Exercices corrigés : résoudre f(x) = k, f(x) < k et f(x) = g(x)

Fonction racine carrée. On isole d'abord le radical : $2\sqrt{x-3}+1=9$ donne $2\sqrt{x-3}=8$, puis $\sqrt{x-3}=4$. On élève ensuite au carré : $x-3=16$, donc $x=19$. Vérification obligatoire, parce qu'on a élevé au carré : $f(19)=2\sqrt{16}+1=2\times 4+1=9$ ✓. La solution convient. Noter aussi que $19$ appartient bien au domaine $[3\ ;\ +\infty[$.

Fonction valeur absolue. Une valeur absolue égale à $7$ signifie que la quantité à l'intérieur vaut $7$ ou $-7$, ce qui donne DEUX équations : $2x-5=7$ donne $x=6$, et $2x-5=-7$ donne $2x=-2$, donc $x=-1$. Vérification : $|2\times 6-5|=|7|=7$ ✓ et $|2\times(-1)-5|=|-7|=7$ ✓. Oublier le second cas est l'erreur numéro un de ce chapitre.

Fonction exponentielle. On isole la puissance : $3\cdot 2^{x}=48$ donne $2^{x}=16$. Comme $16=2^{4}$, on identifie les exposants : $x=4$. Vérification : $3\times 2^{4}=3\times 16=48$ ✓. Le passage par une même base est toujours préférable au logarithme quand il est possible, il évite tout arrondi.

Fonction quadratique. On ramène tout d'un côté : $x^{2}-4x+1=6$ donne $x^{2}-4x-5=0$. On factorise en cherchant deux nombres de somme $4$ et de produit $-5$, soit $5$ et $-1$ : $(x-5)(x+1)=0$. Les solutions sont $x=5$ et $x=-1$. Vérification : $p(5)=25-20+1=6$ ✓ et $p(-1)=1+4+1=6$ ✓.

Parce que le nombre de solutions se lit sur la FORME de la courbe, pas sur la difficulté du calcul. Cette fonction racine carrée, dont le paramètre $a=2$ est positif, est strictement croissante sur tout son domaine (avec $a<0$, elle serait strictement décroissante) : une droite horizontale ne peut donc la couper qu'une fois au maximum. La valeur absolue et la parabole, elles, décroissent puis croissent : elles atteignent deux fois la même hauteur, une fois de chaque côté de leur sommet, sauf exactement au sommet où elles ne l'atteignent qu'une seule fois. C'est la raison structurelle pour laquelle une équation avec valeur absolue ou du second degré donne en général deux solutions, et une équation avec racine carrée une seule.

On repère la droite horizontale $y=2$, déjà tracée, et on lit les abscisses des deux points où elle coupe la courbe : $x=0$ et $x=8$. L'ensemble solution est $\{0\ ;\ 8\}$, deux valeurs isolées que l'on note entre accolades, jamais entre crochets.

La droite $y=6$ touche la courbe en un seul point, son sommet : la solution unique est $x=4$. La droite $y=8$, elle, passe entièrement au-dessus de la courbe, qui ne dépasse jamais $6$ : l'équation $f(x)=8$ n'a AUCUNE solution. Ces trois cas, deux solutions, une seule, aucune, se décident uniquement par la position de $k$ par rapport au maximum $6$.

On cherche cette fois où la courbe est au-dessus de la droite $y=2$, ou la touche. C'est le cas entre les deux points d'intersection : l'ensemble solution est l'intervalle $[0\ ;\ 8]$, bornes COMPRISES puisque l'inégalité est large et que la courbe vaut exactement $2$ en ces deux points.

La courbe est sous la droite $y=2$ à gauche de $0$ et à droite de $8$. Le cadre s'arrête à $-2$ et à $10$, mais la fonction, elle, est définie sur tout $\mathbb{R}$ et continue de descendre au-delà : l'ensemble solution est donc $]-\infty\ ;\ 0[\ \cup\ ]8\ ;\ +\infty[$, une réunion de deux intervalles. C'est le piège classique de la lecture graphique : le dessin ne montre qu'une fenêtre, et il ne faut jamais borner une réponse à ce qui est visible. Les bornes sont exclues, l'inégalité étant stricte.

