Exercices corrigés : les fonctions périodiques (math SN, secondaire 5)

a) Le motif qui va du minimum $-2$ V au maximum $6$ V puis revient au minimum occupe l'intervalle $[0\,;4]$, et il recommence à l'identique sur $[4\,;8]$ puis sur $[8\,;12]$. On lit donc $u(t+4)=u(t)$, et la période vaut $p=4$ ms. La mesure se prend entre deux points QUI SE CORRESPONDENT, deux maximums consécutifs par exemple, $t=2$ et $t=6$ : jamais d'un maximum au minimum suivant, qui ne donne qu'une demi-période. Cette confusion coûte la question entière, puisque toutes les réductions qui suivent en dépendent.

b) Le maximum vaut $6$ V, le minimum $-2$ V. L'amplitude est la MOITIÉ de l'écart entre les deux : $\dfrac{6-(-2)}{2}=\dfrac{8}{2}=4$ V. L'axe de référence est la droite horizontale à mi-hauteur, $y=\dfrac{6+(-2)}{2}=2$. Répondre $8$ V à l'amplitude est l'erreur la plus fréquente du chapitre : l'écart total n'est pas l'amplitude, il en vaut le double.

c) La valeur initiale est $u(0)=-2$ V, lue à l'origine. Pour $u(7)$, on retire une période entière : $7-4=3$, donc $u(7)=u(3)$. Sur $[2\,;4]$ le signal descend de $6$ à $-2$ avec la règle $u(t)=-4t+14$, d'où $u(3)=-12+14=2$ V. Pour $u(10)$, on retire deux périodes : $10-8=2$, et $u(2)=6$ V, le maximum. On vérifie sur le graphique que $t=10$ tombe bien sur une pointe, ce qui confirme le calcul.

d) Non. Une sinusoïde est une courbe LISSE, sans point anguleux, et sa pente change sans cesse ; ici le signal monte à taux constant, casse net au sommet et redescend à taux constant. Il est pourtant périodique. Conclusion à retenir pour tout le chapitre : toute sinusoïde est périodique, mais la réciproque est FAUSSE. Les outils vus ici, période, amplitude, axe de référence, réduction dans le cycle, valent pour n'importe quel motif répété ; la sinusoïde des chapitres suivants n'en sera qu'un cas particulier, celui où le motif est une courbe trigonométrique.

a) $2$ appartient à $[0\,;3[$, donc $g(2)=2\times 2=4$. Pour $g(8)$, on écrit $8=2+6$ et l'égalité de périodicité donne $g(8)=g(2+6)=g(2)=4$. Pour $g(14)$, on l'applique deux fois : $g(14)=g(8+6)=g(8)=g(2)=4$. C'est l'égalité $g(x+6)=g(x)$ qui autorise les deux, et il faut l'écrire : un correcteur attend la justification, pas seulement le nombre.

b) Le nombre $8$ EST une période, et cela se démontre en une ligne : $h(x+8)=h\big((x+4)+4\big)=h(x+4)=h(x)$. De façon générale, tout multiple entier positif d'une période est encore une période, ce qui explique qu'on demande toujours la PLUS PETITE. Le nombre $2$, lui, n'est pas garanti : l'énoncé ne dit rien de $h(x+2)$. Un contre-exemple suffit à le montrer, la fonction $v$ de la question c) décalée pour avoir la période $4$ prend des valeurs différentes en $0$ et en $2$. Confondre « $4$ est une période » avec « $4$ est LA période » est le piège de cette question.

c) On part de la propriété de la partie entière établie au chapitre de la fonction en escalier : $\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor+1$ pour tout réel $x$, puisque ajouter un entier ne change pas la position de $x$ entre deux entiers consécutifs. Alors $v(x+1)=(x+1)-\lfloor x+1\rfloor=(x+1)-\big(\lfloor x\rfloor+1\big)=x-\lfloor x\rfloor=v(x)$. Donc $1$ est une période. C'est la plus petite, car $v$ croît strictement de $0$ à $1$ sur $[0\,;1[$ : aucune valeur ne s'y répète, donc aucune période ne peut être inférieure à $1$. Vérification numérique : $v(2{,}3)=0{,}3$ et $v(3{,}3)=0{,}3$.

