Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Trigonométrie

Fiche de révision : la résolution de triangles (math SN4)

Q: Quand utiliser la loi des sinus et quand la loi des cosinus ?

La loi des sinus exige de connaître un angle et le côté qui lui fait face, ce qu'on appelle une paire complète. Sans cette paire, elle est inutilisable et il faut la loi des cosinus, qui s'applique dans deux cas : deux côtés avec l'angle compris entre eux, ou les trois côtés. Le choix dépend de ce qu'on connaît, jamais de ce qu'on cherche.

Q: Qu'est-ce que le cas ambigu en résolution de triangles ?

C'est la situation où l'énoncé donne deux côtés et un angle qui n'est pas compris entre eux. La loi des sinus donne alors un sinus, mais deux angles supplémentaires ont le même sinus, donc deux triangles différents peuvent convenir. Il faut calculer le supplément de l'angle trouvé et vérifier si la somme avec l'angle connu reste sous cent quatre-vingts degrés.

Q: Pourquoi la calculatrice donne toujours l'angle aigu ?

Parce que la fonction inverse du sinus ne peut rendre qu'une seule valeur, et la convention retient celle comprise entre moins quatre-vingt-dix et quatre-vingt-dix degrés. Or le sinus d'un angle obtus vaut exactement celui de son supplément aigu. C'est pour cela qu'on préfère la loi des cosinus quand elle s'applique : son cosinus est négatif pour un angle obtus.

Q: Quel angle utiliser dans la formule de l'aire d'un triangle ?

Celui qui est compris entre les deux côtés employés dans la formule. La formule vient de la hauteur abaissée depuis un sommet, et cette hauteur vaut un côté multiplié par le sinus de l'angle qu'il forme avec l'autre. Utiliser un angle opposé plutôt que compris donne un résultat plausible mais faux, que rien ne signale.

Q: Comment savoir si un triangle est possible avec trois côtés donnés ?

Chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres : c'est l'inégalité triangulaire. Trois additions suffisent à la vérifier. Si le triangle est impossible, la loi des cosinus donne un cosinus dont la valeur absolue dépasse un, ce qui est un second signal, et il faut alors conclure que le triangle n'existe pas.

Cette fiche ne refait pas le cours sur la résolution de triangles : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la façon sûre de choisir la loi, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 4 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Le choix de la loi ne dépend jamais de ce qu'on cherche, mais de ce qu'on CONNAÎT : la loi des sinus exige une paire complète, un angle et son côté opposé; sans cette paire, c'est la loi des cosinus, sans exception. Le second obstacle est le cas ambigu : quand l'énoncé donne deux côtés et un angle NON compris, la loi des sinus peut décrire deux triangles différents, et rendre un seul des deux coûte la moitié de la question.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle

L'essentiel

Les deux lois, et ce qu'elles exigent

• LOI DES SINUS : $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ , où le côté $a$ est OPPOSÉ à l'angle $A$ .
• Elle exige une PAIRE COMPLÈTE : un angle et le côté qui lui fait face. Sans cette paire, elle est inutilisable.
• LOI DES COSINUS : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ , où $A$ est l'angle COMPRIS entre les côtés $b$ et $c$ .
• Elle s'utilise dans deux cas : deux côtés et l'angle compris, ou les trois côtés.
• Somme des angles : $A+B+C=180°$ . C'est souvent la façon la plus rapide de trouver le troisième angle.

La loi des cosinus contient Pythagore : quand $A=90°$ , le cosinus s'annule et il reste $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ . Ce n'est donc pas une formule de plus, c'est Pythagore généralisé.

L'aire, et quel angle utiliser

• $\mathcal{A}=\frac{1}{2}ab\sin C$ : les deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux, jamais un autre.
• Formule de Héron : $\mathcal{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ avec $s=\frac{a+b+c}{2}$ , quand on connaît les trois côtés.
• $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{hauteur}$ reste valable, et la hauteur se calcule souvent par un sinus.
• Les trois formules donnent le même résultat : on choisit celle qui utilise les données de l'énoncé.
• Une aire est toujours positive : un résultat négatif signale un angle ou un côté mal reporté.

Dans $\frac{1}{2}ab\sin C$ , l'angle $C$ doit être celui que forment les côtés $a$ et $b$ . Utiliser un autre angle donne une valeur plausible mais fausse, et rien dans le calcul ne le signale.

