Math SN, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : les fonctions périodiques

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des fonctions périodiques du programme de mathématique SN de cinquième secondaire : période, amplitude, axe de référence, réduction dans le cycle, effet des paramètres et période d'une somme.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une fonction périodique ne contient qu'un CYCLE d'information, répété indéfiniment dans les deux sens. Toute question du chapitre se ramène donc à ce cycle, et la seule chose qui en change la largeur est le paramètre $b$ , qui DIVISE la période au lieu de la multiplier.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les paramètres des fonctions Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
2Les paramètres et les propriétés des fonctionsSecondaire 4 SN4
3La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
4Calculs algébriques
5La fonction racine carrée
6Les fonctions quadratiques
7Les paramètres des fonctions

L'essentiel

Les quatre grandeurs qui décrivent un cycle

• DÉFINITION : $f$ est périodique de période $p$ lorsque $f(x+p)=f(x)$ pour TOUTE valeur de $x$ . C'est une égalité, pas une impression visuelle, et c'est elle qu'on écrit pour démontrer la périodicité.
• LA PÉRIODE se mesure entre deux points QUI SE CORRESPONDENT : deux maximums consécutifs, deux départs de montée, deux passages descendants par l'axe. D'un maximum au minimum suivant, on ne lit qu'une DEMI-période.
• L'AMPLITUDE vaut $\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}$ , la MOITIÉ de l'écart entre les extrêmes. L'axe de référence est la droite horizontale $y=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}$ .
• TOUT MULTIPLE d'une période est encore une période : si $p$ convient, $2p$ et $3p$ aussi. Celle qu'on demande est toujours la PLUS PETITE.
• UNE PÉRIODIQUE N'EST PAS FORCÉMENT UNE SINUSOÏDE. Un signal triangulaire, un escalier décalé, un profil de came sont périodiques et anguleux. Toute sinusoïde est périodique ; la réciproque est fausse.

La droite

y=2

passe à mi-hauteur entre le maximum

6

et le minimum

-2

, et l'amplitude est la distance de cette droite à un extrême, soit

4

et non

8

Ce que font les quatre paramètres

• Pour $a\,f\big(b(x-h)\big)+k$ construite sur une base de période $p$ : la nouvelle période vaut $\dfrac{p}{|b|}$ . SEUL $b$ touche la période.
• LE PARAMÈTRE $b$ AGIT À L'INVERSE : $b=2$ divise la période par deux, $b=\dfrac{1}{2}$ la double. La raison est qu'il multiplie $x$ AVANT que $f$ ne s'applique, donc $x$ a moins de chemin à parcourir pour que l'argument fasse un tour complet.
• L'AMPLITUDE est multipliée par $|a|$ , toujours en valeur absolue. Un $a$ négatif retourne le motif de haut en bas sans changer l'amplitude.
• L'AXE DE RÉFÉRENCE passe de $y=c$ à $y=ac+k$ . Lire $y=k$ tout seul n'est juste que si la base avait son axe à $y=0$ .
• LE PARAMÈTRE $h$ décale le cycle horizontalement, donc il déplace le CYCLE DE RÉFÉRENCE, qui devient $[h\,;h+p[$ . Il ne change ni la période ni l'amplitude.
• ATTENTION À LA FORME : dans $f(2x-6)$ , il faut factoriser, $f\big(2(x-3)\big)$ , avant de lire $h=3$ . Lire $h=6$ sur la forme développée coûte la question.

