Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Algèbre
Cette fiche ne refait pas le cours de factorisation : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la technique à choisir selon la FORME de l'expression, et la rédaction que le correcteur attend sur une expression rationnelle.
La factorisation est le chapitre qui porte tout le reste de l'année : les équations quadratiques, les systèmes, les fonctions rationnelles de secondaire 5 et l'épreuve du Ministère s'appuient toutes dessus. Une factorisation incomplète en octobre devient une équation impossible à résoudre en mars.
Le fil du chapitre
Une factorisation n'est finie que lorsque plus aucun facteur ne se factorise, et une simplification n'est valide que sous les valeurs interdites lues sur le dénominateur d'ORIGINE.
Sur une copie, écrire « je factorise » ne rapporte rien; écrire le produit rapporte tout. Le correcteur note la forme finale, pas l'intention.
Avant d'annoncer un carré parfait, vérifiez le double produit. C'est la vérification que personne ne fait et c'est exactement celle que le correcteur regarde.
Écrire les restrictions dès la première ligne, pas à la fin. Cherchées après coup, elles sont oubliées une fois sur deux.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : le terme divisé par laisse , jamais rien. »
Pourquoi : Un facteur commun se DIVISE dans chaque terme; une division ne donne jamais le vide. Vérification immédiate : redévelopper donne , il manque un terme.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« , car est encore une différence de carrés. »
Pourquoi : L'énoncé dit « complètement » : la consigne est de continuer tant qu'un facteur se factorise. Ici est une somme de carrés et s'arrête, non.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« est irréductible : il n'existe pas d'identité pour . Seule la DIFFÉRENCE de carrés se factorise. »
Pourquoi : Le test qui tranche en trois secondes : , et le n'était pas là. Une identité fausse se détecte toujours en redéveloppant.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , puisque . »
Ce qu'il faut écrire
« Le double produit vaudrait , or le milieu est : ce n'est pas un carré parfait. Produit , somme : et , donc . »
Pourquoi : Le premier et le dernier terme carrés ne suffisent pas : c'est le terme du milieu qui décide. Sans cette vérification, un trinôme ordinaire est traité comme un carré une fois sur trois.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pour , je cherche deux nombres de produit et de somme . Il n'y en a pas, donc ça ne se factorise pas. »
Ce qu'il faut écrire
« Produit et somme : et . Alors . »
Pourquoi : La méthode du produit-somme sur seul n'est valable que si . Dès que , c'est , sinon on conclut à tort qu'un trinôme parfaitement factorisable est irréductible.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : les deux binômes sont différents, le groupement ne marche pas. »
Ce qu'il faut écrire
« : on met en évidence, pas . »
Pourquoi : Le binôme doit sortir IDENTIQUE des deux groupes. S'il sort opposé, ce n'est pas que la méthode échoue : c'est qu'il faut mettre le facteur négatif en évidence.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , et est un polynôme : il n'y a pas de valeur interdite. »
Ce qu'il faut écrire
« pour . La restriction se lit sur le dénominateur d'origine et survit à la simplification. »
Pourquoi : La simplification efface le dénominateur de la copie, pas du problème. En l'expression de départ n'existe pas, même si y vaut : le graphe garde un trou.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , valeurs interdites : et . »
Ce qu'il faut écrire
« Valeurs interdites : , ET , car en multipliant par l'inverse, passe au dénominateur. »
Pourquoi : Diviser, c'est multiplier par l'inverse : le numérateur du diviseur devient un dénominateur. Il faut donc aussi qu'il soit non nul, sinon l'inverse n'existe pas.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« »
Ce qu'il faut écrire
« : le est à l'intérieur d'une parenthèse multipliée par , il pèse une fois sorti. »
Pourquoi : Le compense un ajout fait DANS le crochet, donc il subit lui aussi le facteur . C'est l'erreur numéro un de la complétion du carré, et elle se propage jusqu'au chapitre des fonctions quadratiques.
Comptez d'abord les termes, puis regardez la forme. L'ordre des branches n'est pas négociable : la mise en évidence simple passe toujours en premier.
