Fiche de révision : les fonctions quadratiques (math SN5)

Si le sommet est donné ou lisible, plus un autre point → partir de la canonique $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ et calculer $a$ avec l'autre point

Exemple : sommet $(2;-8)$ et passage par $(0;0)$ : $0=a(0-2)^{2}-8$, donc $a=2$ et $f(x)=2(x-2)^{2}-8$

Le second point doit être différent du sommet, sinon l'équation devient $0=0$ et ne donne aucun $a$.

Si les deux zéros sont donnés ou lisibles, plus un autre point → partir de la factorisée $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ et calculer $a$ avec l'autre point

Exemple : zéros $-1$ et $3$, passage par $(0;15)$ : $15=a(0+1)(0-3)=-3a$, donc $a=-5$

Si la parabole est tangente à l'axe des $x$ en un seul point → c'est un zéro double : $f(x)=a(x-x_{1})^{2}$, et ce zéro est aussi le sommet

Exemple : tangente en $x=4$ et passage par $(6;12)$ : $12=a(6-4)^{2}$, donc $a=3$

Si trois points quelconques, aucun sommet, aucun zéro → partir de la développée $f(x)=ax^{2}+bx+c$ et résoudre un système de trois équations

Exemple : un point d'abscisse $0$ donne $c$ immédiatement, ce qui réduit le système à deux inconnues

Toujours commencer par le point d'abscisse nulle s'il existe : il livre $c$ sans calcul.

Si on demande de passer d'une forme à une autre, sans donnée nouvelle → développée vers canonique par complétion du carré, canonique ou développée vers factorisée par le discriminant

Exemple : $2x^{2}-8x+1\to 2(x-2)^{2}-7$, puis $\Delta=56$ donne les deux zéros

Si il n'y a pas de terme en $x$ : $ax^{2}+c=0$ → isoler $x^{2}$ et prendre la racine carrée avec les DEUX signes

Exemple : $3x^{2}-27=0$ donne $x^{2}=9$, donc $x=-3$ ou $x=3$

Si $x^{2}$ tombe sur un nombre négatif, il n'y a pas de solution réelle, et cela se dit en une phrase.

Si il n'y a pas de terme constant : $ax^{2}+bx=0$ → factoriser par $x$, jamais diviser par $x$

Exemple : $2x^{2}-6x=0$ donne $2x(x-3)=0$, donc $x=0$ ou $x=3$

Si le trinôme se factorise de tête par somme et produit → chercher deux nombres dont la somme est $b$ et le produit $c$ (quand $a=1$)

Exemple : $x^{2}-5x+6$ : somme $-5$, produit $6$, donc $-2$ et $-3$, d'où $(x-2)(x-3)$

Trente secondes d'essai maximum. Au-delà, le discriminant est plus rapide et plus sûr.

Si trinôme complet sans factorisation évidente → discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$, puis $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Exemple : $2x^{2}-7x+3$ : $\Delta=49-24=25$, donc $x=\frac{7\pm 5}{4}$, soit $3$ et $\frac{1}{2}$

Si l'inconnue apparaît en $x^{4}$ et $x^{2}$, ou en $x$ et $\sqrt{x}$ → changement de variable $u=x^{2}$ ou $u=\sqrt{x}$, résoudre en $u$, puis REVENIR à $x$

Exemple : $x^{4}-5x^{2}+4=0$ donne $u=1$ ou $u=4$, donc quatre solutions : $-2$, $-1$, $1$, $2$

Chaque $u$ positif donne deux $x$, chaque $u$ négatif se rejette en écrivant pourquoi.

Si le symbole est $<$, $>$, $\le$ ou $\ge$ → trouver les zéros comme ci-dessus, puis conclure par le signe de $a$ et un tableau, et rendre un INTERVALLE

Exemple : $x^{2}-x-6>0$ donne $S=\,]-\infty;-2[\,\cup\,]3;+\infty[$