Math SN5, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : les paramètres des fonctions (math SN5)

Q: Pourquoi le paramètre b comprime la courbe au lieu de l'étirer ?

Parce que b multiplie la variable avant que la fonction ne soit calculée. Avec b égal à trois, la fonction atteint dès un tiers ce qu'elle atteignait à un : elle arrive donc trois fois plus vite et la courbe se resserre. Sur les abscisses, l'effet est toujours l'inverse du nombre écrit, contrairement aux ordonnées.

Q: Dans quel sens le paramètre h déplace-t-il la courbe ?

Un h positif déplace la courbe vers la droite, même si la parenthèse s'écrit avec un signe moins. Le signe écrit est en effet celui de l'opposé de h. Pour lever tout doute, cherchez la valeur de x qui annule la parenthèse : c'est exactement h, et elle se calcule au lieu de se lire.

Q: Quels paramètres changent le domaine et lesquels changent l'image ?

Le domaine ne dépend que des paramètres horizontaux, b et h, car eux seuls déplacent les bornes et les asymptotes verticales. L'image ne dépend que des paramètres verticaux, a et k. Une justification qui utilise a pour expliquer un domaine est fausse, même si la réponse finale tombe juste par hasard.

Q: Comment calculer la période d'une fonction trigonométrique ?

La période vaut deux pi divisé par la valeur absolue du paramètre b. Ce paramètre n'est pas la période, il compte le nombre de cycles sur un intervalle de deux pi. Avec b égal à quatre, la courbe fait quatre oscillations sur deux pi, donc sa période vaut pi sur deux, soit environ un virgule cinquante-sept.

Q: Dans quel ordre appliquer les paramètres à un point ?

Sur l'abscisse, on divise d'abord par b puis on ajoute h. Sur l'ordonnée, on multiplie d'abord par a puis on ajoute k. Cet ordre suit celui des opérations dans l'écriture de la règle : la multiplication précède toujours l'addition. Inverser les deux déplace la courbe entière au lieu de la déformer.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les paramètres : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, pourquoi les paramètres horizontaux agissent à l'envers, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Les quatre paramètres agissent sur deux axes différents, et c'est ce qui les rend trompeurs : $a$ et $k$ travaillent sur les ORDONNÉES et se lisent tels quels, tandis que $b$ et $h$ travaillent sur les ABSCISSES et agissent à l'envers. Un $h$ positif translate vers la droite alors que la parenthèse porte un moins, et un $b$ grand COMPRIME au lieu d'étirer. Presque tous les points perdus viennent de transposer aux abscisses une intuition juste sur les ordonnées.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
2La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4
3La factorisation et les expressions rationnellesSecondaire 4 SN4
4Les paramètres et les propriétés des fonctionsSecondaire 4 SN4
5La fonction polynomiale de degré 2Secondaire 4 SN4
6Calculs algébriques
7La fonction racine carrée
8Les fonctions quadratiques

L'essentiel

La forme unique, valable pour toutes les familles

• $f(x)=a\,g\left(b(x-h)\right)+k$ , où $g$ est la fonction de base : $x^{2}$ , $\sqrt{x}$ , $|x|$ , $\lfloor x\rfloor$ , $2^{x}$ , $\log x$ , $\sin x$ , $\frac{1}{x}$ .
• Le rôle de chaque paramètre est le MÊME dans toutes les familles : seule l'interprétation graphique change.
• $a$ et $k$ agissent sur les ORDONNÉES, après le calcul de la fonction de base.
• $b$ et $h$ agissent sur les ABSCISSES, avant le calcul de la fonction de base.
• Le point de repère de la fonction de base, sommet ou origine, est envoyé sur $(h;k)$ .

Apprendre les quatre rôles une seule fois évite d'apprendre huit chapitres : c'est exactement l'intérêt de ce chapitre, et c'est pourquoi il précède l'étude détaillée de chaque famille.

