Exercices corrigés : les transformations géométriques (math TS, secondaire 5)

La règle de la translation $t_{(a\,;b)}$ est $(x\,;y) \mapsto (x+a\,;y+b)$ : on ajoute, on ne multiplie jamais. Avec $a = -3$ et $b = 2$ : $A'(1-3\,;2+2) = A'(-2\,;4)$, $B'(5-3\,;2+2) = B'(2\,;4)$ et $C'(5-3\,;5+2) = C'(2\,;7)$. Vérification utile : la longueur $AB$ valait $5-1 = 4$, et $A'B'$ vaut $2-(-2) = 4$. Une translation ne change aucune longueur, elle déplace la figure en bloc.

La réflexion d'axe des abscisses change le signe de l'ordonnée seulement : $(x\,;y) \mapsto (x\,;-y)$. Donc $A'(1\,;-2)$, $B'(5\,;-2)$ et $C'(5\,;-5)$. La confusion la plus fréquente est de changer $x$ au lieu de $y$ : l'axe des abscisses est la droite $y = 0$, c'est donc l'ORDONNÉE qui mesure la distance à l'axe, et c'est elle qui change de signe. Un point de l'axe, comme $(5\,;0)$, doit rester à sa place, et c'est le test qui départage les deux règles en deux secondes.

La rotation de centre $O$ et de $90^\circ$ dans le sens antihoraire a pour règle $(x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$ : on échange les coordonnées ET on change le signe de la première. Donc $A'(-2\,;1)$, $B'(-2\,;5)$ et $C'(-5\,;5)$. Contrôle immédiat : le point $(1\,;0)$ doit venir en $(0\,;1)$, c'est-à-dire un quart de tour dans le sens antihoraire ; la règle $(-y\,;x)$ donne bien $(0\,;1)$, alors que $(y\,;x)$ donnerait $(0\,;1)$ aussi, d'où l'intérêt de tester un second point, $(0\,;1)$, qui doit venir en $(-1\,;0)$.

La réflexion d'axe $y = x$ échange simplement les deux coordonnées : $(x\,;y) \mapsto (y\,;x)$. Donc $A'(2\,;1)$, $B'(2\,;5)$ et $C'(5\,;5)$. C'est la transformation que l'on confond le plus souvent avec la rotation de $90^\circ$ : les deux échangent les coordonnées, mais la rotation ajoute un signe moins. Le point $(3\,;3)$ tranche : il est sur l'axe $y = x$, donc la réflexion le laisse en place, tandis que la rotation l'envoie en $(-3\,;3)$.

L'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ a pour règle $(x\,;y) \mapsto (2x\,;2y)$ : $A'(2\,;4)$, $B'(10\,;4)$ et $C'(10\,;10)$. C'est la seule des cinq qui n'est pas une isométrie : elle multiplie toutes les longueurs par $2$, donc $A'B' = 8$ au lieu de $4$, et elle multiplie les aires par $2^2 = 4$. Les quatre autres, translation, réflexion, rotation et réflexion d'axe oblique, conservent les longueurs et les aires ; on les appelle des ISOMÉTRIES. Les angles, eux, sont conservés par les cinq, y compris l'angle droit en $B$.

On regarde ce qu'est devenu $A(2\,;1)$ : il est en $P(-1\,;2)$. Les deux coordonnées ont été échangées, et la première a changé de signe : $(2\,;1) \mapsto (-1\,;2)$ suit la règle $(x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$. On vérifie sur le second point : $B(5\,;3) \mapsto (-3\,;5)$, ce qui est bien $Q$. C'est la ROTATION de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ dans le sens antihoraire. La vérification sur le second point n'est jamais facultative : une seule paire de points laisse toujours plusieurs règles possibles.

Ici $A(2\,;1) \mapsto R(1\,;2)$ : les coordonnées ont été échangées SANS changement de signe, donc la règle est $(x\,;y) \mapsto (y\,;x)$. On vérifie : $B(5\,;3) \mapsto (3\,;5) = S$. C'est la RÉFLEXION d'axe $y = x$. Comparée à la question a), la différence tient au seul signe moins, et c'est ce qui rend ces deux images faciles à confondre sur une figure : elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées.

