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Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la similitude et l'isométrie des triangles (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les triangles semblables : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, le cas à citer selon ce que l'énoncé donne, et la rédaction qu'un correcteur attend d'une démonstration de similitude.

C'est le chapitre où l'intuition trompe le plus : deux triangles peuvent se ressembler sans être semblables, et deux figures semblables n'ont pas des aires dans le même rapport que leurs longueurs. Les deux pièges les plus coûteux de l'évaluation sont là.

Le fil du chapitre

Une similitude se lit dans un ORDRE et avec un EXPOSANT : l'ordre des sommets dit quel côté correspond à quel côté, et l'exposant du rapport dit si l'on parle de longueurs, d'aires ou de volumes.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
  2. 2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
  3. 3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
  4. 4Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
  5. 5Aire et volume des solidesSecondaire 3
  6. 6Figures et solides semblables : k, k², k³Secondaire 3

L'essentiel

Isométriques, c'est identiques; semblables, c'est la même forme

  • • ISOMÉTRIQUES : mêmes angles ET mêmes longueurs. Le rapport vaut k=1k=1, les deux triangles se superposent après un déplacement.
  • • SEMBLABLES : mêmes angles, longueurs PROPORTIONNELLES. Le rapport kk est le même pour les trois paires de côtés homologues.
  • • Tout triangle isométrique à un autre lui est aussi semblable, avec k=1k=1. La réciproque est fausse.
  • • L'écriture ABC∼DEFABC\sim DEF affirme trois correspondances à la fois : AA avec DD, BB avec EE, CC avec FF. L'ordre des lettres n'est pas décoratif, il porte l'information.
ABCDEFk = 1,5
Le second triangle est l'agrandissement du premier dans le rapport k=1,5k=1{,}5 : mêmes angles, chaque côté une fois et demie plus long. L'écriture ABC∼DEFABC\sim DEF dit lequel des trois sommets correspond à lequel.

Sur une figure, les triangles semblables sont rarement dessinés dans la même position : ils sont souvent retournés ou emboîtés l'un dans l'autre. Les redessiner séparément, dans le même sens, coûte une minute et évite la moitié des erreurs.

Les cas à citer, et celui qui n'existe pas

  • • ISOMÉTRIE, trois cas : CCC, les trois côtés; CAC, deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux; ACA, deux angles et le côté compris entre eux.
  • • SIMILITUDE, trois cas : AA, deux angles égaux suffisent; CAC, deux côtés proportionnels et l'angle compris égal; CCC, les trois côtés proportionnels.
  • • CÔTÉ-CÔTÉ-ANGLE n'est un cas ni d'isométrie ni de similitude quand l'angle n'est pas compris entre les deux côtés. Deux triangles différents peuvent le vérifier.
  • • AA est de loin le plus utile : dans une figure, deux angles égaux se trouvent presque toujours, par des angles alternes-internes, des angles opposés par le sommet ou un angle commun aux deux triangles.

Le mot « compris » est celui que les correcteurs cherchent. Écrire « CAC » sans vérifier que l'angle est entre les deux côtés cités ne rapporte rien, même quand la conclusion est vraie.

Le rapport kk et ses trois exposants

  • • Les LONGUEURS sont multipliées par kk : côtés, périmètres, hauteurs, rayons, diagonales.
  • • Les AIRES sont multipliées par k2k^{2} : aire d'une face, aire totale, aire latérale.
  • • Les VOLUMES sont multipliés par k3k^{3}.
  • • Les ANGLES ne changent pas. Un agrandissement conserve la forme, donc les mesures d'angles.
  • • Dans l'autre sens : si les aires sont dans le rapport 99, alors k=9=3k=\sqrt{9}=3, et si les volumes sont dans le rapport 88, alors k=83=2k=\sqrt[3]{8}=2.

Le contrôle d'absurdité est ici plus efficace que la formule : une façade de 99 mètres carrés sur un immeuble de 4545 mètres de haut est impossible, et cette impossibilité signale à elle seule qu'un exposant a été oublié.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Multiplier l'aire par kk au lieu de k2k^{2}

toute la question, et une réponse fausse de 33 pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le rapport de similitude vaut 1,51{,}5 et l'aire de départ 26,526{,}5 cm², donc la nouvelle aire vaut 1,5×26,5=39,751{,}5\times 26{,}5=39{,}75 cm². »

Ce qu'il faut écrire

« L'aire est multipliée par k2=1,52=2,25k^{2}=1{,}5^{2}=2{,}25, donc elle vaut 2,25×26,5=59,6252{,}25\times 26{,}5=59{,}625 cm². »

k = 2 : 4 fois l'airedépart4433
Doubler chaque longueur fait tenir QUATRE fois la figure de départ dans la nouvelle. L'aire est donc multipliée par k2=4k^{2}=4, et non par k=2k=2.

