Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : les figures et les solides équivalents (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les aires et les volumes : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la formule à choisir selon le solide, et ce que le mot « équivalent » autorise ou interdit de conclure.

C'est le chapitre où toutes les formules sont dans l'aide-mémoire et où les points se perdent quand même, parce que la même lettre ne désigne pas la même chose d'un solide à l'autre. Nommer chaque grandeur avant de remplacer supprime la plupart des pertes.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Équivalent ne dit rien de la forme : deux figures équivalentes n'ont en commun QUE leur aire, deux solides que leur volume. C'est précisément ce qui permet d'optimiser un périmètre ou une surface à grandeur fixée.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 15 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La similitude et l'isométrie des triangles Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Lois des exposants et notation scientifique Secondaire 3
2 Équations et inéquations du premier degré Secondaire 3
3 Aire et volume des solides Secondaire 3
4 Figures et solides semblables : k, k², k³ Secondaire 3
5 La similitude et l'isométrie des triangles

Notions couvertes

Figures équivalentes
Solides équivalents
Aire d'une figure plane
Volume d'un prisme
Volume d'une pyramide
Volume d'un cône
Volume d'une sphère
Aire totale d'un solide
Apothème d'un cône
Optimisation du périmètre
Optimisation de l'aire totale

L'essentiel

Équivalent, isométrique, semblable : trois mots à ne pas confondre

• ÉQUIVALENTES : même AIRE, et rien d'autre. Les formes peuvent être totalement différentes, les périmètres aussi.
• ISOMÉTRIQUES : mêmes mesures, donc même aire ET même périmètre. Elles se superposent.
• SEMBLABLES : même forme, aires dans le rapport $k^{2}$ . Deux figures semblables ne sont équivalentes que si $k=1$ .
• Pour les solides, le mot équivalent porte sur le VOLUME : deux solides équivalents peuvent avoir des aires totales très différentes.

Trois figures équivalentes : la même aire de

36

, et trois périmètres différents. C'est le carré, la plus proche du cercle, qui a le plus petit périmètre.

Une question qui dit « équivalentes » donne donc une seule information : une égalité d'aires, ou de volumes. C'est cette égalité qu'il faut poser en équation, jamais une égalité de longueurs.

Les formules, et ce que chaque lettre désigne

• Prisme et cylindre : $V=A_{\text{base}}\times h$ . Pyramide et cône : $V=\frac{A_{\text{base}}\times h}{3}$ . Sphère : $V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$ .
• Cylindre, aire totale : $2\pi r^{2}+2\pi rh$ , soit les deux disques plus le rectangle déroulé.
• Cône, aire totale : $\pi r^{2}+\pi r a$ , où $a$ est l'APOTHÈME, la distance du sommet à un point du bord de la base, et non la hauteur.
• Sphère : $A=4\pi r^{2}$ et $V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$ . L'aire porte le carré, le volume le cube.
• Secteur circulaire d'angle $\theta$ en degrés : $A=\frac{\theta}{360}\times\pi r^{2}$ , et longueur d'arc $=\frac{\theta}{360}\times 2\pi r$ .

Le rayon

r

part du centre de la base, la hauteur

h

tombe droit sur ce centre, l'apothème

a

du cône (orange) longe la paroi jusqu'au bord.

Le contrôle des exposants est gratuit : une aire porte toujours un carré et s'exprime en unités carrées, un volume toujours un cube et s'exprime en unités cubes. Un $r^{3}$ dans un calcul d'aire est une erreur avant même de vérifier le chiffre.

Le principe d'optimisation du chapitre

• À AIRE fixée, plus une figure plane est proche du cercle, plus son périmètre est petit. Parmi les rectangles d'aire donnée, c'est le carré qui gagne.
• À VOLUME fixé, plus un solide est proche de la sphère, plus son aire totale est petite.
• Pour un cylindre de volume donné, l'aire totale est minimale quand la hauteur vaut le DIAMÈTRE, c'est-à-dire $h=2r$ .
• Dans l'autre sens : à périmètre fixé, c'est le cercle qui a la plus grande aire, et à aire totale fixée, c'est la sphère qui a le plus grand volume.

Trois boîtes d'un litre, à l'échelle : la boîte haute et la boîte plate demandent plus de métal que celle dont la hauteur vaut le diamètre (en vert).