Les deux paramètres verticaux, qui se lisent tels quels

• $k>0$ : translation vers le HAUT de $k$ unités; $k<0$ : vers le bas. Aucun piège de signe.
• $|a|>1$ : étirement vertical, la courbe s'éloigne de l'axe horizontal; $0<|a|<1$ : compression verticale.
• $a<0$ : réflexion par rapport à l'axe horizontal, la courbe se retourne de haut en bas.
• Un point $(x_{0};y_{0})$ de la fonction de base devient $(x_{0};a\,y_{0}+k)$ après l'action de $a$ et de $k$ seuls.
• $a$ agit AVANT $k$ : on multiplie d'abord, on translate ensuite. L'ordre inverse donnerait un autre résultat.

Sur les ordonnées, l'intuition ne trompe jamais : plus grand veut dire plus grand, plus vers le haut veut dire plus haut. C'est sur les abscisses que tout s'inverse.

Les deux paramètres horizontaux, qui agissent à l'envers

• $h>0$ : translation vers la DROITE, bien que la parenthèse s'écrive $(x-h)$ . Le signe écrit est celui de $-h$ .
• $|b|>1$ : COMPRESSION horizontale, la courbe se resserre; $0<|b|<1$ : étirement horizontal.
• $b<0$ : réflexion par rapport à l'axe vertical, la courbe se retourne de gauche à droite.
• L'action de $b$ DIVISE l'abscisse : un point $(x_{0};y_{0})$ devient $\left(\frac{x_{0}}{b};y_{0}\right)$ .
• Enchaînement complet : $(x_{0};y_{0})$ devient $\left(h+\frac{x_{0}}{b};\ k+a\,y_{0}\right)$ .

La raison de l'inversion tient en une phrase : $b$ et $h$ agissent sur l'ENTRÉE de la fonction, donc pour compenser leur effet il faut faire l'opération contraire sur $x$ . C'est une division et un plus, là où l'écriture montre une multiplication et un moins.

Ce que chaque paramètre change, et ce qu'il ne change pas

• Le DOMAINE ne dépend que de $b$ et de $h$ : eux seuls déplacent les bornes horizontales et les asymptotes verticales.
• L'IMAGE ne dépend que de $a$ et de $k$ : eux seuls déplacent les bornes verticales et les asymptotes horizontales.
• Trigonométrie : amplitude $=|a|$ , période $=\frac{2\pi}{|b|}$ , axe médian $y=k$ , déphasage $=h$ .
• Pour une sinusoïde, $\max=k+|a|$ et $\min=k-|a|$ : les deux se lisent sans calcul.
• Le nombre de zéros, l'existence d'un extremum, la continuité : tout cela vient de la fonction de BASE, pas des paramètres.

Un paramètre ne change jamais la nature de la fonction : une parabole transformée reste une parabole, une exponentielle reste une exponentielle. Les paramètres déplacent et déforment, ils ne transforment pas une famille en une autre.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Croire que $b$ étire la courbe horizontalement

2 points, et le tracé a une échelle fausse d'un facteur 9

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=(3x)^{2}$ : le paramètre $b=3$ étire la parabole horizontalement, elle devient trois fois plus large. »

Ce qu'il faut écrire

« $b=3$ COMPRIME horizontalement d'un facteur $3$ : la parabole devient trois fois plus étroite. Le point $(1;1)$ de $x^{2}$ devient $\left(\frac{1}{3};1\right)$ . »

Le point

(1\,;1)

recule en

\left(\frac{1}{3}\,;1\right)

: la même hauteur est atteinte trois fois plus tôt, donc la courbe est COMPRIMÉE, jamais étirée.

Pourquoi : Le paramètre $b$ multiplie l'entrée : avec $b=3$ , la fonction atteint en $x=\frac{1}{3}$ ce qu'elle atteignait en $x=1$ , donc elle arrive trois fois plus vite. Sur les abscisses, l'effet est l'inverse du nombre écrit, ce qui est contre-intuitif et se vérifie toujours par un point.

