Exercices corrigés : la factorisation et les expressions rationnelles (math SN4)

a) Le facteur commun se cherche coefficient par coefficient puis variable par variable. Coefficients $6$, $15$, $9$ : leur PGCD est $3$. Variable $x$ : les exposants sont $3$, $2$, $2$, on prend le plus petit, $x^2$. Variable $y$ : exposants $1$, $2$, $1$, on prend $y$. Donc le facteur commun est $3x^2y$. En divisant chaque terme : $6x^3y\div 3x^2y=2x$, $-15x^2y^2\div 3x^2y=-5y$, $9x^2y\div 3x^2y=3$. Résultat : $3x^2y(2x-5y+3)$. Vérification en redéveloppant : $3x^2y\cdot 2x=6x^3y$, $3x^2y\cdot(-5y)=-15x^2y^2$, $3x^2y\cdot 3=9x^2y$ ✓.

b) Quatre termes, aucun facteur commun aux quatre : c'est le signal de la mise en évidence double. On groupe $(ax+ay)+(bx+by)$, puis on met $a$ en évidence dans le premier groupe et $b$ dans le second : $a(x+y)+b(x+y)$. Le binôme $(x+y)$ est maintenant commun, on le met en évidence : $(x+y)(a+b)$. Le regroupement $(ax+bx)+(ay+by)$ mène au même résultat, $x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$ : quand la mise en évidence double fonctionne, elle fonctionne dans les deux regroupements.

c) On groupe $(2x^3-6x^2)+(5x-15)$. Premier groupe : facteur commun $2x^2$, donc $2x^2(x-3)$. Second groupe : facteur commun $5$, donc $5(x-3)$. Les deux binômes sont identiques : $2x^2(x-3)+5(x-3)=(x-3)(2x^2+5)$. Le facteur $2x^2+5$ ne se factorise pas davantage sur les réels, puisque $2x^2+5$ est strictement positif pour tout $x$ et n'a donc aucun zéro.

d) Attention au signe, c'est le piège de cette question. On groupe $(6ac-9ad)+(-4bc+6bd)$. Premier groupe : $3a(2c-3d)$. Second groupe : si on met $2b$ en évidence on obtient $2b(-2c+3d)$, dont le binôme n'est PAS celui du premier groupe. Il faut mettre $-2b$ en évidence : $-2b(2c-3d)$. On a alors $3a(2c-3d)-2b(2c-3d)=(2c-3d)(3a-2b)$. Règle à retenir : quand le troisième terme est négatif, on met en évidence un facteur négatif pour forcer le binôme à coïncider.

a) On reconnaît une différence de carrés : $49x^2=(7x)^2$ et $64=8^2$. Donc $49x^2-64=(7x-8)(7x+8)$. Contrôle : $(7x-8)(7x+8)=49x^2+56x-56x-64=49x^2-64$ ✓. Noter que $49x^2+64$, une SOMME de carrés, ne se factorise pas sur les réels : l'identité n'existe que pour la différence. La figure du corrigé montre pourquoi l'identité est vraie : le carré de côté $a$ privé du carré de côté $b$ se découpe en deux morceaux qui se recollent en un rectangle de côtés $a+b$ et $a-b$.

b) Trois termes, premier et dernier des carrés : on teste le trinôme carré parfait. $9x^2=(3x)^2$, $25=5^2$, et le double produit vaut $2\times 3x\times 5=30x$, qui est bien le terme du milieu au signe près. Comme le milieu est négatif, c'est le carré d'une différence : $9x^2-30x+25=(3x-5)^2$. Le test du double produit est ce qui distingue un carré parfait d'un trinôme ordinaire : si $2ab$ ne donne pas le terme du milieu, il faut passer au produit-somme.

c) Différence de carrés avec $x^4=(x^2)^2$ : $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$. Mais ce n'est pas fini, et c'est là que la plupart des élèves s'arrêtent : le premier facteur est lui-même une différence de carrés, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Résultat complet : $x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)$. Le facteur $x^2+4$ est une somme de carrés, il reste tel quel. Vérification en $x=1$ : $1-16=-15$ d'un côté, $(-1)(3)(5)=-15$ de l'autre ✓.

d) Le réflexe « différence de carrés » est ici un piège : $50$ et $8$ ne sont pas des carrés parfaits. Il faut d'abord la mise en évidence simple, $50a^2-8b^2=2(25a^2-4b^2)$. Le contenu de la parenthèse, lui, est une vraie différence de carrés : $25a^2=(5a)^2$, $4b^2=(2b)^2$. Résultat : $2(5a-2b)(5a+2b)$. C'est la raison de la règle d'ordre : le facteur commun se sort TOUJOURS en premier, sinon les identités ne se reconnaissent pas.