$f(x)=2$ s'écrit $-|x-4|+6=2$, soit $|x-4|=4$, donc $x-4=4$ ou $x-4=-4$, c'est-à-dire $x=8$ ou $x=0$ ✓. Les deux méthodes coïncident. À retenir sur le partage des rôles : le graphique a donné immédiatement le NOMBRE de solutions et leur position approximative, le calcul a donné leur valeur exacte. Sur un examen, faire les deux quand c'est possible est le meilleur moyen de détecter une erreur.

La forme $|A|<k$ avec $k>0$ signifie que $A$ est à distance de zéro inférieure à $k$, donc qu'il est ENTRE $-k$ et $k$ : on écrit l'encadrement $-8<2x-6<8$. On ajoute $6$ partout : $-2<2x<14$. On divise par $2$, qui est positif, donc le sens ne change pas : $-1<x<7$. Ensemble solution : $]-1\ ;\ 7[$. Vérification sur trois valeurs test : $x=0$ donne $|-6|=6<8$ ✓, $x=-2$ donne $|-10|=10$, qui n'est pas inférieur à $8$ ✓, et $x=8$ donne $|10|=10$ non plus ✓.

La forme $|A|\geq k$ signifie au contraire que $A$ est LOIN de zéro, ce qui se produit de deux façons opposées : $3x+1\geq 7$ ou $3x+1\leq -7$. Le premier cas donne $3x\geq 6$, donc $x\geq 2$. Le second donne $3x\leq -8$, donc $x\leq -\frac{8}{3}$. La condition est un OU, d'où une RÉUNION : $\left]-\infty\ ;\ -\frac{8}{3}\right]\ \cup\ [2\ ;\ +\infty[$. Bornes comprises, l'inégalité étant large. Erreur à éviter absolument : écrire $-7\geq 3x+1\geq 7$, qui est un encadrement impossible puisqu'il exigerait $-7\geq 7$.

Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc elle ne peut jamais être strictement inférieure à $-2$. L'inéquation n'a AUCUNE solution, et l'ensemble solution est l'ensemble vide, noté $\varnothing$. Aucun calcul n'est nécessaire, et c'est justement ce qu'il faut voir : se lancer dans un encadrement $2<x-5<-2$ produirait une réponse absurde.

Pour la même raison, $|x-5|$ est toujours supérieure ou égale à $0$, donc toujours strictement supérieure à $-2$. L'inéquation est vraie pour TOUS les réels, et l'ensemble solution est $\mathbb{R}$. Les questions c) et d) forment volontairement un couple : le même membre de droite négatif donne, selon le sens de l'inégalité, soit rien du tout, soit absolument tout.

Parce que la valeur absolue mesure une DISTANCE. Dans a), on demande aux nombres $2x-6$ d'être à moins de $8$ de zéro : cela dessine un seul segment centré sur zéro, donc un seul intervalle pour $x$. Dans b), on demande à $3x+1$ d'être à au moins $7$ de zéro : cela laisse deux zones, très à gauche et très à droite, séparées par un trou, d'où deux intervalles. Le repère à retenir tient en une image : le symbole $<$ enferme dans un intervalle, le symbole $>$ chasse vers l'extérieur et fabrique une réunion.

Domaine : il faut $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$. En élevant au carré : $x-3=25$, donc $x=28$, qui appartient bien au domaine. Vérification : $\sqrt{25}=5$ ✓. Ensemble solution : $\{28\}$.

Même domaine, $x\geq 3$. La fonction racine étant croissante, on peut élever au carré les deux membres, tous deux positifs : $x-3<25$, donc $x<28$. Il faut maintenant CROISER avec le domaine, et c'est là que l'exercice se joue : l'ensemble solution est $[3\ ;\ 28[$, et non $]-\infty\ ;\ 28[$. Oublier la borne de gauche est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, parce que rien dans le calcul ne la rappelle. Vérification : $x=2$ ne convient pas, la racine n'existant pas ✓, $x=3$ donne $0<5$ ✓, et $x=30$ donne $\sqrt{27}\approx 5{,}2$, qui n'est pas inférieur à $5$ ✓.

