Exercices corrigés : la manipulation d'expressions algébriques (math SN4, secondaire 4)

a) L'exposant extérieur frappe CHAQUE facteur, le coefficient compris : $(3x^{2}y)^{3}=3^{3}\times (x^{2})^{3}\times y^{3}=27x^{6}y^{3}$. L'erreur la plus fréquente est de laisser le $3$ tranquille et d'écrire $3x^{6}y^{3}$ : le coefficient est un facteur comme les autres, il monte à la puissance lui aussi. Contrôle avec $x=2$ et $y=1$ : à gauche $(3\times 4\times 1)^{3}=12^{3}=1728$, à droite $27\times 64\times 1=1728$. Même nombre, donc la transformation a conservé la valeur.

b) On traite le coefficient et chaque lettre séparément. $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}$, $\dfrac{y^{2}}{y^{5}}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}$. D'où $\dfrac{2x^{3}}{3y^{3}}$. On SOUSTRAIT les exposants, on ne les divise pas : $\dfrac{x^{5}}{x^{2}}$ vaut $x^{3}$, jamais $x^{2{,}5}$. Et l'exposant négatif ne rend rien négatif : il fait changer d'étage. Contrôle avec $x=2$ et $y=2$ : à gauche $\dfrac{12\times 32\times 4}{18\times 4\times 32}=\dfrac{1536}{2304}\approx 0{,}667$, à droite $\dfrac{2\times 8}{3\times 8}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$.

c) Deux exposants négatifs, l'un dans la parenthèse, l'autre dehors. On distribue d'abord : $\left(2x^{-3}\right)^{-2}=2^{-2}\times (x^{-3})^{-2}=2^{-2}\times x^{6}$. Puis $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$, donc le résultat est $\dfrac{x^{6}}{4}$. Deux pièges dans la même ligne : $(x^{-3})^{-2}$ MULTIPLIE les exposants, $(-3)\times(-2)=+6$, et le $2$ descend au dénominateur sans changer de signe. Contrôle avec $x=2$ : à gauche $\left(2\times\frac{1}{8}\right)^{-2}=(0{,}25)^{-2}=16$, à droite $\dfrac{64}{4}=16$.

d) On simplifie le numérateur avant de diviser. $(2x^{2})^{3}=8x^{6}$, puis $8x^{6}\times 3x=24x^{7}$. Enfin $\dfrac{24x^{7}}{6x^{4}}=4x^{3}$. Écrire $(2x^{2})^{3}=2x^{6}$ coûte le quart des points de la question : $2^{3}=8$, pas $2$. Contrôle avec $x=2$ : le numérateur vaut $512\times 6=3072$, le dénominateur $6\times 16=96$, le quotient $32$ ; et $4\times 2^{3}=32$.

e) Avec $x=1$ et $y=1$ : à gauche $(1+1)^{2}=4$, à droite $1^{2}+1^{2}=2$. Les deux nombres diffèrent, donc l'égalité est fausse, et une seule valeur suffit à le prouver. Ce qui manque est le DOUBLE PRODUIT : $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$, et ici $2xy=2$, l'écart exact entre $4$ et $2$. La règle $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ ne vaut que pour un PRODUIT ; une somme n'a pas ce droit, et c'est l'erreur la plus coûteuse de tout le chapitre parce qu'elle se reproduit ensuite sur $(x+y)^{3}$, sur $\sqrt{x+y}$ et sur $\dfrac{1}{x+y}$.

a) Chacun des deux termes de $(x-3)$ multiplie les trois termes du trinôme, ce qui donne six produits : $x\cdot x^{2}+x\cdot 4x+x\cdot(-5)-3\cdot x^{2}-3\cdot 4x-3\cdot(-5)$, soit $x^{3}+4x^{2}-5x-3x^{2}-12x+15$. On réduit les termes semblables, $4x^{2}-3x^{2}=x^{2}$ et $-5x-12x=-17x$, et l'on ordonne : $x^{3}+x^{2}-17x+15$. Contrôle avec $x=2$ : à gauche $(2-3)(4+8-5)=(-1)\times 7=-7$, à droite $8+4-34+15=-7$. Le compte des produits est le meilleur garde-fou : deux termes fois trois termes donnent toujours SIX produits avant réduction, et il en manque presque toujours un quand la copie est fausse.

b) On commence par le couple le plus simple, $(x-4)(x+2)=x^{2}-2x-8$. Puis $(2x+1)(x^{2}-2x-8)=2x^{3}-4x^{2}-16x+x^{2}-2x-8=2x^{3}-3x^{2}-18x-8$. Contrôle avec $x=1$ : à gauche $3\times(-3)\times 3=-27$, à droite $2-3-18-8=-27$. Développer les trois facteurs d'un seul coup donne douze produits à surveiller : deux par deux, il n'y en a jamais plus de six à la fois.