a) Ici $a=1$, donc on cherche directement deux nombres de produit $12$ et de somme $7$ : ce sont $3$ et $4$. Donc $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$. Quand $a=1$, les deux nombres trouvés sont directement les termes constants des binômes, aucun groupement n'est nécessaire.

b) Produit $-40$, somme $-3$. Le produit est négatif donc les deux nombres sont de signes contraires ; la somme est négative donc le plus grand en valeur absolue est le négatif. Les diviseurs de $40$ à tester : $1$ et $40$, $2$ et $20$, $4$ et $10$, $5$ et $8$. La paire $5$ et $8$ donne $-8+5=-3$ ✓. Donc $x^2-3x-40=(x-8)(x+5)$.

c) Ici $a=6$ et $c=-35$, donc le produit à viser est $6\times(-35)=-210$ et la somme est $11$. On cherche deux nombres de produit $-210$ et de somme $11$ : $21$ et $-10$ conviennent, car $21\times(-10)=-210$ et $21-10=11$. On décompose le terme du milieu : $6x^2+21x-10x-35$. On groupe : $(6x^2+21x)+(-10x-35)=3x(2x+7)-5(2x+7)=(2x+7)(3x-5)$. Vérification en $x=1$ : $6+11-35=-18$ d'un côté, $(9)(-2)=-18$ de l'autre ✓.

d) Produit visé $12\times 15=180$, somme $-28$. Le produit est positif et la somme négative, donc les deux nombres sont négatifs. Paires de produit $180$ : $(-2,-90)$, $(-4,-45)$, $(-6,-30)$, $(-10,-18)$, $(-12,-15)$. C'est $(-10,-18)$ qui donne $-28$. On décompose : $12x^2-10x-18x+15$, puis on groupe : $2x(6x-5)-3(6x-5)=(6x-5)(2x-3)$. Le piège classique ici est de décomposer en $-18x-10x$ et de grouper sans surveiller le signe du second facteur ; le binôme commun doit sortir identique des deux groupes, sinon il faut mettre un facteur négatif en évidence.

a) Facteur commun $3x$ : $3x^3-27x=3x(x^2-9)$. Ce qui reste est une différence de carrés : $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Complet : $3x(x-3)(x+3)$. Trois facteurs, donc trois zéros : $0$, $3$ et $-3$, ce qu'on peut vérifier en substituant.

b) Facteur commun $2x$ : $2x^3+10x^2+12x=2x(x^2+5x+6)$. Le trinôme restant se factorise par produit-somme, produit $6$ et somme $5$, donc $2$ et $3$ : $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. Complet : $2x(x+2)(x+3)$. Sans la mise en évidence initiale, le trinôme de départ était de degré 3 et le produit-somme ne s'appliquait pas : c'est exactement pourquoi l'ordre des techniques compte.

c) Aucun facteur commun, mais l'expression est un trinôme en $x^2$ : en posant provisoirement $u=x^2$, on lit $u^2-13u+36$. Produit $36$, somme $-13$ : $-4$ et $-9$. Donc $u^2-13u+36=(u-4)(u-9)$, c'est-à-dire $(x^2-4)(x^2-9)$. Chacun des deux est une différence de carrés : $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$. Quatre facteurs, quatre zéros : $\pm 2$ et $\pm 3$. Vérification en $x=1$ : $1-13+36=24$ d'un côté, $(-1)(3)(-2)(4)=24$ de l'autre ✓.

d) Le coefficient de $x^2$ est négatif : on met $-4$ en évidence, ce qui rend le trinôme restant plus lisible. $-4x^2+24x-36=-4(x^2-6x+9)$. Le trinôme est un carré parfait, car $2\times 3=6$ : $x^2-6x+9=(x-3)^2$. Complet : $-4(x-3)^2$. Conséquence à noter : cette expression est négative ou nulle pour tout $x$, et vaut $0$ uniquement en $x=3$. La forme factorisée donne ce renseignement immédiatement, la forme développée non.

a) On factorise le dénominateur avant tout : $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, qui s'annule en $x=3$ et $x=-2$. Ce sont les valeurs interdites. Le numérateur se factorise en $(x-3)(x+3)$. On simplifie le facteur $(x-3)$ : l'expression vaut $\dfrac{x+3}{x+2}$. Point crucial : la forme simplifiée est définie en $x=3$ et y vaut $\dfrac{6}{5}$, mais l'expression D'ORIGINE ne l'est pas. Les deux valeurs interdites restent $x=3$ et $x=-2$.

