)=16$.

d) $4x(2x)=8x^{2}$ : le terme $-4x$ a DISPARU. L'élève a divisé $-4x$ par $4x$, obtenu $-1$, et l'a oublié. La bonne réponse est $8x^{2}-4x=4x(2x-1)$. La détection en cinq secondes : une mise en évidence a autant de termes dans la parenthèse que le polynôme de départ, ici deux ; une parenthèse à un seul terme est fausse à coup sûr. Deuxième contrôle : redistribuer, $4x(2x-1)=8x^{2}-4x$. Un facteur qui vaut exactement un des termes laisse toujours un $1$ ou un $-1$ dans la parenthèse, jamais rien.

a) Le côté du haut, $x+1$, et le côté horizontal intérieur, $2x$, se complètent pour donner le côté du bas : $(x+1)+2x=3x+1$, ce que la cote confirme. Le côté droit, $x$, et le côté vertical intérieur, $2x$, se complètent pour donner le côté gauche : $x+2x=3x$. Les cotes de la figure sont donc cohérentes, et il n'y a en réalité aucun côté inconnu : la question sert à vérifier qu'on sait LIRE une figure en L, où chaque côté long est la somme de deux côtés courts en face.

b) Périmètre : $(3x+1)+x+2x+2x+3x+(x+1)=12x+2$. On a additionné les six côtés en regroupant les termes en $x$ ($3+1+2+2+3+1=12$) et les constantes ($1+1=2$). Vérification avec $x=2$ : les côtés mesurent $7$, $2$, $4$, $4$, $6$, $3$, total $26$, et $12\times 2+2=26$. Remarque : le périmètre d'un L vaut celui du rectangle qui l'enveloppe, $2(3x+1)+2(3x)=12x+2$, parce que les deux côtés intérieurs remplacent exactement les deux morceaux manquants.

c) Première façon, découpage en deux rectangles : le rectangle du bas, $(3x+1)\times x=3x^{2}+x$, et le rectangle du haut, $(x+1)\times 2x=2x^{2}+2x$. Aire : $5x^{2}+3x$. Seconde façon, le rectangle enveloppant moins le coin manquant : $(3x+1)(3x)-(2x)(2x)=9x^{2}+3x-4x^{2}=5x^{2}+3x$. Les deux coïncident, et c'est un contrôle puissant : deux découpages différents qui donnent la même expression réduite se valident mutuellement. Vérification avec $x=2$ : $20+6=26$ cm$^{2}$, et directement $7\times 2+3\times 4=14+12=26$.

d) $12x+2=60$ donne $12x=58$ et $x=\dfrac{58}{12}=\dfrac{29}{6}\approx 4{,}83$ cm. L'aire vaut alors $5x^{2}+3x=5\times\dfrac{841}{36}+\dfrac{29}{2}=\dfrac{4205}{36}+\dfrac{522}{36}=\dfrac{4727}{36}\approx 131{,}3$ cm$^{2}$. La valeur de $x$ n'est pas entière, ce qui arrive dans un vrai problème : on garde la fraction exacte jusqu'au bout et on n'arrondit qu'à la fin, sinon l'aire est fausse dès la deuxième décimale.

a) On remplace, en gardant les parenthèses autour des négatifs : $2(-2)^{2}-3(-2)(3)+3^{2}=2\times 4-(-18)+9=8+18+9=35$. Le terme du milieu est le piège : $-3\times(-2)\times 3=+18$, deux négatifs donnent un positif. Sans parenthèses, un élève écrit $2\times-2^{2}=-8$ et perd le résultat dès le premier terme.

b) Pour $x=5$ : $-x^{2}=-25$ et $(-x)^{2}=(-5)^{2}=25$. Pour $x=-5$ : $-x^{2}=-(-5)^{2}=-25$ et $(-x)^{2}=(5)^{2}=25$. Dans les deux cas, $-x^{2}$ est négatif et $(-x)^{2}$ est positif : $-x^{2}$ est l'opposé d'un carré, toujours négatif ou nul, tandis que $(-x)^{2}$ est le carré d'un opposé, toujours positif ou nul. La parenthèse décide de l'ordre des opérations, et l'ordre change le signe.

c) Pour $x=1$ : $(2+3)^{2}=25$. Les trois réponses donnent $4+9=13$, $4+6+9=19$ et $4+12+9=25$. Seule la troisième coïncide : $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$. En effet, $(2x+3)(2x+3)=4x^{2}+6x+6x+9$, et les DEUX termes du milieu, $6x$ et $6x$, s'additionnent en $12x$. La première réponse oublie les termes du milieu, la seconde n'en compte qu'un : ce sont les deux erreurs qui reviennent dans toutes les copies, et un test à $x=1$ les élimine toutes deux en trente secondes.

d) Pour $x=0$, les trois réponses valent $9$, et $(2\times 0+3)^{2}=9$ aussi : le test ne distingue rien, parce qu'en $x=0$ tous les termes contenant $x$ disparaissent, et les trois réponses ne diffèrent QUE par ces termes. Il faut donc éviter $x=0$, et plus généralement toute valeur qui annule les termes sur lesquels les réponses diffèrent ; $x=1$ est le meilleur choix courant, et $x=2$ un second test si le premier laisse un doute. Un test numérique ne prouve jamais une égalité, mais un test bien choisi RÉFUTE une fausse égalité à coup sûr.