Le cas ambigu, en trois questions

• Il survient quand l'énoncé donne deux côtés et un angle NON compris entre eux.
• La loi des sinus donne alors $\sin B$ , mais $\sin B=\sin(180°-B)$ : deux angles ont le même sinus.
• La calculatrice ne rend que l'angle AIGU : le second candidat est son supplément, $180°-B$ .
• Le second triangle existe si et seulement si $A+(180°-B)<180°$ , c'est-à-dire si $180°-B$ laisse de la place.
• Il faut donc TOUJOURS calculer le supplément et tester cette condition, puis conclure sur le nombre de triangles.

Ce cas ne se présente jamais avec la loi des cosinus, qui donne un cosinus dont le signe distingue à lui seul l'angle aigu de l'angle obtus. C'est un argument de plus pour la préférer quand elle s'applique.

L'ordre de résolution d'un triangle

• 1. Faire un CROQUIS, même approximatif, et y placer toutes les données avec leurs noms.
• 2. Choisir la loi selon ce qu'on connaît, pas selon ce qu'on cherche.
• 3. Chercher en premier le plus GRAND côté ou le plus GRAND angle avec la loi des cosinus : cela évite le cas ambigu.
• 4. Terminer par la somme des angles, qui est exacte et gratuite.
• 5. Vérifier la cohérence : au plus grand côté correspond le plus grand angle, et la somme fait $180°$ .

Astuce de sécurité : après avoir trouvé le troisième côté par la loi des cosinus, chercher le PLUS PETIT angle avec la loi des sinus. Un petit angle est forcément aigu, donc l'ambiguïté disparaît.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Utiliser la loi des sinus sans paire complète

toute la question, et l'équation obtenue a deux inconnues

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On connaît $b=7$ , $c=9$ et $A=50°$ : j'applique $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Aucune paire angle-côté opposé n'est connue : la loi des sinus ne s'applique pas. On utilise la loi des cosinus, $a^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 50°$ , qui donne $a\approx 7{,}00$ . »

Pourquoi : La loi des sinus relie des RAPPORTS entre un côté et le sinus de l'angle opposé : sans un rapport complètement connu, l'égalité contient deux inconnues et ne se résout pas. Le test avant d'écrire : ai-je un angle ET son côté opposé ?

2. Oublier le second triangle du cas ambigu

la moitié de la question, quel que soit le soin du reste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a=8$ , $b=10$ et $A=40°$ : la loi des sinus donne $\sin B\approx 0{,}803$ , donc $B\approx 53{,}5°$ . Le triangle est résolu. »

Ce qu'il faut écrire

« $B\approx 53{,}5°$ ou $B\approx 126{,}5°$ , son supplément. Comme $40°+126{,}5°=166{,}5°<180°$ , les DEUX triangles existent et il faut résoudre les deux. »

Le côté

a=8

pivote autour de

C

et rencontre le rayon DEUX fois : les deux triangles existent, et l'énoncé attend les deux réponses.

Pourquoi : Deux angles supplémentaires ont le même sinus, et la calculatrice ne rend que l'aigu. Le supplément se calcule donc systématiquement, puis on teste s'il laisse de la place : c'est deux lignes, et cela vaut plusieurs points.

3. Manquer l'angle obtus avec la loi des sinus

2 points, et un triangle dont la somme des angles ne fait pas $180°$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le plus grand côté mesure $12$ et la loi des sinus donne l'angle opposé $\approx 65°$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Un angle obtus a le même sinus que son supplément : si le triangle en contient un, il faut le vérifier. La loi des COSINUS aurait tranché seule, car son cosinus serait négatif. »

Pourquoi : Le sinus est positif dans les deux premiers quadrants, donc il ne distingue pas un angle aigu d'un angle obtus. Le cosinus, lui, est négatif pour un angle obtus : la loi des cosinus est donc la seule qui donne un angle sans ambiguïté.

4. Utiliser l'aire avec un angle non compris

toute la question, et le résultat est plausible donc indétectable sans le croquis

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a=6$ , $b=8$ et $A=40°$ : l'aire vaut $\frac{1}{2}(6)(8)\sin 40°\approx 15{,}4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La formule exige l'angle COMPRIS entre les deux côtés utilisés. Ici $A$ est opposé à $a$ , il faut donc d'abord trouver $C$ , l'angle entre $a$ et $b$ . »

Pourquoi : La formule $\frac{1}{2}ab\sin C$ vient de la hauteur $b\sin C$ abaissée sur le côté $a$ : elle n'a de sens que si $C$ est l'angle entre eux. Un croquis avec les trois lettres placées règle la question avant tout calcul.