En secondaire 4, l'optimisation ne se démontre pas : on compare quelques candidats en dressant un tableau de valeurs, et on lit le minimum. Le tableau fait partie de la réponse attendue.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la hauteur du cône avec son apothème

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cône de rayon $3$ et de hauteur $4$ : aire latérale $=\pi r h=\pi\times 3\times 4\approx 37{,}7$ cm². »

Ce qu'il faut écrire

« L'aire latérale utilise l'APOTHÈME : $a=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{9+16}=5$ , donc $A_{\text{lat}}=\pi r a=\pi\times 3\times 5\approx 47{,}1$ cm². »

La hauteur

h

tombe au centre de la base, l'apothème

a

rejoint le bord : ce sont deux segments différents, reliés par le triangle rectangle

a^{2}=r^{2}+h^{2}

Pourquoi : La hauteur sert au VOLUME, l'apothème sert à l'AIRE. C'est l'erreur qui coûte le plus de points sur le cône, et elle donne un nombre plausible : rien ne la signale sans la vérification par Pythagore.

2. Oublier le tiers sur une pyramide ou un cône

toute la question, avec un volume trois fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cône de rayon $3$ et de hauteur $4$ : $V=\pi r^{2}h=\pi\times 9\times 4\approx 113{,}1$ cm³. »

Ce qu'il faut écrire

« $V=\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi\times 9\times 4}{3}\approx 37{,}7$ cm³. »

Le cône (orange) a la même base et la même hauteur que le cylindre : il n'en occupe que le TIERS.

Pourquoi : Un cône occupe exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. Le contrôle est visuel : un cône ne peut pas contenir autant qu'un cylindre qui l'enveloppe.

3. Échanger les deux formules de la sphère

toute la question, et l'unité de la réponse est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sphère de rayon $6$ : $V=4\pi r^{2}=4\pi\times 36\approx 452{,}4$ cm³. »

Ce qu'il faut écrire

« $V=\frac{4\pi r^{3}}{3}=\frac{4\pi\times 216}{3}\approx 904{,}8$ cm³, et c'est $A=4\pi r^{2}\approx 452{,}4$ cm² qui est l'AIRE. »

Pourquoi : L'exposant trahit la grandeur : un volume porte toujours un cube, une aire toujours un carré. Écrire l'unité avant de calculer suffit à choisir la bonne formule.

4. Sauter la division par $360$ sur un secteur circulaire

toute la question, et une aire plus grande que le disque entier

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Secteur de $60°$ dans un disque de rayon $6$ : $A=\pi r^{2}\times 60\approx 6786$ cm². »

Ce qu'il faut écrire

« $A=\frac{60}{360}\times\pi\times 36=\frac{1}{6}\times 36\pi\approx 18{,}8$ cm². »

Un secteur de

60°

est un des six secteurs égaux du disque : son aire vaut

\frac{60}{360}=\frac{1}{6}

\pi r^{2}

Pourquoi : L'angle en degrés n'est pas un facteur multiplicatif, c'est une FRACTION du tour complet. Le contrôle est immédiat : un secteur est plus petit que son disque, ici $113$ cm².

5. Additionner les arêtes au lieu des volumes dans une refonte

toute la question, 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois cubes d'arêtes $3$ , $4$ et $5$ sont fondus en un seul : l'arête du nouveau cube vaut $3+4+5=12$ cm. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce sont les VOLUMES qui s'additionnent : $27+64+125=216$ cm³, donc l'arête vaut $\sqrt[3]{216}=6$ cm. »

Pourquoi : Fondre conserve la matière, donc le volume, jamais les longueurs. Un cube d'arête $12$ aurait un volume de $1728$ cm³, huit fois trop : l'absurdité est le signal.

6. Déduire l'égalité des périmètres de l'équivalence des aires

toute la question, et le raisonnement d'optimisation devient impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux figures sont équivalentes, donc elles ont aussi le même périmètre. »

Ce qu'il faut écrire

« Équivalentes veut dire même AIRE seulement. Un rectangle $9\times 4$ et un carré $6\times 6$ ont tous deux une aire de $36$ , mais des périmètres de $26$ et de $24$ . »

Pourquoi : Si l'équivalence entraînait l'égalité des périmètres, tout le chapitre de l'optimisation n'aurait pas de sens : c'est justement parce que les périmètres diffèrent qu'il existe un minimum à chercher.

