Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : la manipulation d'expressions algébriques (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note, l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie de secondaire 4 et le geste qui l'évite.

La manipulation d'expressions est le premier chapitre de l'année et celui qui porte tout le reste : la factorisation, les équations du second degré, les fonctions et l'épreuve unique du Ministère s'appuient dessus. Un développement faux en septembre devient une équation impossible à résoudre en mars.

Le fil du chapitre

Développer, réduire et ordonner ne changent jamais la VALEUR d'une expression, seulement sa forme : toute transformation se contrôle donc en remplaçant la lettre par un nombre, et une seule valeur qui sépare deux écritures prouve que l'une des deux est fausse.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3 Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3

Notions couvertes

Lois des exposants
Exposant négatif
Puissance d'un produit
Développement d'un produit de polynômes
Réduction des termes semblables
Identités remarquables
Carré d'une somme
Différence de carrés
Substitution dans une expression
Expressions équivalentes
Contre-exemple

L'essentiel

Une transformation garde la valeur, elle ne change que l'écriture

• $(a+b)^{2}$ et $a^{2}+2ab+b^{2}$ sont deux ÉCRITURES du même nombre : quelle que soit la valeur donnée aux lettres, les deux calculs tombent sur le même résultat.
• C'est ce qui rend le contrôle possible : remplacez $x$ par $1$ , ou par $2$ , dans la ligne de départ et dans votre résultat. Deux nombres différents signent une erreur, sans qu'il faille relire le calcul.
• La figure montre pourquoi le carré d'une somme a TROIS termes : un carré de côté $a+b$ se découpe en quatre morceaux, dont deux rectangles identiques $ab$ .
• Le double produit n'est donc pas une règle arbitraire : c'est le fait qu'il y a DEUX rectangles, et non un seul.

Le grand carré a pour côté

a+b

, donc pour aire

(a+b)^{2}

. À l'intérieur, quatre morceaux :

a^{2}

b^{2}

et DEUX rectangles

ab

. Ce sont eux, le double produit.

Le correcteur note l'écriture finale, pas l'intention. Une ligne juste suivie d'une ligne fausse ne vaut rien.

Les lois des exposants, et les deux qui n'existent pas

• Multiplier, c'est ADDITIONNER les exposants : $x^{3}\times x^{4}=x^{7}$ . Diviser, c'est les SOUSTRAIRE : $\dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}$ .
• Une puissance de puissance MULTIPLIE : $(x^{3})^{4}=x^{12}$ . Un exposant extérieur frappe chaque facteur, le coefficient compris : $(3x^{2})^{3}=27x^{6}$ .
• $x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}$ : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il le fait changer d'étage. Et $x^{0}=1$ dès que $x\neq 0$ .
• Les deux qui n'existent pas : $(a+b)^{n}$ ne se distribue PAS sur une somme, et $\dfrac{a+b}{c}$ ne se simplifie pas terme par terme avec le $c$ .

Toutes les lois d'exposants portent sur des PRODUITS et des QUOTIENTS. Dès qu'un plus apparaît entre deux termes, aucune ne s'applique.

Substituer, c'est remplacer entre parenthèses

• Dans $A(x)=2x^{2}-5x+1$ , calculer $A(-2)$ demande d'écrire $2(-2)^{2}-5(-2)+1$ , donc $8+10+1=19$ .
• Sans parenthèses, $-2^{2}$ vaut $-4$ et le résultat tombe à $3$ : seize unités d'écart pour deux signes oubliés.
• On remplace aussi $x$ par une EXPRESSION : $A(x+1)=2(x+1)^{2}-5(x+1)+1=2x^{2}-x-2$ , une fois développé et réduit.
• Le contrôle est immédiat : $A(x+1)$ en $x=2$ doit redonner $A(3)$ , et $2\times 4-2-2=4=A(3)$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Le carré d'une somme écrit sans son double produit

2 points, et toute la suite si l'expression sert à un sommet ou à une équation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x+3)^{2}=x^{2}+9$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$ : le double produit vaut $2\times x\times 3=6x$ . »

Les deux courbes ne se rencontrent qu'en

x=0

. Partout ailleurs l'écart vaut

6x

, et il grandit : à

x=3

36

contre

18

. Deux écritures qui se croisent une fois ne sont pas équivalentes.