Domaine : $2x+1\geq 0$, donc $x\geq -\frac{1}{2}$. Les deux membres étant positifs, on élève au carré : $2x+1\geq 9$, soit $2x\geq 8$, donc $x\geq 4$. On croise avec le domaine : comme $4>-\frac{1}{2}$, la condition de domaine est automatiquement satisfaite et l'ensemble solution est $[4\ ;\ +\infty[$. Ici le domaine ne restreint rien, mais il fallait le vérifier pour le savoir.

Aucune solution. Une racine carrée est par définition positive ou nulle, elle ne peut donc jamais valoir $-2$, et ce quel que soit le domaine. Le piège consiste à élever au carré sans réfléchir : on obtiendrait $x+4=4$, donc $x=0$, qui semble convenir. La vérification le démasque : $\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2$, qui vaut $+2$ et non $-2$. C'est exactement une SOLUTION ÉTRANGÈRE, créée de toutes pièces par l'élévation au carré. Ensemble solution : $\varnothing$.

Domaine : $x\geq 1$. Sur ce domaine, $\sqrt{x-1}$ est toujours positive ou nulle, donc toujours strictement supérieure à $-3$ : l'inéquation est vraie partout où elle a un sens. L'ensemble solution est donc exactement le domaine, $[1\ ;\ +\infty[$. C'est la question qui résume le chapitre : la contrainte ne venait pas de l'inéquation, elle venait uniquement de l'existence de la racine.

On écrit les deux membres dans la même base : $32=2^{5}$, donc $2^{x}=2^{5}$ et, la fonction exponentielle étant strictement monotone, on identifie les exposants : $x=5$. Vérification : $2^{5}=32$ ✓.

On isole d'abord la puissance : $2^{x}>32$, soit $2^{x}>2^{5}$. La base $2$ est plus grande que $1$, donc la fonction est CROISSANTE et l'inégalité se transmet aux exposants dans le même sens : $x>5$. Ensemble solution : $]5\ ;\ +\infty[$. Vérification : $x=6$ donne $3\times 64=192>96$ ✓, et $x=4$ donne $3\times 16=48$, qui n'est pas supérieur à $96$ ✓.

La base vaut $0{,}5$, qui est comprise entre $0$ et $1$ : la fonction est DÉCROISSANTE, et c'est tout l'enjeu de la question. On écrit $8=2^{3}=\left(0{,}5\right)^{-3}$, donc l'inéquation devient $\left(0{,}5\right)^{x}>\left(0{,}5\right)^{-3}$. Une fonction décroissante RENVERSE l'inégalité quand on passe aux exposants : $x<-3$. Ensemble solution : $]-\infty\ ;\ -3[$. Vérification indispensable tant l'erreur est tentante : $x=-4$ donne $0{,}5^{-4}=16>8$ ✓, tandis que $x=-2$ donne $0{,}5^{-2}=4$, qui n'est pas supérieur à $8$ ✓. Conclure $x>-3$ aurait donc été faux sur les deux tests.

Domaine d'abord : le logarithme exige $x-1>0$, donc $x>1$. L'égalité $\log_{2}(x-1)=4$ signifie que $x-1=2^{4}=16$, donc $x=17$, qui appartient bien au domaine. Vérification : $\log_{2}(16)=4$ ✓.

Même domaine, $x>1$. La base $2$ étant plus grande que $1$, le logarithme est croissant et l'inégalité se conserve : $x-1<16$, donc $x<17$. On croise avec le domaine, comme pour la racine carrée : l'ensemble solution est $]1\ ;\ 17[$, borné des DEUX côtés. La borne de gauche ne vient pas de l'inéquation mais de l'existence du logarithme, et c'est elle que les copies oublient. Vérification : $x=1$ n'est pas admissible car $\log_{2}(0)$ n'existe pas ✓, $x=2$ donne $\log_{2}(1)=0<4$ ✓, et $x=20$ donne $\log_{2}(19)\approx 4{,}25$, qui n'est pas inférieur à $4$ ✓.

Les deux courbes se coupent aux points de coordonnées $(1\ ;\ 0)$ et $(4\ ;\ 3)$, tous deux placés sur des nœuds du quadrillage, donc lisibles sans approximation.