Pourquoi : Un agrandissement étire la figure dans DEUX directions à la fois : chacune contribue un facteur kk. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre parce qu'elle donne un nombre plausible.

2. Prendre côté-côté-angle pour un cas d'isométrie

toute la démonstration, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« AB=DEAB=DE, BC=EFBC=EF et A^=D^\widehat{A}=\widehat{D}, donc les triangles sont isométriques par CAC. »

Ce qu'il faut écrire

« L'angle A^\widehat{A} n'est pas compris entre ABAB et BCBC : c'est du côté-côté-angle, qui n'est pas un cas d'isométrie. Il faudrait B^=E^\widehat{B}=\widehat{E}. »

Pourquoi : Deux triangles peuvent partager deux côtés et un angle NON compris sans être identiques : le troisième côté a alors deux longueurs possibles. Le mot « compris » est la condition, pas un détail de vocabulaire.

3. Se contenter de deux rapports égaux pour conclure CCC

2 points de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ABDE=BCEF=1,5\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=1{,}5, donc les triangles sont semblables par le cas CCC. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec deux rapports seulement, le cas invocable est CAC, à condition que l'angle COMPRIS entre ces deux côtés soit égal dans les deux triangles. Pour CCC, il faut vérifier le troisième rapport. »

Pourquoi : Deux rapports qui coïncident ne contraignent pas la forme : il reste un angle libre entre les deux côtés. C'est justement cet angle que le cas CAC exige de contrôler.

4. Apparier les sommets dans le mauvais ordre

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans la configuration en papillon, OAOC=OBOD\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}, donc OC=OA×ODOBOC=\frac{OA\times OD}{OB}. »

Ce qu'il faut écrire

« La correspondance établie est A↔DA\leftrightarrow D et B↔CB\leftrightarrow C, donc la proportion est OAOD=OBOC\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}, et il faut partir de OBOB. »

Pourquoi : Dans une configuration en papillon, les triangles sont retournés : le sommet visuellement « en face » n'est pas l'homologue. C'est la correspondance des ANGLES, établie avant tout calcul, qui décide.

5. Écrire une proportion en mélangeant les deux triangles

2 points, et la longueur trouvée est l'inverse de la bonne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« ABDE=EFBC\frac{AB}{DE}=\frac{EF}{BC} »

Ce qu'il faut écrire

« ABDE=BCEF\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF} : le premier triangle reste en haut dans les deux rapports, le second reste en bas. »

Pourquoi : Une proportion de similitude compare le même objet à lui-même deux fois de suite. Inverser un seul des deux rapports revient à écrire k=1kk=\frac{1}{k}, ce qui n'est vrai que pour k=1k=1.

6. Appliquer l'échelle d'une maquette au volume sans l'élever au cube

toute la question, et une réponse fausse d'un facteur $2500$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La maquette est au 150\frac{1}{50}, donc le réservoir réel contient 5050 fois le volume de la maquette. »

Ce qu'il faut écrire

« Les volumes sont dans le rapport k3=503=125 000k^{3}=50^{3}=125\,000 : le réservoir réel contient 125 000125\,000 fois le volume de la maquette. »

Pourquoi : Une maquette est réduite dans les trois dimensions. C'est ce qui explique qu'une maquette tienne sur une table alors que l'objet réel remplit un immeuble.

7. Affirmer la similitude sans citer le cas ni justifier les angles

3 points sur 5, la conclusion étant juste mais non démontrée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux triangles ont la même forme, donc ils sont semblables et ABDE=ACDF\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}. »

Ce qu'il faut écrire

« (AB)(AB) et (CD)(CD) étant parallèles, les angles OAB^\widehat{OAB} et OCD^\widehat{OCD} sont alternes-internes, donc égaux. Les angles AOB^\widehat{AOB} et COD^\widehat{COD} sont opposés par le sommet, donc égaux. Les triangles OABOAB et OCDOCD sont donc semblables par le cas AA. »

Pourquoi : « La même forme » est une observation, pas une démonstration. Les points de la question sont sur la justification des deux angles égaux, pas sur la proportion qui suit.

