Exercices corrigés : la manipulation d'expressions algébriques (math SN4, secondaire 4)

$(2x+7)^{2}=(2x)^{2}+2\times 2x\times 7+7^{2}=4x^{2}+28x+49$. Coefficient de $x$ : $28$ ; terme constant : $49$. Piège : écrire $4x^{2}+49$, sans le double produit.

$(x-6y)^{2}=x^{2}-2\times x\times 6y+(6y)^{2}=x^{2}-12xy+36y^{2}$. Coefficient de $xy$ : $-12$ ; de $y^{2}$ : $36$. Piège : $(6y)^{2}=6y^{2}$, le carré oublié sur le $6$.

Deux binômes conjugués : $(7x+4)(7x-4)=(7x)^{2}-4^{2}=49x^{2}-16$. Coefficient de $x^{2}$ : $49$ ; terme constant : $-16$. Les termes $-28x$ et $+28x$ s'annulent, c'est pourquoi il n'y a pas de terme en $x$.

$\left(\frac{1}{2}x-3\right)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}-2\times\frac{1}{2}x\times 3+9=\frac{1}{4}x^{2}-3x+9$. Coefficient de $x^{2}$ : $\frac{1}{4}$ ; de $x$ : $-3$. Piège : $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$, pas $\frac{1}{2}$.

Pas d'identité : $(3x-4)(2x+5)=6x^{2}+15x-8x-20=6x^{2}+7x-20$. Coefficient de $x$ : $7$ ; terme constant : $-20$. Les deux termes du milieu se regroupent.

On développe chaque morceau, puis on soustrait le second ENTRE PARENTHÈSES : $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ et $(x-1)(x+6)=x^{2}+5x-6$, donc $x^{2}+8x+16-(x^{2}+5x-6)=x^{2}+8x+16-x^{2}-5x+6=3x+22$. Coefficient de $x$ : $3$ ; terme constant : $22$. Piège : $-(\ldots-6)$ donne $+6$, pas $-6$, ce qui donnerait $10$.

Chaque terme du binôme multiplie les trois termes du trinôme : $2x(x^{2}-3x+4)=2x^{3}-6x^{2}+8x$ et $-1(x^{2}-3x+4)=-x^{2}+3x-4$. Donc $2x^{3}-7x^{2}+11x-4$. Coefficient de $x^{2}$ : $-7$ ; de $x$ : $11$.

On commence par les deux conjugués : $(x+3)(x-3)=x^{2}-9$, puis $(x^{2}-9)(x+2)=x^{3}+2x^{2}-9x-18$. Coefficient de $x^{2}$ : $2$ ; terme constant : $-18$. L'ordre des facteurs est libre : choisir la paire qui fait une identité épargne un développement.

Le carré d'un trinôme donne les trois carrés plus les trois doubles produits : $(x^{2})^{2}+(2x)^{2}+3^{2}+2(x^{2})(-2x)+2(x^{2})(3)+2(-2x)(3)=x^{4}+4x^{2}+9-4x^{3}+6x^{2}-12x$, soit $x^{4}-4x^{3}+10x^{2}-12x+9$. Coefficient de $x^{2}$ : $10$ ; de $x$ : $-12$. Piège : le terme en $x^{2}$ vient de DEUX sources, $(-2x)^{2}=4x^{2}$ et $2\times x^{2}\times 3=6x^{2}$.

$97^{2}=(100-3)^{2}=10\ 000-600+9=9\ 409$. $71\times 69=(70+1)(70-1)=4\ 900-1=4\ 899$. Piège : $(100-3)^{2}=10\ 000-9$, le double produit $600$ oublié.

L'exposant extérieur frappe CHAQUE facteur, le coefficient compris : $(3x^{2}y)^{3}=3^{3}\times (x^{2})^{3}\times y^{3}=27x^{6}y^{3}$. L'erreur la plus fréquente est de laisser le $3$ tranquille et d'écrire $3x^{6}y^{3}$ : le coefficient est un facteur comme les autres, il monte à la puissance lui aussi. Contrôle avec $x=2$ et $y=1$ : à gauche $(3\times 4\times 1)^{3}=12^{3}=1728$, à droite $27\times 64\times 1=1728$. Même nombre, donc la transformation a conservé la valeur.

On traite le coefficient et chaque lettre séparément. $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}$, $\dfrac{y^{2}}{y^{5}}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}$. D'où $\dfrac{2x^{3}}{3y^{3}}$. On SOUSTRAIT les exposants, on ne les divise pas : $\dfrac{x^{5}}{x^{2}}$ vaut $x^{3}$, jamais $x^{2{,}5}$. Et l'exposant négatif ne rend rien négatif : il fait changer d'étage. Contrôle avec $x=2$ et $y=2$ : à gauche $\dfrac{12\times 32\times 4}{18\times 4\times 32}=\dfrac{1536}{2304}\approx 0{,}667$, à droite $\dfrac{2\times 8}{3\times 8}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$.