On résout $x^{2}-4x+3=x-1$. On ramène tout d'un côté : $x^{2}-5x+4=0$, que l'on factorise en cherchant deux nombres de somme $5$ et de produit $4$, soit $1$ et $4$ : $(x-1)(x-4)=0$. Les solutions sont $x=1$ et $x=4$ ✓, ce qui confirme la lecture. Les ordonnées s'obtiennent en remplaçant dans l'une OU l'autre des deux fonctions, de préférence la plus simple : $g(1)=0$ et $g(4)=3$ ✓.

On cherche où la parabole est SOUS la droite, c'est-à-dire où le trait plein passe en dessous du pointillé. C'est le cas strictement entre les deux points d'intersection : l'ensemble solution est $]1\ ;\ 4[$, bornes exclues puisque l'inégalité est stricte et qu'aux bornes les deux fonctions sont égales.

La parabole est au-dessus de la droite à gauche de $1$ et à droite de $4$. Le cadre s'arrête, mais la parabole croît indéfiniment de part et d'autre et ne recroisera plus jamais la droite, une équation du second degré n'ayant pas plus de deux solutions. L'ensemble solution est donc $]-\infty\ ;\ 1[\ \cup\ ]4\ ;\ +\infty[$. Noter le rôle de l'argument algébrique : c'est lui, et non le dessin, qui garantit qu'il n'y a rien d'autre plus loin.

On étudie la différence $d(x)=f(x)-g(x)=x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)$. C'est un trinôme de coefficient dominant positif, donc négatif ENTRE ses racines et positif à l'extérieur. Or $f(x)<g(x)$ équivaut à $d(x)<0$ : on retrouve $]1\ ;\ 4[$ ✓. Cette méthode par la différence est la plus sûre des deux et la seule qui se généralise : au lieu de comparer deux courbes, on ramène toujours la question à l'étude du signe d'une seule expression.

Un seul point d'intersection, de coordonnées $(3\ ;\ 2)$. On le vérifie : $\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$ et $3-1=2$ ✓. Sur toute la partie gauche du dessin, la droite est nettement en dessous de la courbe, et les deux ne se rejoignent jamais.

On élève les deux membres au carré : $\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=(x-1)^{2}$ donne $x+1=x^{2}-2x+1$. On ramène tout d'un côté : $0=x^{2}-3x$, soit $x(x-3)=0$. On obtient donc DEUX candidats, $x=0$ et $x=3$, alors que le graphique n'en montrait qu'un.

Pour $x=3$ : $f(3)=\sqrt{4}=2$ et $g(3)=2$, les deux coïncident ✓, la solution est valide. Pour $x=0$ : $f(0)=\sqrt{1}=1$ mais $g(0)=-1$, et $1\neq -1$ : le candidat ne vérifie PAS l'équation de départ, il doit être rejeté. L'unique solution est $x=3$, ce qui concorde enfin avec le graphique. La vérification n'est donc pas une politesse de rédaction, c'est une étape obligatoire de la méthode.

L'élévation au carré n'est pas une équivalence, seulement une implication : deux nombres opposés ont le même carré, donc $A=B$ entraîne $A^{2}=B^{2}$, mais la réciproque est fausse. En passant au carré, on a en réalité résolu l'équation élargie $\sqrt{x+1}=\pm(x-1)$. Le candidat $x=0$ est la solution de l'AUTRE équation, celle avec le signe moins : $\sqrt{0+1}=1$ et $-(0-1)=1$, effectivement égaux. Il est donc solution d'un problème voisin, pas du nôtre. Graphiquement, $x=0$ est l'abscisse du point où la courbe rencontre la droite $y=-(x-1)$, symétrique de la droite de $g$ par rapport à l'axe des abscisses, qui n'est pas tracée.

Il suffisait de remarquer qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle : puisque $\sqrt{x+1}=x-1$, le membre de droite doit lui aussi être positif ou nul, ce qui impose $x-1\geq 0$, donc $x\geq 1$. Le candidat $x=0$ ne respecte pas cette condition et se trouve écarté avant même toute vérification. C'est la rédaction attendue en examen : poser $x\geq 1$ dès la première ligne, à côté de la condition de domaine $x\geq -1$, puis élever au carré en sachant que les deux membres sont positifs, ce qui rend cette fois l'opération réversible.