Les trois calculs qui reviennent en évaluation

• CALCULER UNE IMAGE : on ramène l'abscisse dans le cycle de référence. Si ce cycle est $[h\,;h+p[$ , la formule est $x\mapsto h+\big((x-h)\bmod p\big)$ : on retire $h$ , on réduit, on remet $h$ .
• Pour un argument NÉGATIF, on ajoute des périodes entières au lieu d'en retirer. Une périodique se prolonge aussi loin vers la gauche que vers la droite.
• RÉSOUDRE $f(x)=k$ : on trouve d'abord TOUTES les solutions du cycle, souvent deux, une à la montée et une à la descente, puis on écrit la famille $x=x_{0}+np$ pour tout entier $n$ .
• COMPTER LES SOLUTIONS sur un intervalle : on divise la longueur de l'intervalle par la période pour estimer le nombre de cycles, puis on multiplie par le nombre de solutions par cycle. On affine ensuite aux bornes.
• SOMME DE DEUX PÉRIODIQUES : $f+g$ est périodique et sa période est le PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN des deux périodes. Jamais leur somme, et pas non plus leur produit, qui n'est qu'un multiple commun parmi d'autres.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre l'amplitude et l'écart total

1 à 2 points, et toute question qui en dépend

Ce qu'il ne faut pas écrire

Maximum $6$ , minimum $-2$ , donc amplitude $8$

Ce qu'il faut écrire

Amplitude $=\dfrac{6-(-2)}{2}=4$

Pourquoi : L'amplitude mesure l'écart à l'AXE DE RÉFÉRENCE, pas d'un extrême à l'autre. C'est la distance que le motif parcourt d'un seul côté de l'axe. Le contrôle tient en une phrase : l'amplitude, c'est la moitié du voyage, et elle est toujours positive.

2. Mesurer la période d'un maximum au minimum suivant

toute la question, et toutes les réductions qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le maximum est en $2$ , le minimum en $4$ , donc la période vaut $2$

Ce qu'il faut écrire

On mesure d'un maximum au maximum SUIVANT : période $4$

Les deux pointillés de gauche encadrent une descente seule, de

t=2

t=4

: c'est une demi-période. La période complète va d'une pointe à la pointe suivante, de

t=2

t=6

, et c'est le double.

Pourquoi : D'un maximum au minimum suivant, le motif n'a parcouru que la moitié de son cycle : il n'est pas revenu à son point de départ. La période est la plus petite avance après laquelle le graphique se superpose exactement à lui-même, ce qui impose deux points DE MÊME NATURE.

3. Croire que le paramètre b multiplie la période

toute la question, et un graphique deux fois trop large

Ce qu'il ne faut pas écrire

$f$ de période $6$ , donc $f(2x)$ a la période $12$

Ce qu'il faut écrire

La période est DIVISÉE : $\dfrac{6}{2}=3$

Pourquoi : Le paramètre $b$ multiplie $x$ avant que la fonction n'agisse, donc l'argument atteint plus vite une période complète. La démonstration tient en une ligne : $f\big(2(x+3)\big)=f(2x+6)=f(2x)$ , donc $3$ est bien une période. C'est le seul des quatre paramètres dont l'effet est inversé par rapport à sa valeur.

4. Réduire avec le reste quand le cycle ne commence pas à zéro

toute la question, et la règle appliquée hors de son domaine

Ce qu'il ne faut pas écrire

Cycle $[1\,;7[$ , période $6$ : $f(24)=f(24\bmod 6)=f(0)$

Ce qu'il faut écrire

$f(24)=f\big(1+((24-1)\bmod 6)\big)=f(6)$

Pourquoi : Le reste d'une division par $p$ tombe dans $[0\,;p[$ , alors que le cycle de référence est $[h\,;h+p[$ . Quand $h$ n'est pas nul, les deux intervalles ne coïncident pas et la règle n'est pas définie sur tout $[0\,;p[$ . L'erreur est sournoise : elle ne se manifeste que pour les restes inférieurs à $h$ , donc elle passe inaperçue la plupart du temps.

5. Ne donner qu'une solution par cycle

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$f(x)=4$ sur $[1\,;7[$ donne $x=3$

Ce qu'il faut écrire

$x=3$ ET $x=5$ , une à la montée, une à la descente

Pourquoi : Une horizontale traverse un motif en toit deux fois, une fois pendant que le motif monte, une fois pendant qu'il descend. Les deux morceaux de la règle doivent donc être résolus. Le seul cas à une solution est celui où l'horizontale passe exactement par le sommet ou par le creux, où les deux solutions se confondent.