2. Lire le signe de $h$ tel qu'il est écrit

2 points, et un tracé décalé de huit unités

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\sqrt{x+4}$ : $h=4$ , donc translation de $4$ unités vers la droite. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{x+4}=\sqrt{x-(-4)}$ , donc $h=-4$ et la translation est de $4$ unités vers la GAUCHE. Le sommet passe de $(0;0)$ à $(-4;0)$ . »

Pourquoi : La forme de référence est $g(b(x-h))$ : la parenthèse contient $-h$ , donc le signe écrit est l'opposé de la translation. Le contrôle infaillible est de chercher la valeur de $x$ qui ANNULE la parenthèse : c'est elle, $h$ , et elle se calcule.

3. Confondre la période et le paramètre $b$

2 points, et toute l'étude de la sinusoïde en découle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=3\sin(4x)+1$ : la période vaut $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La période vaut $\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ : le paramètre $b$ compte le nombre de cycles sur $2\pi$ , il n'est pas la période. »

Pourquoi : C'est le même mécanisme que la compression horizontale : plus $b$ est grand, plus les oscillations sont serrées, donc plus la période est COURTE. La période est donc inversement proportionnelle à $b$ , exactement comme la longueur de la marche d'un escalier.

4. Appliquer $k$ avant $a$ dans le calcul d'une image

1 point à chaque point placé, donc tout le tracé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=2\sqrt{x}+3$ : le point $(4;2)$ de $\sqrt{x}$ devient $(4;2+3)$ puis $(4;10)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On multiplie d'abord par $a$ , puis on ajoute $k$ : $(4;2)$ devient $(4;2\times 2+3)=(4;7)$ . »

L'ordre des opérations se lit sur la colonne :

2

devient

4

par le facteur

a

, puis

7

par le déplacement

k

. L'inverse donnerait

10

, qui n'est sur aucune courbe.

Pourquoi : L'ordre des opérations dans l'écriture $a\,g(u)+k$ dit tout : la multiplication est faite avant l'addition. Appliquer $k$ d'abord reviendrait à multiplier aussi la translation, ce qui déplace la courbe entière.

5. Croire que $a$ modifie le domaine

2 points, et la courbe est tracée du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=-5\sqrt{x-2}$ : le paramètre $a=-5$ est négatif, donc le domaine est $]-\infty;2]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le domaine reste $[2;+\infty[$ : il ne dépend que de $b$ et de $h$ . C'est l'IMAGE qui devient $]-\infty;0]$ à cause du signe de $a$ . »

Pourquoi : Le paramètre $a$ multiplie le RÉSULTAT de la fonction de base, donc il agit après, sur les ordonnées : il ne peut pas décider quelles valeurs de $x$ sont autorisées. La règle générale vaut pour toutes les familles : $b$ et $h$ pour le domaine, $a$ et $k$ pour l'image.

6. Oublier de mettre $b$ en évidence avant de lire $h$

2 points, et le sommet est placé à six unités de son vrai emplacement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=\sqrt{4x-8}$ : $h=8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{4x-8}=\sqrt{4(x-2)}$ , donc $b=4$ et $h=2$ ; le domaine est $[2;+\infty[$ . »

Pourquoi : La forme de référence exige $b$ EN FACTEUR devant $(x-h)$ : tant que ce n'est pas fait, les deux paramètres sont mélangés dans l'écriture. La mise en évidence prend cinq secondes et se contrôle en annulant la parenthèse.

7. Ajouter les deux réflexions comme si elles se compensaient toujours

toute la question, et la courbe est dans le mauvais quadrant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=-\sqrt{-x}$ : les deux signes moins s'annulent, donc c'est $\sqrt{x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a<0$ et $b<0$ font DEUX réflexions sur deux axes différents : la courbe part vers la gauche en descendant. Le point $(4;2)$ devient $(-4;-2)$ , pas $(4;2)$ . »

Les deux signes moins ne s'annulent pas : la courbe est renvoyée à gauche PUIS vers le bas, donc dans le troisième quart de plan, où

\sqrt{x}

n'a jamais mis les pieds.

Pourquoi : Une réflexion par rapport à l'axe horizontal et une par rapport à l'axe vertical composent une symétrie centrale, pas l'identité. Les signes de $a$ et de $b$ ne se multiplient que pour décider du SENS DE VARIATION, jamais pour s'annuler dans le tracé.