Deux exposants négatifs, l'un dans la parenthèse, l'autre dehors. On distribue d'abord : $\left(2x^{-3}\right)^{-2}=2^{-2}\times (x^{-3})^{-2}=2^{-2}\times x^{6}$. Puis $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$, donc le résultat est $\dfrac{x^{6}}{4}$. Deux pièges dans la même ligne : $(x^{-3})^{-2}$ MULTIPLIE les exposants, $(-3)\times(-2)=+6$, et le $2$ descend au dénominateur sans changer de signe. Contrôle avec $x=2$ : à gauche $\left(2\times\frac{1}{8}\right)^{-2}=(0{,}25)^{-2}=16$, à droite $\dfrac{64}{4}=16$.

On simplifie le numérateur avant de diviser. $(2x^{2})^{3}=8x^{6}$, puis $8x^{6}\times 3x=24x^{7}$. Enfin $\dfrac{24x^{7}}{6x^{4}}=4x^{3}$. Écrire $(2x^{2})^{3}=2x^{6}$ coûte le quart des points de la question : $2^{3}=8$, pas $2$. Contrôle avec $x=2$ : le numérateur vaut $512\times 6=3072$, le dénominateur $6\times 16=96$, le quotient $32$ ; et $4\times 2^{3}=32$.

Avec $x=1$ et $y=1$ : à gauche $(1+1)^{2}=4$, à droite $1^{2}+1^{2}=2$. Les deux nombres diffèrent, donc l'égalité est fausse, et une seule valeur suffit à le prouver. Ce qui manque est le DOUBLE PRODUIT : $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$, et ici $2xy=2$, l'écart exact entre $4$ et $2$. La règle $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ ne vaut que pour un PRODUIT ; une somme n'a pas ce droit, et c'est l'erreur la plus coûteuse de tout le chapitre parce qu'elle se reproduit ensuite sur $(x+y)^{3}$, sur $\sqrt{x+y}$ et sur $\dfrac{1}{x+y}$.

Chacun des deux termes de $(x-3)$ multiplie les trois termes du trinôme, ce qui donne six produits : $x\cdot x^{2}+x\cdot 4x+x\cdot(-5)-3\cdot x^{2}-3\cdot 4x-3\cdot(-5)$, soit $x^{3}+4x^{2}-5x-3x^{2}-12x+15$. On réduit les termes semblables, $4x^{2}-3x^{2}=x^{2}$ et $-5x-12x=-17x$, et l'on ordonne : $x^{3}+x^{2}-17x+15$. Contrôle avec $x=2$ : à gauche $(2-3)(4+8-5)=(-1)\times 7=-7$, à droite $8+4-34+15=-7$. Le compte des produits est le meilleur garde-fou : deux termes fois trois termes donnent toujours SIX produits avant réduction, et il en manque presque toujours un quand la copie est fausse.

On commence par le couple le plus simple, $(x-4)(x+2)=x^{2}-2x-8$. Puis $(2x+1)(x^{2}-2x-8)=2x^{3}-4x^{2}-16x+x^{2}-2x-8=2x^{3}-3x^{2}-18x-8$. Contrôle avec $x=1$ : à gauche $3\times(-3)\times 3=-27$, à droite $2-3-18-8=-27$. Développer les trois facteurs d'un seul coup donne douze produits à surveiller : deux par deux, il n'y en a jamais plus de six à la fois.

Un carré n'est pas une distribution de l'exposant : $(x+2y-3)^{2}$ est le produit $(x+2y-3)(x+2y-3)$. Avec trois termes, la formule utile est $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ : chaque carré, puis chaque double produit. Ici $a=x$, $b=2y$, $c=-3$ : les carrés donnent $x^{2}+4y^{2}+9$, les doubles produits $2\cdot x\cdot 2y=4xy$, $2\cdot x\cdot(-3)=-6x$ et $2\cdot 2y\cdot(-3)=-12y$. Résultat : $x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9$. Contrôle avec $x=1$ et $y=1$ : à gauche $(1+2-3)^{2}=0$, à droite $1+4+4-6-12+9=0$.

Le degré d'un produit est la SOMME des degrés : $1+1+1+2=5$. Le coefficient du terme de plus haut degré est le produit des coefficients dominants, $2\times 1\times 1\times 3=6$ : le terme dominant est donc $6x^{5}$. Le terme constant est le produit des termes constants, $1\times(-4)\times 2\times(-1)=8$. Ces trois renseignements s'obtiennent sans développer parce qu'un seul chemin donne le degré $5$, celui où l'on prend le $x$ dans chaque facteur, et un seul donne le terme constant, celui où l'on ne prend aucun $x$. Contrôle : en $x=0$ le produit vaut $1\times(-4)\times 2\times(-1)=8$, c'est bien le terme constant.