Si un facteur commun à TOUS les termes, coefficients ou variables → mise en évidence simple, avant toute autre chose
Exemple :
le facteur commun se prend au plus grand : n'est pas fini
Si deux termes, deux carrés, séparés par un MOINS → différence de carrés
Exemple :
une variable à exposant pair est un carré :
Si deux termes séparés par un PLUS, sans facteur commun → c'est fini, l'expression est irréductible
Exemple : reste
ne pas confondre avec , où le facteur commun sort d'abord
Si trois termes, le premier et le dernier carrés, le milieu égal à → trinôme carré parfait
Exemple :
le signe du milieu donne le signe du binôme, jamais celui du carré
Si trois termes quelconques → produit-somme : deux nombres de produit et de somme , puis groupement
Exemple :
si aucun couple d'entiers ne convient, le trinôme est irréductible sur les entiers
Si quatre termes → mise en évidence double : grouper deux à deux, puis sortir le binôme commun
Exemple :
si le binôme sort opposé, mettre le facteur NÉGATIF en évidence dans le second groupe
Si trois termes et l'énoncé demande un sommet, un maximum ou un minimum → complétion du carré, pas produit-somme
Exemple :
le produit-somme donne les zéros, la complétion du carré donne le sommet : deux questions différentes
Après chaque branche, relire chaque facteur obtenu : s'il se factorise encore, on recommence au sommet de l'arbre. C'est exactement ce que veut dire « factoriser complètement ».
Le verbe de la consigne décide de l'opération. Dans les quatre cas, les valeurs interdites se posent AVANT.
Si « simplifier » → factoriser haut et bas, poser les restrictions, puis barrer les facteurs communs
Exemple : pour
Si « multiplier » → factoriser les quatre polynômes, restrictions des deux dénominateurs, puis simplifier en croix
Exemple : pour et
Si « diviser » → multiplier par l'inverse, et interdire EN PLUS les zéros du numérateur du diviseur
Exemple : avec , ,
Si « additionner » ou « soustraire » → factoriser les dénominateurs pour trouver le plus petit dénominateur commun, jamais leur produit brut
Exemple : a pour dénominateur commun
Une soustraction met tout le numérateur du second terme entre parenthèses. devient , et pas .
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé contient le mot « complètement », ou vaut plus de 2 points pour une seule expression.
Phrase de conclusion
« , et aucun des trois facteurs ne se factorise davantage. »
Le piège : Sauter la mise en évidence simple parce qu'on a « vu » l'identité. Sans elle, n'est ni une différence de carrés ni un trinôme, et la factorisation part de travers.
Barème : En général 1 point par technique correctement appliquée, plus 1 point pour la factorisation menée jusqu'au bout.
Quand l'utiliser : Une fraction algébrique apparaît, avec « simplifier », « réduire » ou une opération entre fractions.
Phrase de conclusion
« , pour et . »
Le piège : Barrer un terme au lieu d'un facteur : dans le ne se barre pas, parce qu'il est additionné, pas multiplié.
Barème : 1 point pour chaque factorisation, 1 point pour les restrictions complètes, 1 point pour la simplification.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Redévelopper le produit obtenu
Multipliez les facteurs entre eux et comparez terme à terme avec l'expression de départ. C'est la seule vérification qui certifie une factorisation, et elle prend dix secondes sur un binôme.
: le milieu tombe juste, la factorisation est bonne. S'il était sorti , c'est que le carré parfait était faux.
Tester une valeur numérique dans les deux écritures
Choisissez , ou si annule un facteur, et calculez de tête l'expression de départ puis le produit. Deux nombres différents signent une erreur, sans avoir à relire le calcul.
Pour en : , et . Si le produit avait donné , la recherche produit-somme serait à refaire.
Relire chaque facteur : est-il irréductible ?
Passez sur chaque parenthèse et demandez-vous si elle entre encore dans une branche de l'arbre. Une différence de carrés cachée dans un facteur est ce qui coûte le plus de points aux bonnes copies.
a l'air fini, mais redémarre l'arbre. Alors que , somme de carrés, s'arrête pour de bon.
Les restrictions viennent-elles du dénominateur d'origine ?
Remontez à la première ligne de la question et vérifiez que chaque facteur du dénominateur initial a produit sa valeur interdite, y compris ceux qui ont été simplifiés depuis.
Un résultat avec la seule restriction trahit un simplifié en cours de route dont le a disparu.
La table de valeurs de la calculatrice
Entrez l'expression de départ en et votre forme factorisée en , puis lisez la table. Sur une TI, TABLE après Y=; sur une Casio, le menu TABLE. Les deux colonnes doivent être identiques ligne par ligne.