8. Croire qu'un paramètre change la famille de la fonction

1 point de raisonnement, et souvent l'application d'une mauvaise méthode ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x)=-2\cdot 3^{x}+7$ : comme $a$ est négatif, la fonction décroît, donc ce n'est plus une exponentielle. »

Ce qu'il faut écrire

« C'est toujours une exponentielle : elle garde son asymptote horizontale, son absence de zéro éventuelle, et sa monotonie stricte. Seule son orientation a changé. »

Pourquoi : Les paramètres déplacent, étirent et retournent, mais ils ne changent jamais la nature de la courbe : une parabole reste une parabole, une hyperbole reste une hyperbole. Identifier la famille est donc le premier geste, et il se fait avant même de regarder les paramètres.

Quelle méthode choisir

Quel paramètre, pour quel effet

Deux questions dans l'ordre : l'effet cherché est-il sur les ordonnées ou sur les abscisses, puis s'agit-il de déplacer ou de déformer ? Les quatre réponses possibles donnent les quatre paramètres.

Si on veut DÉPLACER verticalement → $k$ , qui s'ajoute à la fin et se lit tel quel

Exemple : monter de $3$ unités : ajouter $+3$ , donc $k=3$
Si on veut DÉFORMER verticalement ou retourner de haut en bas → $a$ , qui multiplie la fonction de base : $|a|>1$ étire, $0<|a|<1$ comprime, $a<0$ retourne

Exemple : doubler la hauteur et retourner : $a=-2$

L'amplitude d'une sinusoïde vaut exactement $|a|$ , et le maximum vaut $k+|a|$ .
Si on veut DÉPLACER horizontalement → $h$ , qui se soustrait à $x$ dans la parenthèse : $h>0$ déplace vers la DROITE

Exemple : aller de $2$ unités vers la droite : écrire $(x-2)$ , donc $h=2$

Le signe écrit est celui de $-h$ : chercher la valeur qui annule la parenthèse lève toute ambiguïté.
Si on veut DÉFORMER horizontalement ou retourner de gauche à droite → $b$ , qui multiplie $x$ : $|b|>1$ COMPRIME, $0<|b|<1$ étire, $b<0$ retourne

Exemple : resserrer d'un facteur $3$ : $b=3$ , donc chaque abscisse est divisée par $3$

La période d'une sinusoïde vaut $\frac{2\pi}{|b|}$ : plus $b$ est grand, plus la période est courte.
Si on veut connaître l'effet sur le DOMAINE → regarder $b$ et $h$ uniquement : ils déplacent les bornes horizontales et les asymptotes verticales

Exemple : $\sqrt{4(x-2)}$ a pour domaine $[2;+\infty[$ , quel que soit $a$
Si on veut connaître l'effet sur l'IMAGE → regarder $a$ et $k$ uniquement : ils déplacent les bornes verticales et les asymptotes horizontales

Exemple : $-5\sqrt{x-2}+3$ a pour image $]-\infty;3]$ , quel que soit $b$

Aucune branche ne s'applique tant que $b$ n'est pas mis en évidence devant $(x-h)$ . L'écriture $\sqrt{4x-8}$ ne permet de lire ni $b$ ni $h$ correctement; $\sqrt{4(x-2)}$ les donne tous les deux.

Retrouver les paramètres depuis un graphique

Identifiez d'abord la FAMILLE, puis le point de repère, puis les déformations. Cet ordre est le seul qui évite de recalculer.

Si la courbe est une parabole, un V, une demi-courbe ou un escalier → le point de repère est le sommet, et il donne directement $h$ et $k$

Exemple : sommet en $(2;-3)$ : $h=2$ et $k=-3$
Si la courbe a une asymptote horizontale → cette asymptote donne $k$ , et l'asymptote verticale éventuelle donne $h$

Exemple : exponentielle d'asymptote $y=5$ : $k=5$ ; hyperbole d'asymptotes $x=1$ et $y=5$ : $h=1$ et $k=5$
Si la courbe est une sinusoïde → $k$ est l'axe médian, $|a|$ la demi-amplitude, et $|b|=\frac{2\pi}{\text{période}}$