Pourquoi : Un exposant se distribue sur un PRODUIT, jamais sur une somme. Les deux écritures ne coïncident qu'en $x=0$ : dès $x=1$ , l'une donne $16$ et l'autre $10$ . La figure le montre d'un coup, les deux courbes ne se touchent qu'une seule fois.

2. Le coefficient laissé au sol quand la parenthèse monte à la puissance

1 à 2 points, et un facteur 9 d'erreur sur toute valeur numérique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(3x^{2})^{3}=3x^{6}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $(3x^{2})^{3}=3^{3}\times (x^{2})^{3}=27x^{6}$ . »

Pourquoi : L'exposant extérieur frappe CHAQUE facteur de la parenthèse, et le coefficient en est un. En $x=1$ , la vraie valeur est $27$ et la fausse $3$ : l'écart n'a rien d'un détail d'écriture.

3. Les exposants multipliés au lieu d'être additionnés

1 point, davantage si l'expression sert ensuite à une factorisation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{3}\times x^{4}=x^{12}$ »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{3}\times x^{4}=x^{7}$ : on ADDITIONNE les exposants quand les bases sont identiques. »

Pourquoi : $x^{3}\times x^{4}$ compte sept facteurs $x$ mis bout à bout. La multiplication des exposants correspond à autre chose, $(x^{3})^{4}=x^{12}$ . Test en $x=2$ : $8\times 16=128=2^{7}$ , alors que $2^{12}$ vaut $4\ 096$ .

4. Un TERME simplifié dans une fraction comme s'il était un FACTEUR

1 point ici, mais le même réflexe fait rater les expressions rationnelles du chapitre suivant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{2x+4}{2}=x+4$ , les deux $2$ se simplifient »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{2x+4}{2}=\dfrac{2x}{2}+\dfrac{4}{2}=x+2$ : on divise TOUT le numérateur. »

Pourquoi : La barre de fraction agit comme une paire de parenthèses autour du numérateur. On ne simplifie que des facteurs, c'est-à-dire des choses MULTIPLIÉES à tout le reste. Test en $x=0$ : la vraie valeur est $2$ , la fausse $4$ .

5. Le signe moins devant une parenthèse appliqué au premier terme seulement

1 point par occurrence, et c'est l'erreur la plus fréquente des copies fortes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3(x-1)-(x-4)=3x-3-x-4$ »

Ce qu'il faut écrire

« $3(x-1)-(x-4)=3x-3-x+4=2x+1$ : le moins change les DEUX signes. »

Pourquoi : Soustraire une parenthèse, c'est ajouter son opposé, donc changer le signe de chacun de ses termes. Test en $x=2$ : la vraie valeur est $5$ , la version fausse donne $-3$ .

6. Substituer sans parenthèses

toute la question, car la valeur trouvée sert à la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A(x)=2x^{2}-5x+1$ , donc $A(-2)=2\times -2^{2}-5\times -2+1=3$ »

Ce qu'il faut écrire

« $A(-2)=2(-2)^{2}-5(-2)+1=8+10+1=19$ . »

Pourquoi : Sans parenthèses, la calculatrice comme le lecteur comprennent $-(2^{2})$ : le carré ne porte plus sur le signe. Un carré est toujours positif, donc un résultat négatif après un carré est un signal d'alarme.

7. Conclure à l'équivalence après un seul essai numérique

la justification entière, souvent 2 points sur une question de raisonnement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En $x=2$ , les deux expressions donnent $4$ , donc elles sont équivalentes »

Ce qu'il faut écrire

« Elles coïncident en $x=2$ , mais en $x=3$ l'une donne $9$ et l'autre $6$ : elles ne sont pas équivalentes. »

x^{2}

2x

se croisent en

x=0

et en

x=2

, donc deux essais bien malchanceux laisseraient croire à l'équivalence. En

x=3

, l'écart est visible :

9

contre

6

Pourquoi : Deux expressions différentes peuvent se croiser, et deux points communs ne suffisent pas davantage. Le test numérique RÉFUTE, il ne prouve pas : pour prouver, il faut développer et réduire les deux jusqu'à la même écriture.

Quelle méthode choisir

Quel geste, selon la forme de ce qu'on lit

Regardez d'abord ce qui sépare les morceaux : un signe de MULTIPLICATION ou de division autorise les lois des exposants, un signe PLUS ou moins les interdit toutes.

