Fiche de révision : le cercle trigonométrique (math SN5)

Si le réel n'est pas dans $[0;2\pi[$ → ajouter ou retrancher des tours complets $2\pi$ jusqu'à s'y ramener

Exemple : $\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}$; $-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}$

Les valeurs trigonométriques ne changent pas : les deux réels ont le même point image.

Si le point est dans le PREMIER quadrant, entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ → l'angle de référence est le réel lui-même, et cosinus, sinus et tangente sont tous POSITIFS

Exemple : $\frac{\pi}{3}$ : référence $\frac{\pi}{3}$, donc $\cos=\frac{1}{2}$ et $\sin=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Si le point est dans le DEUXIÈME quadrant, entre $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$ → référence $=\pi-x$; seul le SINUS est positif

Exemple : $\frac{5\pi}{6}$ : référence $\frac{\pi}{6}$, donc $\cos=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin=\frac{1}{2}$

Si le point est dans le TROISIÈME quadrant, entre $\pi$ et $\frac{3\pi}{2}$ → référence $=x-\pi$; seule la TANGENTE est positive

Exemple : $\frac{7\pi}{6}$ : référence $\frac{\pi}{6}$, donc $\cos=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin=-\frac{1}{2}$

Si le point est dans le QUATRIÈME quadrant, entre $\frac{3\pi}{2}$ et $2\pi$ → référence $=2\pi-x$; seul le COSINUS est positif

Exemple : $\frac{11\pi}{6}$ : référence $\frac{\pi}{6}$, donc $\cos=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin=-\frac{1}{2}$

Si le point est sur un AXE, aux valeurs $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ → lire directement les coordonnées : $(1;0)$, $(0;1)$, $(-1;0)$, $(0;-1)$

Exemple : $\cos\frac{3\pi}{2}=0$ et $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$

La tangente n'existe pas en $\frac{\pi}{2}$ ni en $\frac{3\pi}{2}$, où le cosinus s'annule.

Si l'équation porte sur le COSINUS, $\cos x=c$ → les deux solutions du tour sont $x_{0}$ et $2\pi-x_{0}$ : symétrie par rapport à l'axe HORIZONTAL

Exemple : $\cos x=\frac{1}{2}$ donne $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$

Une droite verticale coupe le cercle en deux points de même abscisse : c'est la lecture géométrique.

Si l'équation porte sur le SINUS, $\sin x=c$ → les deux solutions sont $x_{0}$ et $\pi-x_{0}$ : symétrie par rapport à l'axe VERTICAL

Exemple : $\sin x=\frac{1}{2}$ donne $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$

Si l'équation porte sur la TANGENTE, $\tan x=c$ → les solutions sont $x_{0}$ et $x_{0}+\pi$ : la tangente a une période de $\pi$, pas $2\pi$

Exemple : $\tan x=1$ donne $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$

C'est la seule des trois dont la période vaut $\pi$, ce qui change le nombre de solutions sur un intervalle donné.

Si $c$ vaut $1$ ou $-1$ pour un cosinus ou un sinus → il n'y a qu'UNE solution par tour : le point est sur un axe, les deux symétriques coïncident

Exemple : $\cos x=1$ donne seulement $x=0$ sur $[0;2\pi[$

Si $|c|>1$ pour un cosinus ou un sinus → aucune solution : ces deux rapports sont toujours compris entre $-1$ et $1$

Exemple : $\sin x=1{,}4$ n'a pas de solution, et cela se dit en une ligne

Si on demande les solutions sur $\mathbb{R}$ tout entier → ajouter $2k\pi$ à chaque solution du tour, avec $k$ entier, ou $k\pi$ pour la tangente

Exemple : $\cos x=\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

Si l'énoncé dit « mesure principale », ou ne précise rien → ramener dans $]-\pi\,;\pi]$, donc entre un demi-tour vers le bas exclu et un demi-tour vers le haut inclus

Exemple : $\frac{6\pi}{5}$ a pour mesure principale $\frac{6\pi}{5}-2\pi=-\frac{4\pi}{5}$

C'est la convention par défaut du chapitre : une mesure principale ne dépasse jamais $\pi\approx 3{,}14$ en valeur absolue.

Si l'énoncé dit « dans $[0\,;2\pi[$ », ou « la plus petite mesure positive » → ramener entre $0$ inclus et un tour exclu, en AJOUTANT des tours tant que l'angle est négatif

Exemple : $-\frac{\pi}{4}$ devient $\frac{7\pi}{4}$, et surtout pas $-\frac{\pi}{4}$

Si l'angle s'écrit $\frac{p\pi}{q}$ avec de grands nombres → calculer $\frac{p}{2q}$, arrondir à l'entier le plus proche pour obtenir $k$, puis remplacer le numérateur par $p-2kq$

Exemple : $\frac{97\pi}{8}$ : $\frac{97}{16}\approx 6{,}06$ donc $k=6$, et $97-96=1$, la mesure principale est $\frac{\pi}{8}$

Une seule division au lieu de six soustractions de $2\pi$, et aucune erreur de comptage en chemin.

Si la fraction se simplifie en un multiple ENTIER de $\pi$ → compter les demi-tours : un multiple pair de $\pi$ donne $0$, un multiple impair donne $\pi$

Exemple : $\frac{120\pi}{15}=8\pi$, soit quatre tours : la mesure principale vaut $0$, et non $8\pi$

Il n'y a plus de fraction à réduire, seulement des tours à compter : c'est le cas où la méthode générale semble ne rien donner.

Si l'angle de départ est NÉGATIF → la règle ne change pas, $k$ est simplement négatif et on ajoute des tours au lieu d'en retirer

Exemple : $\frac{-16\pi}{10}=-\frac{8\pi}{5}$ : $\frac{-8}{10}=-0{,}8$ donc $k=-1$, et $-8+10=2$, la mesure principale est $\frac{2\pi}{5}$

Le signe de départ ne dit rien du signe d'arrivée : un angle négatif peut très bien avoir une mesure principale positive.

Si on ne cherche pas une mesure mais une VALEUR trigonométrique → n'importe quelle réduction convient, puisque tous les coterminaux ont les mêmes valeurs : prendre celle qui tombe sur une valeur remarquable

Exemple : $\cos\frac{13\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, sans se demander quel intervalle est attendu