7. Oublier les deux disques dans l'aire totale d'un cylindre

2 points, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cylindre de rayon $5$ et de hauteur $10$ : $A_{T}=2\pi rh=2\pi\times 5\times 10\approx 314{,}2$ cm². »

Ce qu'il faut écrire

« $A_{T}=2\pi r^{2}+2\pi rh=157{,}1+314{,}2\approx 471{,}2$ cm². Le $2\pi rh$ seul est l'aire LATÉRALE. »

Le patron du cylindre : le rectangle de l'aire latérale,

2\pi r

sur

h

, et les deux disques (en vert) qui ferment la boîte.

Pourquoi : L'énoncé distingue toujours aire latérale et aire totale, et le mot « totale » inclut les deux bases. Une boîte de conserve sans ses deux couvercles n'est pas une boîte fermée.

8. Mélanger les unités dans un même calcul

toute la question, avec un facteur

100

d'écart

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Base de $2$ m sur $150$ cm et hauteur de $3$ m : $V=2\times 150\times 3=900$ m³. »

Ce qu'il faut écrire

« On convertit d'abord : $150$ cm $=1{,}5$ m, donc $V=2\times 1{,}5\times 3=9$ m³. »

Pourquoi : Une multiplication de grandeurs exige la même unité partout. Le contrôle d'ordre de grandeur tranche seul : $900$ mètres cubes, c'est le volume d'une piscine olympique, pas d'un bac de jardin.

Quelle méthode choisir

Quelle formule de volume, selon le solide

Regardez d'abord si le solide se termine en pointe. C'est ce qui décide de la présence du tiers.

Côtés droits entre deux bases : base fois hauteur. Une pointe : le tiers. Un assemblage : on découpe et on additionne.

Si deux bases identiques et parallèles, des côtés droits → prisme ou cylindre : $V=A_{\text{base}}\times h$

Exemple : cylindre de rayon $5$ et de hauteur $10$ : $V=\pi\times 25\times 10\approx 785{,}4$ cm³

$h$ est la hauteur perpendiculaire, pas une arête oblique
Si une base et un sommet, donc une pointe → pyramide ou cône : $V=\frac{A_{\text{base}}\times h}{3}$

Exemple : cône de rayon $3$ et de hauteur $4$ : $V\approx 37{,}7$ cm³

le tiers vient de ce qu'une pointe occupe le tiers du solide droit qui l'enveloppe
Si pas de face plane du tout → sphère : $V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$

Exemple : sphère de rayon $6$ : $V\approx 904{,}8$ cm³
Si le solide est un assemblage de plusieurs formes → décomposer, calculer chaque volume séparément, puis additionner

Exemple : un silo est un cylindre surmonté d'un demi-boule

ne jamais additionner les hauteurs ou les rayons, seulement les volumes
Si on donne le volume et on cherche une longueur → isoler la lettre cherchée dans la formule, puis racine carrée ou cubique selon son exposant

Exemple : $V=216$ pour un cube donne $c=\sqrt[3]{216}=6$

Sur un cône, deux longueurs se ressemblent : la hauteur $h$ , qui va au volume, et l'apothème $a$ , qui va à l'aire latérale. Les relier par $a^{2}=r^{2}+h^{2}$ est presque toujours la première ligne à écrire.

Optimiser une grandeur à l'autre fixée

Repérez ce qui est FIXÉ par l'énoncé et ce qu'il faut rendre minimal ou maximal. Le principe est toujours le même : la forme gagnante est la plus proche du cercle ou de la sphère.

Quatre figures de même périmètre

24

: plus la forme approche le cercle (en vert), plus l'aire grandit.

Si l'aire est fixée, on cherche le périmètre minimal → la figure la plus proche du cercle, donc le carré parmi les rectangles

Exemple : à aire $36$ , le carré $6\times 6$ donne $P=24$ , contre $26$ pour le $9\times 4$
Si le périmètre est fixé, on cherche l'aire maximale → encore la figure la plus proche du cercle : c'est le même principe, lu dans l'autre sens

Exemple : à périmètre $24$ , le carré $6\times 6$ donne $36$ , contre $32$ pour le $8\times 4$
Si le volume est fixé, on cherche l'aire totale minimale → le solide le plus proche de la sphère; pour un cylindre, celui dont la hauteur vaut le diamètre