Si deux puissances de même base, multipliées → additionner les exposants

Exemple : $x^{5}\times x^{2}=x^{7}$

les bases doivent être identiques : $x^{3}\times y^{4}$ ne se réduit pas
Si deux puissances de même base, divisées → soustraire les exposants, du haut vers le bas

Exemple : $\dfrac{x^{2}}{x^{5}}=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$

un exposant négatif fait changer d'étage, il ne change aucun signe
Si une puissance élevée à une puissance → multiplier les exposants

Exemple : $(x^{2})^{4}=x^{8}$

à ne pas confondre avec la multiplication, qui additionne
Si un exposant extérieur à une parenthèse contenant un PRODUIT → distribuer sur chaque facteur, coefficient compris

Exemple : $(2xy^{3})^{3}=8x^{3}y^{9}$

$2^{3}=8$ : le coefficient monte lui aussi
Si un exposant $2$ extérieur à une parenthèse contenant une SOMME → identité du carré : deux carrés et un DOUBLE produit

Exemple : $(2x+5)^{2}=4x^{2}+20x+25$

aucune distribution possible ici, c'est le piège numéro un du chapitre
Si deux binômes identiques au signe du milieu près → différence de carrés, les termes en $x$ disparaissent

Exemple : $(3x-4)(3x+4)=9x^{2}-16$

sert aussi au calcul mental : $58\times 62=60^{2}-2^{2}=3\ 596$
Si un produit de deux polynômes quelconques → chaque terme du premier multiplie chaque terme du second, puis on réduit

Exemple : $(x-3)(x^{2}+4x-5)=x^{3}+x^{2}-17x+15$

deux termes fois trois termes donnent SIX produits avant réduction
Si une somme au numérateur d'une fraction → diviser chaque terme du numérateur, ou ne rien simplifier du tout

Exemple : $\dfrac{6x+9}{3}=2x+3$

on ne barre jamais un terme contre le dénominateur

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Développer et réduire, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « développez et réduisez », « écrivez sous forme réduite » ou vaut plus de 2 points pour une seule expression.

1 Repérer la forme avant de calculer : identité remarquable, produit de polynômes, ou exposants à simplifier.
2 Développer sans rien réduire d'abord, en écrivant TOUS les produits, y compris ceux qui vont disparaître.
3 Réduire les termes semblables, en soulignant les groupes si l'expression est longue.
4 Ordonner par exposants décroissants : c'est la forme que le correcteur compare à son corrigé.
5 Remplacer $x$ par $1$ dans la ligne de départ et dans le résultat, et comparer les deux nombres.

Phrase de conclusion

« $(x-3)(x^{2}+4x-5)=x^{3}+4x^{2}-5x-3x^{2}-12x+15=x^{3}+x^{2}-17x+15$ , et en $x=2$ les deux écritures donnent $-7$ . »

Le piège : Réduire en même temps qu'on développe. Un terme oublié devient alors invisible, alors que la ligne intermédiaire complète permet de le retrouver.

Barème : En général 1 point pour le développement complet, 1 point pour la réduction, et la vérification numérique protège les deux.

Prouver, ou réfuter, que deux expressions sont équivalentes

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « ces deux expressions sont-elles équivalentes ? », « un élève affirme que... », ou « justifiez ».

1 Décider d'abord ce qu'on veut montrer : si les deux écritures semblent proches, on tente la preuve ; si un terme manque, on cherche un contre-exemple.
2 Pour RÉFUTER : choisir une valeur simple, souvent $x=1$ , calculer les deux expressions, et écrire les deux nombres.
3 Conclure explicitement : « les deux expressions donnent des valeurs différentes en $x=1$ , elles ne sont donc pas équivalentes ».
4 Pour PROUVER : développer et réduire les deux côtés jusqu'à obtenir la même écriture ordonnée.
5 Ne jamais conclure à l'équivalence à partir d'essais numériques, même nombreux.

Phrase de conclusion

« En $x=1$ , $(x+3)^{2}$ vaut $16$ et $x^{2}+9$ vaut $10$ : les deux expressions ne sont pas équivalentes. »

Le piège : Écrire « c'est faux » sans donner de valeur. La phrase ne vaut rien sans le contre-exemple chiffré, qui est précisément ce qui est noté.