Une colonne qui affiche et l'autre en dit que la factorisation est fausse. Une case ERROR d'un seul côté signale une valeur interdite, donc une restriction à écrire.
Un rectangle a une aire de centimètres carrés et une largeur de centimètres.
Déterminez sa longueur, son périmètre, et les valeurs de acceptables.
Étape 1
L'aire vaut . Aucun facteur commun aux trois termes, donc produit-somme : et . Deux nombres de produit et de somme : et .
Pourquoi
On écrit la recherche avant de deviner les parenthèses. C'est la seule méthode qui fonctionne à tous les coups quand , et elle laisse une trace que le correcteur peut suivre même si la suite se trompe.
Étape 2
.
Pourquoi
Le binôme doit sortir IDENTIQUE des deux groupes. Ici il sort tel quel, donc les deux nombres étaient bien placés; s'il était sorti opposé, il aurait fallu mettre en évidence au lieu de .
Étape 3
La largeur donnée est , qui est justement l'un des deux facteurs. Comme le rectangle a pour aire le produit de ses côtés, la longueur est , avec , donc .
Pourquoi
La restriction se lit sur le dénominateur AVANT de simplifier. Une fois barré, plus rien sur la copie ne rappelle qu'il ne devait pas être nul : c'est le point que tout le monde perd ici.
Étape 4
Une longueur est une mesure, donc strictement positive : donne , et donne . La condition la plus forte l'emporte : .
Pourquoi
Le contexte ajoute ses contraintes aux valeurs interdites algébriques, il ne les remplace pas. Deux conditions sur se combinent toujours par la plus restrictive, jamais par la dernière trouvée.
Étape 5
Périmètre : centimètres.
Pourquoi
On additionne les deux côtés AVANT de doubler. Distribuer le sur un seul côté est l'erreur classique et donne , qui n'est le périmètre de rien.
Étape 6
Vérification en : l'aire vaut , la largeur , la longueur , et . Le périmètre vaut , et .
Pourquoi
Une seule valeur numérique écarte une factorisation fausse et un périmètre mal distribué d'un coup. Prendre rend les trois calculs mentaux immédiats.
Conclusion rédigée
« La longueur du rectangle est cm et son périmètre cm, pour tout ; en contexte de mesure on retient . »
L'erreur classique sur cet exercice : Chercher deux nombres de produit et de somme , c'est-à-dire oublier de multiplier par . Aucun couple d'entiers ne convient, et la copie conclut que l'aire ne se factorise pas, alors que la question tout entière repose sur cette factorisation.
Toujours la mise en évidence simple en premier : on sort le plus grand facteur commun à tous les termes. On compte ensuite les termes restants. Deux termes appellent une différence de carrés, trois un carré parfait ou un produit-somme, quatre un groupement. Enfin on relit chaque facteur obtenu : s'il se factorise encore, on recommence.
On cherche deux nombres dont le produit vaut a multiplié par c, et non c tout seul, et dont la somme vaut b. On décompose alors le terme du milieu en ces deux morceaux, ce qui donne quatre termes, puis on groupe deux à deux et on sort le binôme commun. Chercher le produit sur c seul est l'erreur qui fait conclure à tort qu'un trinôme est irréductible.
Non. Il existe une identité pour la différence de deux carrés, a au carré moins b au carré, qui donne le produit de la différence par la somme. Il n'y en a aucune pour la somme. Un binôme comme x au carré plus neuf est irréductible dans les réels, et le vérifier prend trois secondes en redéveloppant le produit qu'on croyait avoir trouvé.
Parce que la simplification efface le dénominateur de la copie, pas du problème. Les valeurs qui annulaient le dénominateur de départ restent interdites : l'expression n'y a jamais existé. Sur un graphique, cela se voit comme un trou. Les restrictions se lisent donc sur le dénominateur d'origine factorisé, avant toute simplification, et se recopient à côté du résultat.
Les deux transforment un trinôme, mais elles répondent à des questions différentes. Le produit-somme donne une écriture en produit, donc les zéros de l'expression. La complétion du carré donne l'écriture canonique, donc le sommet de la parabole et la valeur extrême. Quand l'énoncé parle de maximum, de minimum ou de sommet, c'est la complétion du carré qu'il faut choisir.