Exemple : pour $1$ litre, le cylindre optimal a un rayon d'environ $5{,}4$ cm et une hauteur d'environ $10{,}8$ cm
Si l'énoncé parle de coût de fabrication ou de quantité de matériau → c'est une optimisation d'AIRE déguisée : le matériau se compte en unités carrées

Exemple : minimiser le carton d'une boîte revient à minimiser son aire totale

quand les faces ont des prix différents, l'aire de chaque face se multiplie par son prix avant d'additionner

En secondaire 4, on ne dérive pas : on dresse un tableau de trois à cinq candidats, on calcule la grandeur à optimiser pour chacun, et on lit le minimum. Le tableau doit apparaître sur la copie, c'est lui qui est noté.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre un problème d'équivalence

Quand l'utiliser : L'énoncé dit que deux figures ou deux solides sont équivalents, ou qu'un objet est refondu, transvasé ou remodelé.

1 Écrire ce que l'équivalence signifie ici, en une phrase : « les deux solides ont le même volume ».
2 Calculer la grandeur commune à partir de la figure entièrement connue, avec son unité.
3 Poser l'équation qui exprime l'égalité, la grandeur inconnue dans le second membre.
4 Isoler l'inconnue, en prenant la racine carrée pour une aire et la racine cubique pour un volume.
5 Vérifier en recalculant la grandeur commune à partir du résultat trouvé, puis conclure avec l'unité.

Phrase de conclusion

« Les trois cubes fondus ont un volume total de $27+64+125=216$ cm³. Le cube obtenu ayant le même volume, son arête vaut $\sqrt[3]{216}=6$ cm. »

Le piège : Écrire une égalité de longueurs au lieu d'une égalité d'aires ou de volumes. Le mot « équivalent » ne porte jamais sur les dimensions.

Barème : 1 point pour l'énoncé de l'équivalence, 2 pour le calcul de la grandeur commune, 1 pour l'inconnue isolée, 1 pour l'unité.

Justifier un choix d'optimisation par un tableau

Quand l'utiliser : L'énoncé demande la forme la plus économique, le périmètre minimal, ou le contenant à coût minimal.

1 Nommer la grandeur FIXÉE et la grandeur à optimiser, en une phrase.
2 Exprimer la seconde dimension en fonction de la première, à l'aide de la contrainte fixée.
3 Dresser un tableau d'au moins trois candidats : une ligne par valeur essayée, avec toutes les grandeurs calculées.
4 Souligner la ligne qui donne le minimum, ou le maximum, selon la question.
5 Conclure par une phrase qui donne les dimensions retenues ET la valeur optimisée, avec les unités.
6 Ajouter la justification théorique quand elle est connue : la forme retenue est la plus proche du cercle ou de la sphère.

Phrase de conclusion

« Parmi les rayons essayés, c'est $r=5$ cm qui donne la plus petite aire totale, environ $557$ cm², avec une hauteur d'environ $12{,}7$ cm. Ce résultat est cohérent avec le principe selon lequel le cylindre optimal a une hauteur voisine de son diamètre. »

Le piège : Donner la réponse sans le tableau. Le tableau EST la démonstration en secondaire 4, la conclusion seule ne vaut presque rien.

Barème : 2 points pour l'expression de la contrainte, 2 pour le tableau complet, 1 pour la conclusion avec unités.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'unité de la réponse est-elle la bonne ?

Une longueur se donne en cm, une aire en cm², un volume en cm³. Relisez la question et comparez à l'exposant qui apparaît dans votre formule : ils doivent concorder.

Une réponse en cm² à une question de volume signale que $4\pi r^{2}$ a été utilisé à la place de $\frac{4\pi r^{3}}{3}$ .
La partie est-elle plus petite que le tout ?

Un secteur est plus petit que son disque, un cône plus petit que le cylindre qui l'enveloppe, une aire latérale plus petite qu'une aire totale. Une comparaison de tête suffit.

Un secteur de $6786$ cm² dans un disque de $113$ cm² est impossible : la division par $360$ a été oubliée.
Le retour en arrière

Reprenez la longueur trouvée et recalculez le volume ou l'aire de départ. Vous devez retomber exactement sur la valeur donnée par l'énoncé.

Une arête de $6$ cm donne $6^{3}=216$ cm³, la valeur cherchée. Une arête de $12$ donnerait $1728$ , huit fois trop.
Toutes les longueurs sont-elles dans la même unité ?

