Exercices corrigés : les équations et les inéquations (math SN4)

a) Produit $12$, somme $-7$ : les nombres sont $-3$ et $-4$. Donc $(x-3)(x-4)=0$, d'où $x=3$ ou $x=4$. Vérification : $9-21+12=0$ ✓ et $16-28+12=0$ ✓.

b) Produit visé $2\times(-3)=-6$, somme $5$ : les nombres sont $6$ et $-1$. On décompose : $2x^2+6x-x-3=2x(x+3)-1(x+3)=(x+3)(2x-1)$. L'équation devient $(x+3)(2x-1)=0$, d'où $x=-3$ ou $x=\dfrac{1}{2}$. Vérification en $x=\dfrac{1}{2}$ : $2(0{,}25)+2{,}5-3=0{,}5+2{,}5-3=0$ ✓.

c) Premier piège. La tentation est de diviser les deux membres par $3x$, ce qui donnerait $x-4=0$ et la seule solution $x=4$. C'est faux : diviser par $3x$ suppose $x\neq 0$, et fait donc PERDRE la solution $x=0$. La bonne méthode est la mise en évidence : $3x(x-4)=0$, d'où $x=0$ ou $x=4$. Règle générale : on ne divise jamais une équation par une expression contenant l'inconnue, on factorise.

d) Second piège. On ne peut pas écrire $x-5=8$ ou $x+2=8$ : la loi du produit nul ne vaut que si le membre de droite est ZÉRO. Il faut d'abord tout ramener d'un côté. On développe : $x^2-3x-10=8$, donc $x^2-3x-18=0$. Produit $-18$, somme $-3$ : $-6$ et $3$. Donc $(x-6)(x+3)=0$, d'où $x=6$ ou $x=-3$. Vérification en $x=6$ : $(1)(8)=8$ ✓ ; en $x=-3$ : $(-8)(-1)=8$ ✓.

a) $a=1$, $b=-6$, $c=4$. $\Delta=(-6)^2-4(1)(4)=36-16=20$. Comme $\Delta>0$, il y a deux solutions réelles distinctes. $x=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}$. On simplifie le radical : $\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$, donc $x=\dfrac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$. Les solutions exactes sont $3+\sqrt{5}$ et $3-\sqrt{5}$, soit environ $5{,}24$ et $0{,}76$. Simplifier le radical AVANT de diviser évite l'erreur qui consiste à ne simplifier qu'un des deux termes du numérateur.

b) $a=2$, $b=-3$, $c=5$. $\Delta=9-4(2)(5)=9-40=-31$. Comme $\Delta<0$, l'équation n'a AUCUNE solution réelle. On peut le confirmer par complétion du carré : $2x^2-3x+5=2\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{31}{8}$, expression toujours supérieure ou égale à $\dfrac{31}{8}$, donc jamais nulle.

c) $a=9$, $b=-12$, $c=4$. $\Delta=144-4(9)(4)=144-144=0$. Il y a une seule solution, dite double : $x=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$. Le discriminant nul signale un carré parfait, et en effet $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$, dont l'unique zéro est bien $\dfrac{2}{3}$.

d) $a=5$, $b=3$, $c=-2$. $\Delta=9-4(5)(-2)=9+40=49$, un carré parfait. Donc $x=\dfrac{-3\pm 7}{10}$, ce qui donne $x=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$ et $x=\dfrac{-10}{10}=-1$. Un discriminant carré parfait garantit que l'équation se factorisait à coefficients entiers : ici $5x^2+3x-2=(5x-2)(x+1)$. Vérification en $x=\dfrac{2}{5}$ : $5(0{,}16)+1{,}2-2=0{,}8+1{,}2-2=0$ ✓.

a) On rassemble les $x$ à droite pour garder un coefficient positif : $-7-1\leq 5x-3x$, soit $-8\leq 2x$, donc $-4\leq x$. L'ensemble-solution est $[-4;+\infty[$. En choisissant le côté où le coefficient de $x$ reste positif, on évite complètement la question du renversement. Contrôle en $x=0$ : $-7\leq 1$ ✓ ; en $x=-10$ : $-37\leq -49$ est faux ✓ (cohérent, $-10$ n'est pas dans la solution).

b) On développe : $-2x+6>4x+18$. On rassemble : $6-18>4x+2x$, soit $-12>6x$, donc $-2>x$, c'est-à-dire $x<-2$. L'ensemble-solution est $]-\infty;-2[$. Contrôle en $x=-3$ : $-2(-6)=12$ et $4(-3)+18=6$, or $12>6$ ✓ ; en $x=0$ : $6>18$ est faux ✓.