c) Un carré n'est pas une distribution de l'exposant : $(x+2y-3)^{2}$ est le produit $(x+2y-3)(x+2y-3)$. Avec trois termes, la formule utile est $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ : chaque carré, puis chaque double produit. Ici $a=x$, $b=2y$, $c=-3$ : les carrés donnent $x^{2}+4y^{2}+9$, les doubles produits $2\cdot x\cdot 2y=4xy$, $2\cdot x\cdot(-3)=-6x$ et $2\cdot 2y\cdot(-3)=-12y$. Résultat : $x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9$. Contrôle avec $x=1$ et $y=1$ : à gauche $(1+2-3)^{2}=0$, à droite $1+4+4-6-12+9=0$.

d) Le degré d'un produit est la SOMME des degrés : $1+1+1+2=5$. Le coefficient du terme de plus haut degré est le produit des coefficients dominants, $2\times 1\times 1\times 3=6$ : le terme dominant est donc $6x^{5}$. Le terme constant est le produit des termes constants, $1\times(-4)\times 2\times(-1)=8$. Ces trois renseignements s'obtiennent sans développer parce qu'un seul chemin donne le degré $5$, celui où l'on prend le $x$ dans chaque facteur, et un seul donne le terme constant, celui où l'on ne prend aucun $x$. Contrôle : en $x=0$ le produit vaut $1\times(-4)\times 2\times(-1)=8$, c'est bien le terme constant.

a) $(3x+5)^{2}=(3x)^{2}+2\times 3x\times 5+5^{2}=9x^{2}+30x+25$. La figure le dit aire par aire : le grand carré de côté $3x+5$ contient le carré $9x^{2}$, le carré $25$, et DEUX rectangles de $3x$ sur $5$, donc $2\times 15x=30x$. Le double produit n'est pas une règle à retenir de force : c'est le fait qu'il y a deux rectangles et non un seul. Contrôle avec $x=1$ : $(3+5)^{2}=64$ et $9+30+25=64$.

b) Ici $a=4a$ et $b=7b$, et le signe du milieu est négatif : $(4a-7b)^{2}=16a^{2}-2\times 4a\times 7b+49b^{2}=16a^{2}-56ab+49b^{2}$. Les deux carrés restent POSITIFS, même avec la soustraction : $(-7b)^{2}=+49b^{2}$. Seul le double produit porte le signe moins. Contrôle avec $a=1$ et $b=1$ : $(4-7)^{2}=9$ et $16-56+49=9$.

c) Les deux binômes ne diffèrent que par un signe : c'est la troisième identité. $(2x+3y)(2x-3y)=(2x)^{2}-(3y)^{2}=4x^{2}-9y^{2}$. Les termes en $xy$ s'éliminent, puisque le développement complet donnerait $4x^{2}-6xy+6xy-9y^{2}$. Contrôle avec $x=1$ et $y=1$ : $5\times(-1)=-5$ et $4-9=-5$.

d) $203^{2}=(200+3)^{2}=200^{2}+2\times 200\times 3+3^{2}=40\ 000+1\ 200+9=41\ 209$. $58\times 62=(60-2)(60+2)=60^{2}-2^{2}=3\ 600-4=3\ 596$. Les identités ne servent pas qu'aux lettres : elles servent chaque fois qu'un nombre est proche d'un nombre rond. Le deuxième calcul est le plus parlant, deux nombres symétriques autour de $60$ donnent toujours $3\ 600$ moins le carré de l'écart.

e) Il a oublié les DEUX rectangles de la figure, c'est-à-dire le double produit $30x$. Pour $x=1$, la valeur exacte est $(3+5)^{2}=64$ et sa réponse donne $9+25=34$ : il se trompe de $30$, exactement la valeur de $30x$ en $x=1$. L'erreur n'est donc pas un détail d'écriture, elle vaut ici près de la moitié du résultat, et elle vient toujours de la même croyance, que l'exposant se distribue sur une somme. La figure est l'argument le plus court contre cette croyance : il y a quatre morceaux dans le grand carré, pas deux.

a) $A(3)=2\times 9-5\times 3+1=18-15+1=4$. $A(-2)=2\times(-2)^{2}-5\times(-2)+1=8+10+1=19$. Le piège est en $x=-2$ : $(-2)^{2}=+4$, et $-5\times(-2)=+10$. Une copie qui oublie les parenthèses écrit $-2^{2}=-4$ et arrive à $3$, donc à une valeur fausse de $16$ unités.

