Exercices corrigés : la géométrie analytique (math TS, secondaire 4)

Les écarts valent $5-(-3)=8$ et $8-2=6$. Donc $AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. On reconnaît le triangle $6$-$8$-$10$, agrandissement du $3$-$4$-$5$ : les énoncés le choisissent souvent pour que la racine tombe juste.

Les écarts valent $6-1=5$ et $8-(-4)=12$. Donc $CD=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. Attention au calcul $8-(-4)$ : soustraire un nombre négatif l'AJOUTE, et c'est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre.

Les écarts valent $4-(-2)=6$ et $-1-(-5)=4$. Donc $EF=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7{,}21$. La valeur exacte $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ est acceptable et même préférable si l'énoncé ne demande pas d'arrondi.

Un point de l'axe des abscisses s'écrit $P(x\,;0)$. On écrit l'égalité des deux carrés de distances, ce qui évite les racines : $(x+3)^{2}+(0-2)^{2}=(x-5)^{2}+(0-8)^{2}$. En développant : $x^{2}+6x+9+4=x^{2}-10x+25+64$. Les $x^{2}$ disparaissent, et il reste $16x=76$, donc $x=4{,}75$. Le point est $P(4{,}75\,;0)$. Contrôle : $PA=\sqrt{60{,}0625+4}\approx 8{,}00$ et $PB=\sqrt{0{,}0625+64}\approx 8{,}00$.

Parce que les écarts sont ÉLEVÉS AU CARRÉ : changer l'ordre change le signe de chaque écart, et le carré efface ce signe. $(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}$. C'est aussi ce qui garantit que la distance est toujours positive, comme une longueur doit l'être, et ce qui rend inutile toute valeur absolue dans la formule.

Le milieu est la moyenne des coordonnées : $M\left(\dfrac{-3+5}{2}\,;\dfrac{2+8}{2}\right)=M(1\,;5)$. C'est le point de partage de rapport $1:1$, donc un cas particulier de ce qui suit.

Le rapport $1:3$ signifie $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{1}{3}$ : le segment est coupé en QUATRE parts égales et $P$ est à la première. On avance donc du QUART du déplacement total. Le déplacement vaut $(5-(-3)\,;8-2)=(8\,;6)$, donc le quart vaut $(2\,;1{,}5)$, et $P(-3+2\,;2+1{,}5)=P(-1\,;3{,}5)$.

Le rapport $3:1$ met $P$ à la troisième part sur quatre : on avance des trois quarts du déplacement, soit $(6\,;4{,}5)$. Donc $Q(-3+6\,;2+4{,}5)=Q(3\,;6{,}5)$. Remarquez la symétrie : $Q$ est au point de partage $1:3$ à partir de $B$.

Chacune de ces distances est le quart de $AB=10$, donc $2{,}5$. Vérification sur la première : $AP=\sqrt{2^{2}+1{,}5^{2}}=\sqrt{4+2{,}25}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5$. Les quatre points $A$, $P$, $M$, $Q$, $B$ découpent le segment en quatre parts égales, ce qui est exactement ce qu'un rapport $1:3$ promet.

Parce que le rapport $1:3$ compare $AP$ à $PB$, et non $AP$ à $AB$. Le segment compte $1+3=4$ parts, et $P$ est après UNE part sur quatre : la fraction à avancer est donc $\dfrac{1}{4}$ et non $\dfrac{1}{3}$. Avec le tiers, on obtiendrait $\left(-\dfrac{1}{3}\,;4\right)$, un point qui ne coupe pas le segment dans le rapport demandé. La règle : on ADDITIONNE les deux nombres du rapport pour obtenir le dénominateur.

On isole $y$ dans chacune. $d_{1}$ : $4y=3x+8$, donc $y=\dfrac{3}{4}x+2$ et la pente vaut $\dfrac{3}{4}$. $d_{2}$ : $8y=6x-5$, donc $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{5}{8}$, pente $\dfrac{3}{4}$. $d_{3}$ : $3y=-4x+12$, donc $y=-\dfrac{4}{3}x+4$, pente $-\dfrac{4}{3}$. $d_{4}$ : $12y=9x+24$, donc $y=\dfrac{3}{4}x+2$, pente $\dfrac{3}{4}$. On peut aussi lire la pente directement sur la forme générale, par $-\dfrac{A}{B}$, ce qui évite d'isoler.

Les pentes sont égales, $\dfrac{3}{4}$ dans les deux cas, mais les ordonnées à l'origine diffèrent, $2$ contre $-\dfrac{5}{8}$ : les droites sont PARALLÈLES DISTINCTES. Elles ne se coupent jamais, et le système formé par leurs deux équations n'a aucune solution.