6. S'arrêter au cycle quand l'énoncé demande les réels

la moitié des points, même avec les bonnes valeurs

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'ensemble des solutions est $\{3\,;5\}$

Ce qu'il faut écrire

$x=3+6n$ ou $x=5+6n$ , pour tout entier $n$

Pourquoi : Sur $\mathbb{R}$ , chaque solution du cycle engendre une famille infinie, obtenue en ajoutant un nombre entier de périodes, négatif compris. Répondre par les deux valeurs du cycle répond à une autre question. Le mot à surveiller dans l'énoncé est le domaine de résolution, et il change entièrement la forme de la réponse.

7. Additionner les périodes pour trouver celle d'une somme

toute la question, et un modèle faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

Périodes $12$ et $8$ , donc $f+g$ a la période $20$

Ce qu'il faut écrire

Le plus petit multiple commun, soit $24$

Pourquoi : Après $20$ minutes, aucune des deux fonctions n'est revenue à son point de départ, puisque $20$ n'est multiple ni de $12$ ni de $8$ . Il faut un instant où les DEUX cycles se referment en même temps, c'est-à-dire un multiple commun, et le plus petit d'entre eux. Le produit $96$ conviendrait, mais il contient quatre périodes au lieu d'une.

8. Chercher la réciproque d'une fonction périodique

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

Le cycle est connu, donc on peut inverser $f$ sur $\mathbb{R}$

Ce qu'il faut écrire

Aucune réciproque sur $\mathbb{R}$ : il faut restreindre à un intervalle de monotonie

Pourquoi : Une périodique non constante prend chaque valeur une infinité de fois, donc elle n'est jamais injective et le test de la droite horizontale échoue partout. C'est exactement la raison pour laquelle on restreint le sinus avant de définir l'arcsinus. Sur un intervalle où la fonction est strictement monotone, la réciproque existe et se calcule comme d'habitude.

9. Croire que modifier un morceau du cycle est une transformation

1 à 3 points, et une période fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

On allonge le vert d'un feu, donc on applique un paramètre $b$

Ce qu'il faut écrire

C'est un motif REDESSINÉ, donc une nouvelle fonction périodique

Pourquoi : Une transformation par $b$ étire ou comprime le cycle TOUT ENTIER dans la même proportion : toutes les phases seraient multipliées par le même facteur. Si une seule phase change, aucun des quatre paramètres ne décrit la situation, et vouloir les forcer conduit à annoncer une période qui ne correspond à rien.

Quelle méthode choisir

Que demande la question, et par où commencer

Une fonction périodique, donnée par un graphique ou par une règle sur un cycle

Si On demande une IMAGE $f(x)$ pour un $x$ hors du cycle → Réduire : $h+\big((x-h)\bmod p\big)$ , puis appliquer la règle du morceau atteint

Exemple : Cycle $[1\,;7[$ , $p=6$ : $f(20)=f\big(1+(19\bmod 6)\big)=f(2)$
Si On demande de RÉSOUDRE $f(x)=k$ → Résoudre dans chaque morceau du cycle, puis ajouter $np$ à chaque solution

Exemple : $x=3$ et $x=5$ dans le cycle donnent $x=3+6n$ ou $x=5+6n$
Si On demande la PÉRIODE d'une transformée $a\,f\big(b(x-h)\big)+k$ → Diviser : $\dfrac{p}{|b|}$ , et ignorer $a$ , $h$ et $k$

Exemple : $f$ de période $12$ : $3f\big(2(x-1)\big)-4$ a la période $6$
Si On demande la période d'une SOMME de deux périodiques → Plus petit multiple commun des deux périodes