b) On remplace chaque $x$ par $(x+1)$ : $A(x+1)=2(x+1)^{2}-5(x+1)+1$. Le carré d'abord : $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$, donc $2(x+1)^{2}=2x^{2}+4x+2$. Puis $-5(x+1)=-5x-5$. En tout : $2x^{2}+4x+2-5x-5+1=2x^{2}-x-2$. Contrôle : $A(x+1)$ évalué en $x=2$ doit redonner $A(3)=4$, et $2\times 4-2-2=4$. C'est la vérification la plus rentable du chapitre, elle prend cinq secondes et attrape presque toutes les erreurs de signe.

c) $A(2x)=2(2x)^{2}-5(2x)+1=2\times 4x^{2}-10x+1=8x^{2}-10x+1$. Le $2$ entre dans le carré : $(2x)^{2}=4x^{2}$, ce qui multiplie le premier terme par $4$, et non par $2$. Contrôle en $x=1$ : $A(2)=8-10+1=-1$, et $8-10+1=-1$.

d) $A(x+1)-A(x)=(2x^{2}-x-2)-(2x^{2}-5x+1)$. Le signe moins change TOUS les signes de la seconde parenthèse : $2x^{2}-x-2-2x^{2}+5x-1=4x-3$. Vérification en $x=0$ : $A(1)-A(0)=(2-5+1)-1=-2-1=-3$, et $4\times 0-3=-3$. Le résultat mérite un mot : la différence entre deux valeurs consécutives de $A$ n'est pas constante, elle est du PREMIER degré. Une expression du second degré grandit donc de plus en plus vite, et c'est exactement ce qu'on retrouvera sur la parabole.

e) En $x=2$ : $A(x+1)$ vaut $A(3)=4$. De l'autre côté, $A(2)=8-10+1=-1$ et $A(1)=2-5+1=-2$, donc $A(2)+A(1)=-3$. Comme $4\neq -3$, l'affirmation est fausse. La raison de fond est la même qu'à l'exercice 1 : une expression n'est pas additive, $A(u+v)$ n'a aucune raison de valoir $A(u)+A(v)$ dès qu'il y a un carré, et un contre-exemple suffit à clore la discussion.

a) Équivalentes. En développant : $(x-2)(x+5)=x^{2}+5x-2x-10=x^{2}+3x-10$, la seconde expression exactement. Le développement est ici une PREUVE, alors qu'un essai numérique n'en serait qu'un indice : c'est la différence entre vérifier et démontrer. Contrôle tout de même en $x=1$ : $(-1)\times 6=-6$ et $1+3-10=-6$.

b) Non équivalentes. Avec $x=1$ : $(1+3)^{2}=16$ et $1+9=10$, un écart de $6$. L'identité complète est $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$, et l'écart $6x$ vaut bien $6$ en $x=1$. Remarquez que les deux expressions COÏNCIDENT en $x=0$, où elles valent toutes deux $9$ : un élève qui n'aurait testé que $x=0$ aurait conclu à tort.

c) Non équivalentes. La barre de fraction porte sur TOUT le numérateur, donc on divise chaque terme : $\dfrac{2x+4}{2}=\dfrac{2x}{2}+\dfrac{4}{2}=x+2$, et non $x+4$. Avec $x=0$ : à gauche $\dfrac{4}{2}=2$, à droite $4$. L'écart vaut $2$ pour toute valeur de $x$. L'erreur consiste à simplifier le $2$ du dénominateur avec le seul terme $2x$, c'est-à-dire à simplifier un TERME au lieu d'un FACTEUR.

d) Équivalentes. $3(x-1)-(x-4)=3x-3-x+4=2x+1$. Tout se joue sur le signe moins devant la parenthèse : il change les DEUX signes, donc $-(x-4)$ donne $-x+4$ et non $-x-4$. Contrôle en $x=2$ : $3\times 1-(-2)=3+2=5$ et $2\times 2+1=5$.

e) Non, elles ne sont pas équivalentes. Elles coïncident en $x=0$ et en $x=2$, mais en $x=3$ on obtient $9$ d'un côté et $6$ de l'autre. Ce cas fixe la méthode, et c'est le fil de toute la série : une valeur qui SÉPARE deux expressions prouve définitivement qu'elles ne sont pas équivalentes, tandis qu'une valeur, ou même deux, où elles coïncident ne prouve rien, car deux expressions différentes peuvent se croiser. Pour prouver l'équivalence, il n'y a qu'un chemin : développer et réduire les deux côtés jusqu'à la même écriture.

a) L'aire d'un trapèze vaut la demi-somme des bases fois la hauteur : $A(x)=\dfrac{x+(x+4)}{2}\times 2x=\dfrac{2x+4}{2}\times 2x$. On simplifie la fraction en divisant CHAQUE terme du numérateur par $2$, ce qui donne $(x+2)\times 2x$, puis on développe : $A(x)=2x^{2}+4x$. Attention au piège de l'exercice 5 : $\dfrac{2x+4}{2}$ vaut $x+2$, jamais $x+4$. Une copie qui simplifie mal obtient $2x^{2}+8x$ et se trompe de $4x$, soit de $12$ centimètres carrés dès $x=3$.