$A(2\,;1) \mapsto (6\,;3)$ : chaque coordonnée a été multipliée par $3$. On vérifie sur $B$ : $(5\,;3) \mapsto (15\,;9)$, encore $\times 3$. C'est l'HOMOTHÉTIE de centre $O$ et de rapport $3$. Le signe qui ne trompe pas : quand le rapport des abscisses ET celui des ordonnées sont égaux, c'est une homothétie de centre $O$ ; on peut d'ailleurs contrôler que $O$, $A$ et son image sont alignés.

$A(2\,;1) \mapsto (5\,;-2)$ : on a ajouté $3$ à l'abscisse et retiré $3$ à l'ordonnée. Sur $B$ : $(5\,;3) \mapsto (8\,;0)$, encore $+3$ et $-3$. C'est la TRANSLATION de vecteur $(3\,;-3)$. Le test d'une translation est le plus simple de tous : la DIFFÉRENCE entre le point et son image doit être la même pour tous les points, alors que pour une homothétie c'est le QUOTIENT qui est constant.

$A(2\,;1) \mapsto (-2\,;-1)$ et $B(5\,;3) \mapsto (-5\,;-3)$ : les deux coordonnées ont changé de signe, donc la règle est $(x\,;y) \mapsto (-x\,;-y)$. Deux lectures sont correctes : c'est la ROTATION de centre $O$ et d'angle $180^\circ$, appelée demi-tour, et c'est aussi l'HOMOTHÉTIE de centre $O$ et de rapport $-1$. Ce n'est pas une ambiguïté du problème, c'est un fait : une homothétie de rapport négatif est toujours la composée d'une homothétie de rapport positif et d'un demi-tour, et quand le rapport vaut exactement $-1$, il ne reste que le demi-tour. Attention en revanche à ne pas y voir une réflexion : une réflexion d'axe des abscisses aurait donné $(2\,;-1)$, et une réflexion d'axe des ordonnées $(-2\,;1)$.

La règle est $(x\,;y) \mapsto (-y\,;x)$, donc $P(5\,;2) \mapsto (-2\,;5)$. Contrôle de distance : $OP = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$ et $OP' = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$. Une rotation de centre $O$ conserve toujours la distance à $O$, et c'est la vérification la plus rapide qui soit : si les deux distances diffèrent, la règle a été mal appliquée.

La règle du demi-tour est $(x\,;y) \mapsto (-x\,;-y)$, donc $P \mapsto (-5\,;-2)$. On peut aussi l'obtenir en appliquant deux fois la rotation de $90^\circ$ : $(5\,;2) \mapsto (-2\,;5) \mapsto (-5\,;-2)$. Les deux méthodes concordent, et cela confirme au passage que composer une rotation avec elle-même revient à ajouter les angles.

Une rotation de $-90^\circ$, c'est-à-dire un quart de tour dans le sens horaire, a pour règle $(x\,;y) \mapsto (y\,;-x)$. Donc $P \mapsto (2\,;-5)$. On le retrouve autrement : $-90^\circ$ équivaut à $270^\circ$, soit trois quarts de tour antihoraires, et en appliquant trois fois la règle de a) on obtient $(5\,;2) \mapsto (-2\,;5) \mapsto (-5\,;-2) \mapsto (2\,;-5)$.

On procède en trois temps. D'abord on TRANSLATE de façon à amener $C$ sur l'origine, ce qui revient à soustraire les coordonnées de $C$ : $P - C = (5-1\,;2-1) = (4\,;1)$. Ensuite on applique la rotation de $90^\circ$ autour de l'origine : $(4\,;1) \mapsto (-1\,;4)$. Enfin on remet le centre à sa place en rajoutant $C$ : $(-1+1\,;4+1) = (0\,;5)$. L'image est donc $P'(0\,;5)$. Contrôle : $CP = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$ et $CP' = \sqrt{(0-1)^2+(5-1)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$. L'erreur classique est d'oublier le troisième temps et de répondre $(-1\,;4)$, qui est l'image dans le repère déplacé, pas dans le repère de l'énoncé.

Même méthode : $P - C = (4\,;1)$, puis le demi-tour donne $(-4\,;-1)$, puis on rajoute $C$ : $(-4+1\,;-1+1) = (-3\,;0)$. L'image est $P'(-3\,;0)$. La vérification tient à une propriété du demi-tour : le centre est le MILIEU du segment joignant un point à son image. Le milieu de $P(5\,;2)$ et de $P'(-3\,;0)$ vaut $\left(\dfrac{5-3}{2}\,;\dfrac{2+0}{2}\right) = (1\,;1)$, c'est bien $C$. Cette propriété donne une méthode directe pour un demi-tour, sans passer par les trois temps : l'image est $2C - P$.