5. Laisser la calculatrice en mode radian pour des degrés

toute la question, et l'erreur passe inaperçue car aucun message ne s'affiche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin 40°$ : la calculatrice affiche $0{,}745$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin 40°\approx 0{,}643$ . La valeur $0{,}745$ est $\sin(40\text{ rad})$ : la machine était en mode radian alors que l'énoncé donne des degrés. »

Pourquoi : Ce chapitre travaille en DEGRÉS, contrairement aux fonctions trigonométriques : le mode doit donc être changé. Le contrôle avant l'examen est immédiat, $\sin 30°$ doit afficher exactement $0{,}5$ .

6. Se tromper de côté opposé dans la loi des cosinus

toute la question, et un côté qui ne respecte pas l'inégalité triangulaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ : l'angle utilisé est celui qui est OPPOSÉ au côté isolé, donc celui compris entre les deux autres. »

Le côté isolé est

a

, et l'angle de la formule est celui qui lui fait FACE, donc

A

, coincé entre les deux autres côtés

b

c

. Tout autre angle donne un résultat faux.

Pourquoi : La formule s'écrit toujours avec la même lettre à gauche et sous le cosinus : le côté cherché et l'angle opposé portent le même nom. Le contrôle est l'inégalité triangulaire, qu'un résultat faux viole presque toujours.

7. Arrondir les angles intermédiaires

1 point de précision, et parfois davantage sur un problème de terrain

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $B\approx 53°$ , donc $C=180-40-53=87°$ , puis $c=\frac{8\sin 87°}{\sin 40°}\approx 12{,}4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On garde $B\approx 53{,}46°$ , donc $C\approx 86{,}54°$ et $c\approx 12{,}42$ . L'arrondi des étapes intermédiaires se propage jusqu'au résultat. »

Pourquoi : Un demi-degré d'écart sur un angle change plusieurs centimètres sur un côté de dix mètres. On garde donc toutes les décimales de la calculatrice jusqu'à la dernière ligne, et on n'arrondit qu'une seule fois, à la précision demandée.

8. Accepter un triangle impossible sans réagir

toute la question, et un angle inventé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a=3$ , $b=4$ et $c=9$ : la loi des cosinus donne $\cos C=\frac{9+16-81}{24}\approx -2{,}33$ , donc $C\approx\ldots$ »

Ce qu'il faut écrire

« Un cosinus vaut au plus $1$ en valeur absolue : la valeur $-2{,}33$ est impossible, donc ce triangle n'existe pas. En effet $3+4<9$ viole l'inégalité triangulaire. »

Les deux petits côtés mis bout à bout font

7

, alors que le troisième mesure

9

: ils ne se rejoignent jamais. C'est ce que signale un cosinus hors de

[-1\,;1]

Pourquoi : Un cosinus hors de $[-1;1]$ signale toujours un triangle impossible, et l'inégalité triangulaire le confirme en une addition. Constater et écrire cette impossibilité est la réponse attendue, et elle vaut le point entier.

Quelle méthode choisir

Quelle loi, selon ce que l'énoncé donne

Ne regardez pas ce qu'on cherche, regardez ce qu'on CONNAÎT. Faites le croquis, entourez les données, et posez-vous une seule question : ai-je un angle avec son côté opposé ?

Si un angle et SON côté opposé sont connus, plus une autre donnée → LOI DES SINUS : le rapport complet est connu, il sert de pivot

Exemple : $A=40°$ , $a=8$ et $b=10$ : $\frac{8}{\sin 40°}=\frac{10}{\sin B}$

Attention : si la donnée supplémentaire est un CÔTÉ, on est dans le cas ambigu et il faut traiter les deux triangles.
Si deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux → LOI DES COSINUS pour trouver le troisième côté, sans ambiguïté possible

Exemple : $b=7$ , $c=9$ et $A=50°$ : $a^{2}=49+81-2(7)(9)\cos 50°$
Si les TROIS côtés sont connus → LOI DES COSINUS réarrangée : $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

Exemple : $a=5$ , $b=6$ , $c=7$ : $\cos A=\frac{36+49-25}{84}$ , donc $A\approx 44{,}4°$