Exemple : Périodes $12$ et $8$ : la somme a la période $24$
Si On demande une RÉCIPROQUE → Répondre qu'elle n'existe pas sur $\mathbb{R}$ , puis restreindre à un intervalle de monotonie

Exemple : Sur $[1\,;4]$ , $f(x)=2(x-1)$ croît, donc $f^{-1}(y)=1+\dfrac{y}{2}$

Une seule question du chapitre ne passe pas par le cycle de référence : celle de la période d'une somme, qui se règle par l'arithmétique des multiples communs. Toutes les autres commencent par la même phrase, ramener dans le cycle.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger le calcul d'une image hors du cycle

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'on demande $f(x)$ pour une abscisse qui sort du cycle de référence

1 Nommer la période et le cycle de référence, en les lisant sur l'énoncé ou le graphique.
2 Écrire l'égalité de périodicité utilisée, $f(x+p)=f(x)$ , qui justifie tout le reste.
3 Réduire l'abscisse : retirer $h$ , prendre le reste de la division par $p$ , remettre $h$ .
4 Vérifier que l'abscisse obtenue appartient bien au cycle de référence.
5 Repérer le morceau de la règle qui la contient, puis calculer.
6 Conclure par une phrase qui répond à la question posée, avec l'unité.

Phrase de conclusion

« La période vaut $6$ et le cycle de référence est $[1\,;7[$ . Comme $f(x+6)=f(x)$ , on réduit : $1+\big((24-1)\bmod 6\big)=1+5=6$ , donc $f(24)=f(6)$ . L'abscisse $6$ appartient à $[4\,;7[$ , où la règle est $f(x)=6-2(x-4)$ , d'où $f(6)=6-4=2$ . »

Le piège : Sauter la vérification d'appartenance au cycle. C'est elle qui attrape l'oubli du décalage $h$ , et elle prend trois secondes.

Barème : 1 point pour la période et le cycle identifiés, 1 point pour l'égalité de périodicité citée, 2 points pour la réduction correcte, 1 point pour le bon morceau de règle, 2 points pour le calcul, 1 point pour la conclusion. Un résultat juste obtenu sans réduction écrite plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'abscisse réduite est dans le cycle

Après toute réduction, on vérifie que le nombre obtenu appartient bien à $[h\,;h+p[$ . S'il n'y est pas, c'est le décalage qui a été oublié.

Cycle $[1\,;7[$ : une réduction qui donne $0$ est forcément fausse.
L'amplitude est la moitié de l'écart

On recalcule $\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}$ et on compare à la distance de l'axe de référence à un extrême. Les deux doivent coïncider.

Max $6$ , min $-2$ , axe $y=2$ : de $2$ à $6$ il y a $4$ , et $\dfrac{8}{2}=4$ .
La période d'une transformée a diminué si $|b|>1$

On regarde le signe du changement avant le chiffre : un $b$ supérieur à $1$ doit RÉDUIRE la période, un $b$ entre $0$ et $1$ doit l'augmenter.

$p=12$ et $b=2$ : on attend moins de $12$ , et $\dfrac{12}{2}=6$ convient.
Le nombre de solutions est cohérent avec le nombre de cycles

On divise la longueur de l'intervalle par la période, puis on multiplie par le nombre de solutions par cycle. Le compte exact doit être proche.

$[0\,;50]$ , $p=6$ , deux solutions par cycle : environ $\dfrac{50}{6}\times 2\approx 16{,}7$ , et le compte exact donne $16$ .
La période d'une somme est un multiple des deux

On divise la période annoncée par chacune des deux périodes de départ : les deux divisions doivent tomber juste.

$24\div 12=2$ et $24\div 8=3$ : la période $24$ est valide.

L'exercice type décortiqué

Une transformée, de la période à la résolution complète

La fonction $f$ est périodique de période $12$ , d'amplitude $5$ et d'axe de référence $y=1$ . Son cycle de référence est $[0\,;12[$ , elle croît de son minimum à son maximum sur $[0\,;6]$ et décroît sur $[6\,;12]$ .