d) Supposons $p>0$ tel que $w(x+p)=w(x)$ pour tout $x$. En prenant $x=0$, on obtient $w(p)=w(0)$, c'est-à-dire $p^{2}=0$, donc $p=0$ : contradiction avec $p>0$. Aucune période n'existe, et $w$ n'est pas périodique. La méthode est à retenir : pour RÉFUTER la périodicité, il suffit d'UNE valeur de $x$ qui casse l'égalité, alors que pour la PROUVER il faut l'établir pour tout $x$. Un seul contre-exemple réfute, aucun nombre d'exemples ne prouve.

a) On applique $\dfrac{p}{|b|}$ à chaque fois. Pour $g$, $b=3$ donc la période vaut $\dfrac{12}{3}=4$ : le motif est comprimé, il se répète trois fois plus souvent. Pour $u$, $b=\dfrac{1}{2}$ donc la période vaut $\dfrac{12}{1/2}=24$ : le motif est étiré. Pour $w$, $b=-1$ donc la période vaut $\dfrac{12}{|-1|}=12$ : une réflexion par rapport à l'axe des ordonnées retourne le motif mais ne change ni sa largeur ni sa période. C'est la valeur ABSOLUE de $b$ qui compte, et oublier les barres est l'erreur classique dès que $b$ est négatif.

b) L'amplitude est multipliée par $|a|$ : $|-2|\times 5=10$. L'axe de référence subit la MÊME transformation que toutes les ordonnées, donc son équation devient $y=-2\times 1+3=1$. Le piège est de répondre $y=3$, en lisant $k$ tout seul : $k$ n'est l'axe que si l'axe de la base était $y=0$. Ici la base avait déjà un axe à $y=1$, qui est d'abord multiplié par $a$, puis translaté de $k$. Coïncidence à remarquer : l'axe retombe sur $y=1$, mais par un calcul, pas par hasard. Le signe négatif de $a$, lui, retourne le motif de haut en bas sans changer l'amplitude, qui est toujours positive.

c) Les quatre paramètres se lisent séparément. Période : $\dfrac{12}{|2|}=6$. Amplitude : $|3|\times 5=15$. Axe de référence : $y=3\times 1-4=-1$. Décalage horizontal : $h=1$, donc une translation de $1$ unité vers la DROITE. Il faut remarquer que l'écriture $3f\big(2(x-1)\big)-4$ est déjà factorisée à l'intérieur de la parenthèse : si l'énoncé avait donné $3f(2x-2)-4$, il aurait fallu factoriser d'abord, et le décalage serait resté $1$ et non $2$. Lire $h=2$ sur la forme développée coûte la question, et c'est l'erreur la plus fréquente de tout le bloc des paramètres.

d) L'affirmation est fausse : avec $b=2$, la période est DIVISÉE par $2$ et passe de $12$ à $6$. La raison est que $b$ multiplie $x$ à l'INTÉRIEUR de la fonction, avant que $f$ n'agisse. Pour que l'argument $bx$ parcoure une période complète $p$, il suffit que $x$ parcoure $\dfrac{p}{b}$ : $x$ a donc moins de chemin à faire, et le motif se répète plus vite. C'est exactement la même logique que la compression horizontale vue au chapitre des paramètres, et c'est le seul des quatre paramètres dont l'effet est inversé par rapport à sa valeur.

a) On retire le décalage, on réduit, on le remet : $1+\big((9-1)\bmod 6\big)=1+(8\bmod 6)=1+2=3$. Donc $f(9)=f(3)$, et $3$ est dans $[1\,;4[$ : $f(3)=2(3-1)=4$. Vérification par le chemin direct : $9-6=3$, une seule période retirée, même résultat. Le quotient de la division ne sert à rien, seul le RESTE compte.