Barème : 1 point pour la valeur choisie et les deux calculs, 1 point pour la conclusion rédigée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remplacer $x$ par $1$ dans les deux écritures

Calculez de tête la ligne de départ, puis votre résultat, avec $x=1$ . Deux nombres différents signent une erreur. Prenez $x=2$ si $1$ annule une parenthèse et rend le test aveugle.

$(2x+1)(x-4)(x+2)$ en $x=1$ donne $3\times(-3)\times 3=-27$ , et $2x^{3}-3x^{2}-18x-8$ donne $2-3-18-8=-27$ . Le développement tient.
Compter les produits avant de réduire

Deux termes fois trois termes donnent six produits, trois fois trois en donnent neuf. Comptez-les sur votre ligne intermédiaire : quand un développement est faux, c'est presque toujours qu'il en manque un.

$(x-3)(x^{2}+4x-5)$ doit faire apparaître $x^{3}$ , $4x^{2}$ , $-5x$ , $-3x^{2}$ , $-12x$ et $+15$ , donc six morceaux avant réduction.
Vérifier le terme constant en posant $x=0$

Le terme constant du résultat doit être exactement la valeur de l'expression de départ en $x=0$ . Ce contrôle est instantané et attrape les erreurs de signe sur le dernier terme.

$(2x+1)(x-4)(x+2)$ en $x=0$ vaut $1\times(-4)\times 2=-8$ : le développement doit donc finir par $-8$ .
Relire chaque parenthèse précédée d'un moins

Passez le doigt sur chaque signe moins qui précède une parenthèse et vérifiez que TOUS les termes de cette parenthèse ont changé de signe. C'est le contrôle le plus rentable de toute la copie.

Dans $(2x^{2}-x-2)-(2x^{2}-5x+1)$ , les trois termes de la seconde parenthèse changent : $-2x^{2}+5x-1$ . Le résultat est $4x-3$ , pas $4x-1$ .
Un carré négatif ou un exposant décimal : arrêt immédiat

Un carré ne peut pas donner un nombre négatif, et une division de puissances ne peut pas donner un exposant à virgule. Ces deux signaux disent qu'une parenthèse manque ou qu'on a divisé les exposants.

$\dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}$ , jamais $x^{2{,}5}$ . Et $(-2)^{2}=4$ , jamais $-4$ .

L'exercice type décortiqué

Une expression à trois morceaux : développer, réduire, contrôler

Développez et réduisez $B(x)=(2x-3)^{2}-(x+4)(x-4)+3x(x-2)$ .

Vérifiez ensuite votre résultat par deux contrôles numériques.

Étape 1

Premier morceau, une identité : $(2x-3)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9$ .

Pourquoi

On reconnaît la forme AVANT de calculer. Passer par la distribution complète donnerait le même résultat, mais avec deux fois plus d'occasions de se tromper de signe.

Étape 2

Deuxième morceau, deux binômes conjugués : $(x+4)(x-4)=x^{2}-16$ . Il est précédé d'un MOINS, donc il entrera dans le calcul sous la forme $-x^{2}+16$ .

Pourquoi

On écrit le développement du morceau à part, puis on applique le signe. Appliquer le moins pendant le développement est la première cause d'erreur de cet exercice type.

Étape 3

Troisième morceau, une simple distribution : $3x(x-2)=3x^{2}-6x$ .

Pourquoi

Un facteur devant une parenthèse multiplie chaque terme. Le $3x$ multiplie aussi le $-2$ , ce qui donne $-6x$ et non $-2$ .

Étape 4

On rassemble : $B(x)=4x^{2}-12x+9-x^{2}+16+3x^{2}-6x$ . Puis on réduit : les carrés donnent $4-1+3=6$ , les termes en $x$ donnent $-12-6=-18$ , les constantes $9+16=25$ . Donc $B(x)=6x^{2}-18x+25$ .

Pourquoi

On réduit famille par famille, pas de gauche à droite. Barrer les termes au fur et à mesure évite de compter deux fois le même, ce qui arrive dès qu'il y a sept morceaux.

Étape 5

Premier contrôle, en $x=1$ : à gauche $(-1)^{2}-(5)(-3)+3(1)(-1)=1+15-3=13$ ; à droite $6-18+25=13$ .