8. Confondre le rapport et son inverse

toute la question, avec une longueur quatre fois trop grande ou trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« k=DEAB=2k=\frac{DE}{AB}=2, donc AB=2×DEAB=2\times DE. »

Ce qu'il faut écrire

« k=DEAB=2k=\frac{DE}{AB}=2 signifie DE=2×ABDE=2\times AB : le grand est au-dessus dans le rapport, donc c'est lui qui vaut le double. »

Pourquoi : Le rapport se lit dans le sens où il a été écrit. Le contrôle est immédiat : k>1k>1 veut dire agrandissement, k<1k<1 réduction, et la réponse doit aller dans ce sens.

Quelle méthode choisir

Quel cas invoquer, selon ce que l'énoncé donne

Faites l'inventaire de ce qui est marqué sur la figure ou donné dans le texte : combien d'angles égaux, combien de côtés égaux ou proportionnels, et surtout leur POSITION.

  • Si deux angles égaux dans chaque triangle, aucune longueur → similitude par AA, le cas le plus fréquent en démonstration

    Exemple : un angle commun et deux angles correspondants entre parallèles

    le troisième angle est alors automatiquement égal, il ne faut pas le démontrer

  • Si les trois côtés respectivement égaux → isométrie par CCC

    Exemple : AB=DEAB=DE, BC=EFBC=EF et AC=DFAC=DF

  • Si les trois côtés respectivement proportionnels, même rapport → similitude par CCC

    Exemple : ABDE=BCEF=ACDF=1,5\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=1{,}5

  • Si deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux → isométrie par CAC si les côtés sont égaux, similitude par CAC s'ils sont proportionnels

    Exemple : AB=DEAB=DE, AC=DFAC=DF et A^=D^\widehat{A}=\widehat{D}

    vérifier que l'angle cité est bien entre les deux côtés cités, sinon aucun cas ne s'applique

  • Si deux angles et le côté compris entre eux → isométrie par ACA

    Exemple : B^=E^\widehat{B}=\widehat{E}, BC=EFBC=EF et C^=F^\widehat{C}=\widehat{F}

  • Si deux côtés et un angle NON compris → aucun cas ne s'applique : il faut chercher une autre information sur la figure

    Exemple : AB=DEAB=DE, BC=EFBC=EF et A^=D^\widehat{A}=\widehat{D} ne concluent pas

    c'est le piège classique de l'examen, il est posé exprès

Quand plusieurs cas sont possibles, choisissez celui qui utilise les données MARQUÉES sur la figure : les codages de côtés et d'angles sont là pour indiquer le cas attendu.

Où trouver deux angles égaux dans une figure

Le cas AA ne demande que deux angles. Dans une figure d'examen, ils viennent presque toujours de l'une de ces quatre sources.

  • Si les deux triangles partagent un sommet et un côté → l'angle en ce sommet est COMMUN aux deux triangles, donc égal à lui-même

    Exemple : un triangle et le petit triangle qu'une parallèle y découpe

  • Si deux droites se croisent et les triangles sont de part et d'autre → les angles au point d'intersection sont opposés par le sommet, donc égaux

    Exemple : la configuration en papillon

  • Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante → angles alternes-internes ou correspondants, donc égaux

    Exemple : (AB)(AB) parallèle à (CD)(CD) donne OAB^=OCD^\widehat{OAB}=\widehat{OCD}

  • Si les deux triangles ont chacun un angle droit marqué → les deux angles droits sont égaux, il ne reste qu'un angle à trouver

    Exemple : la hauteur d'un arbre et celle d'un piquet, toutes deux verticales

Un angle égal parce que « ça se voit sur le dessin » ne compte pas. Chaque égalité d'angles doit être justifiée par un nom : commun, opposé par le sommet, alterne-interne, correspondant ou droit.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer que deux triangles sont semblables

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de démontrer une similitude, ou de justifier une proportion entre longueurs.

  1. 1 Nommer les deux triangles, en écrivant les sommets dans l'ordre de la correspondance qu'on va établir.
  2. 2 Justifier la première égalité d'angles en NOMMANT sa raison : angle commun, opposé par le sommet, alterne-interne, correspondant ou droit.
  3. 3 Justifier la deuxième égalité d'angles de la même façon.
  4. 4 Conclure à la similitude en citant le cas utilisé, ici AA.
  5. 5 Écrire ensuite la proportion des côtés homologues, en gardant le premier triangle au numérateur de chaque rapport.