b) $1+\big((20-1)\bmod 6\big)=1+(19\bmod 6)=1+1=2$. Donc $f(20)=f(2)$, et $2$ est dans $[1\,;4[$ : $f(2)=2(2-1)=2$. Contrôle : $20-18=2$, soit trois périodes retirées, et $2$ est bien dans le cycle de référence. Les deux chemins concordent.

c) Pour un argument négatif, on AJOUTE des périodes entières au lieu d'en retirer : $-4+6=2$, qui appartient au cycle, donc $f(-4)=f(2)=2$. La formule générale donne la même chose, $1+\big((-4-1)\bmod 6\big)=1+(-5\bmod 6)=1+1=2$, à condition de prendre le reste POSITIF de la division. Répondre en s'arrêtant à un nombre négatif est l'erreur type : une fonction périodique se prolonge aussi loin vers la gauche que vers la droite.

d) $1+\big((24-1)\bmod 6\big)=1+(23\bmod 6)=1+5=6$, donc $f(24)=f(6)$. Comme $6$ est dans $[4\,;7[$, on a $f(6)=6-2(6-4)=6-4=2$. Le reste brut de $24$ par $6$ vaut $0$, ce qui conduirait à écrire $f(24)=f(0)$ : or $0$ N'APPARTIENT PAS au cycle de référence $[1\,;7[$ et la règle n'y est pas définie. C'est tout l'intérêt du décalage $h$ : le reste d'une division tombe toujours dans $[0\,;p[$, alors que le cycle de référence est ici $[h\,;h+p[$. Sauter cette étape ne se voit pas la plupart du temps, puisque les deux intervalles se recouvrent en grande partie, et c'est précisément ce qui rend l'erreur dangereuse : elle ne se manifeste que sur certaines valeurs, celles dont le reste est inférieur à $h$.

a) Il y a deux morceaux, donc on résout dans chacun. Sur la montée, $2(x-1)=4$ donne $x-1=2$, soit $x=3$, qui appartient bien à $[1\,;4[$. Sur la descente, $6-2(x-4)=4$ donne $2(x-4)=2$, soit $x=5$, qui appartient à $[4\,;7[$. Les deux solutions sont donc $x=3$ et $x=5$. Une erreur fréquente consiste à s'arrêter à la première : une horizontale coupe un motif « en toit » à la montée ET à la descente, sauf si elle passe par le sommet, où les deux solutions se confondent.

b) Chaque solution du cycle engendre une famille, obtenue en ajoutant un nombre entier de périodes. L'ensemble des solutions s'écrit donc $x=3+6n$ ou $x=5+6n$, où $n$ parcourt les entiers relatifs, négatifs compris. Écrire seulement $\{3\,;5\}$ répond à une autre question, celle du cycle, et coûte la moitié des points : l'énoncé demande $\mathbb{R}$.

c) On compte chaque famille séparément. Pour $x=3+6n$ dans $[0\,;50]$ : $n$ va de $0$ à $7$, ce qui donne $3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45$, soit huit valeurs, la suivante $51$ sortant de l'intervalle. Pour $x=5+6n$ : $5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47$, encore huit valeurs, la suivante étant $53$. Au total $8+8=16$ solutions. Le réflexe utile est de diviser la longueur de l'intervalle par la période, $\dfrac{50}{6}\approx 8{,}3$ cycles, et de multiplier par le nombre de solutions par cycle, ici $2$ : on attend environ $16$ à $17$ solutions, ce qui confirme le compte. Oublier les bornes ou compter un cycle de trop est l'erreur habituelle, et cette estimation la détecte.

d) Une fonction périodique non constante n'est JAMAIS injective sur $\mathbb{R}$ : la question b) vient de le montrer, puisqu'une même valeur $4$ possède une infinité d'antécédents. Le test de la droite horizontale échoue donc partout, et pas seulement en deux points comme pour une parabole : il faut restreindre le domaine à un intervalle où $f$ est strictement monotone. Sur $[1\,;4]$, $f$ croît strictement de $0$ à $6$, donc elle y admet une réciproque. On l'obtient en isolant $x$ : $y=2(x-1)$ donne $x=1+\dfrac{y}{2}$, donc $f^{-1}(y)=1+\dfrac{y}{2}$ sur $[0\,;6]$. Vérification : $f^{-1}(4)=1+2=3$, qui est bien la solution trouvée en a) sur la montée. La descente $[4\,;7]$ donnerait l'autre réciproque, décroissante.