On pose $g(x)=3f\big(2(x-1)\big)-4$ . Donnez la période, l'amplitude et l'axe de référence de $g$ , son cycle de référence, puis le nombre de solutions de $g(x)=-4$ sur $[0\,;30]$ .

La droite

y=-4

passe juste sous l'axe de référence

y=-1

, donc elle traverse chaque cycle DEUX fois, une à la montée et une à la descente.

Étape 1

Période de $g$ : $\dfrac{12}{|2|}=6$ .

Pourquoi

Seul le paramètre $b$ agit sur la période, et il la DIVISE. Les paramètres $a=3$ , $h=1$ et $k=-4$ n'y changent rien : ils déforment le motif en hauteur et le déplacent, sans modifier la fréquence à laquelle il se répète.

Étape 2

Amplitude de $g$ : $|3|\times 5=15$ . Axe de référence : $y=3\times 1-4=-1$ .

Pourquoi

L'amplitude se multiplie par la valeur absolue de $a$ . L'axe, lui, subit la transformation verticale complète : il est d'abord multiplié par $a$ , puis translaté de $k$ . Répondre $y=-4$ en lisant $k$ tout seul serait l'erreur, car la base avait déjà son axe à $y=1$ et non à $y=0$ .

Étape 3

Cycle de référence de $g$ : $[1\,;7[$ , car $h=1$ et la période vaut $6$ .

Pourquoi

Le paramètre $h$ décale le point de départ du cycle, et la période en donne la largeur. Il faut noter que l'écriture $3f\big(2(x-1)\big)-4$ est déjà factorisée à l'intérieur : sur la forme développée $3f(2x-2)-4$ , on lirait $h=2$ à tort.

Étape 4

L'équation $g(x)=-4$ devient $3f\big(2(x-1)\big)-4=-4$ , donc $f\big(2(x-1)\big)=0$ .

Pourquoi

On isole la fonction de base avant toute autre chose. La valeur $-4$ n'est pas l'axe de référence de $g$ , qui est $y=-1$ : elle correspond donc à une hauteur atteinte deux fois par cycle, une à la montée et une à la descente, et non à un extrême.

Étape 5

Le minimum de $f$ vaut $1-5=-4$ et son maximum $1+5=6$ , donc $0$ est atteint deux fois par cycle. Il en va de même pour $g$ : deux solutions par cycle de $6$ .

Pourquoi

La valeur $0$ est strictement comprise entre le minimum $-4$ et le maximum $6$ de $f$ , donc une horizontale la coupe une fois pendant la montée et une fois pendant la descente. C'est la vérification qui évite de répondre une solution par cycle, ou zéro.

Étape 6

Sur $[0\,;30]$ , la longueur $30$ contient $\dfrac{30}{6}=5$ cycles complets, donc $5\times 2=10$ solutions.

Pourquoi

L'intervalle mesure exactement cinq périodes, ce qui rend le compte immédiat. Si la longueur n'avait pas été un multiple de la période, il aurait fallu écrire les deux familles de solutions et compter leurs éléments un à un dans l'intervalle, comme on le fait à l'exercice 5 de la série.

Conclusion rédigée

La fonction $g$ a pour période $6$ , pour amplitude $15$ et pour axe de référence $y=-1$ ; son cycle de référence est $[1\,;7[$ , et l'équation $g(x)=-4$ possède $10$ solutions sur $[0\,;30]$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer l'axe de référence à $y=-4$ en lisant le paramètre $k$ . L'axe de la base n'était pas $y=0$ , donc il faut calculer $ac+k$ , et confondre les deux fait ensuite croire que $g(x)=-4$ n'a qu'une solution par cycle, au lieu de deux.