$(3x+5)^{2}=(3x)^{2}+2\times 3x\times 5+5^{2}=9x^{2}+30x+25$. La figure le dit aire par aire : le grand carré de côté $3x+5$ contient le carré $9x^{2}$, le carré $25$, et DEUX rectangles de $3x$ sur $5$, donc $2\times 15x=30x$. Le double produit n'est pas une règle à retenir de force : c'est le fait qu'il y a deux rectangles et non un seul. Contrôle avec $x=1$ : $(3+5)^{2}=64$ et $9+30+25=64$.

Ici $a=4a$ et $b=7b$, et le signe du milieu est négatif : $(4a-7b)^{2}=16a^{2}-2\times 4a\times 7b+49b^{2}=16a^{2}-56ab+49b^{2}$. Les deux carrés restent POSITIFS, même avec la soustraction : $(-7b)^{2}=+49b^{2}$. Seul le double produit porte le signe moins. Contrôle avec $a=1$ et $b=1$ : $(4-7)^{2}=9$ et $16-56+49=9$.

Les deux binômes ne diffèrent que par un signe : c'est la troisième identité. $(2x+3y)(2x-3y)=(2x)^{2}-(3y)^{2}=4x^{2}-9y^{2}$. Les termes en $xy$ s'éliminent, puisque le développement complet donnerait $4x^{2}-6xy+6xy-9y^{2}$. Contrôle avec $x=1$ et $y=1$ : $5\times(-1)=-5$ et $4-9=-5$.

$203^{2}=(200+3)^{2}=200^{2}+2\times 200\times 3+3^{2}=40\ 000+1\ 200+9=41\ 209$. $58\times 62=(60-2)(60+2)=60^{2}-2^{2}=3\ 600-4=3\ 596$. Les identités ne servent pas qu'aux lettres : elles servent chaque fois qu'un nombre est proche d'un nombre rond. Le deuxième calcul est le plus parlant, deux nombres symétriques autour de $60$ donnent toujours $3\ 600$ moins le carré de l'écart.

Il a oublié les DEUX rectangles de la figure, c'est-à-dire le double produit $30x$. Pour $x=1$, la valeur exacte est $(3+5)^{2}=64$ et sa réponse donne $9+25=34$ : il se trompe de $30$, exactement la valeur de $30x$ en $x=1$. L'erreur n'est donc pas un détail d'écriture, elle vaut ici près de la moitié du résultat, et elle vient toujours de la même croyance, que l'exposant se distribue sur une somme. La figure est l'argument le plus court contre cette croyance : il y a quatre morceaux dans le grand carré, pas deux.

$A(3)=2\times 9-5\times 3+1=18-15+1=4$. $A(-2)=2\times(-2)^{2}-5\times(-2)+1=8+10+1=19$. Le piège est en $x=-2$ : $(-2)^{2}=+4$, et $-5\times(-2)=+10$. Une copie qui oublie les parenthèses écrit $-2^{2}=-4$ et arrive à $3$, donc à une valeur fausse de $16$ unités.

On remplace chaque $x$ par $(x+1)$ : $A(x+1)=2(x+1)^{2}-5(x+1)+1$. Le carré d'abord : $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$, donc $2(x+1)^{2}=2x^{2}+4x+2$. Puis $-5(x+1)=-5x-5$. En tout : $2x^{2}+4x+2-5x-5+1=2x^{2}-x-2$. Contrôle : $A(x+1)$ évalué en $x=2$ doit redonner $A(3)=4$, et $2\times 4-2-2=4$. C'est la vérification la plus rentable du chapitre, elle prend cinq secondes et attrape presque toutes les erreurs de signe.

$A(2x)=2(2x)^{2}-5(2x)+1=2\times 4x^{2}-10x+1=8x^{2}-10x+1$. Le $2$ entre dans le carré : $(2x)^{2}=4x^{2}$, ce qui multiplie le premier terme par $4$, et non par $2$. Contrôle en $x=1$ : $A(2)=8-10+1=-1$, et $8-10+1=-1$.

$A(x+1)-A(x)=(2x^{2}-x-2)-(2x^{2}-5x+1)$. Le signe moins change TOUS les signes de la seconde parenthèse : $2x^{2}-x-2-2x^{2}+5x-1=4x-3$. Vérification en $x=0$ : $A(1)-A(0)=(2-5+1)-1=-2-1=-3$, et $4\times 0-3=-3$. Le résultat mérite un mot : la différence entre deux valeurs consécutives de $A$ n'est pas constante, elle est du PREMIER degré. Une expression du second degré grandit donc de plus en plus vite, et c'est exactement ce qu'on retrouvera sur la parabole.

En $x=2$ : $A(x+1)$ vaut $A(3)=4$. De l'autre côté, $A(2)=8-10+1=-1$ et $A(1)=2-5+1=-2$, donc $A(2)+A(1)=-3$. Comme $4\neq -3$, l'affirmation est fausse. La raison de fond est la même qu'à l'exercice 1 : une expression n'est pas additive, $A(u+v)$ n'a aucune raison de valoir $A(u)+A(v)$ dès qu'il y a un carré, et un contre-exemple suffit à clore la discussion.