Phrase de conclusion

« Les angles OAB^\widehat{OAB} et OCD^\widehat{OCD} sont alternes-internes entre les parallèles (AB)(AB) et (CD)(CD), donc égaux. Les angles AOB^\widehat{AOB} et COD^\widehat{COD} sont opposés par le sommet, donc égaux. Les triangles OABOAB et OCDOCD sont donc semblables par le cas AA, d'où OAOC=OBOD=ABCD\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}. »

Le piège : Écrire la conclusion avant les justifications, ou citer le cas sans dire quels angles il concerne. Les points sont sur les deux justifications, pas sur la conclusion.

Barème : 1 point par égalité d'angles justifiée, 1 point pour la citation du cas, 1 point pour la proportion correctement orientée.

Calculer une longueur par similitude

Quand l'utiliser : Une figure contient deux triangles emboîtés ou croisés et l'énoncé demande une mesure manquante.

  1. 1 Démontrer d'abord la similitude, ou citer la question précédente qui l'a établie.
  2. 2 Écrire la correspondance des sommets sous la forme ABC∼DEFABC\sim DEF, et l'utiliser pour apparier les côtés.
  3. 3 Écrire la proportion complète, avec les trois rapports, avant de remplacer par les nombres.
  4. 4 Ne garder que les deux rapports qui contiennent l'inconnue et des valeurs connues, puis faire le produit croisé.
  5. 5 Vérifier que le résultat va dans le bon sens : plus grand si k>1k>1, plus petit si k<1k<1.

Phrase de conclusion

« Puisque ABC∼DEFABC\sim DEF avec k=1,5k=1{,}5, on a DEAB=1,5\frac{DE}{AB}=1{,}5, donc DE=1,5×4=6DE=1{,}5\times 4=6 cm. »

Le piège : Remplacer par les nombres avant d'avoir écrit la proportion littérale. Les longueurs se ressemblent toutes une fois chiffrées, et l'appariement se perd.

Barème : 1 point pour la proportion correcte, 1 pour le produit croisé, 1 pour la valeur avec son unité.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

La hauteur d'un arbre, mesurée par son ombre

Un piquet vertical de 1,51{,}5 m projette une ombre de 2,42{,}4 m sur le sol horizontal.

Au même moment, un arbre voisin projette une ombre de 1818 m.

Quelle est la hauteur de cet arbre ?

1,52,4?18 mpiquetarbre
Le piquet et l'arbre sont tous deux verticaux, et les rayons du soleil qui dessinent les deux ombres sont parallèles : les deux triangles ont donc les mêmes angles. Seule la hauteur de l'arbre reste inconnue.

Étape 1

Le piquet et l'arbre sont verticaux sur un sol horizontal : les deux triangles ont chacun un angle droit au pied. Les rayons du soleil étant parallèles, les angles d'élévation du soleil sont correspondants, donc égaux.

Pourquoi

Deux angles égaux suffisent : c'est le cas AA. Cette justification est ce que l'énoncé note; sans elle, la proportion qui suit n'est pas démontrée.

Étape 2

Les deux triangles rectangles sont donc semblables, avec la correspondance : hauteur du piquet avec hauteur de l'arbre, et ombre du piquet avec ombre de l'arbre.

Pourquoi

Écrire la correspondance AVANT de poser la proportion évite d'apparier la hauteur de l'un avec l'ombre de l'autre, ce qui donnerait un résultat absurde sans que rien ne le signale.

Étape 3

Proportion : hauteur de l’arbrehauteur du piquet=ombre de l’arbreombre du piquet\frac{\text{hauteur de l'arbre}}{\text{hauteur du piquet}}=\frac{\text{ombre de l'arbre}}{\text{ombre du piquet}}, c'est-à-dire h1,5=182,4\frac{h}{1{,}5}=\frac{18}{2{,}4}.

Pourquoi

Les deux rapports gardent l'arbre au numérateur et le piquet au dénominateur. C'est la règle qui empêche d'écrire un rapport à l'envers.

Étape 4

Rapport de similitude : k=182,4=7,5k=\frac{18}{2{,}4}=7{,}5. Donc h=1,5×7,5=11,25h=1{,}5\times 7{,}5=11{,}25 m.

Pourquoi

Isoler kk d'abord donne un nombre qu'on peut juger : 7,57{,}5 veut dire que l'arbre est sept fois et demie plus grand que le piquet, ce qui est cohérent avec le dessin.