Commencer par le PLUS GRAND côté : son angle est le plus grand, et le signe du cosinus dit s'il est obtus.
Si deux angles et un côté quelconque → trouver le troisième angle par la somme, puis loi des SINUS pour les côtés

Exemple : $A=40°$ , $B=60°$ , $c=10$ : alors $C=80°$ , puis $\frac{a}{\sin 40°}=\frac{10}{\sin 80°}$

La somme des angles est gratuite et exacte : elle crée une paire complète là où il n'y en avait pas.
Si deux côtés et un angle NON compris → loi des sinus, PUIS test du cas ambigu : calculer le supplément et vérifier s'il laisse de la place

Exemple : $a=8$ , $b=10$ , $A=40°$ : $B\approx 53{,}5°$ ou $126{,}5°$ , et les deux conviennent

C'est le seul cas où la réponse peut comporter DEUX triangles complets.
Si on cherche l'AIRE → $\frac{1}{2}ab\sin C$ avec l'angle compris, ou Héron si les trois côtés sont connus

Exemple : $a=6$ , $b=8$ , $C=40°$ : $\mathcal{A}=\frac{1}{2}(6)(8)\sin 40°\approx 15{,}4$

Aucune branche ne s'applique quand les données violent l'inégalité triangulaire, ou quand seuls les trois angles sont connus : dans le premier cas le triangle n'existe pas, dans le second il en existe une infinité de tailles différentes. Les deux constats valent leur point.

Traiter le cas ambigu, en trois tests

Deux côtés et un angle non compris : c'est le seul cas ambigu du programme. Trois tests suffisent à conclure sur le nombre de triangles.

Si la loi des sinus donne $\sin B>1$ → AUCUN triangle n'existe : la valeur est hors des bornes du sinus

Exemple : $a=4$ , $b=10$ , $A=40°$ : $\sin B=\frac{10\sin 40°}{4}\approx 1{,}61>1$

Ce cas se produit quand le côté opposé à l'angle connu est trop court pour atteindre l'autre côté.
Si $\sin B=1$ exactement → UN seul triangle, rectangle en $B$

Exemple : le côté opposé vaut exactement la hauteur, et le triangle est unique
Si $\sin B<1$ et $A+(180°-B)<180°$ → DEUX triangles : il faut résoudre les deux complètement et présenter les deux réponses

Exemple : $a=8$ , $b=10$ , $A=40°$ : $B\approx 53{,}5°$ ou $126{,}5°$ , et $40+126{,}5=166{,}5<180$
Si $\sin B<1$ mais $A+(180°-B)\ge 180°$ → UN seul triangle : le supplément ne laisse pas de place au troisième angle

Exemple : $a=12$ , $b=10$ , $A=40°$ : $B\approx 32{,}4°$ , et $40+147{,}6=187{,}6>180$ , donc le second est rejeté

Cela arrive dès que le côté opposé à l'angle connu est le plus long : $a>b$ garantit un triangle unique.
Si l'angle connu est OBTUS → un seul triangle au plus : un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus

Exemple : $A=110°$ : le second candidat pour $B$ serait obtus lui aussi, donc impossible

Le raccourci qui évite tout ce travail : quand c'est possible, chercher d'abord le PLUS PETIT angle avec la loi des sinus. Un plus petit angle est nécessairement aigu, donc son supplément est à rejeter sans discussion.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre complètement un triangle

Quand l'utiliser : L'énoncé donne trois éléments d'un triangle et demande les trois autres, ou dit simplement « résoudre le triangle ».

1 Faire un CROQUIS et y placer toutes les données, en nommant chaque côté par la minuscule de l'angle opposé.
2 Identifier le cas : deux côtés et l'angle compris, trois côtés, deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non compris.
3 Annoncer la loi choisie et POURQUOI : « on connaît deux côtés et l'angle compris, donc loi des cosinus ».
4 Calculer le premier élément inconnu, en gardant toutes les décimales de la calculatrice.
5 Si le cas est ambigu, calculer le supplément et tester s'il laisse de la place au troisième angle.
6 Terminer par la somme des angles pour le dernier angle, puis par la loi des sinus pour le dernier côté.
7 VÉRIFIER la cohérence : somme des angles égale à $180°$ , et le plus grand côté face au plus grand angle.