a) Le motif complet occupe $0{,}8$ s : on le lit entre deux grands pics consécutifs, à $t=0{,}30$ et $t=1{,}10$ s. La période vaut donc $p=0{,}8$ s. La fréquence est son inverse, $\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25$ battement par seconde, soit $1{,}25\times 60=75$ battements par minute. Contrôle de plausibilité : $75$ est une fréquence de repos normale, entre $60$ et $100$. Mesurer la période d'un pic au creux qui le suit donnerait $0{,}4$ s et un rythme de $150$, absurde au repos, ce qui montre la valeur du contrôle.

b) La fréquence et la période sont inverses l'une de l'autre : $p=\dfrac{60}{120}=0{,}5$ s. Le motif est donc COMPRIMÉ horizontalement, et c'est le paramètre $b$ qui gouverne cette compression, puisque lui seul agit sur la période.

c) La période d'une transformée $f(bt)$ vaut $\dfrac{p}{|b|}$. On cherche $b$ tel que $\dfrac{0{,}8}{b}=0{,}5$, ce qui donne $b=\dfrac{0{,}8}{0{,}5}=1{,}6$. La règle est donc $g(t)=f(1{,}6\,t)$. Vérification : $\dfrac{0{,}8}{1{,}6}=0{,}5$ s, et $\dfrac{60}{0{,}5}=120$ battements par minute. Le sens est lisible : $b=1{,}6$ signifie que le coeur parcourt son cycle $1{,}6$ fois plus vite qu'au repos, ce que confirme $\dfrac{120}{75}=1{,}6$.

d) La hauteur du pic est une grandeur verticale, donc elle dépend du paramètre $a$. Comme la ligne de base reste à $0$ mV, l'axe de référence ne bouge pas et le facteur est un simple rapport : $a=\dfrac{1{,}5}{1{,}2}=1{,}25$. La règle complète est $g(t)=1{,}25\,f(1{,}6\,t)$. Vérification : le pic vaut $1{,}25\times 1{,}2=1{,}5$ mV, et la période reste $0{,}5$ s, car $a$ n'a aucun effet horizontal. C'est le partage à retenir de tout le chapitre : $a$ et $k$ travaillent en hauteur, $b$ et $h$ en largeur, et seul $b$ touche la période.

a) Cherchons un nombre $P$ qui soit une période des DEUX fonctions à la fois. Si $P$ est un multiple commun de $12$ et de $8$, alors $c(t+P)=c(t)$ et $v(t+P)=v(t)$, donc $d(t+P)=c(t+P)+v(t+P)=c(t)+v(t)=d(t)$ : $P$ est bien une période de la somme. Le plus petit multiple commun de $12$ et de $8$ vaut $24$, donc la période de $d$ est $24$ min. La règle générale est là : la somme de deux fonctions périodiques de périodes $p$ et $q$ est périodique, et sa période est le plus petit multiple commun de $p$ et de $q$.

b) Le nombre $20$ n'est multiple ni de $12$ ni de $8$ : au bout de $20$ min, le compresseur est à $20-12=8$ min de son cycle et la ventilation à $20-16=4$ min du sien, donc ni l'un ni l'autre n'est revenu à son point de départ. Additionner les périodes n'a aucun sens. Le nombre $96$, lui, EST une période valable, puisque $96=8\times 12=12\times 8$ est bien un multiple commun ; mais la question demande LA période, c'est-à-dire la PLUS PETITE, et $96$ en contient quatre. Multiplier les périodes donne toujours une réponse correcte mais rarement la bonne, et c'est l'erreur la plus courante de cette question.