c) On multiplie les deux membres par $12$, qui est POSITIF, donc le sens ne change pas : $4(x-1)-3(2x+1)\geq 12$. On développe : $4x-4-6x-3\geq 12$, soit $-2x-7\geq 12$, donc $-2x\geq 19$. Ici on divise par $-2$, qui est négatif : le sens s'inverse, $x\leq-\dfrac{19}{2}$. L'ensemble-solution est $\left]-\infty;-\dfrac{19}{2}\right]$. Contrôle en $x=-10$ : $\dfrac{-11}{3}-\dfrac{-19}{4}=-3{,}667+4{,}75=1{,}083\geq 1$ ✓.

d) On résout séparément. Première : $2x+1>-5$ donne $2x>-6$, soit $x>-3$. Seconde : $3x-4\leq 11$ donne $3x\leq 15$, soit $x\leq 5$. Le système exige les DEUX conditions, donc on prend l'intersection : $-3<x\leq 5$, c'est-à-dire $]-3;5]$. Attention aux crochets : ouvert en $-3$ car l'inégalité y est stricte, fermé en $5$ car elle ne l'est pas. Contrôle en $x=5$ : $11>-5$ ✓ et $11\leq 11$ ✓ ; en $x=-3$ : $-5>-5$ est faux ✓.

a) On factorise : $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, dont les zéros sont $-2$ et $3$. Tableau de signes sur les trois intervalles. Pour $x<-2$, par exemple $x=-3$ : $(-6)(-1)=6>0$. Pour $-2<x<3$, par exemple $x=0$ : $(-3)(2)=-6<0$. Pour $x>3$, par exemple $x=4$ : $(1)(6)=6>0$. On cherche le strictement positif, donc $S=\left]-\infty;-2\right[\cup\left]3;+\infty\right[$. La figure le confirme : la parabole est au-dessus de l'axe à l'extérieur de ses zéros. Règle générale utile : un trinôme est du signe de $a$ à l'EXTÉRIEUR de ses racines, et du signe opposé entre elles.

b) Le coefficient dominant est négatif ; on multiplie les deux membres par $-1$, ce qui RENVERSE le sens : $x^2-4x+3\leq 0$. On factorise : $(x-1)(x-3)\leq 0$, zéros $1$ et $3$. Le trinôme est négatif ENTRE ses racines, et on accepte l'égalité, donc $S=[1;3]$. Contrôle en $x=2$ : $-4+8-3=1\geq 0$ ✓ ; en $x=0$ : $-3\geq 0$ est faux ✓.

c) On ramène tout d'un côté : $2x^2+5x-3\leq 0$. C'est le trinôme de l'exercice 1 : $(x+3)(2x-1)\leq 0$, zéros $-3$ et $\dfrac{1}{2}$. Comme $a=2>0$, le trinôme est négatif entre les racines : $S=\left[-3;\dfrac{1}{2}\right]$. Contrôle en $x=0$ : $0\leq 3$ ✓ ; en $x=1$ : $2+5=7\leq 3$ est faux ✓.

d) $\Delta=4-4(1)(5)=4-20=-16<0$ : le trinôme n'a aucun zéro réel, donc il ne change jamais de signe. Comme $a=1>0$, il est partout positif. L'inéquation est vraie pour tout réel, $S=\mathbb{R}$. On peut le confirmer par complétion du carré : $x^2+2x+5=(x+1)^2+4\geq 4>0$. C'est le cas que les élèves traitent le plus mal, parce qu'ils cherchent des bornes là où il n'y en a pas : quand $\Delta<0$, la réponse est soit tout $\mathbb{R}$, soit l'ensemble vide, selon le signe de $a$ et le sens de l'inégalité.

a) Valeur interdite : $x=2$. On multiplie tout par $(x-2)$ : $x=4+3(x-2)$, soit $x=4+3x-6=3x-2$. Donc $-2x=-2$ et $x=1$. Cette valeur n'est pas interdite, on la garde. Vérification dans l'équation de départ : $\dfrac{1}{-1}=-1$ à gauche, $\dfrac{4}{-1}+3=-4+3=-1$ à droite ✓. Solution : $x=1$.