Exemple : maximum $7$ et minimum $1$ : $k=4$ et $|a|=3$ ; période $\pi$ : $|b|=2$

L'axe médian est la moyenne du maximum et du minimum, l'amplitude leur demi-différence.
Si il reste à trouver $a$ une fois $h$ et $k$ connus → prendre un autre point de la courbe et résoudre l'équation obtenue

Exemple : sommet $(2;-3)$ et passage par $(4;5)$ pour une parabole : $5=a(4-2)^{2}-3$ , donc $a=2$
Si le graphique ne permet pas de séparer $a$ et $b$ → poser $b=1$ ou $b=-1$ selon l'orientation, et laisser $a$ absorber la déformation

Exemple : pour une racine carrée, $2\sqrt{4x}$ et $4\sqrt{x}$ sont la même courbe

Un seul de ces deux paramètres est déterminé par le graphique pour la plupart des familles : l'énoncé impose donc souvent l'un des deux.

Le signe de $b$ se lit à l'orientation de la courbe, le signe de $a$ à sa direction verticale. Les deux se voient sans aucun calcul, et il vaut mieux les fixer avant de chercher les valeurs numériques.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer l'image d'un point par une transformation

Quand l'utiliser : L'énoncé demande où va tel point de la fonction de base, ou de tracer la courbe transformée à partir de points connus.

1 Écrire la fonction sous la forme $a\,g\left(b(x-h)\right)+k$ , en mettant $b$ en évidence si nécessaire.
2 Identifier les quatre paramètres et les écrire explicitement, avec leurs signes.
3 Partir du point $(x_{0};y_{0})$ de la fonction de base, et le nommer.
4 Calculer la nouvelle abscisse : diviser $x_{0}$ par $b$ , puis ajouter $h$ .
5 Calculer la nouvelle ordonnée : multiplier $y_{0}$ par $a$ , puis ajouter $k$ .
6 Écrire le point image, puis vérifier en calculant directement $f$ de la nouvelle abscisse.

Phrase de conclusion

« Pour $f(x)=-2\sqrt{3(x-1)}+5$ , on a $a=-2$ , $b=3$ , $h=1$ et $k=5$ . Le point $(4;2)$ de la fonction $\sqrt{x}$ devient $\left(1+\frac{4}{3};\ 5+(-2)(2)\right)=\left(\frac{7}{3};\ 1\right)$ . »

Le piège : Multiplier l'abscisse par $b$ au lieu de la diviser. Le paramètre $b$ agit sur l'entrée de la fonction, donc pour retrouver la même valeur il faut compenser en divisant : c'est l'opération contraire à celle qui est écrite.

Barème : 1 point les quatre paramètres identifiés avec les bons signes, 1 point la nouvelle abscisse, 1 point la nouvelle ordonnée, 1 point la vérification.

Écrire la règle à partir d'une suite de transformations

Quand l'utiliser : L'énoncé décrit des transformations en mots : « la courbe de $\sqrt{x}$ subit une réflexion, un étirement, puis une translation ».

1 Identifier la fonction de base et l'écrire : « la fonction de base est $g(x)=\sqrt{x}$ ».
2 Traduire chaque transformation verticale en valeur de $a$ ou de $k$ , en respectant le sens annoncé.
3 Traduire chaque transformation horizontale en valeur de $b$ ou de $h$ , en pensant à l'inversion : compression par $3$ donne $b=3$ , translation de $2$ vers la gauche donne $h=-2$ .
4 Assembler dans la forme $a\,g\left(b(x-h)\right)+k$ , sans changer l'ordre des paramètres.
5 Vérifier sur le point de repère : l'image du sommet de la fonction de base doit être $(h;k)$ .
6 Vérifier sur un second point, calculé des deux façons.