Le produit des pentes vaut $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1$ : les droites sont PERPENDICULAIRES. C'est le test à retenir, et il se lit aussi sur les fractions, qui sont inverses et de signes contraires.

$d_{4}$ est exactement $d_{1}$ multipliée par $3$ : $9x-12y+24=3(3x-4y+8)$. Même pente ET même ordonnée à l'origine : les droites sont CONFONDUES, c'est-à-dire que ce sont deux écritures de la même droite. Leur système a une infinité de solutions.

Les deux cas partagent la même pente, donc la pente seule ne suffit pas : il faut comparer les ORDONNÉES À L'ORIGINE. Égales, les droites sont confondues ; différentes, elles sont parallèles distinctes. Autre méthode, plus rapide sur la forme générale : on regarde si les trois coefficients $A$, $B$ et $C$ sont proportionnels. Ici $\dfrac{9}{3}=\dfrac{-12}{-4}=\dfrac{24}{8}=3$, donc confondues, alors que pour $d_{2}$ le troisième rapport casse la série.

Fonctionnelle : $2y=-5x+10$, donc $y=-2{,}5x+5$. Symétrique : on isole le $1$ à droite en divisant par $10$ l'égalité $5x+2y=10$, ce qui donne $\dfrac{5x}{10}+\dfrac{2y}{10}=1$, c'est-à-dire $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{5}=1$. On lit directement les deux points de rencontre avec les axes : $(2\,;0)$ et $(0\,;5)$.

Générale : on multiplie tout par $3$, $3y=2x-12$, puis on range tout d'un côté : $2x-3y-12=0$. Symétrique : de $2x-3y=12$, on divise par $12$ : $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{-4}=1$. La droite coupe donc les axes en $(6\,;0)$ et $(0\,;-4)$, ce que confirme la forme fonctionnelle, dont l'ordonnée à l'origine est $-4$.

Générale : on multiplie par $15$, ce qui donne $5x-3y=15$, donc $5x-3y-15=0$. Fonctionnelle : $3y=5x-15$, donc $y=\dfrac{5}{3}x-5$. Contrôle : la forme symétrique annonçait une ordonnée à l'origine de $-5$, et c'est bien ce que donne la forme fonctionnelle.

La forme FONCTIONNELLE est impossible. Une droite verticale n'est pas une fonction : l'abscisse $4$ aurait une infinité d'images, et la pente serait une division par zéro. Les deux autres formes existent : la générale s'écrit $x-4=0$, et la symétrique $\dfrac{x}{4}=1$, sans terme en $y$ puisque la droite ne coupe jamais l'axe vertical.

La FONCTIONNELLE affiche la pente et l'ordonnée à l'origine : c'est la forme du tracé et de la comparaison de deux droites. La GÉNÉRALE accepte toutes les droites, verticales comprises, et c'est la forme attendue dans une réponse finale, avec des coefficients entiers. La SYMÉTRIQUE affiche les deux points de rencontre avec les axes : c'est la forme la plus rapide pour tracer, et celle qui sert dans les problèmes de budget, où les deux extrêmes ont un sens concret.

On part de $y=-2x+b$ et l'on substitue le point : $-3=-2\times 2+b=-4+b$, donc $b=1$. La droite est $y=-2x+1$, soit $2x+y-1=0$ sous forme générale. Le contrôle est immédiat : avec $x=2$, on retrouve $-3$.

La pente vaut $\dfrac{8-2}{5-(-3)}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$. On substitue le point $A$ : $2=\dfrac{3}{4}\times(-3)+b=-2{,}25+b$, donc $b=4{,}25$. La droite est $y=\dfrac{3}{4}x+4{,}25$. Pour la forme générale à coefficients entiers, on multiplie par $4$ : $4y=3x+17$, donc $3x-4y+17=0$. Vérification sur le SECOND point, celui qui n'a pas servi : $3\times 5-4\times 8+17=15-32+17=0$.

La droite donnée a pour pente $-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{2}{5}$. Une parallèle a la MÊME pente : $y=-0{,}4x+b$, et $1=-0{,}4\times 5+b=-2+b$, donc $b=3$. La droite est $y=-0{,}4x+3$, soit $2x+5y-15=0$. Remarquez que seul le terme constant a changé par rapport à l'équation de départ : c'est la signature de deux parallèles écrites sous forme générale.

Une perpendiculaire a pour pente l'inverse changé de signe : $-\dfrac{1}{-2/5}=\dfrac{5}{2}=2{,}5$. Donc $y=2{,}5x+b$, et $1=12{,}5+b$, d'où $b=-11{,}5$. La droite est $y=2{,}5x-11{,}5$, soit $5x-2y-23=0$. Contrôle : le produit des pentes vaut $-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{2}=-1$.