b) On factorise le dénominateur de droite : $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Valeurs interdites : $x=1$ et $x=-1$. On multiplie tout par $(x-1)(x+1)$ : $(x+1)+2(x-1)=4$, soit $x+1+2x-2=4$, donc $3x-1=4$ et $x=\dfrac{5}{3}$. Cette valeur n'est pas interdite. Vérification : $\dfrac{1}{2/3}+\dfrac{2}{8/3}=1{,}5+0{,}75=2{,}25$ à gauche, et $\dfrac{4}{25/9-1}=\dfrac{4}{16/9}=2{,}25$ à droite ✓.

c) Valeur interdite : $x=3$. On multiplie par $(x-3)$ : $x=3+2(x-3)$, soit $x=3+2x-6=2x-3$. Donc $-x=-3$ et $x=3$. Mais $x=3$ est PRÉCISÉMENT la valeur interdite : elle annule les dénominateurs de l'équation de départ, où $\dfrac{3}{0}$ n'a aucun sens. On doit la rejeter. L'équation n'a donc AUCUNE solution, $S=\varnothing$. C'est le cas typique de la solution étrangère : elle est apparue au moment où l'on a multiplié par $(x-3)$, opération illégitime quand $x=3$.

d) Valeurs interdites : $x=0$ et $x=-1$. On multiplie par $x(x+1)$ : $2(x+1)+3x=x(x+1)$, soit $2x+2+3x=x^2+x$, donc $5x+2=x^2+x$ et $x^2-4x-2=0$. Le discriminant vaut $\Delta=16+8=24$, donc $x=\dfrac{4\pm\sqrt{24}}{2}=\dfrac{4\pm 2\sqrt{6}}{2}=2\pm\sqrt{6}$. Les deux valeurs, environ $4{,}449$ et $-0{,}449$, sont distinctes de $0$ et de $-1$ : les deux sont acceptées. $S=\{2-\sqrt{6};\ 2+\sqrt{6}\}$.

a) Le numérateur s'annule en $x=2$, le dénominateur en $x=-3$ (valeur interdite). Trois intervalles. Pour $x<-3$, par exemple $x=-4$ : $\dfrac{-6}{-1}=6>0$. Pour $-3<x<2$, par exemple $x=0$ : $\dfrac{-2}{3}<0$. Pour $x>2$, par exemple $x=3$ : $\dfrac{1}{6}>0$. On veut positif OU nul : on inclut $x=2$ (le quotient y vaut $0$) mais jamais $x=-3$. Donc $S=\left]-\infty;-3\right[\cup\left[2;+\infty\right[$. C'est l'asymétrie des crochets qui est évaluée ici : crochet fermé sur le zéro du numérateur, ouvert sur celui du dénominateur.

b) Le réflexe fatal serait de multiplier par $x-4$ : son signe change selon $x$, donc on ne sait pas si l'inégalité doit être renversée. On ramène tout à gauche : $\dfrac{x+1}{x-4}-2<0$, soit $\dfrac{x+1-2(x-4)}{x-4}<0$, c'est-à-dire $\dfrac{x+1-2x+8}{x-4}=\dfrac{9-x}{x-4}<0$. Zéros : $9$ (numérateur) et $4$ (valeur interdite). Pour $x<4$, par exemple $x=0$ : $\dfrac{9}{-4}<0$ ✓. Pour $4<x<9$, par exemple $x=5$ : $\dfrac{4}{1}>0$. Pour $x>9$, par exemple $x=10$ : $\dfrac{-1}{6}<0$ ✓. Donc $S=\left]-\infty;4\right[\cup\left]9;+\infty\right[$, les deux bornes exclues (inégalité stricte d'un côté, valeur interdite de l'autre).

c) On factorise le numérateur : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-1}\leq 0$. Points remarquables dans l'ordre : $-2$, $1$ (valeur interdite) et $2$. Quatre intervalles. Pour $x<-2$, par exemple $x=-3$ : $\dfrac{(-5)(-1)}{-4}=\dfrac{5}{-4}<0$ ✓. Pour $-2<x<1$, par exemple $x=0$ : $\dfrac{(-2)(2)}{-1}=4>0$. Pour $1<x<2$, par exemple $x=1{,}5$ : $\dfrac{(-0{,}5)(3{,}5)}{0{,}5}=-3{,}5<0$ ✓. Pour $x>2$, par exemple $x=3$ : $\dfrac{(1)(5)}{2}>0$. On accepte l'égalité, donc on inclut les zéros du numérateur $-2$ et $2$, mais pas $1$. Donc $S=\left]-\infty;-2\right]\cup\left]1;2\right]$.