À savoir par cœur

• Périodique : $f(x+p)=f(x)$ pour tout $x$ .
• La période se lit entre deux points de MÊME nature.
• Amplitude $=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}$ , la moitié de l'écart.
• Axe de référence : $y=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}$ .
• Période d'une transformée : $\dfrac{p}{|b|}$ , seul $b$ compte.
• Le paramètre $b$ DIVISE la période, il ne la multiplie pas.
• Amplitude transformée : $|a|$ fois celle de la base.
• Axe transformé : de $y=c$ à $y=ac+k$ , jamais $y=k$ seul.
• Réduire : $h+\big((x-h)\bmod p\big)$ , sans oublier $h$ .
• Solutions sur $\mathbb{R}$ : $x=x_{0}+np$ , souvent deux familles.
• Période d'une somme : plus petit multiple commun.
• Aucune réciproque sans restreindre à un intervalle monotone.
• Toute sinusoïde est périodique ; l'inverse est faux.

Questions fréquentes

Comment reconnaître la période sur un graphique sans se tromper ?

On choisit un point remarquable, un sommet par exemple, puis on cherche le point suivant qui lui ressemble exactement, c'est-à-dire un autre sommet de même hauteur abordé de la même façon. La distance horizontale entre les deux est la période. L'erreur courante consiste à mesurer d'un sommet au creux qui le suit, ce qui ne donne que la moitié du cycle. Un bon réflexe est de vérifier que le morceau de courbe compris entre les deux points se superpose au morceau suivant.

Pourquoi le paramètre qui multiplie la variable divise-t-il la période ?

Parce qu'il agit sur la variable avant que la fonction ne s'applique. Si la variable est multipliée par deux, il suffit qu'elle avance de la moitié du chemin pour que la quantité envoyée dans la fonction ait parcouru un cycle entier. Le motif se répète donc deux fois plus souvent, et la période est divisée par deux. C'est le même phénomène que la compression horizontale vue au chapitre des paramètres, et c'est le seul des quatre dont l'effet est inversé par rapport à sa valeur.

Que faire quand le cycle de référence ne commence pas à zéro ?

On procède en trois temps. On retire d'abord le décalage à l'abscisse, ce qui ramène le problème à un cycle qui part de zéro. On prend ensuite le reste de la division par la période. On rajoute enfin le décalage. Sans cette précaution, le résultat peut tomber en dehors de l'intervalle où la règle est définie, et le calcul n'a plus aucun sens. La vérification consiste simplement à regarder si le nombre obtenu appartient bien au cycle.

Pourquoi une fonction périodique n'a-t-elle jamais de réciproque ?

Parce qu'elle prend chaque valeur une infinité de fois, une fois par cycle au moins. Une réciproque doit associer à chaque valeur un antécédent unique, ce qui est impossible ici : le test de la droite horizontale échoue partout, et pas seulement en quelques points comme pour une parabole. La solution est la même que pour définir les fonctions trigonométriques inverses : on restreint le domaine à un intervalle sur lequel la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante, et la réciproque existe alors sur cet intervalle.

La somme de deux fonctions périodiques est-elle toujours périodique ?

Elle l'est dès que les deux périodes admettent un multiple commun, ce qui est toujours le cas avec des durées entières comme celles des exercices. La période de la somme est alors le plus petit de ces multiples communs. Il ne faut surtout pas additionner les deux périodes, car à cet instant aucune des deux fonctions n'est revenue à son point de départ. Multiplier les deux périodes donne bien une période valable, mais elle est presque toujours plus grande que la bonne réponse.

Faut-il connaître les sinusoïdes pour réussir ce chapitre ?

Non, et c'est l'inverse qui est vrai. Ce chapitre pose les notions générales, période, amplitude, axe de référence, réduction dans le cycle, qui valent pour n'importe quel motif répété, y compris anguleux. Les sinusoïdes du chapitre suivant en sont un cas particulier, celui où le motif est une courbe trigonométrique. Un élève qui maîtrise le cas général aborde le bloc trigonométrique avec la moitié du travail déjà faite.

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Exercices corrigés : Les fonctions périodiques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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