c) On réduit chaque appareil dans son propre cycle. À $t=26$ : pour le compresseur, $26-24=2$, et $2$ est dans $[0\,;5[$, donc il tire $4$ kW ; pour la ventilation, $26-24=2$ également, et $2$ est dans $[0\,;3[$, donc elle tire $1{,}5$ kW. La demande vaut $4+1{,}5=5{,}5$ kW. À $t=30$ : le compresseur est à $30-24=6$ min, qui est dans $[5\,;12[$, donc $0$ kW ; la ventilation est à $30-24=6$ min aussi, dans $[3\,;8[$, donc $0$ kW. La demande est nulle. Le piège est de réduire les deux avec la même période $24$ sans revenir à $12$ et à $8$ : ici cela marche parce que $24$ est un multiple des deux, mais il faut ensuite réduire ENCORE dans chaque cycle propre.

d) La demande dépasse $4$ kW seulement quand les deux appareils fonctionnent EN MÊME TEMPS, auquel cas elle vaut $5{,}5$ kW. Sur $[0\,;24[$, le compresseur est en marche sur $[0\,;5[$ et $[12\,;17[$ ; la ventilation sur $[0\,;3[$, $[8\,;11[$ et $[16\,;19[$. On croise les deux listes : $[0\,;5[$ rencontre $[0\,;3[$ sur $[0\,;3[$, soit $3$ min, et $[12\,;17[$ rencontre $[16\,;19[$ sur $[16\,;17[$, soit $1$ min. Aucun autre recouvrement. Total : $3+1=4$ minutes par cycle de $24$ min. C'est l'information qui intéresse l'électricien, puisque c'est elle qui dimensionne le disjoncteur : la pointe dure peu, mais elle existe, et un calcul fait sur la seule moyenne la manquerait complètement.

a) La période est la durée du cycle complet : $42+4+44=90$ s. Entre $8$ h $00$ et $8$ h $30$ il s'écoule $30\times 60=1800$ s, ce qui fait $\dfrac{1800}{90}=20$ cycles complets, sans reste. C'est un cas commode : dès que la durée n'est pas un multiple de la période, il faut compter les cycles ENTIERS, donc prendre le quotient et non arrondir.

b) L'instant $8$ h $07$ min $20$ s correspond à $t=7\times 60+20=440$ s. On réduit dans le premier cycle : $440=4\times 90+80$, donc le reste vaut $80$ s. Le cycle commençant en $0$, aucun décalage n'est à retirer. Or $80$ appartient à l'intervalle $[46\,;90[$, celui du rouge. Le feu est donc ROUGE. Contrôle sur le graphique : $80$ s tombe bien dans la plage basse du premier cycle.

c) Le vert revient au début du cycle suivant, c'est-à-dire à $t=5\times 90=450$ s. L'attente vaut $450-440=10$ s, ce qui revient à calculer $90-80=10$ s, la période moins la position dans le cycle. Le conducteur attend donc $10$ secondes. Répondre $46$ s, la durée du rouge, serait l'erreur classique : il n'arrive pas au DÉBUT du rouge mais à $80-46=34$ s de rouge déjà écoulé.

d) Le nouveau cycle dure $54+4+44=102$ s, donc la période change. À $t=440$ s, $440=4\times 102+32$, et $32$ appartient à $[0\,;54[$ : le feu est VERT, le véhicule passe. Sur la seconde question, la réponse est NON, et c'est le point de raisonnement de l'exercice. Une transformation par $b$ comprimerait ou étirerait le cycle TOUT ENTIER dans la même proportion : le vert, le jaune et le rouge seraient tous multipliés par le même facteur. Ici seul le vert change, le jaune et le rouge gardent leur durée : le motif est REDESSINÉ, pas transformé. On obtient une nouvelle fonction périodique, de période $102$ s, et non l'image de l'ancienne par $a$, $b$, $h$ ou $k$. Confondre les deux conduit à écrire des règles fausses, parce qu'on croit pouvoir tout ramener aux quatre paramètres.