Phrase de conclusion

« On connaît $b=7$ , $c=9$ et l'angle compris $A=50°$ : on applique donc la loi des cosinus. On a $a^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 50°\approx 49{,}01$ , d'où $a\approx 7{,}00$ . Puis, comme $b=7$ est l'un des deux plus petits côtés, l'angle $B$ est aigu et la loi des sinus donne $\sin B=\frac{7\sin 50°}{7{,}00}$ , soit $B\approx 50{,}0°$ , et enfin $C\approx 80{,}0°$ . La somme vaut bien $180°$ . »

Le piège : Chercher le plus GRAND angle avec la loi des sinus. Il pourrait être obtus, et la calculatrice ne rendrait que son supplément aigu. On cherche donc toujours le plus petit angle par la loi des sinus, ou n'importe lequel par la loi des cosinus.

Barème : 1 point la loi choisie et justifiée, 1 point le premier calcul, 1 point le traitement de l'ambiguïté ou de l'angle obtus, 1 point les éléments restants et la vérification.

Traiter et présenter un cas ambigu

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux côtés et un angle qui n'est PAS compris entre eux, c'est-à-dire un angle opposé à l'un des deux côtés.

1 Repérer et ANNONCER la configuration : « deux côtés et un angle non compris, il y a un risque d'ambiguïté ».
2 Appliquer la loi des sinus pour obtenir le sinus de l'angle inconnu.
3 Si ce sinus dépasse $1$ , conclure qu'aucun triangle n'existe et s'arrêter.
4 Sinon, calculer l'angle aigu donné par la calculatrice, PUIS son supplément.
5 Tester le supplément : la somme avec l'angle connu doit rester strictement inférieure à $180°$ .
6 Résoudre COMPLÈTEMENT chaque triangle retenu, sans en abandonner un en cours de route.
7 Présenter les deux solutions séparément, en les numérotant, et conclure sur le nombre de triangles possibles.

Phrase de conclusion

« On connaît $a=8$ , $b=10$ et $A=40°$ : l'angle n'est pas compris entre les deux côtés, il faut donc examiner le cas ambigu. La loi des sinus donne $\sin B=\frac{10\sin 40°}{8}\approx 0{,}803$ , donc $B_{1}\approx 53{,}5°$ ou $B_{2}\approx 126{,}5°$ . Comme $40°+126{,}5°=166{,}5°<180°$ , les deux triangles existent : le premier a $C_{1}\approx 86{,}5°$ et $c_{1}\approx 12{,}4$ , le second $C_{2}\approx 13{,}5°$ et $c_{2}\approx 2{,}9$ . »

Le piège : Rejeter le supplément sans le tester, ou l'accepter sans le tester. Les deux erreurs se valent : la condition $A+(180°-B)<180°$ se vérifie en une addition, et c'est elle seule qui décide du nombre de triangles.

Barème : 1 point l'ambiguïté repérée, 1 point le supplément calculé, 1 point la condition testée, 2 points les deux triangles résolus complètement.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des angles et l'ordre des côtés

Additionner les trois angles trouvés : le total doit valoir exactement $180°$ . Puis vérifier que le plus grand côté fait face au plus grand angle, et le plus petit au plus petit. Deux contrôles indépendants, sans le moindre calcul trigonométrique.

Vous annoncez $A=50°$ , $B=50°$ et $C=80°$ avec $a=7{,}00$ , $b=7$ et $c=9$ : la somme fait $180°$ , et l'ordre des côtés suit bien celui des angles. Le triangle est cohérent.
L'inégalité triangulaire

Chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres. Trois additions, et tout côté calculé de travers apparaît : c'est le contrôle le plus rapide après un usage de la loi des cosinus.

Un calcul qui annonce $a=17$ avec $b=7$ et $c=9$ est faux, puisque $7+9=16<17$ . L'angle a probablement été pris en radians, ou le signe du cosinus inversé.
Le contrôle du mode et d'une valeur connue

Avant de commencer, taper $\sin 30°$ : la machine doit afficher exactement $0{,}5$ . Si elle affiche autre chose, elle est en mode radian et tous les résultats du chapitre seront faux, sans aucun message d'erreur.

L'affichage $-0{,}988$ au lieu de $0{,}5$ indique le mode radian : la calculatrice a lu $30$ radians, soit près de cinq tours complets.
Le supplément systématiquement testé

Dès qu'un angle a été trouvé par la loi des sinus, calculer son supplément et vérifier si la somme avec l'angle connu reste sous $180°$ . Si oui, un second triangle existe et doit être résolu; si non, l'écrire pour montrer que le test a été fait.