Phrase de conclusion

« La fonction de base est $g(x)=\sqrt{x}$ . Une réflexion par rapport à l'axe horizontal donne $a<0$ , un étirement vertical de facteur $2$ donne $|a|=2$ , donc $a=-2$ . Une compression horizontale de facteur $3$ donne $b=3$ , et une translation de $1$ vers la droite puis de $5$ vers le haut donne $h=1$ et $k=5$ . La règle est donc $f(x)=-2\sqrt{3(x-1)}+5$ . »

Le piège : Écrire $h=-1$ pour une translation vers la droite, parce que la parenthèse contient un moins. Le signe écrit est déjà celui de $-h$ : pour aller vers la droite de $1$ unité, on écrit $(x-1)$ , donc $h=+1$ , et la double négation se fait toute seule.

Barème : 1 point la fonction de base identifiée, 1 point les paramètres verticaux, 1 point les paramètres horizontaux avec l'inversion correcte, 1 point l'assemblage vérifié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le point de repère envoyé sur $(h;k)$

Calculer $f(h)$ : le résultat doit valoir exactement $k$ pour toute famille ayant un sommet ou un point de départ, et le point $(h;k)$ doit être l'intersection des asymptotes pour une hyperbole. Un seul calcul valide $h$ et $k$ à la fois.

Pour $f(x)=-2\sqrt{3(x-1)}+5$ : $f(1)=-2(0)+5=5$ , ce qui confirme le sommet $(1;5)$ . Si vous aviez lu $h=-1$ , alors $f(-1)$ n'existerait même pas.
Le test d'un point de la fonction de base

Prendre un point simple de la fonction de base, appliquer la formule d'enchaînement pour trouver son image, puis calculer directement $f$ de la nouvelle abscisse. Les deux méthodes doivent donner la même ordonnée.

Le point $(4;2)$ de $\sqrt{x}$ devrait devenir $\left(\frac{7}{3};1\right)$ . Calcul direct : $f\left(\frac{7}{3}\right)=-2\sqrt{3\times\frac{4}{3}}+5=-2(2)+5=1$ . Les deux coïncident.
L'échelle de la courbe, comptée sur le graphique

Pour un paramètre $b$ , la courbe doit être $|b|$ fois plus ÉTROITE que la fonction de base si $|b|>1$ . Comptez les carreaux : une sinusoïde de paramètre $b=4$ fait quatre cycles complets sur $2\pi$ , pas un cycle de longueur $4$ .

Vous annoncez une période de $4$ pour $\sin(4x)$ : le graphique montre quatre oscillations entre $0$ et $2\pi$ , soit une période d'environ $1{,}57$ . L'inversion a été oubliée.
Domaine et image relus séparément

Relire la copie et vérifier que le domaine annoncé ne mentionne que $b$ et $h$ , et que l'image ne mentionne que $a$ et $k$ . Toute justification qui croise les deux groupes signale une confusion, même si la réponse tombe juste.

Une copie qui écrit « comme $a=-5$ , le domaine est $]-\infty;2]$ » se trompe de paramètre : $a$ ne peut pas décider quelles abscisses sont autorisées, c'est le rôle exclusif de $b$ .

L'exercice type décortiqué

Une sinusoïde complètement paramétrée : lire, calculer, tracer

Soit $f(x)=-3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1$ .

a) Donner l'amplitude, la période, l'axe médian et le déphasage. b) Donner le maximum et le minimum. c) Où se trouve l'image du point $\left(\frac{\pi}{2};1\right)$ de la fonction $\sin$ ? d) Donner l'image de $f$ .

Étape 1

La forme est $a\sin\left(b(x-h)\right)+k$ avec $a=-3$ , $b=2$ , $h=\frac{\pi}{4}$ et $k=1$ . Le facteur $b$ est déjà en évidence devant la parenthèse.

Pourquoi

Vérifier que $b$ est bien en facteur est le premier geste : dans l'écriture $\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$ , on lirait un déphasage de $\frac{\pi}{2}$ au lieu de $\frac{\pi}{4}$ , soit une erreur d'un facteur deux sur toute la question a).

Étape 2

Amplitude $=|a|=3$ ; période $=\frac{2\pi}{|b|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$ ; axe médian $y=k=1$ ; déphasage $=h=\frac{\pi}{4}$ vers la droite.