Avant de multiplier, balayez les données : mètres, centimètres, millimètres. Convertissez tout dans l'unité de la réponse demandée, et faites-le sur la copie.

Mélanger $2$ m et $150$ cm dans un produit donne un résultat cent fois trop grand, sans que le calcul lui-même soit faux.
L'ordre de grandeur du résultat

Comparez à un objet familier : une canette fait environ $355$ cm³, une bouteille d'eau $500$ cm³, un ballon de basketball environ $7000$ cm³. Une réponse hors de ces échelles doit être relue.

Un volume de $900$ mètres cubes pour un bac de jardin est absurde : c'est le volume d'une piscine olympique divisé par trois.

L'exercice type décortiqué

Fondre trois cubes : ce qui se conserve et ce qui se perd

Trois cubes de métal, d'arêtes $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm, sont fondus pour former un seul cube.

Quelle est l'arête de ce cube ?

Compare l'aire totale des trois cubes de départ à celle du cube obtenu.

Les trois cubes de départ, dessinés à l'échelle. La fonte conserve la matière, donc le VOLUME total; l'arête du cube obtenu ne se lit sur aucune de ces trois figures.

Étape 1

Fondre conserve la matière, donc le VOLUME. Ce sont les volumes qui s'additionnent, jamais les arêtes ni les aires.

Pourquoi

C'est la ligne qui décide de toute la question. Écrite explicitement, elle vaut un point et elle empêche le réflexe d'additionner $3+4+5$ .

Étape 2

Volume total : $V=3^{3}+4^{3}+5^{3}=27+64+125=216$ cm³.

Pourquoi

On calcule chaque cube séparément avant d'additionner. La somme $216$ est la seule grandeur qui traverse la transformation, tout le reste va changer.

Étape 3

Le cube obtenu a le même volume, donc son arête $c$ vérifie $c^{3}=216$ , d'où $c=\sqrt[3]{216}=6$ cm.

Pourquoi

L'exposant $3$ du volume impose une racine CUBIQUE. Prendre la racine carrée donnerait $14{,}7$ , une arête plus grande que celle des trois cubes réunis.

Étape 4

Aire totale des trois cubes de départ : $6\times(3^{2}+4^{2}+5^{2})=6\times(9+16+25)=6\times 50=300$ cm².

Pourquoi

Un cube a six faces carrées. Regrouper le facteur $6$ évite trois multiplications et rend le calcul vérifiable d'un coup d'œil.

Étape 5

Aire totale du cube obtenu : $6\times 6^{2}=6\times 36=216$ cm².

Pourquoi

Même volume, et pourtant $84$ cm² de surface en moins. C'est la démonstration concrète que l'équivalence porte sur le volume seul.

Étape 6

Comparaison : $300-216=84$ cm² de moins, soit $\frac{84}{300}=0{,}28$ , une réduction de $28$ pour cent.

Pourquoi

Le pourcentage rend la perte lisible. Il illustre le principe du chapitre : un seul gros solide expose moins de surface que plusieurs petits de même volume total.

Étape 7

Pour aller au bout du principe : une SPHÈRE de volume $216$ cm³ aurait un rayon $r=\sqrt[3]{\frac{3\times 216}{4\pi}}\approx 3{,}72$ cm et une aire de $4\pi r^{2}\approx 174$ cm², encore moins que les $216$ cm² du cube.

Pourquoi

La sphère est le solide qui minimise l'aire à volume fixé. Ce calcul de contrôle confirme le principe d'optimisation sur un cas concret, et il tombe souvent en dernière sous-question.

Conclusion rédigée

« Le cube obtenu a une arête de $6$ cm. Son aire totale, $216$ cm², est inférieure de $84$ cm² à celle des trois cubes de départ, soit une réduction de $28$ pour cent, alors que le volume, lui, n'a pas changé. »

L'erreur classique sur cet exercice : Additionner les arêtes et répondre $12$ cm. Ce cube aurait un volume de $1728$ cm³, huit fois le volume disponible : le métal ne se crée pas en fondant, et cette impossibilité doit suffire à faire relire la première ligne.