La règle est $(x\,;y) \mapsto (2x\,;2y)$ : $A'(2\,;4)$, $B'(10\,;4)$ et $C'(10\,;10)$. Les côtés deviennent $A'B' = 8$, $B'C' = 6$ et $A'C' = 10$, donc le périmètre vaut $24$, soit $2$ fois $12$. L'aire vaut $\dfrac{8 \times 6}{2} = 24$, soit $4$ fois $6$. Le périmètre a été multiplié par $2$, l'aire par $4$ : c'est la distinction centrale du chapitre.

Une homothétie de rapport $k$ multiplie toutes les LONGUEURS par $|k|$, toutes les AIRES par $k^2$, et laisse les ANGLES inchangés. On prend la valeur absolue pour les longueurs parce qu'une longueur est positive, alors qu'un rapport peut être négatif. Pour les volumes, ce serait $|k|^3$. La raison est dimensionnelle : une aire est un produit de deux longueurs, donc chacune apportant son facteur $|k|$, le produit reçoit $k^2$.

La règle est $(x\,;y) \mapsto \left(-\dfrac{3}{2}x\,;-\dfrac{3}{2}y\right)$ : $A'(-1{,}5\,;-3)$, $B'(-7{,}5\,;-3)$ et $C'(-7{,}5\,;-7{,}5)$. En mots : la figure est agrandie de moitié en plus, puisque $\left|-\dfrac{3}{2}\right| = 1{,}5$, ET retournée de l'autre côté du centre, puisque le rapport est négatif. C'est exactement la composée de l'homothétie de rapport $\dfrac{3}{2}$ et du demi-tour de centre $O$. Le périmètre devient $12 \times 1{,}5 = 18$ et l'aire $6 \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = 6 \times 2{,}25 = 13{,}5$ : c'est bien $k^2$ et non $|k|$ ni $k$, et le carré efface le signe.

Les dimensions deviennent $10 \times 1{,}4 = 14$ cm et $15 \times 1{,}4 = 21$ cm. L'aire passe de $150$ cm$^2$ à $14 \times 21 = 294$ cm$^2$, et le rapport vaut $\dfrac{294}{150} = 1{,}96$, ce qui est bien $1{,}4^2$. C'est le calcul qui fait rater les problèmes de coût : un papier photo $40$ pour cent plus grand en dimensions coûte $96$ pour cent de plus en surface, presque le double.

On cherche $k$ tel que $k^2 = 3$, donc $k = \sqrt{3} \approx 1{,}73$. Autrement dit, il faut agrandir les longueurs d'environ $73$ pour cent pour tripler l'aire, et non de $200$ pour cent. Le réflexe à garder : quand une question porte sur une aire, on passe par le CARRÉ du rapport, et pour remonter du rapport des aires au rapport des longueurs on prend la racine carrée.

Pour $t \circ r$, on applique d'abord la rotation : $r(P) = (-1\,;2)$, puis la translation : $(-1+3\,;2+0) = (2\,;2)$. Pour $r \circ t$, on applique d'abord la translation : $t(P) = (5\,;1)$, puis la rotation : $(-1\,;5)$. Les deux résultats, $(2\,;2)$ et $(-1\,;5)$, sont différents. Retenir la règle de lecture : dans $t \circ r$, la transformation la plus PROCHE du point est celle qu'on applique en PREMIER.

Avec $P = O(0\,;0)$ : par $t \circ r$, la rotation laisse $O$ en place puis la translation donne $(3\,;0)$. Par $r \circ t$, la translation donne $(3\,;0)$ puis la rotation donne $(0\,;3)$. Encore une fois les résultats diffèrent. La composition de transformations n'est donc PAS commutative en général : $t \circ r \ne r \circ t$. Ce contre-exemple sur l'origine est le plus économique, parce que la rotation y est sans effet et que l'écart se lit d'un coup d'oeil.