b) Dénominateur : $x^2+4x+4=(x+2)^2$, qui s'annule en $x=-2$. Valeur interdite unique : $x=-2$. Numérateur : $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$. On simplifie un facteur $(x+2)$ : $\dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac{2(x-2)}{x+2}$. Il reste un $(x+2)$ au dénominateur, ce qui confirme la valeur interdite. Vérification en $x=0$ : l'expression de départ vaut $\dfrac{-8}{4}=-2$, la forme simplifiée $\dfrac{2(-2)}{2}=-2$ ✓.

c) Dénominateur : $4x^2-49=(2x-7)(2x+7)$, qui s'annule en $x=\dfrac{7}{2}$ et $x=-\dfrac{7}{2}$. Ce sont les valeurs interdites. Numérateur : c'est le trinôme de l'exercice 3, $6x^2+11x-35=(2x+7)(3x-5)$. On simplifie $(2x+7)$ : $\dfrac{3x-5}{2x-7}$. Vérification en $x=0$ : départ $\dfrac{-35}{-49}=\dfrac{5}{7}$, arrivée $\dfrac{-5}{-7}=\dfrac{5}{7}$ ✓. Remarquez que la simplification a fait disparaître $x=-\dfrac{7}{2}$ du dénominateur : c'est précisément le cas où un élève qui lit les valeurs interdites sur la forme simplifiée en oublie une.

a) On factorise tout : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+3}\times\dfrac{2(x+3)}{x-1}$. Valeurs interdites : $x=-3$ et $x=1$. On simplifie $(x-1)$ et $(x+3)$ en croix : il reste $2(x+1)$. Vérification en $x=0$ : $\dfrac{-1}{3}\times\dfrac{6}{-1}=2$, et $2(0+1)=2$ ✓.

b) Diviser, c'est multiplier par l'inverse : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}\times\dfrac{x-3}{x+2}$. Les valeurs interdites sont $x=3$ et $x=-3$ (les dénominateurs de départ), auxquelles s'ajoute $x=-2$ : le binôme $x+2$ était au numérateur du diviseur, et le retournement l'envoie au dénominateur. On simplifie ensuite $(x+2)$ et $(x-3)$ : il reste $\dfrac{x-2}{x+3}$. Le piège classique de la division est exactement là, oublier que le NUMÉRATEUR du diviseur devient un dénominateur et que ses zéros sont donc interdits.

c) Dénominateur commun $(x-2)(x+1)$, valeurs interdites $x=2$ et $x=-1$. On met au même dénominateur : $\dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+1)}+\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x^2+x+3x-6}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x^2+4x-6}{(x-2)(x+1)}$. Le numérateur ne se factorise pas avec des entiers (produit $-6$, somme $4$ : aucune paire entière), donc on s'arrête là. Vérification en $x=0$ : $\dfrac{0}{-2}+\dfrac{3}{1}=3$, et $\dfrac{-6}{(-2)(1)}=3$ ✓.

d) On factorise les deux dénominateurs : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Valeurs interdites : $x=2$ et $x=-2$. Le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit des deux, c'est $(x-2)(x+2)^2$ : chaque facteur est pris à sa plus haute puissance. On obtient $\dfrac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)^2}-\dfrac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)^2}=\dfrac{5x+10-2x+4}{(x-2)(x+2)^2}=\dfrac{3x+14}{(x-2)(x+2)^2}$. Vérification en $x=0$ : $\dfrac{5}{-4}-\dfrac{2}{4}=-1{,}75$, et $\dfrac{14}{(-2)(4)}=-1{,}75$ ✓.

a) On prend la moitié du coefficient de $x$, soit $\dfrac{8}{2}=4$, et on l'élève au carré : $16$. On ajoute et on retranche ce $16$ : $x^2+8x+11=(x^2+8x+16)-16+11=(x+4)^2-5$. Vérification en $x=0$ : $11$ d'un côté, $16-5=11$ de l'autre ✓.

b) Le procédé ne change pas quand le coefficient est impair, seules les fractions apparaissent. Moitié de $-5$ : $-\dfrac{5}{2}$, au carré : $\dfrac{25}{4}$. Donc $x^2-5x+2=\left(x^2-5x+\dfrac{25}{4}\right)-\dfrac{25}{4}+2=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{17}{4}$. Vérification en $x=0$ : $2$ d'un côté, $\dfrac{25}{4}-\dfrac{17}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ de l'autre ✓.