a) $a=1$, $b=-4$, $c=k$, donc $\Delta=16-4k$. On étudie son signe. $\Delta>0$ équivaut à $16>4k$, soit $k<4$ : deux solutions réelles distinctes. $\Delta=0$ équivaut à $k=4$ : une solution double. $\Delta<0$ équivaut à $k>4$ : aucune solution réelle. Contrôle : pour $k=0$, l'équation $x^2-4x=0$ a bien deux solutions, $0$ et $4$ ; pour $k=5$, $x^2-4x+5=(x-2)^2+1$ ne s'annule jamais ✓.

b) La solution double correspond à $k=4$, où l'équation devient $x^2-4x+4=0$, c'est-à-dire $(x-2)^2=0$. L'unique solution est $x=2$. On pouvait la prévoir sans factoriser : quand $\Delta=0$, la solution vaut $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$, qui est aussi l'abscisse du sommet de la parabole.

c) Deux voies. Par le produit des racines : pour $x^2+bx+c$, le produit des solutions vaut $c$, donc $k=1\times 3=3$. Par substitution : si $1$ est solution, alors $1-4+k=0$, donc $k=3$ ; on vérifie que $3$ est alors aussi solution, $9-12+3=0$ ✓. Contrôle par la somme : les racines doivent totaliser $-b=4$, et $1+3=4$ ✓. La valeur $k=3$ est bien inférieure à $4$, cohérent avec le fait qu'il y a deux racines distinctes.

d) Il faut d'abord séparer le cas $k=0$, où l'équation devient $4x+1=0$, du premier degré, avec l'unique solution $x=-\dfrac{1}{4}$. C'est le piège de la question : un élève qui applique aveuglément le discriminant écrit $\Delta=16-4k(1)=16$ et conclut « deux solutions » pour $k=0$, ce qui est faux puisqu'il n'y a alors plus de terme en $x^2$. Pour $k\neq 0$, $\Delta=16-4k$, donc : si $k<4$ et $k\neq 0$, deux solutions distinctes ; si $k=4$, une solution double, $x=\dfrac{-4}{2(4)}=-\dfrac{1}{2}$ ; si $k>4$, aucune solution réelle. Contrôle pour $k=4$ : $4x^2+4x+1=(2x+1)^2$, dont l'unique zéro est $-\dfrac{1}{2}$ ✓.

a) La hauteur initiale correspond à $t=0$ : $h(0)=-5(0)+20(0)+1=1$. Le ballon est frappé à $1$ mètre du sol, ce qui est cohérent avec une frappe à hauteur de pied levé.

b) On résout $-5t^2+20t+1=16$, soit $-5t^2+20t-15=0$. On divise par $-5$ : $t^2-4t+3=0$, donc $(t-1)(t-3)=0$ et $t=1$ s ou $t=3$ s. Deux instants, et c'est normal : le ballon passe à $16$ m une première fois en montant, puis une seconde fois en redescendant. Vérification : $h(1)=-5+20+1=16$ ✓ et $h(3)=-45+60+1=16$ ✓.

c) « À plus de $16$ m » se traduit par l'inéquation $-5t^2+20t+1>16$, soit $-5t^2+20t-15>0$. En divisant par $-5$, nombre NÉGATIF, le sens s'inverse : $t^2-4t+3<0$, c'est-à-dire $(t-1)(t-3)<0$. Le trinôme est négatif entre ses racines, donc $1<t<3$. Le ballon reste au-dessus de $16$ m pendant $2$ secondes, entre la première et la troisième seconde.

d) Le coefficient de $t^2$ est négatif, la parabole est donc ouverte vers le bas et son sommet est un maximum. L'abscisse du sommet vaut $t=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-20}{2(-5)}=2$ s. La hauteur maximale est $h(2)=-20+40+1=21$ mètres. Remarque de cohérence : $t=2$ est exactement le milieu de l'intervalle $[1;3]$ trouvé en c), ce qui devait être le cas par symétrie de la parabole. Pour le sol, on résout $h(t)=0$, soit $-5t^2+20t+1=0$, ou encore $5t^2-20t-1=0$. Le discriminant vaut $\Delta=400+20=420$, d'où $t=\dfrac{20\pm\sqrt{420}}{10}$. La racine négative n'a pas de sens physique (elle précède la frappe), on garde $t=\dfrac{20+\sqrt{420}}{10}\approx 4{,}05$ secondes.