Pourquoi

Une valeur bien choisie contrôle les sept morceaux d'un coup. Elle ne prouve pas le résultat, mais une différence aurait prouvé qu'il est faux, ce qui est exactement ce qu'on cherche en dix secondes.

Étape 6

Second contrôle, le terme constant en $x=0$ : à gauche $(-3)^{2}-(4)(-4)+0=9+16=25$ , ce qui est bien le terme constant du résultat.

Pourquoi

Ce contrôle isole le dernier terme, celui qui concentre les erreurs de signe. Deux contrôles indépendants valent mieux qu'une relecture, qui refait les mêmes erreurs.

Conclusion rédigée

$B(x)=6x^{2}-18x+25$ , vérifié en $x=1$ et par son terme constant en $x=0$ .

À savoir par cœur

• $x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}$ , $\dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$ , $(x^{m})^{n}=x^{mn}$ . Multiplier additionne, une puissance de puissance multiplie.
• $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ : le coefficient monte à la puissance lui aussi, $(3x^{2})^{3}=27x^{6}$ .
• $x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}$ et $x^{0}=1$ pour $x\neq 0$ . Un exposant négatif change d'étage, pas de signe.
• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ et $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ : les carrés sont toujours positifs, seul le double produit porte le signe.
• $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ , et le calcul mental qui va avec : $58\times 62=3\ 596$ .
• Un signe moins devant une parenthèse change TOUS les signes de cette parenthèse.
• $\dfrac{2x+4}{2}=x+2$ : on ne simplifie que des facteurs, jamais un terme d'une somme.
• Substituer se fait entre parenthèses : $A(-2)$ s'écrit $2(-2)^{2}-5(-2)+1$ .
• Un contre-exemple réfute pour de bon ; aucun nombre d'essais ne prouve une équivalence.

Questions fréquentes

Pourquoi le carré d'une somme n'est-il pas la somme des carrés ?

Parce qu'un exposant se distribue sur un produit, jamais sur une somme. Un carré de côté a plus b se découpe en quatre morceaux : le carré de a, le carré de b, et deux rectangles identiques de côtés a et b. Ce sont ces deux rectangles qui forment le double produit. Pour le vérifier, prenez a égal à 3 et b égal à 4 : le carré de la somme vaut 49, alors que la somme des carrés ne vaut que 25.

Quand faut-il additionner les exposants et quand faut-il les multiplier ?

On additionne quand on MULTIPLIE deux puissances de même base : x au cube fois x à la puissance 4 donne x à la puissance 7. On multiplie quand une puissance est élevée à une autre puissance : x au cube, le tout à la puissance 4, donne x à la puissance 12. Le test en x égal à 2 départage en trois secondes, puisque 8 fois 16 vaut 128, c'est-à-dire 2 à la puissance 7.

Comment vérifier un développement sans tout recommencer ?

Remplacez la lettre par 1 dans l'expression de départ, puis dans votre résultat. Comme développer ne change jamais la valeur, les deux calculs doivent donner le même nombre. Si 1 annule une parenthèse, prenez 2. Un second contrôle gratuit consiste à poser x égal à 0 : la valeur obtenue doit être exactement le terme constant de votre résultat.

Peut-on simplifier le 2 dans une fraction comme 2x plus 4 sur 2 ?

Pas comme cela. La barre de fraction agit comme une parenthèse autour de tout le numérateur, donc il faut diviser CHAQUE terme : le résultat est x plus 2, et non x plus 4. On ne simplifie que des facteurs, c'est-à-dire des quantités multipliées à tout le reste. Le test en x égal à 0 tranche : la vraie valeur est 2, la fausse 4.

Deux expressions qui donnent le même nombre sont-elles équivalentes ?

Non, pas à partir d'un ou deux essais. Deux expressions différentes peuvent se croiser : x au carré et 2x donnent toutes deux 0 en x égal à 0 et 4 en x égal à 2, et pourtant elles diffèrent partout ailleurs. Un essai qui donne deux nombres différents prouve qu'elles ne sont pas équivalentes ; pour prouver qu'elles le sont, il faut développer et réduire les deux jusqu'à la même écriture.

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Exercices corrigés : La manipulation d'expressions algébriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

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