À savoir par cœur

• Équivalentes : même AIRE seulement. Équivalents : même VOLUME seulement. Rien sur les périmètres ni les aires totales.
• Prisme et cylindre : $V=A_{\text{base}}\times h$ . Pyramide et cône : le même, DIVISÉ PAR 3.
• Sphère : $V=\frac{4\pi r^{3}}{3}$ et $A=4\pi r^{2}$ . Le cube pour le volume, le carré pour l'aire.
• Cône : la HAUTEUR sert au volume, l'APOTHÈME sert à l'aire latérale, et $a^{2}=r^{2}+h^{2}$ .
• Cylindre, aire totale : $2\pi r^{2}+2\pi rh$ . Le second terme seul est l'aire latérale.
• Secteur : l'angle en degrés se divise par $360$ , c'est une fraction du tour, pas un facteur.
• Dans une refonte, ce sont les VOLUMES qui s'additionnent, jamais les arêtes.
• À aire fixée, le périmètre minimal va à la figure la plus proche du cercle; à volume fixé, l'aire minimale va au solide le plus proche de la sphère.
• Cylindre optimal à volume fixé : la hauteur vaut le DIAMÈTRE, soit $h=2r$ .

Questions fréquentes

Que veut dire exactement figures équivalentes en secondaire 4 ?

Que les deux figures ont la même aire, et rien de plus. Leurs formes peuvent être totalement différentes, et leurs périmètres aussi. Pour des solides, le mot porte sur le volume : deux solides équivalents ont le même volume mais peuvent avoir des aires totales très éloignées. C'est justement cet écart qui rend possibles les questions d'optimisation.

Quelle différence entre la hauteur et l'apothème d'un cône ?

La hauteur va du sommet au centre de la base, perpendiculairement. L'apothème va du sommet à un point du bord de la base, le long de la surface. Les deux forment un triangle rectangle avec le rayon, donc l'apothème au carré vaut le rayon au carré plus la hauteur au carré. La hauteur sert au volume, l'apothème sert à l'aire latérale.

Pourquoi divise-t-on par trois pour le volume d'un cône ou d'une pyramide ?

Parce qu'un solide qui se termine en pointe occupe exactement le tiers du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. On peut le vérifier en transvasant : il faut trois cônes pleins de sable pour remplir un cylindre de mêmes dimensions. Oublier ce tiers donne un volume trois fois trop grand.

Quelle forme donne le plus petit périmètre pour une aire donnée ?

Celle qui est la plus proche du cercle. Parmi les rectangles d'aire donnée, c'est le carré qui gagne : à aire trente-six, le carré six par six a un périmètre de vingt-quatre, contre vingt-six pour un rectangle neuf par quatre. Pour les solides, le principe équivalent est que la sphère minimise l'aire totale à volume fixé.

Comment justifier une optimisation sans faire de dérivée ?

En dressant un tableau. On exprime la seconde dimension à l'aide de la contrainte fixée, on essaie trois à cinq valeurs, on calcule la grandeur à optimiser pour chacune, puis on lit le minimum. Ce tableau est la démonstration attendue en secondaire 4 : la conclusion donnée sans lui ne vaut presque aucun point.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les figures et les solides équivalents

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn4-figures-solides-equivalents. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les figures et les solides équivalents (SN4)

L'essentiel

Équivalent, isométrique, semblable : trois mots à ne pas confondre

Les formules, et ce que chaque lettre désigne

Le principe d'optimisation du chapitre

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre la hauteur du cône avec son apothème

2. Oublier le tiers sur une pyramide ou un cône

3. Échanger les deux formules de la sphère

4. Sauter la division par 360360360 sur un secteur circulaire

5. Additionner les arêtes au lieu des volumes dans une refonte

6. Déduire l'égalité des périmètres de l'équivalence des aires

7. Oublier les deux disques dans l'aire totale d'un cylindre

8. Mélanger les unités dans un même calcul

Quelle méthode choisir

Quelle formule de volume, selon le solide

Optimiser une grandeur à l'autre fixée

La rédaction attendue

Résoudre un problème d'équivalence

Justifier un choix d'optimisation par un tableau

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Fondre trois cubes : ce qui se conserve et ce qui se perd

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Que veut dire exactement figures équivalentes en secondaire 4 ?

Quelle différence entre la hauteur et l'apothème d'un cône ?

Pourquoi divise-t-on par trois pour le volume d'un cône ou d'une pyramide ?

Quelle forme donne le plus petit périmètre pour une aire donnée ?

Comment justifier une optimisation sans faire de dérivée ?

Exercices corrigés : Les figures et les solides équivalents

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