Étape 5

Vérification par le rapport interne à chaque triangle : 1,52,4=0,625\frac{1{,}5}{2{,}4}=0{,}625 et 11,2518=0,625\frac{11{,}25}{18}=0{,}625. Les deux triangles ont bien la même forme.

Pourquoi

Ce contrôle compare la hauteur à l'ombre DANS chaque triangle, donc par un chemin différent de celui du calcul. Une erreur d'appariement ne peut pas y survivre.

Étape 6

Ordre de grandeur : 11,2511{,}25 m, soit environ la hauteur d'un immeuble de quatre étages. C'est plausible pour un arbre adulte.

Pourquoi

Le dernier réflexe du chapitre : une réponse de 28,828{,}8 m aurait signalé que les rapports ont été croisés, et une réponse de 0,20{,}2 m qu'ils ont été inversés.

Conclusion rédigée

« Les deux triangles étant semblables par le cas AA, le rapport de similitude vaut 7,57{,}5 et l'arbre mesure 11,2511{,}25 m de haut. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire h1,5=2,418\frac{h}{1{,}5}=\frac{2{,}4}{18}, c'est-à-dire croiser les deux ombres. On obtient h=0,2h=0{,}2 m, un arbre de vingt centimètres qui projetterait une ombre de dix-huit mètres : l'absurdité est le signal, et elle doit suffire à faire relire la proportion.

À savoir par cœur

  • • Isométrie : CCC, CAC et ACA. L'angle de CAC doit être COMPRIS entre les deux côtés.
  • • Similitude : AA, CAC et CCC. AA est le cas des démonstrations, deux angles suffisent.
  • • Côté-côté-angle avec l'angle NON compris n'est un cas ni d'isométrie ni de similitude.
  • • Longueurs et périmètres : ×k\times k. Aires : ×k2\times k^{2}. Volumes : ×k3\times k^{3}. Angles : inchangés.
  • • Dans l'autre sens : un rapport d'aires de 99 donne k=3k=3, un rapport de volumes de 88 donne k=2k=2.
  • • ABC∼DEFABC\sim DEF affirme A↔DA\leftrightarrow D, B↔EB\leftrightarrow E, C↔FC\leftrightarrow F : l'ordre porte l'information.
  • • Dans une proportion, le même triangle reste au numérateur de tous les rapports.
  • • Chaque égalité d'angles se justifie par un nom : commun, opposé par le sommet, alterne-interne, correspondant ou droit.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre triangles isométriques et triangles semblables ?

Des triangles isométriques ont exactement les mêmes mesures : mêmes angles et mêmes longueurs, ils se superposent. Des triangles semblables ont les mêmes angles mais des longueurs proportionnelles : c'est la même forme à une autre taille. Tout triangle isométrique à un autre lui est donc semblable, avec un rapport égal à un, mais l'inverse est faux.

Par combien faut-il multiplier l'aire quand le rapport de similitude est k ?

Par k au carré, jamais par k. Un agrandissement étire la figure dans deux directions à la fois, et chacune apporte son facteur. Pour un rapport de un et demi, l'aire est multipliée par deux virgule vingt-cinq. Pour les volumes, c'est k au cube. Dans l'autre sens, un rapport d'aires de neuf correspond à un rapport de longueurs de trois.

Pourquoi côté-côté-angle n'est pas un cas d'isométrie ?

Parce que l'angle doit être compris entre les deux côtés cités. Quand il ne l'est pas, deux triangles différents peuvent partager ces trois mesures : le troisième côté a alors deux longueurs possibles. Le cas s'appelle donc CAC, et le mot compris en est la condition, pas une précision de vocabulaire.

Comment trouver deux angles égaux pour utiliser le cas AA ?

Quatre sources reviennent presque toujours. Un angle commun quand les deux triangles partagent un sommet. Des angles opposés par le sommet quand deux droites se croisent. Des angles alternes-internes ou correspondants quand deux parallèles sont coupées par une sécante. Et deux angles droits quand la figure comporte des verticales ou des hauteurs.

Comment calculer la hauteur d'un arbre avec son ombre ?

On plante un piquet vertical de hauteur connue et on mesure son ombre au même moment. Les rayons du soleil étant parallèles et les deux objets verticaux, les triangles sont semblables par le cas AA. On divise alors l'ombre de l'arbre par celle du piquet pour obtenir le rapport, puis on multiplie la hauteur du piquet par ce rapport.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La similitude et l'isométrie des triangles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
Faire les exercices
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