On isole la puissance : $2^{x}=8=2^{3}$, donc $x=3$. Vérification : $3\times 2^{3}=24$ ✓. Ici la méthode exacte fonctionne parce que les deux membres se ramènent à la MÊME base.

Le graphique montre deux points d'intersection : un à gauche, entre $-3$ et $-2$, où la droite, qui monte, passe au-dessus de l'exponentielle presque plate, et un à droite, entre $2$ et $3$, où l'exponentielle rattrape puis dépasse la droite. L'équation admet donc DEUX solutions. C'est un cas où le dessin apporte une information que le calcul ne donnera jamais directement : le nombre de solutions.

Pour la solution négative, on compare les deux fonctions aux entiers voisins : en $x=-3$, $2^{-3}=0{,}125$ et $x+3=0$, donc $f>g$ ; en $x=-2$, $2^{-2}=0{,}25$ et $x+3=1$, donc $f<g$. La différence change de signe, donc une solution se trouve entre $-3$ et $-2$. Pour la solution positive : en $x=2$, $2^{2}=4$ et $x+3=5$, donc $f<g$ ; en $x=3$, $2^{3}=8$ et $x+3=6$, donc $f>g$. Une solution se trouve donc entre $2$ et $3$ ✓, ce qui confirme la lecture graphique.

On resserre par essais successifs entre $2$ et $3$. En $x=2{,}4$ : $2^{2{,}4}\approx 5{,}28$ et $x+3=5{,}4$, donc $f<g$. En $x=2{,}5$ : $2^{2{,}5}\approx 5{,}66$ et $x+3=5{,}5$, donc $f>g$. Le changement de signe se produit entre $2{,}4$ et $2{,}5$ : la solution positive vaut environ $2{,}4$ au dixième près. La méthode s'appelle le balayage, et c'est exactement ce que fait la fonction table de la calculatrice.

Parce qu'en a) l'inconnue n'apparaissait qu'à un seul endroit, en exposant, ce qui permettait de l'isoler puis d'identifier les exposants d'une même base. Dans $2^{x}=x+3$, l'inconnue figure à la fois EN EXPOSANT et comme terme ordinaire : aucune manipulation algébrique ne permet de la rassembler d'un seul côté. Prendre le logarithme donnerait $x\ln 2=\ln(x+3)$, où $x$ reste des deux côtés, sans progrès. Ce type d'équation n'a pas de solution exprimable avec les fonctions du programme, et la seule voie honnête est l'encadrement graphique ou numérique. Le reconnaître vite évite de perdre dix minutes d'examen à chercher une astuce qui n'existe pas.

On résout $R(x)=C(x)$, c'est-à-dire $-x^{2}+50x=10x+300$. On ramène tout d'un côté : $0=x^{2}-40x+300$. On factorise en cherchant deux nombres de somme $40$ et de produit $300$, soit $10$ et $30$ : $(x-10)(x-30)=0$. Les deux productions d'équilibre sont donc $x=10$ et $x=30$ planches. Vérification : $R(10)=-100+500=400$ et $C(10)=100+300=400$ ✓ ; $R(30)=-900+1500=600$ et $C(30)=300+300=600$ ✓.

L'entreprise est bénéficiaire lorsque $R(x)>C(x)$, donc lorsque $x^{2}-40x+300<0$. Ce trinôme a un coefficient dominant positif, il est donc négatif ENTRE ses racines : l'intervalle cherché est $]10\ ;\ 30[$. En tenant compte du fait qu'une production est un nombre entier de planches, l'entreprise est bénéficiaire de $11$ à $29$ planches par semaine. Aux bornes exactes, $10$ et $30$, elle ne gagne ni ne perd rien.

$P(x)=R(x)-C(x)=-x^{2}+50x-10x-300=-x^{2}+40x-300$. C'est une parabole tournée vers le bas, donc son maximum est atteint au sommet. On le trouve par la forme canonique : $P(x)=-(x^{2}-40x)-300=-\left((x-20)^{2}-400\right)-300=-(x-20)^{2}+100$. Le profit est donc maximal pour $x=20$ planches, et il vaut $100$ centaines de dollars, soit $10\ 000$ dollars par semaine. Contrôle de cohérence : $20$ est bien le milieu de l'intervalle $]10\ ;\ 30[$, ce qui est normal par symétrie de la parabole.