Avec $A=40°$ et $B=53{,}5°$ , le supplément $126{,}5°$ donne $166{,}5°<180°$ : deux triangles. Avec $A=40°$ et $B=32{,}4°$ , le supplément $147{,}6°$ donne $187{,}6°>180°$ : un seul.

L'exercice type décortiqué

La hauteur inaccessible : deux relèvements, deux lois et une vérification

Depuis un point $A$ situé au sol, on mesure un angle d'élévation de $32°$ vers le sommet d'une tour. On avance ensuite de $45$ mètres en ligne droite vers la tour, jusqu'à un point $B$ , où l'angle d'élévation vaut $47°$ .

a) Déterminer la distance de $B$ au sommet de la tour. b) En déduire la hauteur de la tour. c) Vérifier le résultat par une seconde méthode.

Étape 1

On note $S$ le sommet. Dans le triangle $ABS$ , l'angle en $A$ vaut $32°$ , et l'angle $\widehat{ABS}$ vaut $180°-47°=133°$ , car $\widehat{ABS}$ et l'angle d'élévation en $B$ sont supplémentaires.

Pourquoi

C'est l'étape que les copies manquent : l'angle du TRIANGLE en $B$ n'est pas l'angle d'élévation, il en est le supplément, parce que $A$ , $B$ et le pied de la tour sont alignés. Un croquis rend cette relation évidente; sans croquis, elle est invisible.

Étape 2

Le troisième angle vaut $\widehat{ASB}=180°-32°-133°=15°$ .

Pourquoi

La somme des angles est gratuite et exacte, et elle crée ici une PAIRE COMPLÈTE : l'angle de $15°$ fait face au côté $AB=45$ mètres, qui est connu. La loi des sinus devient donc applicable, ce qui n'était pas le cas au départ.

Étape 3

Loi des sinus dans $ABS$ : $\frac{BS}{\sin 32°}=\frac{45}{\sin 15°}$ , donc $BS=\frac{45\sin 32°}{\sin 15°}\approx\frac{45\times 0{,}5299}{0{,}2588}\approx 92{,}14$ mètres.

Pourquoi

On utilise la paire complète comme pivot, et le côté cherché est celui opposé à l'angle de $32°$ . Le résultat est cohérent : $BS$ est bien plus grand que $AB$ , puisqu'il fait face à un angle bien plus grand que $15°$ .

Étape 4

Dans le triangle rectangle formé par $B$ , le pied de la tour et le sommet : $h=BS\sin 47°\approx 92{,}14\times 0{,}7314\approx 67{,}38$ mètres.

Pourquoi

Ici l'angle d'élévation retrouve son rôle habituel, dans un triangle rectangle : le sinus donne le côté opposé, c'est-à-dire la hauteur. On ne mélange pas les deux triangles, on les traite l'un après l'autre.

Étape 5

Seconde méthode : soit $d$ la distance du pied de la tour à $B$ . Alors $h=d\tan 47°$ et $h=(d+45)\tan 32°$ . En égalant, $d\tan 47°=(d+45)\tan 32°$ , donc $d(\tan 47°-\tan 32°)=45\tan 32°$ , d'où $d\approx\frac{45\times 0{,}6249}{1{,}0724-0{,}6249}\approx 62{,}84$ mètres.

Pourquoi

Cette méthode n'utilise que des triangles rectangles et la tangente, sans loi des sinus : elle est donc entièrement indépendante de la première, ce qui en fait une vraie vérification et non une répétition.

Étape 6

$h=d\tan 47°\approx 62{,}84\times 1{,}0724\approx 67{,}39$ mètres. Les deux méthodes concordent à un centième près.

Pourquoi

La concordance de deux méthodes indépendantes est la vérification la plus forte possible : un écart aurait signalé une erreur dans l'une des deux, notamment l'oubli du supplément à la première étape, qui aurait donné une hauteur d'environ $40$ mètres.

Étape 7

Contrôle final de cohérence : dans le triangle $ABS$ , la somme $32°+133°+15°=180°$ ; le plus petit angle, $15°$ , fait bien face au plus petit côté, $AB=45$ mètres. Enfin la hauteur $67{,}4$ mètres est inférieure à $BS=92{,}1$ mètres, ce qui est nécessaire puisque $BS$ est l'hypoténuse.