Pourquoi

L'amplitude prend la VALEUR ABSOLUE de $a$ : elle mesure une distance à l'axe médian, donc elle ne peut pas être négative. Et la période est l'inverse de $b$ à un facteur $2\pi$ près : $b=2$ signifie deux cycles sur $2\pi$ , donc une période deux fois plus courte.

Étape 3

$\max=k+|a|=1+3=4$ et $\min=k-|a|=1-3=-2$ .

Pourquoi

On utilise $|a|$ et non $a$ : le signe négatif de $a$ retourne la courbe, ce qui échange l'endroit où le maximum est atteint mais ne change ni le maximum ni le minimum. C'est exactement l'erreur qui donnerait $\max=-2$ .

Étape 4

Le point $\left(\frac{\pi}{2};1\right)$ de $\sin$ devient $\left(h+\frac{x_{0}}{b};\ k+a\,y_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4};\ 1+(-3)(1)\right)=\left(\frac{\pi}{2};\ -2\right)$ .

Pourquoi

L'abscisse est DIVISÉE par $b$ avant d'ajouter $h$ , ce qui donne $\frac{\pi}{4}$ et non $\pi$ . Et le maximum de la fonction de base devient ici le MINIMUM de $f$ , à cause du signe négatif de $a$ : la valeur $-2$ trouvée coïncide bien avec le minimum de la question b).

Étape 5

L'image est $[-2;4]$ : la sinusoïde atteint effectivement ses deux extrémités, l'intervalle est donc fermé.

Pourquoi

Contrairement à l'exponentielle ou à l'hyperbole, une sinusoïde ATTEINT ses bornes, une infinité de fois. Les crochets sont donc fermés, et ce détail vaut son point.

Étape 6

Vérification : $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-3\sin\left(2\times\frac{\pi}{4}\right)+1=-3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+1=-3+1=-2$ , ce qui confirme la question c). Et $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3\sin(0)+1=1$ , l'axe médian, comme attendu au déphasage.

Pourquoi

Deux calculs directs valident à la fois le déphasage, l'axe médian et l'image du point : la formule d'enchaînement et le calcul direct doivent coïncider, sinon l'un des quatre paramètres a été lu de travers.

Conclusion rédigée

« La fonction $f(x)=-3\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1$ a une amplitude de $3$ , une période de $\pi$ , un axe médian d'équation $y=1$ et un déphasage de $\frac{\pi}{4}$ vers la droite. Son maximum vaut $4$ et son minimum $-2$ . Le point $\left(\frac{\pi}{2};1\right)$ de la fonction sinus a pour image $\left(\frac{\pi}{2};-2\right)$ , qui est un minimum de $f$ à cause du signe négatif de $a$ . Enfin l'image de $f$ est l'intervalle fermé $[-2;4]$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer une période de $2$ parce que $b=2$ : la période est $\frac{2\pi}{|b|}$ , donc $\pi$ , et le graphique le montre en comptant deux oscillations sur $2\pi$ . Le second travers est d'écrire $\max=k+a=1-3=-2$ en oubliant la valeur absolue : le maximum et le minimum seraient alors échangés, et l'image annoncée à l'envers.

À savoir par cœur

• $f(x)=a\,g\left(b(x-h)\right)+k$ : la même forme pour toutes les familles de fonctions.
• $a$ et $k$ agissent sur les ORDONNÉES et se lisent tels quels. $b$ et $h$ agissent sur les ABSCISSES et à l'envers.
• $h>0$ translate vers la DROITE, bien que la parenthèse s'écrive avec un moins.
• $|b|>1$ COMPRIME horizontalement; $0<|b|<1$ étire. L'abscisse est DIVISÉE par $b$ .
• $(x_{0};y_{0})$ devient $\left(h+\frac{x_{0}}{b};\ k+a\,y_{0}\right)$ : diviser puis ajouter à gauche, multiplier puis ajouter à droite.
• Le DOMAINE ne dépend que de $b$ et $h$ ; l'IMAGE ne dépend que de $a$ et $k$ .
• Trigonométrie : amplitude $=|a|$ , période $=\frac{2\pi}{|b|}$ , axe médian $y=k$ , $\max=k+|a|$ et $\min=k-|a|$ .
• Toujours mettre $b$ EN ÉVIDENCE devant $(x-h)$ avant de lire quoi que ce soit.
• Un paramètre ne change jamais la FAMILLE de la fonction, seulement sa position et sa forme.