Pour $35$ planches : $35$ n'appartient pas à $]10\ ;\ 30[$, donc l'entreprise est déficitaire. Le calcul le confirme : $P(35)=-1225+1400-300=-125$, soit une perte de $12\ 500$ dollars. Pour $5$ planches : $5$ n'appartient pas non plus à l'intervalle, et $P(5)=-25+200-300=-125$, la même perte. Les deux productions sont symétriques par rapport à $20$, ce qui explique l'égalité des deux pertes. Interprétation concrète : produire trop peu ne couvre pas les $300$ de coûts fixes, et produire trop fait chuter le revenu, le modèle supposant qu'il faut baisser les prix pour écouler une grosse production.

Sur le graphique, la parabole du revenu passe au-dessus de la droite du coût exactement entre les deux points marqués, d'abscisses $10$ et $30$, et repasse en dessous de part et d'autre ✓. Les deux points d'intersection tombent sur des nœuds du quadrillage, aux ordonnées $400$ et $600$, ce qui confirme les valeurs calculées en a). On voit aussi que l'écart vertical entre les deux courbes, qui est précisément le profit, est le plus grand vers $x=20$ ✓, ce qui confirme la question c) sans aucun calcul supplémentaire.

Faux. Le calcul est juste mais la conclusion ne l'est pas : $x=16$ donne $\sqrt{16}=4$, qui vaut $+4$ et non $-4$. Par convention, le symbole $\sqrt{\ }$ désigne la racine POSITIVE, donc $\sqrt{x}$ ne peut jamais être négatif et l'équation n'a aucune solution, quel que soit le résultat de l'élévation au carré. C'est le cas d) de l'exercice 4, et il illustre la règle générale : élever au carré peut fabriquer des solutions qui n'en sont pas.

Faux, et le raisonnement se retourne exactement. Il est vrai qu'une valeur absolue n'est jamais négative, mais c'est précisément pour cela qu'elle est TOUJOURS strictement supérieure à $-3$ : l'inéquation est vraie pour tous les réels, et l'ensemble solution est $\mathbb{R}$. Contre-exemple immédiat : $x=2$ donne $|0|=0>-3$ ✓. L'affirmation confond le cas $|A|<k$ avec $k$ négatif, qui n'a effectivement aucune solution, et le cas $|A|>k$, qui les a toutes. Ce sont les questions c) et d) de l'exercice 3.

Faux, il manque une étape obligatoire. L'élévation au carré est une implication et non une équivalence, donc elle peut créer des solutions étrangères qu'il faut ensuite écarter. Contre-exemple traité à l'exercice 7 : $\sqrt{x+1}=x-1$ conduit à $x(x-3)=0$, donc aux candidats $0$ et $3$, mais $x=0$ donne $\sqrt{1}=1$ d'un côté et $-1$ de l'autre, et doit être rejeté. La méthode correcte comporte donc toujours une VÉRIFICATION dans l'équation de départ, ou bien la condition préalable que le second membre soit positif ou nul.

Insuffisant. Un graphique ne montre qu'une fenêtre, et une intersection peut parfaitement se trouver en dehors. Contre-exemple traité à l'exercice 8 : $2^{x}=x+3$ a une solution entre $2$ et $3$, bien visible, mais aussi une seconde entre $-3$ et $-2$, que l'on manque si la fenêtre commence à $x=0$. Pour affirmer un NOMBRE de solutions, il faut un argument qui dépasse le dessin : un raisonnement sur le degré du polynôme, sur la monotonie des fonctions, ou un balayage qui repère tous les changements de signe de la différence.

Faux, et c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. La première partie est juste, car la base $2$ est plus grande que $1$ et la fonction est croissante. Mais $0{,}5$ est comprise entre $0$ et $1$, donc la fonction est DÉCROISSANTE et l'inégalité change de sens : la réponse correcte est $x<-3$. Contre-exemple décisif : $x=-4$ donne $\left(0{,}5\right)^{-4}=16>8$ ✓ alors que $-4$ n'est pas supérieur à $-3$, et $x=0$ donne $1$, qui n'est pas supérieur à $8$, alors que $0>-3$. La règle à retenir : avant toute inéquation exponentielle ou logarithmique, on regarde la base et on décide si le sens se conserve ou se renverse.