b) $A(3)=2\times 9+4\times 3=18+12=30$ centimètres carrés. Sur la figure, les bases valent $3$ et $7$ et la hauteur $6$ : $\dfrac{3+7}{2}\times 6=5\times 6=30$. Les deux chemins donnent le même nombre, donc l'expression littérale a bien conservé la valeur du calcul numérique. C'est le contrôle à faire systématiquement dès qu'on remplace des mesures par des lettres.

c) Son découpage donne $x\times 2x+\dfrac{4\times 2x}{2}=2x^{2}+\dfrac{8x}{2}=2x^{2}+4x$, exactement l'expression trouvée en a). Le rectangle du milieu a pour dimensions $x$ et $2x$, et les deux triangles des extrémités, mis bout à bout, forment un triangle de base $4$ et de hauteur $2x$ : la grande base dépasse la petite de $4$, ce $4$ se répartissant des deux côtés. Deux découpages différents d'une même figure donnent toujours deux expressions équivalentes, et c'est souvent la façon la plus rapide de vérifier une formule d'aire.

d) Le périmètre additionne les quatre côtés : $P(x)=x+(x+4)+2(2x+1)=x+x+4+4x+2=6x+6$. Pour $x=3$ : $P(3)=18+6=24$ centimètres. On peut recompter sur la figure : $3+7+2\times 7=24$, puisque $2x+1=7$ quand $x=3$. Remarquez que le périmètre est du PREMIER degré et l'aire du SECOND : ce n'est pas une coïncidence, une longueur s'additionne alors qu'une aire est un produit de deux longueurs.

e) Non. $A(6)=2\times 36+4\times 6=72+24=96$, alors que $2\times A(3)=60$. Doubler $x$ multiplie l'aire par $\dfrac{96}{30}=3{,}2$, et non par $2$. La raison tient dans le terme $2x^{2}$ : quand $x$ double, le carré est multiplié par $4$, tandis que le terme $4x$ n'est multiplié que par $2$. Une expression qui contient un carré n'est donc jamais proportionnelle, et l'erreur consistant à dire « deux fois plus long, deux fois plus grand » coûte régulièrement des points en situation d'application.

a) $250$ kilowattheures restent sous le seuil de $400$, donc tout est facturé à $0{,}06$ : $C=12+0{,}06\times 250=12+15=27$ dollars. L'abonnement se paie même si la consommation est nulle : c'est l'ordonnée à l'origine du graphique, le point $(0\,;12)$.

b) Tant que $x\leq 400$, l'énergie coûte $0{,}06x$ et la facture vaut $C=12+0{,}06x$. En $x=400$, cette expression donne $12+24=36$ dollars : c'est le point anguleux de la figure, celui où le tarif change.

c) Au-delà de $400$ kilowattheures, les $400$ premiers restent facturés à $0{,}06$, soit $24$ dollars, et seul le SURPLUS $x-400$ est facturé à $0{,}09$ : $C=12+24+0{,}09(x-400)$. On développe : $0{,}09(x-400)=0{,}09x-36$, donc $C=36+0{,}09x-36=0{,}09x$. La surprise est là : au-delà du seuil, tout se passe comme si la consommation ENTIÈRE était facturée à $0{,}09$ et l'abonnement offert. Ce n'est pas un hasard, c'est une compensation exacte : l'abonnement de $12$ dollars vaut précisément le rabais de $0{,}03$ dollar accordé sur les $400$ premiers kilowattheures, puisque $0{,}03\times 400=12$.

d) Par l'expression réduite : $C=0{,}09\times 600=54$ dollars. Poste par poste : $12$ d'abonnement, plus $0{,}06\times 400=24$ pour la première tranche, plus $0{,}09\times 200=18$ pour les $200$ kilowattheures de surplus, soit $12+24+18=54$ dollars. Les deux chemins concordent, ce qui valide la réduction du c). Sur la figure, le point $(600\,;54)$ est bien sur le second segment.

e) Son expression donne $12+0{,}09\times 600=12+54=66$ dollars : il se trompe de $12$ dollars, exactement le montant de l'abonnement. Son erreur est d'AJOUTER l'abonnement à une expression qui le contient déjà : en écrivant $0{,}09x$, il a facturé les $400$ premiers kilowattheures à $0{,}09$ au lieu de $0{,}06$, ce qui a déjà encaissé $12$ dollars de trop. L'écart est constant, $12$ dollars quelle que soit la consommation, ce qui est le meilleur indice d'une erreur portant sur un terme et non sur un coefficient.