Questions fréquentes

Pourquoi le paramètre b comprime la courbe au lieu de l'étirer ?

Parce que b multiplie la variable avant que la fonction ne soit calculée. Avec b égal à trois, la fonction atteint dès un tiers ce qu'elle atteignait à un : elle arrive donc trois fois plus vite et la courbe se resserre. Sur les abscisses, l'effet est toujours l'inverse du nombre écrit, contrairement aux ordonnées.

Dans quel sens le paramètre h déplace-t-il la courbe ?

Un h positif déplace la courbe vers la droite, même si la parenthèse s'écrit avec un signe moins. Le signe écrit est en effet celui de l'opposé de h. Pour lever tout doute, cherchez la valeur de x qui annule la parenthèse : c'est exactement h, et elle se calcule au lieu de se lire.

Quels paramètres changent le domaine et lesquels changent l'image ?

Le domaine ne dépend que des paramètres horizontaux, b et h, car eux seuls déplacent les bornes et les asymptotes verticales. L'image ne dépend que des paramètres verticaux, a et k. Une justification qui utilise a pour expliquer un domaine est fausse, même si la réponse finale tombe juste par hasard.

Comment calculer la période d'une fonction trigonométrique ?

La période vaut deux pi divisé par la valeur absolue du paramètre b. Ce paramètre n'est pas la période, il compte le nombre de cycles sur un intervalle de deux pi. Avec b égal à quatre, la courbe fait quatre oscillations sur deux pi, donc sa période vaut pi sur deux, soit environ un virgule cinquante-sept.

Dans quel ordre appliquer les paramètres à un point ?

Sur l'abscisse, on divise d'abord par b puis on ajoute h. Sur l'ordonnée, on multiplie d'abord par a puis on ajoute k. Cet ordre suit celui des opérations dans l'écriture de la règle : la multiplication précède toujours l'addition. Inverser les deux déplace la courbe entière au lieu de la déformer.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les paramètres des fonctions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Les opérations sur les fonctions Les fonctions périodiques Les fonctions trigonométriques Les coniques : cercle, ellipse, hyperbole, parabole

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Fiche de révision : les paramètres des fonctions (math SN5)

L'essentiel

La forme unique, valable pour toutes les familles

Les deux paramètres verticaux, qui se lisent tels quels

Les deux paramètres horizontaux, qui agissent à l'envers

Ce que chaque paramètre change, et ce qu'il ne change pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Croire que bbb étire la courbe horizontalement

2. Lire le signe de hhh tel qu'il est écrit

3. Confondre la période et le paramètre bbb

4. Appliquer kkk avant aaa dans le calcul d'une image

5. Croire que aaa modifie le domaine

6. Oublier de mettre bbb en évidence avant de lire hhh

7. Ajouter les deux réflexions comme si elles se compensaient toujours

8. Croire qu'un paramètre change la famille de la fonction

Quelle méthode choisir

Quel paramètre, pour quel effet

Retrouver les paramètres depuis un graphique

La rédaction attendue

Calculer l'image d'un point par une transformation

Écrire la règle à partir d'une suite de transformations

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une sinusoïde complètement paramétrée : lire, calculer, tracer

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le paramètre b comprime la courbe au lieu de l'étirer ?

Dans quel sens le paramètre h déplace-t-il la courbe ?

Quels paramètres changent le domaine et lesquels changent l'image ?

Comment calculer la période d'une fonction trigonométrique ?

Dans quel ordre appliquer les paramètres à un point ?

Exercices corrigés : Les paramètres des fonctions

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Voir aussi

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1. Croire que $b$ étire la courbe horizontalement

2. Lire le signe de $h$ tel qu'il est écrit

3. Confondre la période et le paramètre $b$

4. Appliquer $k$ avant $a$ dans le calcul d'une image

5. Croire que $a$ modifie le domaine

6. Oublier de mettre $b$ en évidence avant de lire $h$