La méthode est toujours la même en trois temps. D'abord on obtient la PENTE, soit directement, soit par deux points, soit par la droite de référence. Ensuite on écrit $y=ax+b$ avec cette pente et l'on SUBSTITUE le point connu pour trouver $b$. Enfin on met sous la forme demandée et l'on vérifie avec un point qui n'a pas servi au calcul.

La frontière est la droite $2x+3y=12$, qui coupe les axes en $(6\,;0)$ et $(0\,;4)$ : la forme symétrique $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4}=1$ les donne d'un coup. L'inégalité étant LARGE, les points de la droite vérifient l'inéquation, donc la frontière est INCLUSE et se trace en trait PLEIN.

On substitue $(0\,;0)$ dans l'inéquation : $2\times 0+3\times 0=0$, et $0\le 12$ est VRAI. L'origine appartient donc à la région, et la région est le demi-plan qui la contient, c'est-à-dire le côté situé SOUS la droite. Un seul point testé suffit à décider pour tout le demi-plan.

L'inégalité est STRICTE, donc la frontière $y=2x-1$ est EXCLUE et se trace en pointillé. Test avec $(0\,;0)$ : $0>2\times 0-1$, c'est-à-dire $0>-1$, ce qui est vrai. La région est donc le côté de l'origine, soit au-dessus de la droite. Le mot « au-dessus » se justifie ici parce que $y$ est isolé : quand l'inéquation est écrite $y>\ldots$, le sens de l'inégalité donne directement le côté.

Pour $(2\,;3)$ : $2\times 2+3\times 3=4+9=13$, et $13\le 12$ est FAUX. Le point n'appartient pas à la région, bien qu'il soit dans le premier quadrant. Pour $(1\,;2)$ : $2+6=8\le 12$ est vrai, et les deux autres conditions le sont aussi puisque $1\ge 0$ et $2\ge 0$ : le point appartient à la région. Dans un système, il faut vérifier TOUTES les inéquations.

Parce qu'une droite sépare le plan en exactement deux demi-plans, et que l'inéquation est vraie partout dans l'un et fausse partout dans l'autre : il n'y a pas de mélange, donc un seul point tranche. Si la frontière passe par l'origine, le point $(0\,;0)$ est sur la droite et ne dit rien : on choisit alors un autre point simple, par exemple $(1\,;0)$ ou $(0\,;1)$.

On isole $y$ dans $d_{1}$ : $y=\dfrac{3x+8}{4}$. On substitue dans $d_{3}$ : $4x+3\times\dfrac{3x+8}{4}-12=0$. On multiplie tout par $4$ : $16x+9x+24-48=0$, donc $25x=24$ et $x=0{,}96$. Puis $y=\dfrac{2{,}88+8}{4}=\dfrac{10{,}88}{4}=2{,}72$. Le point est $(0{,}96\,;2{,}72)$.

Dans $d_{1}$ : $3\times 0{,}96-4\times 2{,}72+8=2{,}88-10{,}88+8=0$. Dans $d_{3}$ : $4\times 0{,}96+3\times 2{,}72-12=3{,}84+8{,}16-12=0$. Les deux équations sont satisfaites, donc le point est bien sur les deux droites. Vérifier dans les DEUX est indispensable : une erreur de substitution ne se voit que dans l'équation qu'on n'a pas utilisée.

Ces deux droites sont parallèles distinctes, comme l'exercice 3 l'a montré. Le système n'a AUCUNE solution : en tentant la réduction, on obtiendrait une égalité impossible du type $0=21$. Géométriquement, les deux droites ne se rencontrent jamais.

Ces deux droites sont confondues. Le système a une INFINITÉ de solutions : tous les points de la droite conviennent. En tentant la réduction, on obtiendrait $0=0$, une égalité toujours vraie, qui signale précisément ce cas.

Les trois cas se correspondent exactement. Droites SÉCANTES : une solution unique, le point d'intersection. Droites PARALLÈLES DISTINCTES : aucune solution. Droites CONFONDUES : une infinité de solutions. C'est la traduction géométrique des trois cas de figure vus au chapitre des systèmes d'équations, et elle permet de prévoir le résultat AVANT de calculer, simplement en comparant les pentes.

Faux. Le test de la perpendicularité est un PRODUIT de pentes égal à $-1$, et ici $2\times(-2)=-4$. Les deux droites sont bien symétriques l'une de l'autre par rapport à l'horizontale, mais elles ne se coupent pas à angle droit. L'énoncé correct : la perpendiculaire à une droite de pente $2$ a pour pente $-\dfrac{1}{2}$.