c) Quand $a\neq 1$, on met $a$ en évidence sur les DEUX premiers termes seulement : $2x^2-12x+7=2(x^2-6x)+7$. À l'intérieur, moitié de $-6$ égale $-3$, au carré $9$ : $2(x^2-6x+9-9)+7=2\left[(x-3)^2-9\right]+7=2(x-3)^2-18+7=2(x-3)^2-11$. Le sommet est donc $(3;-11)$, ce que confirme la figure. L'erreur la plus fréquente est de retrancher $9$ au lieu de $18$ : le $9$ est à l'intérieur d'une parenthèse multipliée par $2$, il pèse donc $18$ une fois sorti.

d) Moitié de $6$ égale $3$, au carré $9$ : $x^2+6x+13=(x+3)^2-9+13=(x+3)^2+4$. Or $(x+3)^2\geq 0$ pour tout réel $x$, donc $(x+3)^2+4\geq 4>0$. L'expression est donc strictement positive pour tout $x$ et ne s'annule jamais. Le minimum vaut $4$, atteint en $x=-3$. C'est un argument qu'on réutilisera pour justifier qu'une équation du second degré n'a aucune solution réelle, sans même calculer de discriminant.

a) Soit $n$ et $n+1$ deux entiers consécutifs. La différence des carrés vaut $(n+1)^2-n^2$. C'est une différence de carrés : $(n+1)^2-n^2=\big[(n+1)-n\big]\big[(n+1)+n\big]=1\times(2n+1)=2n+1$. Or leur somme vaut $n+(n+1)=2n+1$. Les deux expressions sont identiques, la propriété est démontrée pour tout entier $n$. Exemple de contrôle : $8$ et $9$ donnent $81-64=17$ et $8+9=17$ ✓.

b) Soit $n$ et $n+1$. Leur produit est $n(n+1)$. Deux cas : si $n$ est pair, $n=2k$, alors le produit vaut $2k(n+1)$, multiple de $2$. Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair, $n+1=2k$, et le produit vaut $2kn$, multiple de $2$. Dans les deux cas le produit est pair. Formulation équivalente et plus courte : parmi deux entiers consécutifs, l'un des deux est nécessairement pair, donc le produit contient le facteur $2$.

c) Deux entiers impairs s'écrivent $2m+1$ et $2n+1$. La différence de leurs carrés vaut $(2m+1)^2-(2n+1)^2$, qu'on factorise comme différence de carrés : $\big[(2m+1)-(2n+1)\big]\big[(2m+1)+(2n+1)\big]=(2m-2n)(2m+2n+2)$. On met $2$ en évidence dans chaque facteur : $2(m-n)\times 2(m+n+1)=4(m-n)(m+n+1)$. Il reste à voir que $(m-n)(m+n+1)$ est pair. Si $m-n$ est pair c'est immédiat ; si $m-n$ est impair alors $m$ et $n$ sont de parités contraires, donc $m+n$ est impair et $m+n+1$ est pair. Dans tous les cas le produit est pair, donc la différence vaut $4\times 2\times(\text{entier})=8\times(\text{entier})$. Contrôle : $7^2-3^2=40=8\times 5$ ✓, et $9^2-5^2=56=8\times 7$ ✓.

d) Pour $n=1$ : $1+1+11=13$, premier. Pour $n=2$ : $4+2+11=17$, premier. L'affirmation semble tenir, mais la factorisation trahit le contre-exemple : $n^2+n+11=n(n+1)+11$. Si on choisit $n=11$, chaque terme est multiple de $11$ : $11\times 12+11=11(12+1)=11\times 13=143$, qui n'est pas premier. Leçon de méthode : deux vérifications réussies ne démontrent rien, alors qu'un seul contre-exemple suffit à réfuter. Et c'est en factorisant, pas en testant au hasard, qu'on a su où chercher. Remarque : $n=11$ n'est pas le plus petit contre-exemple. En $n=10$, on obtient $100+10+11=121=11^2$, déjà composé ; les valeurs de $n=1$ à $n=9$ donnent toutes des nombres premiers.

a) Produit visé $6\times 10=60$, somme $19$ : les deux nombres sont $4$ et $15$. On décompose : $6x^2+4x+15x+10$, puis on groupe : $2x(3x+2)+5(3x+2)=(3x+2)(2x+5)$. Les dimensions sont donc $3x+2$ et $2x+5$, ce que confirme la figure. Comme $x>0$, les deux binômes sont positifs, l'interprétation géométrique est valide.

b) Le périmètre vaut $P(x)=2\big[(3x+2)+(2x+5)\big]=2(5x+7)=10x+14$ centimètres. On peut contrôler sur un cas : en $x=1$, les dimensions sont $5$ et $7$, donc $P=24$, et la formule donne $10+14=24$ ✓.