a) Deux côtés mesurent $x$ et le troisième côté clôturé mesure ce qui reste, soit $60-2x$. L'aire vaut donc $A(x)=x(60-2x)=60x-2x^2$. Pour que l'enclos existe, il faut $x>0$ et $60-2x>0$, c'est-à-dire $x<30$. Les valeurs admissibles sont $0<x<30$. Aux deux bornes l'aire est nulle : en $x=0$ il n'y a pas de largeur, en $x=30$ toute la clôture est passée dans les deux côtés et la longueur est nulle.

b) On résout $x(60-2x)\geq 400$, soit $-2x^2+60x-400\geq 0$. On divise par $-2$, nombre négatif, donc le sens s'inverse : $x^2-30x+200\leq 0$. On factorise : produit $200$, somme $-30$, donc $-10$ et $-20$, d'où $(x-10)(x-20)\leq 0$. Le trinôme est négatif entre ses racines : $10\leq x\leq 20$. Toutes ces valeurs sont bien dans $]0;30[$. Contrôle en $x=10$ : $A=10\times 40=400$ ✓ ; en $x=15$ : $A=15\times 30=450\geq 400$ ✓ ; en $x=5$ : $A=5\times 50=250$, insuffisant ✓.

c) $A(x)=-2x^2+60x$ est une parabole ouverte vers le bas. Le sommet est en $x=\dfrac{-60}{2(-2)}=15$ mètres. L'aire maximale vaut $A(15)=15\times(60-30)=15\times 30=450$ m². Cohérence avec b) : $15$ est le milieu de $[10;20]$, comme l'impose la symétrie de la parabole. L'enclos optimal mesure donc $15$ m sur $30$ m, ce qui illustre un fait général : avec un côté déjà fourni par un mur, la longueur optimale vaut le double de la largeur.

d) On cherche si $x(60-2x)=500$ a une solution, soit $-2x^2+60x-500=0$, ou après division par $-2$ : $x^2-30x+250=0$. Le discriminant vaut $\Delta=900-4(1)(250)=900-1000=-100<0$. Il n'y a donc AUCUNE solution réelle : c'est impossible. On pouvait le voir plus vite avec la question c) : l'aire maximale atteignable est $450$ m², donc $500$ m² est hors d'atteinte quelle que soit la largeur choisie. Pour obtenir $500$ m², il faudrait davantage de clôture.

a) $x^2-4x+3=0$ se factorise : produit $3$, somme $-4$, donc $-1$ et $-3$, d'où $(x-1)(x-3)=0$. Les solutions sont $x=1$ et $x=3$. Ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des $x$, visibles sur la figure.

b) $x^2-4x+3=2x-2$. On ramène tout à gauche : $x^2-4x+3-2x+2=0$, soit $x^2-6x+5=0$. Produit $5$, somme $-6$ : $-1$ et $-5$, donc $(x-1)(x-5)=0$ et $x=1$ ou $x=5$. Géométriquement, ce sont les abscisses des DEUX POINTS D'INTERSECTION de la parabole et de la droite. Les points sont $(1;0)$, car $g(1)=0$, et $(5;8)$, car $g(5)=8$, tous deux marqués sur la figure. Vérification en $x=5$ : $f(5)=25-20+3=8$ et $g(5)=8$ ✓.

c) $f(x)<g(x)$ équivaut à $f(x)-g(x)<0$, soit $x^2-6x+5<0$, c'est-à-dire $(x-1)(x-5)<0$. Le trinôme, de coefficient dominant positif, est négatif ENTRE ses racines : $S=\left]1;5\right[$. Traduction graphique : c'est exactement l'intervalle où la parabole passe SOUS la droite, ce que confirme la figure. Bornes exclues car l'inégalité est stricte et qu'aux abscisses $1$ et $5$ les deux courbes se touchent.

d) Parce que la droite $g$ passe par le point $(1;0)$, qui est aussi un zéro de $f$. Calcul à l'appui : $g(1)=2(1)-2=0$ et $f(1)=1-4+3=0$, donc $f(1)=g(1)=0$. La valeur $x=1$ annule $f$, ce qui la rend solution de a) ; et elle rend $f$ et $g$ égales, ce qui la rend solution de b). Les deux équations ont donc forcément cette racine en commun. C'est une bonne vérification de cohérence à faire en examen : si un zéro de $f$ est aussi sur la droite, il DOIT réapparaître parmi les intersections.