Faux. Les écarts sont élevés au CARRÉ, ce qui efface leur signe : $(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}$. La distance est donc la même dans les deux sens, et elle est toujours positive, comme toute longueur. L'énoncé correct : l'ordre des points n'a aucune influence.

Faux. Le rapport $1:3$ compare $AP$ à $PB$, donc le segment compte $1+3=4$ parts et le point est après UNE part sur quatre : il est au QUART. Le tiers correspondrait au rapport $1:2$. L'énoncé correct : on additionne les deux nombres du rapport pour obtenir le dénominateur de la fraction à avancer.

Faux, c'est l'inverse. Une inégalité STRICTE exclut les points de la frontière, qui se trace donc en POINTILLÉ ; une inégalité large les inclut, et la frontière se trace en trait plein. Cette convention est notée en évaluation, et l'oublier coûte un point à chaque tracé.

Faux. Deux droites de même pente sont soit parallèles distinctes, et elles n'ont alors aucun point commun, soit CONFONDUES, et elles en ont alors une infinité. Il faut comparer les ordonnées à l'origine pour trancher. L'énoncé correct : la pente seule ne distingue pas ces deux cas.

Deux sommets sont immédiats : l'origine $(0\,;0)$, et le point où la portée rencontre l'axe des abscisses, $(10\,;0)$. Le troisième est l'intersection des deux droites $x+y=10$ et $y=2x$ : en substituant, $x+2x=10$, donc $x=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33$ et $y=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$. La zone est donc un triangle.

On teste les deux contraintes. Portée : $4+5=9\le 10$, c'est vrai. Butée : $5\le 2\times 4=8$, c'est vrai aussi. Les deux coordonnées étant positives, les quatre contraintes sont satisfaites : la position est ADMISSIBLE. Il faut les vérifier TOUTES, une seule suffisant à rejeter un point.

Portée : $2+5=7\le 10$, c'est vrai. Butée : $5\le 2\times 2=4$, c'est FAUX. La position est donc refusée, alors même que le bras est assez long pour l'atteindre : c'est la butée mécanique qui l'interdit. Sur la figure, le point se trouve au-dessus de la droite oblique de gauche.

La zone est un triangle dont la base, sur l'axe des abscisses, mesure $10$ dm, et dont la hauteur est l'ordonnée du troisième sommet, $\dfrac{20}{3}$ dm. Son aire vaut donc $\dfrac{10\times 20/3}{2}=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}33$ décimètres carrés.

Le point le plus éloigné est forcément un SOMMET, puisque la zone est un triangle : en s'éloignant à l'intérieur, on finit toujours par buter sur un bord, et sur un bord la distance est maximale à l'une de ses extrémités. On compare donc les trois : l'origine est à $0$, le sommet $(10\,;0)$ est à $10$ dm, et le sommet $(3{,}33\,;6{,}67)$ est à $\sqrt{11{,}11+44{,}44}\approx 7{,}45$ dm. C'est donc $(10\,;0)$, à $10$ décimètres, c'est-à-dire un mètre.

Les écarts valent $140-20=120$ mm et $95-35=60$ mm. La distance est donc $\sqrt{120^{2}+60^{2}}=\sqrt{14\,400+3600}=\sqrt{18\,000}\approx 134{,}16$ millimètres. Valeur exacte : $60\sqrt{5}$.

Le milieu est la moyenne des coordonnées : $\left(\dfrac{20+140}{2}\,;\dfrac{35+95}{2}\right)=(80\,;65)$. Les deux nombres tombent juste, ce qui est commode pour un programme de machine.

Au tiers du trajet, on avance du tiers du déplacement $(120\,;60)$, soit $(40\,;20)$. Le point est donc $(20+40\,;35+20)=(60\,;55)$. Attention : « au tiers du trajet » est une fraction du déplacement TOTAL, ce qui correspond au rapport $1:2$, et non au rapport $1:3$.

La pente vaut $\dfrac{60}{120}=0{,}5$. On substitue $A$ : $35=0{,}5\times 20+b=10+b$, donc $b=25$. La trajectoire est $y=0{,}5x+25$. Sous forme générale à coefficients entiers, on multiplie par $2$ : $2y=x+50$, donc $x-2y+50=0$. Vérification sur $B$ : $140-190+50=0$.

On substitue $x=100$ dans l'équation : $y=0{,}5\times 100+25=75$ millimètres. Le perçage prévu est à $80$ mm, donc il n'est PAS sur la trajectoire : il s'en écarte de $80-75=5$ millimètres vers le haut. Sur une pièce usinée, cinq millimètres sont une erreur franche, et c'est exactement le genre de contrôle qu'un opérateur fait avant de lancer le programme.