$s_x(P) = (2\,;-1)$, puis $s_y$ donne $(-2\,;-1)$. La règle globale est donc $(x\,;y) \mapsto (-x\,;-y)$ : on reconnaît le DEMI-TOUR de centre $O$, c'est-à-dire la rotation de $180^\circ$. Composer deux réflexions d'axes PERPENDICULAIRES donne toujours le demi-tour de centre leur point d'intersection, et cette composée-là est commutative, ce qu'on vérifie en calculant $s_x \circ s_y$, qui donne aussi $(-2\,;-1)$.

$t_1 \circ t_2$ appliquée à $P(2\,;1)$ : d'abord $+ (0\,;4)$ donne $(2\,;5)$, puis $+ (3\,;0)$ donne $(5\,;5)$. Dans l'autre ordre : $(5\,;1)$ puis $(5\,;5)$. Les deux donnent $(5\,;5)$, c'est-à-dire la translation de vecteur $(3\,;4)$. Deux translations commutent toujours, parce que composer deux translations revient à additionner leurs vecteurs, et l'addition est commutative. La non-commutativité de la question b) venait donc du mélange de deux natures différentes, pas de la composition en soi.

La réciproque d'une composée renverse l'ordre : $(t \circ r)^{-1} = r^{-1} \circ t^{-1}$. Ici $t^{-1}$ est la translation de vecteur $(-3\,;0)$ et $r^{-1}$ la rotation de $-90^\circ$, de règle $(x\,;y) \mapsto (y\,;-x)$. On part de l'image $(2\,;2)$ trouvée en a) : la translation de $(-3\,;0)$ donne $(-1\,;2)$, puis la rotation de $-90^\circ$ donne $(2\,;1)$, c'est bien $P$. L'image du renversement est celle des chaussures et des chaussettes : pour défaire, on enlève d'abord ce qu'on a mis en dernier.

Les trois premières sont des ISOMÉTRIES : elles conservent les longueurs, donc aussi les aires. La translation et la rotation conservent l'orientation, la réflexion la RENVERSE, c'est-à-dire qu'une figure parcourue dans le sens antihoraire est parcourue dans le sens horaire après réflexion. L'homothétie de rapport $3$ est une similitude non isométrique : elle multiplie les longueurs par $3$, et elle conserve l'orientation. L'homothétie de rapport $-1$ est un cas particulier trompeur : $|{-1}| = 1$, donc elle conserve les longueurs et c'est bien une ISOMÉTRIE, c'est même le demi-tour de centre $O$, et elle conserve l'orientation. Un rapport négatif ne renverse pas l'orientation, il retourne la figure de l'autre côté du centre, ce qui n'est pas la même chose.

L'homothétie de rapport $-2$ multiplie les longueurs par $|-2| = 2$ et les aires par $(-2)^2 = 4$. Donc le périmètre devient $18 \times 2 = 36$ cm et l'aire $12 \times 4 = 48$ cm$^2$. Le centre de l'homothétie n'intervient nulle part : il fixe la POSITION de l'image, jamais ses mesures. C'est pourquoi l'énoncé peut se permettre de ne pas le donner.

La composée de deux réflexions d'axes PARALLÈLES est une TRANSLATION, de direction perpendiculaire aux axes et de longueur le DOUBLE de la distance entre les axes. Ici la translation mesure $2 \times 3 = 6$ cm. On le lit sur la figure : $M$ est à une certaine distance du premier axe, $M_1$ est son symétrique, et $M_2$ le symétrique de $M_1$ par rapport au second axe ; en additionnant les allers-retours, chaque écart est compté deux fois. Le sens de la translation dépend de l'ordre : commencer par l'autre axe donnerait la translation opposée.

La composée de deux réflexions d'axes SÉCANTS est une ROTATION, de centre leur point d'intersection et d'angle le DOUBLE de l'angle entre les axes. Ici, la rotation vaut $2 \times 35 = 70^\circ$, de centre $O$. Le même doublement que dans le cas parallèle, avec l'angle à la place de la distance. On note au passage la cohérence : deux réflexions renversent chacune l'orientation, donc leur composée la conserve, ce qui est bien le cas d'une rotation comme d'une translation.

Il en faut DEUX au minimum : une seule réflexion renverse l'orientation, alors qu'une rotation la conserve, donc un nombre impair de réflexions ne peut jamais donner une rotation. Leurs axes doivent être sécants et former un angle de $\dfrac{90}{2} = 45^\circ$, et leur point d'intersection est le centre de la rotation. C'est un résultat général : toute isométrie du plan se décompose en au plus trois réflexions.