Pourquoi

Trois contrôles en dix secondes, tous sans calcul trigonométrique. Le dernier est décisif : une hauteur supérieure à la distance oblique serait géométriquement impossible et signalerait un sinus utilisé à la place d'un cosinus.

Conclusion rédigée

« Dans le triangle $ABS$ , l'angle en $B$ vaut $180°-47°=133°$ et le troisième angle vaut $15°$ . La loi des sinus donne alors $BS=\frac{45\sin 32°}{\sin 15°}\approx 92{,}1$ mètres. La hauteur de la tour vaut donc $h=BS\sin 47°\approx 67{,}4$ mètres. La méthode par les tangentes, indépendante, donne une distance au pied de $62{,}8$ mètres et une hauteur de $67{,}4$ mètres : les deux résultats concordent. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $47°$ comme angle du triangle en $B$ au lieu de son supplément $133°$ : le troisième angle deviendrait $101°$ , la loi des sinus donnerait $BS\approx 24{,}3$ mètres et une hauteur d'environ $17{,}8$ mètres, incompatible avec un angle d'élévation de $47°$ observé à quelques dizaines de mètres. Le second travers est d'utiliser le cosinus au lieu du sinus à l'avant-dernière étape, ce qui donnerait une hauteur supérieure à la distance oblique, géométriquement impossible.

À savoir par cœur

• LOI DES SINUS : $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ , et elle exige une PAIRE COMPLÈTE angle-côté opposé.
• LOI DES COSINUS : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ , avec $A$ COMPRIS entre $b$ et $c$ . C'est Pythagore généralisé.
• Deux côtés et l'angle compris, ou trois côtés : loi des cosinus. Sinon, loi des sinus.
• $A+B+C=180°$ : gratuit, exact, et cela crée souvent la paire qui manquait.
• CAS AMBIGU : deux côtés et un angle non compris. Calculer le supplément et tester $A+(180°-B)<180°$ .
• La calculatrice ne rend que l'angle AIGU : la loi des cosinus, elle, distingue l'obtus par un cosinus négatif.
• Aire $=\frac{1}{2}ab\sin C$ avec l'angle COMPRIS, ou Héron $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ avec les trois côtés.
• Chercher le PLUS PETIT angle par la loi des sinus : il est forcément aigu, donc sans ambiguïté.
• Vérifications : somme des angles à $180°$ , inégalité triangulaire, plus grand côté face au plus grand angle.

Questions fréquentes

Quand utiliser la loi des sinus et quand la loi des cosinus ?

La loi des sinus exige de connaître un angle et le côté qui lui fait face, ce qu'on appelle une paire complète. Sans cette paire, elle est inutilisable et il faut la loi des cosinus, qui s'applique dans deux cas : deux côtés avec l'angle compris entre eux, ou les trois côtés. Le choix dépend de ce qu'on connaît, jamais de ce qu'on cherche.

Qu'est-ce que le cas ambigu en résolution de triangles ?

C'est la situation où l'énoncé donne deux côtés et un angle qui n'est pas compris entre eux. La loi des sinus donne alors un sinus, mais deux angles supplémentaires ont le même sinus, donc deux triangles différents peuvent convenir. Il faut calculer le supplément de l'angle trouvé et vérifier si la somme avec l'angle connu reste sous cent quatre-vingts degrés.

Pourquoi la calculatrice donne toujours l'angle aigu ?

Parce que la fonction inverse du sinus ne peut rendre qu'une seule valeur, et la convention retient celle comprise entre moins quatre-vingt-dix et quatre-vingt-dix degrés. Or le sinus d'un angle obtus vaut exactement celui de son supplément aigu. C'est pour cela qu'on préfère la loi des cosinus quand elle s'applique : son cosinus est négatif pour un angle obtus.

Quel angle utiliser dans la formule de l'aire d'un triangle ?

Celui qui est compris entre les deux côtés employés dans la formule. La formule vient de la hauteur abaissée depuis un sommet, et cette hauteur vaut un côté multiplié par le sinus de l'angle qu'il forme avec l'autre. Utiliser un angle opposé plutôt que compris donne un résultat plausible mais faux, que rien ne signale.

Comment savoir si un triangle est possible avec trois côtés donnés ?

Chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres : c'est l'inégalité triangulaire. Trois additions suffisent à la vérifier. Si le triangle est impossible, la loi des cosinus donne un cosinus dont la valeur absolue dépasse un, ce qui est un second signal, et il faut alors conclure que le triangle n'existe pas.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La résolution de triangles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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